Преобразования графиков: растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие — преобразования, которые меняют масштаб графика. Множитель работает по двум разным правилам в зависимости от того, стоит он снаружи функции или внутри аргумента.

Главная путаница тут в том, что множитель внутри аргумента работает «наоборот». Снаружи всё интуитивно: $3\cdot f(x)$ растягивает график вверх в $3$ раза, и чем больше число, тем выше тянется кривая. А вот $f(3x)$, наоборот, сжимает график по горизонтали в $3$ раза, хотя число тоже большое. Причина простая: чтобы новая функция приняла то же значение, что и старая, её аргумент $3x$ должен дотянуться до прежнего $x_0$, а значит сам $x$ берётся втрое меньше. Точка как будто подъезжает ближе к оси, и весь график сжимается.

Если держать в голове эту разницу, дальше всё складывается: коэффициент перед функцией отвечает за вертикаль, коэффициент перед $x$ внутри скобок отвечает за горизонталь, причём с обратным эффектом. Ниже разберём оба случая, а потом соберём faded-примеры и типовые задачи ЕГЭ, где это превращается в реальные баллы за задания 7 и 11.

Растяжение по оси Oy

Правило. Функция $y=k\cdot f(x)$ — это график $y=f(x)$, растянутый по оси $Oy$ в $k$ раз (если $k>1$) или сжатый в $1/k$ раз (если $0<k<1$).

Логика: каждая точка $(x;y)$ исходного графика переходит в $(x;k\cdot y)$ нового — абсцисса та же, ордината умножается на $k$.

Пример. $y=3\cdot \sin x$ — синусоида с амплитудой $3$ (вместо $1$). Принимает значения от $-3$ до $3$.

Пример. $y=0,5\cdot x^2$ — парабола с вершиной в $(0;0)$, но «более широкая» (точка с $x=1$ имеет $y=0,5$ вместо $1$).

Сжатие/растяжение по оси Ox

Правило. Функция $y=f(kx)$ — это график $y=f(x)$, сжатый по оси $Ox$ в $k$ раз (если $k>1$) или растянутый в $1/k$ раз (если $0<k<1$).

Это правило тоже работает «наоборот»: множитель внутри аргумента работает в обратную сторону.

Пример. $y=\sin (2x)$ — синусоида, сжатая по $Ox$ в $2$ раза. Период становится $\pi$ вместо $2\pi$.

Пример. $y=\sin (x/3)$ — синусоида, растянутая по $Ox$ в $3$ раза. Период $6\pi$.

Логика «обратного» направления

Запиши новую функцию: $g(x)=f(kx)$. При каком $x$ значение $g(x)$ совпадает со значением $f(x_0)$? При $kx=x_0$, то есть $x=x_0/k$.

Значит, точка $x_0$ исходной функции переходит в точку $x_0/k$ новой. Если $k>1$, точка приближается к нулю — график сжимается. Если $k<1$, удаляется — растягивается.

Эту логику удобно проверять на знакомых точках синуса. У обычного $y=\sin x$ первый максимум приходится на $x=\pi /2$. У $y=\sin (2x)$ тот же максимум переезжает в $x=\pi /4$, ровно вдвое ближе к нулю. График стал «частить»: за тот же отрезок оси он успевает сделать вдвое больше колебаний. Именно поэтому говорят, что частота выросла, а период упал. Если же взять $y=\sin (x/2)$, максимум уедет в $x=\pi$, вдвое дальше: график растянулся, колебания стали реже.

Запомни короткое правило для тригонометрии. Число снаружи синуса задаёт высоту волны (амплитуду), число внутри задаёт её частоту (а значит, период). Эти два параметра не пересекаются и не мешают друг другу: можно растянуть волну вверх, не трогая её ширину, и наоборот.

Объединение преобразований

В одном выражении могут быть оба типа сразу:

$y=A\cdot f(kx+b)+c$

Здесь:

• $A$ — растяжение по $Oy$;
• $k$ — растяжение/сжатие по $Ox$;
• $b$ — сдвиг по $Ox$ (на $-b/k$, аккуратно: внутри аргумента нужно сначала вынести $k$);
• $c$ — сдвиг по $Oy$.

Порядок применения (для безопасной интерпретации):

1. Если есть $kx+b$, перепиши как $k(x-x_0)$, где $x_0=-b/k$.
2. Применяй: сжатие/растяжение по $Ox$ + сдвиг по $Ox$.
3. Растяжение по $Oy$ + сдвиг по $Oy$.

Порядок здесь не формальность, а защита от ошибки. Если сначала сдвинуть, а потом сжать, сдвиг тоже «сожмётся» и уедет не туда. Поэтому удобнее сразу выносить множитель за скобку и видеть честную величину сдвига $x_0=-b/k$. После этого все четыре операции выстраиваются в понятную цепочку: сжали по горизонтали, подвинули по горизонтали, растянули по вертикали, подняли по вертикали. На экзамене такой разбор по шагам экономит время и страхует от потери знака.

Пример. $y=2\sin (3x-\pi )+1$. Перепишем: $3x-\pi =3(x-\pi /3)$. Получаем: исходный $\sin x$ → сжать по $Ox$ в 3 раза → сдвинуть на $\pi /3$ вправо → растянуть по $Oy$ в 2 раза → сдвинуть на 1 вверх.

Свойства тригонометрических функций после преобразования

$y=A\sin (kx)+b$ или $y=A\cos (kx)+b$:

• Амплитуда = $|A|$.
• Период = $\frac{2\pi }{|k|}$.
• Горизонтальная ось колебаний = $y=b$.
• Область значений = $[b-|A|;b+|A|]$.

Пример. $y=4\cos (\pi x)-2$. Амплитуда $4$, период $2\pi /\pi =2$, ось колебаний $y=-2$, область значений $[-6;2]$.

Что меняется в свойствах

Применение в задаче 7 ЕГЭ

В задачах с тригонометрическими графиками часто нужно по графику определить амплитуду, период, сдвиги. Знание правил преобразований даёт быстрый ответ без построения по точкам.

Алгоритм чтения графика всегда один. Сначала находишь самую высокую и самую низкую точки волны: их полусумма даёт ось колебаний $b$, а половина разности даёт амплитуду $A$. Потом смотришь, через какое расстояние по горизонтали картинка повторяется, и это расстояние и есть период $T$. По периоду восстанавливаешь множитель внутри: $k=2\pi /T$. Три числа найдены, формула собрана.

Пример. «На графике изображена функция $y=A\sin (kx)+b$. Найди $A$, $k$, $b$.»

По графику: максимум $4$, минимум $-2$. Тогда $b=(4+(-2))/2=1$ (середина), $A=(4-(-2))/2=3$ (полуразмах).

По графику видно, что период $\pi$. Тогда $k=2\pi /T=2$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти область значений функции $y=5\sin x-12\cos x$.»

Используем приём приведения к одной тригонометрической функции с амплитудой $\sqrt{5^2+12^2}=13$. Получаем $y=13\sin (x+\phi )$, где $\phi$ — некоторый сдвиг. Область значений: $[-13;13]$.

Почему этот приём вообще работает. Сумму синуса и косинуса от одного и того же $x$ всегда можно собрать в одну волну. Растяжение здесь играет ключевую роль: новая волна имеет ту же частоту, что и слагаемые, но амплитуда у неё своя, и считается она по теореме Пифагора от коэффициентов. Сам сдвиг $\phi$ для области значений не важен: он двигает волну влево-вправо, но не меняет, между какими числами она колеблется. Поэтому, как только найдена амплитуда, область значений готова. Этот же фокус помогает быстро отвечать на вопрос про наибольшее и наименьшее значение: они равны плюс-минус амплитуде.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление при сжатии по $Ox$. $y=f(2x)$ — это сжатие в 2 раза (точки приближаются к оси $Oy$), не растяжение. Запомни: внутри аргумента множитель работает обратно.

2. Считать, что $y=f(kx)$ изменяет амплитуду. Не изменяет. Амплитуда меняется при умножении снаружи функции, а не аргумента. $y=\sin (2x)$ имеет амплитуду $1$, не $2$.

3. Подставлять параметры в неправильное место в ответе. Если в условии $y=A\sin (kx+\phi )$, то $A$ — амплитуда, $k$ — обратное к периоду (помноженное на $2\pi$), $\phi$ — сдвиг по фазе. Перепутать местами — потерять баллы.

4. Не упрощать $kx+b$. Чтобы корректно увидеть сдвиг, лучше переписать $kx+b=k(x-x_0)$, где $x_0=-b/k$. Иначе можно ошибиться: $\sin (2x-\pi )$ — это сдвиг не на $\pi$, а на $\pi /2$ (потому что $2(x-\pi /2)$).

5. Растяжение по $Oy$ путать со сдвигом по $Oy$. $y=3\cdot f(x)$ — это растяжение, $y=f(x)+3$ — сдвиг. Принципиально разные операции.

Разобранный пример

Условие. Найди амплитуду, период и область значений функции $y=-2\cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)+5$.

Решение.

Это $y=A\cos (kx)+b$ с $A=-2$, $k=\pi /4$, $b=5$.

Амплитуда $=|A|=2$.

Период $=\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi }{\pi /4}=8$.

Область значений. Функция колеблется относительно $b=5$ с амплитудой $2$, значит:

$E(f)=[5-2;5+2]=[3;7]$

Ответ. Амплитуда $2$, период $8$, $E(f)=[3;7]$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран полностью, во втором один шаг за тобой, в третьем — почти весь костяк. Сначала смотришь, потом пробуешь сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди амплитуду, период и область значений функции $y=3\sin (2x)-1$.

Решение. Перед нами стандартная форма $y=A\sin (kx)+b$, где $A=3$, $k=2$, $b=-1$.

Амплитуда — это размах колебаний от оси, она равна $|A|=3$.

Период находим по формуле $T=\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi }{2}=\pi$. Множитель $2$ внутри синуса сжал график по горизонтали вдвое, поэтому период стал $\pi$ вместо $2\pi$.

Ось колебаний — горизонтальная прямая $y=b=-1$. Функция качается вокруг неё вверх и вниз на величину амплитуды.

Область значений: $E(f)=[b-|A|;b+|A|]=[-1-3;-1+3]=[-4;2]$.

Ответ. Амплитуда $3$, период $\pi$, $E(f)=[-4;2]$.

Заметь, как аккуратно разделились роли коэффициентов. Тройка снаружи растянула волну вверх, и из-за этого размах стал три клетки. Двойка внутри сжала волну по горизонтали, и период укоротился до $\pi$. Минус один опустил всю картинку вниз, сдвинув ось колебаний. Каждое число отвечает строго за свою часть графика, и если читать их по порядку, ошибиться сложно.

Типичная ошибка. Решить, что множитель $2$ внутри увеличил амплитуду. Амплитуда зависит только от числа снаружи синуса, тут это $3$. Двойка внутри отвечает за период, не за размах.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). У функции $y=f(x)$ есть характерный пик в точке $x=4$. В какую точку переедет этот пик у функции $g(x)=f(2x)$?

Решение. Множитель $2$ стоит внутри аргумента, значит работает «наоборот»: график сжимается по оси $Ox$ в $2$ раза. Каждая точка $x_0$ исходной функции переходит в точку $x_0/2$ новой.

Попробуй сам подставить $x_0=4$ в это правило и найти, куда переедет пик.

Типичная ошибка. Умножить $4$ на $2$ и получить $8$. Внутри аргумента множитель работает в обратную сторону: при $k>1$ точки приближаются к нулю, а не удаляются. Проверяй себя на знакомой точке синуса, и направление сжатия перестанет путаться.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди область значений функции $y=5\sin x-12\cos x$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Узнай приём. Выражение вида $a\sin x+b\cos x$ всегда лежит в отрезке $\left[-\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{a^2+b^2}\right]$. Число $\sqrt{a^2+b^2}$ называют амплитудой такого колебания.

Шаг 2. Подставь свои $a$ и $b$ и посчитай амплитуду. Здесь $a=5$, $b=-12$.

Шаг 3. Запиши область значений как симметричный отрезок вокруг нуля.

Типичная ошибка. Сложить $5$ и $12$ и получить амплитуду $17$. Складываются не сами коэффициенты, а их квадраты под корнем: $\sqrt{a^2+b^2}$, а не $|a|+|b|$.

Типовые задачи ЕГЭ

Растяжения и сжатия чаще всего встречаются в работе с тригонометрическими графиками: по картинке читаешь параметры, по формуле находишь период и область значений. Разберём три частых формата.

Тип 1. По графику найти $A$, $k$, $b$. На рисунке функция $y=A\sin (kx)+b$ с максимумом $4$ и минимумом $-2$. Ось колебаний проходит посередине: $b=\frac{4+(-2)}{2}=1$. Амплитуда — половина размаха: $A=\frac{4-(-2)}{2}=3$. Если по графику видно, что период равен $\pi$, то $k=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.

Тип 2. Найти период и область значений. $y=2\cos \left(\frac{\pi x}{3}\right)-1$. Амплитуда $|A|=2$. Период $T=\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$. Ось колебаний $y=-1$. Область значений $E(f)=[-1-2;-1+2]=[-3;1]$.

Тип 3. Область значений $a\sin x+b\cos x$ (задание 11). $y=4\sin x-3\cos x$. Амплитуда $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Свободного слагаемого нет, поэтому $E(f)=[-5;5]$. Наибольшее значение функции — $5$, наименьшее — $-5$.

Что запомнить

• $y=kf(x)$: вертикальное растяжение/сжатие в $|k|$ раз. $k<0$ добавляет отражение по $Ox$.
• $y=f(kx)$: горизонтальное сжатие/растяжение в $|k|$ раз (обратно). $k<0$ добавляет отражение по $Oy$.
• Для $y=A\sin (kx)+b$: амплитуда $|A|$, период $2\pi /|k|$, ось колебаний $y=b$.
• Внутри аргумента — направление обратное.
• Множитель снаружи и сдвиг — разные операции.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — простейшее преобразование.
• Преобразования графиков: отражение — частный случай растяжения с $k<0$.
• Период функции — теория периода для тригонометрических.