Преобразования графиков: растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие — преобразования, которые меняют масштаб графика. Множитель работает по двум разным правилам в зависимости от того, стоит он снаружи функции или внутри аргумента.

Главная путаница тут в том, что множитель внутри аргумента работает «наоборот». Снаружи всё интуитивно: $3 \cdot f(x)$ растягивает график вверх в $3$ раза, и чем больше число, тем выше тянется кривая. А вот $f(3x)$, наоборот, сжимает график по горизонтали в $3$ раза, хотя число тоже большое. Причина простая: чтобы новая функция приняла то же значение, что и старая, её аргумент $3x$ должен дотянуться до прежнего $x_0$, а значит сам $x$ берётся втрое меньше. Точка как будто подъезжает ближе к оси, и весь график сжимается.

Если держать в голове эту разницу, дальше всё складывается: коэффициент перед функцией отвечает за вертикаль, коэффициент перед $x$ внутри скобок отвечает за горизонталь, причём с обратным эффектом. Ниже разберём оба случая, а потом соберём faded-примеры и типовые задачи ЕГЭ, где это превращается в реальные баллы за задания 7 и 11.

Растяжение по оси Oy

Правило. Функция $y = k \cdot f(x)$ — это график $y = f(x)$, растянутый по оси $Oy$ в $k$ раз (если $k > 1$) или сжатый в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

Логика: каждая точка $(x;\,y)$ исходного графика переходит в $(x;\,k \cdot y)$ нового — абсцисса та же, ордината умножается на $k$.

Пример. $y = 3 \cdot \sin x$ — синусоида с амплитудой $3$ (вместо $1$). Принимает значения от $-3$ до $3$.

Пример. $y = 0{,}5 \cdot x^2$ — парабола с вершиной в $(0;\,0)$, но «более широкая» (точка с $x = 1$ имеет $y = 0{,}5$ вместо $1$).

Сжатие/растяжение по оси Ox

Правило. Функция $y = f(kx)$ — это график $y = f(x)$, сжатый по оси $Ox$ в $k$ раз (если $k > 1$) или растянутый в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

Это правило тоже работает «наоборот»: множитель внутри аргумента работает в обратную сторону.

Пример. $y = \sin(2x)$ — синусоида, сжатая по $Ox$ в $2$ раза. Период становится $\pi$ вместо $2\pi$.

Пример. $y = \sin(x/3)$ — синусоида, растянутая по $Ox$ в $3$ раза. Период $6\pi$.

Логика «обратного» направления

Запиши новую функцию: $g(x) = f(kx)$. При каком $x$ значение $g(x)$ совпадает со значением $f(x_0)$? При $kx = x_0$, то есть $x = x_0/k$.

Значит, точка $x_0$ исходной функции переходит в точку $x_0/k$ новой. Если $k > 1$, точка приближается к нулю — график сжимается. Если $k < 1$, удаляется — растягивается.

Эту логику удобно проверять на знакомых точках синуса. У обычного $y = \sin x$ первый максимум приходится на $x = \pi/2$. У $y = \sin(2x)$ тот же максимум переезжает в $x = \pi/4$, ровно вдвое ближе к нулю. График стал «частить»: за тот же отрезок оси он успевает сделать вдвое больше колебаний. Именно поэтому говорят, что частота выросла, а период упал. Если же взять $y = \sin(x/2)$, максимум уедет в $x = \pi$, вдвое дальше: график растянулся, колебания стали реже.

Запомни короткое правило для тригонометрии. Число снаружи синуса задаёт высоту волны (амплитуду), число внутри задаёт её частоту (а значит, период). Эти два параметра не пересекаются и не мешают друг другу: можно растянуть волну вверх, не трогая её ширину, и наоборот.

Объединение преобразований

В одном выражении могут быть оба типа сразу:

$y = A \cdot f(kx + b) + c$

Здесь:

• $A$ — растяжение по $Oy$;
• $k$ — растяжение/сжатие по $Ox$;
• $b$ — сдвиг по $Ox$ (на $-b/k$, аккуратно: внутри аргумента нужно сначала вынести $k$);
• $c$ — сдвиг по $Oy$.

Порядок применения (для безопасной интерпретации):

1. Если есть $kx + b$, перепиши как $k(x - x_0)$, где $x_0 = -b/k$.
2. Применяй: сжатие/растяжение по $Ox$ + сдвиг по $Ox$.
3. Растяжение по $Oy$ + сдвиг по $Oy$.

Порядок здесь не формальность, а защита от ошибки. Если сначала сдвинуть, а потом сжать, сдвиг тоже «сожмётся» и уедет не туда. Поэтому удобнее сразу выносить множитель за скобку и видеть честную величину сдвига $x_0 = -b/k$. После этого все четыре операции выстраиваются в понятную цепочку: сжали по горизонтали, подвинули по горизонтали, растянули по вертикали, подняли по вертикали. На экзамене такой разбор по шагам экономит время и страхует от потери знака.

Пример. $y = 2 \sin(3x - \pi) + 1$. Перепишем: $3x - \pi = 3(x - \pi/3)$. Получаем: исходный $\sin x$ → сжать по $Ox$ в 3 раза → сдвинуть на $\pi/3$ вправо → растянуть по $Oy$ в 2 раза → сдвинуть на 1 вверх.

Свойства тригонометрических функций после преобразования

$y = A \sin(kx) + b$ или $y = A \cos(kx) + b$:

• Амплитуда = $|A|$.
• Период = $\dfrac{2\pi}{|k|}$.
• Горизонтальная ось колебаний = $y = b$.
• Область значений = $[b - |A|;\,b + |A|]$.

Пример. $y = 4 \cos(\pi x) - 2$. Амплитуда $4$, период $2\pi/\pi = 2$, ось колебаний $y = -2$, область значений $[-6;\,2]$.

Что меняется в свойствах

Применение в задаче 7 ЕГЭ

В задачах с тригонометрическими графиками часто нужно по графику определить амплитуду, период, сдвиги. Знание правил преобразований даёт быстрый ответ без построения по точкам.

Алгоритм чтения графика всегда один. Сначала находишь самую высокую и самую низкую точки волны: их полусумма даёт ось колебаний $b$, а половина разности даёт амплитуду $A$. Потом смотришь, через какое расстояние по горизонтали картинка повторяется, и это расстояние и есть период $T$. По периоду восстанавливаешь множитель внутри: $k = 2\pi / T$. Три числа найдены, формула собрана.

Пример. «На графике изображена функция $y = A \sin(kx) + b$. Найди $A$, $k$, $b$.»

По графику: максимум $4$, минимум $-2$. Тогда $b = (4 + (-2))/2 = 1$ (середина), $A = (4 - (-2))/2 = 3$ (полуразмах).

По графику видно, что период $\pi$. Тогда $k = 2\pi/T = 2$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти область значений функции $y = 5 \sin x - 12 \cos x$.»

Используем приём приведения к одной тригонометрической функции с амплитудой $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$. Получаем $y = 13 \sin(x + \varphi)$, где $\varphi$ — некоторый сдвиг. Область значений: $[-13;\,13]$.

Почему этот приём вообще работает. Сумму синуса и косинуса от одного и того же $x$ всегда можно собрать в одну волну. Растяжение здесь играет ключевую роль: новая волна имеет ту же частоту, что и слагаемые, но амплитуда у неё своя, и считается она по теореме Пифагора от коэффициентов. Сам сдвиг $\varphi$ для области значений не важен: он двигает волну влево-вправо, но не меняет, между какими числами она колеблется. Поэтому, как только найдена амплитуда, область значений готова. Этот же фокус помогает быстро отвечать на вопрос про наибольшее и наименьшее значение: они равны плюс-минус амплитуде.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление при сжатии по $Ox$. $y = f(2x)$ — это сжатие в 2 раза (точки приближаются к оси $Oy$), не растяжение. Запомни: внутри аргумента множитель работает обратно.

2. Считать, что $y = f(kx)$ изменяет амплитуду. Не изменяет. Амплитуда меняется при умножении снаружи функции, а не аргумента. $y = \sin(2x)$ имеет амплитуду $1$, не $2$.

3. Подставлять параметры в неправильное место в ответе. Если в условии $y = A\sin(kx + \varphi)$, то $A$ — амплитуда, $k$ — обратное к периоду (помноженное на $2\pi$), $\varphi$ — сдвиг по фазе. Перепутать местами — потерять баллы.

4. Не упрощать $kx + b$. Чтобы корректно увидеть сдвиг, лучше переписать $kx + b = k(x - x_0)$, где $x_0 = -b/k$. Иначе можно ошибиться: $\sin(2x - \pi)$ — это сдвиг не на $\pi$, а на $\pi/2$ (потому что $2(x - \pi/2)$).

5. Растяжение по $Oy$ путать со сдвигом по $Oy$. $y = 3 \cdot f(x)$ — это растяжение, $y = f(x) + 3$ — сдвиг. Принципиально разные операции.

Разобранный пример

Условие. Найди амплитуду, период и область значений функции $y = -2 \cos\left(\dfrac{\pi x}{4}\right) + 5$.

Решение.

Это $y = A \cos(kx) + b$ с $A = -2$, $k = \pi/4$, $b = 5$.

Амплитуда $= |A| = 2$.

Период $= \dfrac{2\pi}{|k|} = \dfrac{2\pi}{\pi/4} = 8$.

Область значений. Функция колеблется относительно $b = 5$ с амплитудой $2$, значит:

$E(f) = [5 - 2;\,5 + 2] = [3;\,7]$

Ответ. Амплитуда $2$, период $8$, $E(f) = [3;\,7]$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран полностью, во втором один шаг за тобой, в третьем — почти весь костяк. Сначала смотришь, потом пробуешь сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди амплитуду, период и область значений функции $y = 3\sin(2x) - 1$.

Решение. Перед нами стандартная форма $y = A\sin(kx) + b$, где $A = 3$, $k = 2$, $b = -1$.

Амплитуда — это размах колебаний от оси, она равна $|A| = 3$.

Период находим по формуле $T = \dfrac{2\pi}{|k|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$. Множитель $2$ внутри синуса сжал график по горизонтали вдвое, поэтому период стал $\pi$ вместо $2\pi$.

Ось колебаний — горизонтальная прямая $y = b = -1$. Функция качается вокруг неё вверх и вниз на величину амплитуды.

Область значений: $E(f) = [b - |A|;\,b + |A|] = [-1 - 3;\,-1 + 3] = [-4;\,2]$.

Ответ. Амплитуда $3$, период $\pi$, $E(f) = [-4;\,2]$.

Заметь, как аккуратно разделились роли коэффициентов. Тройка снаружи растянула волну вверх, и из-за этого размах стал три клетки. Двойка внутри сжала волну по горизонтали, и период укоротился до $\pi$. Минус один опустил всю картинку вниз, сдвинув ось колебаний. Каждое число отвечает строго за свою часть графика, и если читать их по порядку, ошибиться сложно.

Типичная ошибка. Решить, что множитель $2$ внутри увеличил амплитуду. Амплитуда зависит только от числа снаружи синуса, тут это $3$. Двойка внутри отвечает за период, не за размах.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). У функции $y = f(x)$ есть характерный пик в точке $x = 4$. В какую точку переедет этот пик у функции $g(x) = f(2x)$?

Решение. Множитель $2$ стоит внутри аргумента, значит работает «наоборот»: график сжимается по оси $Ox$ в $2$ раза. Каждая точка $x_0$ исходной функции переходит в точку $x_0 / 2$ новой.

Попробуй сам подставить $x_0 = 4$ в это правило и найти, куда переедет пик.

Типичная ошибка. Умножить $4$ на $2$ и получить $8$. Внутри аргумента множитель работает в обратную сторону: при $k > 1$ точки приближаются к нулю, а не удаляются. Проверяй себя на знакомой точке синуса, и направление сжатия перестанет путаться.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди область значений функции $y = 5\sin x - 12\cos x$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Узнай приём. Выражение вида $a\sin x + b\cos x$ всегда лежит в отрезке $\left[-\sqrt{a^2 + b^2};\,\sqrt{a^2 + b^2}\right]$. Число $\sqrt{a^2 + b^2}$ называют амплитудой такого колебания.

Шаг 2. Подставь свои $a$ и $b$ и посчитай амплитуду. Здесь $a = 5$, $b = -12$.

Шаг 3. Запиши область значений как симметричный отрезок вокруг нуля.

Типичная ошибка. Сложить $5$ и $12$ и получить амплитуду $17$. Складываются не сами коэффициенты, а их квадраты под корнем: $\sqrt{a^2 + b^2}$, а не $|a| + |b|$.

Типовые задачи ЕГЭ

Растяжения и сжатия чаще всего встречаются в работе с тригонометрическими графиками: по картинке читаешь параметры, по формуле находишь период и область значений. Разберём три частых формата.

Тип 1. По графику найти $A$, $k$, $b$. На рисунке функция $y = A\sin(kx) + b$ с максимумом $4$ и минимумом $-2$. Ось колебаний проходит посередине: $b = \dfrac{4 + (-2)}{2} = 1$. Амплитуда — половина размаха: $A = \dfrac{4 - (-2)}{2} = 3$. Если по графику видно, что период равен $\pi$, то $k = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$.

Тип 2. Найти период и область значений. $y = 2\cos\left(\dfrac{\pi x}{3}\right) - 1$. Амплитуда $|A| = 2$. Период $T = \dfrac{2\pi}{|k|} = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6$. Ось колебаний $y = -1$. Область значений $E(f) = [-1 - 2;\,-1 + 2] = [-3;\,1]$.

Тип 3. Область значений $a\sin x + b\cos x$ (задание 11). $y = 4\sin x - 3\cos x$. Амплитуда $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Свободного слагаемого нет, поэтому $E(f) = [-5;\,5]$. Наибольшее значение функции — $5$, наименьшее — $-5$.

Что запомнить

• $y = k f(x)$: вертикальное растяжение/сжатие в $|k|$ раз. $k < 0$ добавляет отражение по $Ox$.
• $y = f(kx)$: горизонтальное сжатие/растяжение в $|k|$ раз (обратно). $k < 0$ добавляет отражение по $Oy$.
• Для $y = A\sin(kx) + b$: амплитуда $|A|$, период $2\pi/|k|$, ось колебаний $y = b$.
• Внутри аргумента — направление обратное.
• Множитель снаружи и сдвиг — разные операции.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — простейшее преобразование.
• Преобразования графиков: отражение — частный случай растяжения с $k < 0$.
• Период функции — теория периода для тригонометрических.