Преобразования графиков: растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие — преобразования, которые меняют масштаб графика. Множитель работает по двум разным правилам в зависимости от того, стоит он снаружи функции или внутри аргумента.

Растяжение по оси Oy

Правило. Функция $y = k \cdot f(x)$ — это график $y = f(x)$, растянутый по оси $Oy$ в $k$ раз (если $k > 1$) или сжатый в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

Логика: каждая точка $(x;\,y)$ исходного графика переходит в $(x;\,k \cdot y)$ нового — абсцисса та же, ордината умножается на $k$.

Пример. $y = 3 \cdot \sin x$ — синусоида с амплитудой $3$ (вместо $1$). Принимает значения от $-3$ до $3$.

Пример. $y = 0{,}5 \cdot x^2$ — парабола с вершиной в $(0;\,0)$, но «более широкая» (точка с $x = 1$ имеет $y = 0{,}5$ вместо $1$).

Сжатие/растяжение по оси Ox

Правило. Функция $y = f(kx)$ — это график $y = f(x)$, сжатый по оси $Ox$ в $k$ раз (если $k > 1$) или растянутый в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

Это правило тоже работает «наоборот»: множитель внутри аргумента работает в обратную сторону.

Пример. $y = \sin(2x)$ — синусоида, сжатая по $Ox$ в $2$ раза. Период становится $\pi$ вместо $2\pi$.

Пример. $y = \sin(x/3)$ — синусоида, растянутая по $Ox$ в $3$ раза. Период $6\pi$.

Логика «обратного» направления

Запиши новую функцию: $g(x) = f(kx)$. При каком $x$ значение $g(x)$ совпадает со значением $f(x_0)$? При $kx = x_0$, то есть $x = x_0/k$.

Значит, точка $x_0$ исходной функции переходит в точку $x_0/k$ новой. Если $k > 1$, точка приближается к нулю — график сжимается. Если $k < 1$, удаляется — растягивается.

Объединение преобразований

В одном выражении могут быть оба типа сразу:

$y = A \cdot f(kx + b) + c$

Здесь:

• $A$ — растяжение по $Oy$;
• $k$ — растяжение/сжатие по $Ox$;
• $b$ — сдвиг по $Ox$ (на $-b/k$, аккуратно: внутри аргумента нужно сначала вынести $k$);
• $c$ — сдвиг по $Oy$.

Порядок применения (для безопасной интерпретации):

1. Если есть $kx + b$, перепиши как $k(x - x_0)$, где $x_0 = -b/k$.
2. Применяй: сжатие/растяжение по $Ox$ + сдвиг по $Ox$.
3. Растяжение по $Oy$ + сдвиг по $Oy$.

Пример. $y = 2 \sin(3x - \pi) + 1$. Перепишем: $3x - \pi = 3(x - \pi/3)$. Получаем: исходный $\sin x$ → сжать по $Ox$ в 3 раза → сдвинуть на $\pi/3$ вправо → растянуть по $Oy$ в 2 раза → сдвинуть на 1 вверх.

Свойства тригонометрических функций после преобразования

$y = A \sin(kx) + b$ или $y = A \cos(kx) + b$:

• Амплитуда = $|A|$.
• Период = $\dfrac{2\pi}{|k|}$.
• Горизонтальная ось колебаний = $y = b$.
• Область значений = $[b - |A|;\,b + |A|]$.

Пример. $y = 4 \cos(\pi x) - 2$. Амплитуда $4$, период $2\pi/\pi = 2$, ось колебаний $y = -2$, область значений $[-6;\,2]$.

Что меняется в свойствах

Применение в задаче 7 ЕГЭ

В задачах с тригонометрическими графиками часто нужно по графику определить амплитуду, период, сдвиги. Знание правил преобразований даёт быстрый ответ.

Пример. «На графике изображена функция $y = A \sin(kx) + b$. Найди $A$, $k$, $b$.»

По графику: максимум $4$, минимум $-2$. Тогда $b = (4 + (-2))/2 = 1$ (середина), $A = (4 - (-2))/2 = 3$ (полуразмах).

По графику видно, что период $\pi$. Тогда $k = 2\pi/T = 2$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти область значений функции $y = 5 \sin x - 12 \cos x$.»

Используем приём приведения к одной тригонометрической функции с амплитудой $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$. Получаем $y = 13 \sin(x + \varphi)$, где $\varphi$ — некоторый сдвиг. Область значений: $[-13;\,13]$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление при сжатии по $Ox$. $y = f(2x)$ — это сжатие в 2 раза (точки приближаются к оси $Oy$), не растяжение. Запомни: внутри аргумента множитель работает обратно.

2. Считать, что $y = f(kx)$ изменяет амплитуду. Не изменяет. Амплитуда меняется при умножении снаружи функции, а не аргумента. $y = \sin(2x)$ имеет амплитуду $1$, не $2$.

3. Подставлять параметры в неправильное место в ответе. Если в условии $y = A\sin(kx + \varphi)$, то $A$ — амплитуда, $k$ — обратное к периоду (помноженное на $2\pi$), $\varphi$ — сдвиг по фазе. Перепутать местами — потерять баллы.

4. Не упрощать $kx + b$. Чтобы корректно увидеть сдвиг, лучше переписать $kx + b = k(x - x_0)$, где $x_0 = -b/k$. Иначе можно ошибиться: $\sin(2x - \pi)$ — это сдвиг не на $\pi$, а на $\pi/2$ (потому что $2(x - \pi/2)$).

5. Растяжение по $Oy$ путать со сдвигом по $Oy$. $y = 3 \cdot f(x)$ — это растяжение, $y = f(x) + 3$ — сдвиг. Принципиально разные операции.

Разобранный пример

Условие. Найди амплитуду, период и область значений функции $y = -2 \cos\left(\dfrac{\pi x}{4}\right) + 5$.

Решение.

Это $y = A \cos(kx) + b$ с $A = -2$, $k = \pi/4$, $b = 5$.

Амплитуда $= |A| = 2$.

Период $= \dfrac{2\pi}{|k|} = \dfrac{2\pi}{\pi/4} = 8$.

Область значений. Функция колеблется относительно $b = 5$ с амплитудой $2$, значит:

$E(f) = [5 - 2;\,5 + 2] = [3;\,7]$

Ответ. Амплитуда $2$, период $8$, $E(f) = [3;\,7]$.

Что запомнить

• $y = k f(x)$: вертикальное растяжение/сжатие в $|k|$ раз. $k < 0$ добавляет отражение по $Ox$.
• $y = f(kx)$: горизонтальное сжатие/растяжение в $|k|$ раз (обратно). $k < 0$ добавляет отражение по $Oy$.
• Для $y = A\sin(kx) + b$: амплитуда $|A|$, период $2\pi/|k|$, ось колебаний $y = b$.
• Внутри аргумента — направление обратное.
• Множитель снаружи и сдвиг — разные операции.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — простейшее преобразование.
• Преобразования графиков: отражение — частный случай растяжения с $k < 0$.
• Период функции — теория периода для тригонометрических.