Преобразования графиков: отражения и модуль

Отражения — преобразования, при которых график «зеркалится» относительно одной из осей. Минус и модуль дают четыре разных эффекта в зависимости от того, где они стоят. Понимание этих четырёх случаев освобождает от необходимости каждый раз пересчитывать функцию по точкам.

1. Отражение относительно оси Ox

Правило. Функция $y = -f(x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x;\,y)$ переходит в $(x;\,-y)$.

Что меняется: знак $y$ инвертируется. Возрастающая функция становится убывающей. Максимум становится минимумом.

Пример. $y = -\sqrt{x}$ — корень, отражённый относительно $Ox$. Кривая идёт вниз вправо, начинается в $(0;\,0)$.

2. Отражение относительно оси Oy

Правило. Функция $y = f(-x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Oy$. Каждая точка $(x;\,y)$ переходит в $(-x;\,y)$.

Что меняется: знак $x$ инвертируется. Возрастающая на $\mathbb{R}$ функция остаётся возрастающей по форме, но «зеркалится». Если функция чётная — график не меняется ($f(-x) = f(x)$ по определению чётности).

Пример. $y = \sqrt{-x}$ — корень от $-x$. ОДЗ: $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$. Это график $\sqrt{x}$, отражённый относительно $Oy$.

Пример. Если $f(x) = x^2$ — чётная, то $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. График не меняется.

3. Модуль снаружи функции

Правило. Функция $y = |f(x)|$ — все точки графика, которые ниже оси $Ox$ (имеют $y < 0$), отражаются симметрично вверх. Точки с $y \geq 0$ остаются на месте.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y = f(x)$ как обычно.
2. Возьми все участки, где $f(x) < 0$, и отрази их относительно оси $Ox$ вверх.
3. Участки, где $f(x) \geq 0$, оставь как есть.

Пример. $y = |x - 3|$. Исходный $y = x - 3$ — прямая. При $x \geq 3$: $y = x - 3 \geq 0$, остаётся. При $x < 3$: $y = x - 3 < 0$, отражается → $y = -(x - 3) = 3 - x$. Получаем уголок V с вершиной в $(3;\,0)$.

Пример. $y = |x^2 - 4|$. Парабола с минимумом $-4$ в нуле, корнями $\pm 2$. При $|x| \geq 2$: $x^2 - 4 \geq 0$, парабола сохраняется. При $|x| < 2$: $x^2 - 4 < 0$, отражение вверх — образуется «холмик» с максимумом $4$ в нуле.

4. Модуль внутри аргумента

Правило. Функция $y = f(|x|)$ — берётся правая половина исходного графика (для $x \geq 0$) и симметрично отражается в левую (для $x \leq 0$). Левая исходная половина игнорируется.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y = f(x)$ для $x \geq 0$.
2. Отрази этот фрагмент симметрично относительно оси $Oy$ для $x < 0$.
3. Левую исходную часть (что было при $x < 0$) — выкидываешь.

Получившаяся функция всегда чётная: $f(|-x|) = f(|x|)$.

Пример. $y = |x|^3 - 2|x|$. Правая часть исходного $y = x^3 - 2x$ (которая в I и IV квадрантах) копируется симметрично в левую, образуя график, симметричный относительно $Oy$.

Сводная таблица

Композиция преобразований

Часто встречаются составные:

$y = -f(x) + a$ — сначала отражение по $Ox$, потом сдвиг на $a$ вверх. Например, $y = -x^2 + 4$.

$y = |f(x)| + a$ — сначала модуль (отражение низа), потом сдвиг.

Внимание! $|f(x) + a|$ и $|f(x)| + a$ — разные функции. В первом случае модуль берётся от всей суммы; во втором — только от $f(x)$.

Применение в задачах с параметром (задание 18)

В задании 18 ЕГЭ профиль часто встречается уравнение вида $|f(x)| = a$ или $f(|x|) = a$, где $a$ — параметр. Графический подход: построить график левой части и горизонтальную прямую $y = a$, посмотреть, при каких $a$ количество пересечений соответствует требуемому в задаче.

Применение в задаче 14

Уравнения с модулем:

$|x - 1| + |x - 3| = 4$ — графически: сумма двух модулей. Каждый модуль — уголок. Сумма — кусочно-линейная функция, минимум которой равен $|1 - 3| = 2$ на отрезке $[1;\,3]$. Уравнение «равно 4» имеет два решения симметрично относительно центра $[1;\,3]$ — то есть $x = 0$ и $x = 4$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать $|f(x)|$ и $f(|x|)$. Это разные операции. У $f(x) = x - 1$:

• $|f(x)| = |x - 1|$ — уголок с вершиной в $(1;\,0)$.
• $f(|x|) = |x| - 1$ — уголок с вершиной в $(0;\,-1)$.

2. Не учитывать ОДЗ при отражении по $Oy$. Если функция определена только при $x \geq 0$ (как $\sqrt{x}$), то $y = f(-x)$ — определена только при $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$.

3. Считать, что $y = f(|x|)$ берёт всю функцию. Только правую половину (где $x \geq 0$) и копирует. Левая исходная часть игнорируется. Это часто упускается.

4. Перепутать направление отражения по $Oy$. Точка $(2;\,3)$ переходит в $(-2;\,3)$, не в $(-2;\,-3)$.

5. Считать, что отражение по $Ox$ равносильно умножению на $-1$. Только если функция $y = -f(x)$. Если же $y = -f(-x)$ — это уже два отражения подряд (= центральная симметрия = поворот на $180°$).

Разобранный пример

Условие. Постройте график функции $y = |x^2 - 1| - 1$.

Решение.

Шаг 1. Исходная: $y = x^2 - 1$. Парабола с вершиной $(0;\,-1)$, корнями $\pm 1$.

Шаг 2. $|x^2 - 1|$. Часть параболы ниже $Ox$ (между $-1$ и $1$, там $x^2 - 1 < 0$) отражается вверх. Получаем «холмик» между $-1$ и $1$ с максимумом $1$ в нуле, и обычная парабола вне $[-1;\,1]$.

Шаг 3. $|x^2 - 1| - 1$. Сдвиг на $1$ вниз. Холмик опускается до уровня $0$ в нуле и $-1$ на концах $\pm 1$. Внешние ветви — парабола, начинающаяся от $-1$ в точках $\pm 1$.

Свойства результата. Чётная функция (симметрия относительно $Oy$). Минимум $-1$ достигается в точках $\pm 1$. В нуле локальный максимум $0$.

Что запомнить

• Минус снаружи ($-f$) — отражение по $Ox$.
• Минус внутри ($f(-x)$) — отражение по $Oy$.
• Модуль снаружи ($|f|$) — низ переворачивается вверх.
• Модуль внутри ($f(|x|)$) — правая копируется в левую.
• $y = f(|x|)$ всегда чётная.
• $|f(x) + a| \neq |f(x)| + a$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — первый тип преобразований.
• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — второй тип.
• Функция модуля y=|x| — основа для модуля.
• Чётная и нечётная функция — связь с симметрией.