Преобразования графиков: отражения и модуль

Отражения — преобразования, при которых график «зеркалится» относительно одной из осей. Минус и модуль дают четыре разных эффекта в зависимости от того, где они стоят. Понимание этих четырёх случаев освобождает от необходимости каждый раз пересчитывать функцию по точкам.

Вся логика держится на одном вопросе: знак стоит снаружи функции или внутри аргумента? Снаружи — значит, мы трогаем результат, то есть $y$. Внутри — трогаем вход, то есть $x$. Поэтому минус снаружи отражает по горизонтальной оси $Ox$ (меняет $y$), а минус внутри отражает по вертикальной оси $Oy$ (меняет $x$). Запомни картинку: «снаружи» работает с вертикалью, «внутри» работает с горизонталью. Это правило закрывает половину ошибок ещё до того, как ты возьмёшь карандаш.

С модулем та же история, только вместо отражения всего графика мы отражаем его часть. Модуль снаружи $|f(x)|$ берёт то, что под осью, и подбрасывает вверх. Модуль внутри $f(|x|)$ копирует правую половину налево. Дальше разберём каждый случай по отдельности, а потом соберём всё в faded-разбор и типовые задачи ЕГЭ, где эти приёмы реально приносят баллы.

1. Отражение относительно оси Ox

Правило. Функция $y = -f(x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x;\,y)$ переходит в $(x;\,-y)$.

Что меняется: знак $y$ инвертируется. Возрастающая функция становится убывающей. Максимум становится минимумом.

Пример. $y = -\sqrt{x}$ — корень, отражённый относительно $Ox$. Кривая идёт вниз вправо, начинается в $(0;\,0)$.

2. Отражение относительно оси Oy

Правило. Функция $y = f(-x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Oy$. Каждая точка $(x;\,y)$ переходит в $(-x;\,y)$.

Что меняется: знак $x$ инвертируется. Возрастающая на $\mathbb{R}$ функция остаётся возрастающей по форме, но «зеркалится». Если функция чётная — график не меняется ($f(-x) = f(x)$ по определению чётности).

Пример. $y = \sqrt{-x}$ — корень от $-x$. ОДЗ: $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$. Это график $\sqrt{x}$, отражённый относительно $Oy$.

Пример. Если $f(x) = x^2$ — чётная, то $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. График не меняется.

3. Модуль снаружи функции

Правило. Функция $y = |f(x)|$ — все точки графика, которые ниже оси $Ox$ (имеют $y < 0$), отражаются симметрично вверх. Точки с $y \geq 0$ остаются на месте.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y = f(x)$ как обычно.
2. Возьми все участки, где $f(x) < 0$, и отрази их относительно оси $Ox$ вверх.
3. Участки, где $f(x) \geq 0$, оставь как есть.

Пример. $y = |x - 3|$. Исходный $y = x - 3$ — прямая. При $x \geq 3$: $y = x - 3 \geq 0$, остаётся. При $x < 3$: $y = x - 3 < 0$, отражается → $y = -(x - 3) = 3 - x$. Получаем уголок V с вершиной в $(3;\,0)$.

Пример. $y = |x^2 - 4|$. Парабола с минимумом $-4$ в нуле, корнями $\pm 2$. При $|x| \geq 2$: $x^2 - 4 \geq 0$, парабола сохраняется. При $|x| < 2$: $x^2 - 4 < 0$, отражение вверх — образуется «холмик» с максимумом $4$ в нуле.

4. Модуль внутри аргумента

Правило. Функция $y = f(|x|)$ — берётся правая половина исходного графика (для $x \geq 0$) и симметрично отражается в левую (для $x \leq 0$). Левая исходная половина игнорируется.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y = f(x)$ для $x \geq 0$.
2. Отрази этот фрагмент симметрично относительно оси $Oy$ для $x < 0$.
3. Левую исходную часть (что было при $x < 0$) — выкидываешь.

Получившаяся функция всегда чётная: $f(|-x|) = f(|x|)$.

Пример. $y = |x|^3 - 2|x|$. Правая часть исходного $y = x^3 - 2x$ (которая в I и IV квадрантах) копируется симметрично в левую, образуя график, симметричный относительно $Oy$.

Сводная таблица

Композиция преобразований

Часто встречаются составные:

$y = -f(x) + a$ — сначала отражение по $Ox$, потом сдвиг на $a$ вверх. Например, $y = -x^2 + 4$.

$y = |f(x)| + a$ — сначала модуль (отражение низа), потом сдвиг.

Внимание! $|f(x) + a|$ и $|f(x)| + a$ — разные функции. В первом случае модуль берётся от всей суммы; во втором — только от $f(x)$.

Чтобы не путаться в составных преобразованиях, держи строгий порядок: сначала отрабатываешь то, что ближе к функции (минус или модуль), потом то, что снаружи (сдвиг). Если в выражении есть и отражение по $Ox$, и сдвиг вверх, как в $y = -f(x) + a$, то сначала зеркалишь график вокруг оси, и только затем поднимаешь всю картинку на $a$. Поменяешь порядок — получишь другой график. Это особенно заметно в задачах с параметром, где от точного положения графика зависит число корней.

Применение в задачах с параметром (задание 18)

В задании 18 ЕГЭ профиль часто встречается уравнение вида $|f(x)| = a$ или $f(|x|) = a$, где $a$ — параметр. Графический подход: построить график левой части и горизонтальную прямую $y = a$, посмотреть, при каких $a$ количество пересечений соответствует требуемому в задаче.

Применение в задаче 14

Уравнения с модулем:

$|x - 1| + |x - 3| = 4$ — графически: сумма двух модулей. Каждый модуль — уголок. Сумма — кусочно-линейная функция, минимум которой равен $|1 - 3| = 2$ на отрезке $[1;\,3]$. Уравнение «равно 4» имеет два решения симметрично относительно центра $[1;\,3]$ — то есть $x = 0$ и $x = 4$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать $|f(x)|$ и $f(|x|)$. Это разные операции. У $f(x) = x - 1$:

• $|f(x)| = |x - 1|$ — уголок с вершиной в $(1;\,0)$.
• $f(|x|) = |x| - 1$ — уголок с вершиной в $(0;\,-1)$.

2. Не учитывать ОДЗ при отражении по $Oy$. Если функция определена только при $x \geq 0$ (как $\sqrt{x}$), то $y = f(-x)$ — определена только при $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$.

3. Считать, что $y = f(|x|)$ берёт всю функцию. Только правую половину (где $x \geq 0$) и копирует. Левая исходная часть игнорируется. Это часто упускается.

4. Перепутать направление отражения по $Oy$. Точка $(2;\,3)$ переходит в $(-2;\,3)$, не в $(-2;\,-3)$.

5. Считать, что отражение по $Ox$ равносильно умножению на $-1$. Только если функция $y = -f(x)$. Если же $y = -f(-x)$ — это уже два отражения подряд (= центральная симметрия = поворот на $180°$).

Разобранный пример

Условие. Постройте график функции $y = |x^2 - 1| - 1$.

Решение.

Шаг 1. Исходная: $y = x^2 - 1$. Парабола с вершиной $(0;\,-1)$, корнями $\pm 1$.

Шаг 2. $|x^2 - 1|$. Часть параболы ниже $Ox$ (между $-1$ и $1$, там $x^2 - 1 < 0$) отражается вверх. Получаем «холмик» между $-1$ и $1$ с максимумом $1$ в нуле, и обычная парабола вне $[-1;\,1]$.

Шаг 3. $|x^2 - 1| - 1$. Сдвиг на $1$ вниз. Холмик опускается до уровня $0$ в нуле и $-1$ на концах $\pm 1$. Внешние ветви — парабола, начинающаяся от $-1$ в точках $\pm 1$.

Свойства результата. Чётная функция (симметрия относительно $Oy$). Минимум $-1$ достигается в точках $\pm 1$. В нуле локальный максимум $0$.

Разбор примеров

Дальше три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором один шаг ты делаешь сам, в третьем за тобой почти весь костяк. Так и тренируется навык: сначала смотришь на готовое, потом достраиваешь сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Построй график $y = |x^2 - 4x + 3|$.

Решение. Сначала строим параболу под модулем: $y = x^2 - 4x + 3$. Ветви вверх ($a = 1 > 0$).

Вершина: $x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$. Значит, вершина в $(2;\,-1)$, парабола заходит под ось.

Корни: $x^2 - 4x + 3 = 0$, $D = 16 - 12 = 4$, $x = \dfrac{4 \pm 2}{2}$, то есть $x = 1$ и $x = 3$.

Теперь модуль. Между корнями (при $1 < x < 3$) парабола ниже оси $Ox$, там $y < 0$, и этот кусок отражаем вверх. Вне отрезка $[1;\,3]$ парабола уже неотрицательна, её оставляем как есть.

После отражения на месте провала появляется «холмик» с максимумом в $x = 2$, и его высота равна $|-1| = 1$.

Ответ. График целиком неотрицателен, касается оси $Ox$ в точках $1$ и $3$, в точке $x = 2$ поднимается до высоты $1$.

Типичная ошибка. Отразить всю параболу, а не только провал между корнями. Модуль трогает лишь те участки, где функция была отрицательной, остальное не меняется.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Построй график $y = \sqrt{-x} + 2$.

Решение. Базовый кирпичик — $y = \sqrt{x}$: определён при $x \geq 0$, выходит из $(0;\,0)$ и плавно растёт вправо.

Минус под корнем — это $y = \sqrt{-x}$, отражение относительно оси $Oy$. График уходит из $(0;\,0)$ уже влево-вверх.

Прибавили $2$ снаружи — весь график поднимается на $2$ вверх, начало переезжает в $(0;\,2)$.

Попробуй сам записать область определения функции $y = \sqrt{-x} + 2$: при каких $x$ подкоренное выражение неотрицательно?

Типичная ошибка. Записать ОДЗ как $x \geq 0$ по привычке от обычного корня. Минус внутри переворачивает условие: теперь допустимы как раз неположительные $x$.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Сколько корней у уравнения $|x^2 - 4| = a$ в зависимости от параметра $a$?

Решение (skeleton).

Шаг 1. Построй график левой части. Парабола $x^2 - 4$ имеет вершину $(0;\,-4)$ и корни $\pm 2$. Провал между $-2$ и $2$ отражаем вверх, получается «холмик» с максимумом $4$ в точке $x = 0$, который касается оси в $\pm 2$, а дальше идут две ветви параболы вверх.

Шаг 2. Двигай горизонтальную прямую $y = a$ снизу вверх и считай, сколько раз она пересекает этот график на каждом «этаже».

Шаг 3. Собери ответ по промежуткам $a$. Подумай сам: что происходит ровно на высоте холмика $a = 4$ и на касании $a = 0$.

Типичная ошибка. Забыть «особые» значения $a = 0$ и $a = 4$, где число корней меняется скачком. Именно за разбор этих границ дают баллы в задании 18.

Типовые задачи ЕГЭ

Преобразования с модулем чаще всего работают как графический инструмент: строишь левую часть уравнения и смотришь на пересечения с прямой. Разберём три частых формата.

Тип 1. Число решений уравнения $|f(x)| = a$. Возьми $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Корни $-1$ и $3$, вершина $(1;\,-4)$. После модуля провал глубиной $4$ отражается вверх, и холмик дотягивает до высоты $|-4| = 4$ в точке $x = 1$. Тогда уравнение $|x^2 - 2x - 3| = 2$ имеет $4$ корня, потому что $2$ лежит между $0$ и высотой холмика $4$.

Тип 2. Уравнение с суммой модулей. $|x - 1| + |x - 5| = 6$. Сумма расстояний от точки $x$ до $1$ и до $5$ минимальна на отрезке $[1;\,5]$ и равна расстоянию между точками, то есть $4$. Раз $6 > 4$, решений ровно два, симметрично относительно центра $x = 3$. Слева $x = 0$ (проверка: $1 + 5 = 6$), справа $x = 6$ (проверка: $5 + 1 = 6$). Ответ: $x = 0$ и $x = 6$.

Тип 3. Свойства функции $f(|x|)$. Если $f(x) = x^2 - 2x$, то $f(|x|) = |x|^2 - 2|x| = x^2 - 2|x|$. Такая функция всегда чётная. На правой половине минимум в $x = 1$ со значением $1 - 2 = -1$, значит у $f(|x|)$ два минимума $-1$ в точках $x = \pm 1$, а в нуле $f(0) = 0$ — локальный максимум на стыке двух симметричных половин.

Что запомнить

• Минус снаружи ($-f$) — отражение по $Ox$.
• Минус внутри ($f(-x)$) — отражение по $Oy$.
• Модуль снаружи ($|f|$) — низ переворачивается вверх.
• Модуль внутри ($f(|x|)$) — правая копируется в левую.
• $y = f(|x|)$ всегда чётная.
• $|f(x) + a| \neq |f(x)| + a$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — первый тип преобразований.
• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — второй тип.
• Функция модуля y=|x| — основа для модуля.
• Чётная и нечётная функция — связь с симметрией.