Преобразования графиков: отражения и модуль

Отражения — преобразования, при которых график «зеркалится» относительно одной из осей. Минус и модуль дают четыре разных эффекта в зависимости от того, где они стоят. Понимание этих четырёх случаев освобождает от необходимости каждый раз пересчитывать функцию по точкам.

Вся логика держится на одном вопросе: знак стоит снаружи функции или внутри аргумента? Снаружи — значит, мы трогаем результат, то есть $y$. Внутри — трогаем вход, то есть $x$. Поэтому минус снаружи отражает по горизонтальной оси $Ox$ (меняет $y$), а минус внутри отражает по вертикальной оси $Oy$ (меняет $x$). Запомни картинку: «снаружи» работает с вертикалью, «внутри» работает с горизонталью. Это правило закрывает половину ошибок ещё до того, как ты возьмёшь карандаш.

С модулем та же история, только вместо отражения всего графика мы отражаем его часть. Модуль снаружи $|f(x)|$ берёт то, что под осью, и подбрасывает вверх. Модуль внутри $f(|x|)$ копирует правую половину налево. Дальше разберём каждый случай по отдельности, а потом соберём всё в faded-разбор и типовые задачи ЕГЭ, где эти приёмы реально приносят баллы.

1. Отражение относительно оси Ox

Правило. Функция $y=-f(x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x;y)$ переходит в $(x;-y)$.

Что меняется: знак $y$ инвертируется. Возрастающая функция становится убывающей. Максимум становится минимумом.

Пример. $y=-\sqrt{x}$ — корень, отражённый относительно $Ox$. Кривая идёт вниз вправо, начинается в $(0;0)$.

2. Отражение относительно оси Oy

Правило. Функция $y=f(-x)$ — отражение исходного графика относительно оси $Oy$. Каждая точка $(x;y)$ переходит в $(-x;y)$.

Что меняется: знак $x$ инвертируется. Возрастающая на $\mathbb{R}$ функция остаётся возрастающей по форме, но «зеркалится». Если функция чётная — график не меняется ($f(-x)=f(x)$ по определению чётности).

Пример. $y=\sqrt{-x}$ — корень от $-x$. ОДЗ: $-x\ge 0$, то есть $x\le 0$. Это график $\sqrt{x}$, отражённый относительно $Oy$.

Пример. Если $f(x)=x^2$ — чётная, то $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$. График не меняется.

3. Модуль снаружи функции

Правило. Функция $y=|f(x)|$ — все точки графика, которые ниже оси $Ox$ (имеют $y<0$), отражаются симметрично вверх. Точки с $y\ge 0$ остаются на месте.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y=f(x)$ как обычно.
2. Возьми все участки, где $f(x)<0$, и отрази их относительно оси $Ox$ вверх.
3. Участки, где $f(x)\ge 0$, оставь как есть.

Пример. $y=|x-3|$. Исходный $y=x-3$ — прямая. При $x\ge 3$: $y=x-3\ge 0$, остаётся. При $x<3$: $y=x-3<0$, отражается → $y=-(x-3)=3-x$. Получаем уголок V с вершиной в $(3;0)$.

Пример. $y=|x^2-4|$. Парабола с минимумом $-4$ в нуле, корнями $\pm 2$. При $|x|\ge 2$: $x^2-4\ge 0$, парабола сохраняется. При $|x|<2$: $x^2-4<0$, отражение вверх — образуется «холмик» с максимумом $4$ в нуле.

4. Модуль внутри аргумента

Правило. Функция $y=f(|x|)$ — берётся правая половина исходного графика (для $x\ge 0$) и симметрично отражается в левую (для $x\le 0$). Левая исходная половина игнорируется.

Алгоритм построения:

1. Построй график $y=f(x)$ для $x\ge 0$.
2. Отрази этот фрагмент симметрично относительно оси $Oy$ для $x<0$.
3. Левую исходную часть (что было при $x<0$) — выкидываешь.

Получившаяся функция всегда чётная: $f(|-x|)=f(|x|)$.

Пример. $y=|x{|}^3-2|x|$. Правая часть исходного $y=x^3-2x$ (которая в I и IV квадрантах) копируется симметрично в левую, образуя график, симметричный относительно $Oy$.

Сводная таблица

Композиция преобразований

Часто встречаются составные:

$y=-f(x)+a$ — сначала отражение по $Ox$, потом сдвиг на $a$ вверх. Например, $y=-x^2+4$.

$y=|f(x)|+a$ — сначала модуль (отражение низа), потом сдвиг.

Внимание! $|f(x)+a|$ и $|f(x)|+a$ — разные функции. В первом случае модуль берётся от всей суммы; во втором — только от $f(x)$.

Чтобы не путаться в составных преобразованиях, держи строгий порядок: сначала отрабатываешь то, что ближе к функции (минус или модуль), потом то, что снаружи (сдвиг). Если в выражении есть и отражение по $Ox$, и сдвиг вверх, как в $y=-f(x)+a$, то сначала зеркалишь график вокруг оси, и только затем поднимаешь всю картинку на $a$. Поменяешь порядок — получишь другой график. Это особенно заметно в задачах с параметром, где от точного положения графика зависит число корней.

Применение в задачах с параметром (задание 18)

В задании 18 ЕГЭ профиль часто встречается уравнение вида $|f(x)|=a$ или $f(|x|)=a$, где $a$ — параметр. Графический подход: построить график левой части и горизонтальную прямую $y=a$, посмотреть, при каких $a$ количество пересечений соответствует требуемому в задаче.

Применение в задаче 14

Уравнения с модулем:

$|x-1|+|x-3|=4$ — графически: сумма двух модулей. Каждый модуль — уголок. Сумма — кусочно-линейная функция, минимум которой равен $|1-3|=2$ на отрезке $[1;3]$. Уравнение «равно 4» имеет два решения симметрично относительно центра $[1;3]$ — то есть $x=0$ и $x=4$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать $|f(x)|$ и $f(|x|)$. Это разные операции. У $f(x)=x-1$:

• $|f(x)|=|x-1|$ — уголок с вершиной в $(1;0)$.
• $f(|x|)=|x|-1$ — уголок с вершиной в $(0;-1)$.

2. Не учитывать ОДЗ при отражении по $Oy$. Если функция определена только при $x\ge 0$ (как $\sqrt{x}$), то $y=f(-x)$ — определена только при $-x\ge 0$, то есть $x\le 0$.

3. Считать, что $y=f(|x|)$ берёт всю функцию. Только правую половину (где $x\ge 0$) и копирует. Левая исходная часть игнорируется. Это часто упускается.

4. Перепутать направление отражения по $Oy$. Точка $(2;3)$ переходит в $(-2;3)$, не в $(-2;-3)$.

5. Считать, что отражение по $Ox$ равносильно умножению на $-1$. Только если функция $y=-f(x)$. Если же $y=-f(-x)$ — это уже два отражения подряд (= центральная симметрия = поворот на $180°$).

Разобранный пример

Условие. Постройте график функции $y=|x^2-1|-1$.

Решение.

Шаг 1. Исходная: $y=x^2-1$. Парабола с вершиной $(0;-1)$, корнями $\pm 1$.

Шаг 2. $|x^2-1|$. Часть параболы ниже $Ox$ (между $-1$ и $1$, там $x^2-1<0$) отражается вверх. Получаем «холмик» между $-1$ и $1$ с максимумом $1$ в нуле, и обычная парабола вне $[-1;1]$.

Шаг 3. $|x^2-1|-1$. Сдвиг на $1$ вниз. Холмик опускается до уровня $0$ в нуле и $-1$ на концах $\pm 1$. Внешние ветви — парабола, начинающаяся от $-1$ в точках $\pm 1$.

Свойства результата. Чётная функция (симметрия относительно $Oy$). Минимум $-1$ достигается в точках $\pm 1$. В нуле локальный максимум $0$.

Разбор примеров

Дальше три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором один шаг ты делаешь сам, в третьем за тобой почти весь костяк. Так и тренируется навык: сначала смотришь на готовое, потом достраиваешь сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Построй график $y=|x^2-4x+3|$.

Решение. Сначала строим параболу под модулем: $y=x^2-4x+3$. Ветви вверх ($a=1>0$).

Вершина: $x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$, $y_0=4-8+3=-1$. Значит, вершина в $(2;-1)$, парабола заходит под ось.

Корни: $x^2-4x+3=0$, $D=16-12=4$, $x=\frac{4\pm 2}{2}$, то есть $x=1$ и $x=3$.

Теперь модуль. Между корнями (при $1<x<3$) парабола ниже оси $Ox$, там $y<0$, и этот кусок отражаем вверх. Вне отрезка $[1;3]$ парабола уже неотрицательна, её оставляем как есть.

После отражения на месте провала появляется «холмик» с максимумом в $x=2$, и его высота равна $|-1|=1$.

Ответ. График целиком неотрицателен, касается оси $Ox$ в точках $1$ и $3$, в точке $x=2$ поднимается до высоты $1$.

Типичная ошибка. Отразить всю параболу, а не только провал между корнями. Модуль трогает лишь те участки, где функция была отрицательной, остальное не меняется.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Построй график $y=\sqrt{-x}+2$.

Решение. Базовый кирпичик — $y=\sqrt{x}$: определён при $x\ge 0$, выходит из $(0;0)$ и плавно растёт вправо.

Минус под корнем — это $y=\sqrt{-x}$, отражение относительно оси $Oy$. График уходит из $(0;0)$ уже влево-вверх.

Прибавили $2$ снаружи — весь график поднимается на $2$ вверх, начало переезжает в $(0;2)$.

Попробуй сам записать область определения функции $y=\sqrt{-x}+2$: при каких $x$ подкоренное выражение неотрицательно?

Типичная ошибка. Записать ОДЗ как $x\ge 0$ по привычке от обычного корня. Минус внутри переворачивает условие: теперь допустимы как раз неположительные $x$.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Сколько корней у уравнения $|x^2-4|=a$ в зависимости от параметра $a$?

Решение (skeleton).

Шаг 1. Построй график левой части. Парабола $x^2-4$ имеет вершину $(0;-4)$ и корни $\pm 2$. Провал между $-2$ и $2$ отражаем вверх, получается «холмик» с максимумом $4$ в точке $x=0$, который касается оси в $\pm 2$, а дальше идут две ветви параболы вверх.

Шаг 2. Двигай горизонтальную прямую $y=a$ снизу вверх и считай, сколько раз она пересекает этот график на каждом «этаже».

Шаг 3. Собери ответ по промежуткам $a$. Подумай сам: что происходит ровно на высоте холмика $a=4$ и на касании $a=0$.

Типичная ошибка. Забыть «особые» значения $a=0$ и $a=4$, где число корней меняется скачком. Именно за разбор этих границ дают баллы в задании 18.

Типовые задачи ЕГЭ

Преобразования с модулем чаще всего работают как графический инструмент: строишь левую часть уравнения и смотришь на пересечения с прямой. Разберём три частых формата.

Тип 1. Число решений уравнения $|f(x)|=a$. Возьми $f(x)=x^2-2x-3$. Корни $-1$ и $3$, вершина $(1;-4)$. После модуля провал глубиной $4$ отражается вверх, и холмик дотягивает до высоты $|-4|=4$ в точке $x=1$. Тогда уравнение $|x^2-2x-3|=2$ имеет $4$ корня, потому что $2$ лежит между $0$ и высотой холмика $4$.

Тип 2. Уравнение с суммой модулей. $|x-1|+|x-5|=6$. Сумма расстояний от точки $x$ до $1$ и до $5$ минимальна на отрезке $[1;5]$ и равна расстоянию между точками, то есть $4$. Раз $6>4$, решений ровно два, симметрично относительно центра $x=3$. Слева $x=0$ (проверка: $1+5=6$), справа $x=6$ (проверка: $5+1=6$). Ответ: $x=0$ и $x=6$.

Тип 3. Свойства функции $f(|x|)$. Если $f(x)=x^2-2x$, то $f(|x|)=|x{|}^2-2|x|=x^2-2|x|$. Такая функция всегда чётная. На правой половине минимум в $x=1$ со значением $1-2=-1$, значит у $f(|x|)$ два минимума $-1$ в точках $x=\pm 1$, а в нуле $f(0)=0$ — локальный максимум на стыке двух симметричных половин.

Что запомнить

• Минус снаружи ($-f$) — отражение по $Ox$.
• Минус внутри ($f(-x)$) — отражение по $Oy$.
• Модуль снаружи ($|f|$) — низ переворачивается вверх.
• Модуль внутри ($f(|x|)$) — правая копируется в левую.
• $y=f(|x|)$ всегда чётная.
• $|f(x)+a|\ne |f(x)|+a$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: сдвиг — первый тип преобразований.
• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — второй тип.
• Функция модуля y=|x| — основа для модуля.
• Чётная и нечётная функция — связь с симметрией.