Как решать $a^x = a^y$?

При $a > 0$ и $a \ne 1$ показательная функция строго монотонна, поэтому уравнение $a^x = a^y$ равносильно $x = y$. Это приведение к одному основанию — первый метод, который пробуешь в любой задаче.

Когда применять замену $t = a^x$?

Когда уравнение квадратное относительно $a^x$. Вид $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ после замены превращается в $A t^2 + B t + C = 0$. Решаешь квадратное, потом возвращаешься к $x$ через $a^x = t$.

Почему $t$ должно быть строго больше нуля?

Потому что $a^x > 0$ для любого $x$, если $a > 0$. Показательная функция всегда положительна. Если после решения квадратного уравнения $t_1 < 0$ или $t_1 = 0$ — этот корень отбрасывается, он не даёт никаких $x$.

Что такое однородное показательное уравнение?

Уравнение вида $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot b^{2x} = 0$, где все слагаемые одной степени по $a^x$ и $b^x$. Решается делением на $b^{2x}$ и заменой $t = (a/b)^x$.

Как решать уравнение с разными основаниями?

Либо привести к общему основанию (если это возможно), либо прологарифмировать обе части. Чаще работает приведение — ищи общее основание или раскладывай составные числа: $8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $100 = 10^2$.

Что делать, если основание и > 1, и < 1 в разных слагаемых?

Попробуй привести одно к другому через взаимно обратные числа. Например, $4^x = (1/4)^{-x}$. Или делай замену и сводишь к квадратному.

Почему показательная функция всегда положительна?

По определению степени для $a > 0$ и любого действительного $x$. Никакая положительная степень числа больше нуля не может дать ноль или отрицательное число. Из этого следует, что уравнения вида $a^x = 0$ или $a^x = -5$ не имеют решений.

В каком задании ЕГЭ встречаются показательные уравнения?

В задании 13 профиля — это 2 балла за полное решение. В задании 6 тоже встречаются простейшие показательные. На экзамене показательные часто идут в паре с логарифмическими и решаются потенцированием или логарифмированием.

Можно ли решать показательное уравнение графически?

Да, но только для оценки числа корней или приблизительного ответа. На ЕГЭ требуют аналитическое решение — значит графический метод оставляй на черновик для проверки.

Показательные уравнения — методы, примеры и задания ЕГЭ

Q: Что такое показательное уравнение?

Уравнение, в котором неизвестная стоит в показателе степени. Примеры $2^x = 8$, $3^{x+1} = 27$, $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$. Главное отличие от обычных уравнений — переменная не в основании, а в экспоненте.

Q: Что такое однородное показательное уравнение?

Уравнение вида $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot b^{2x} = 0$, где все слагаемые одной степени по $a^x$ и $b^x$. Решается делением на $b^{2x}$ и заменой $t = (a/b)^x$.

Q: Как решать уравнение с разными основаниями?

Либо привести к общему основанию (если это возможно), либо прологарифмировать обе части. Чаще работает приведение — ищи общее основание или раскладывай составные числа: $8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $100 = 10^2$.

Q: Что делать, если основание и > 1, и < 1 в разных слагаемых?

Попробуй привести одно к другому через взаимно обратные числа. Например, $4^x = (1/4)^{-x}$. Или делай замену и сводишь к квадратному.

Q: Почему показательная функция всегда положительна?

По определению степени для $a > 0$ и любого действительного $x$. Никакая положительная степень числа больше нуля не может дать ноль или отрицательное число. Из этого следует, что уравнения вида $a^x = 0$ или $a^x = -5$ не имеют решений.

Показательное уравнение — это уравнение, где неизвестная стоит в показателе степени. На ЕГЭ проверяют четыре приёма: привести к одному основанию, сделать замену, решить однородное, применить свойство монотонности. Разберём все четыре с примерами.

Что такое показательное уравнение

Показательное уравнение содержит переменную в показателе степени. Формальный признак — выражение вида $a^{f (x)}$ , где $a > 0$ и $a \neq = 1$ , а $f (x)$ — функция от неизвестной.

Простейшие примеры:

$2^{x} = 8$ ;
$3^{x + 1} = 27$ ;
$5^{2 x} = 2 5^{x + 1}$ .

Более сложные — с заменой переменной или с разными основаниями.

Свойства показательной функции

Показательная функция $y = a^{x}$ при $a > 0$ , $a \neq = 1$ имеет ключевые свойства:

Область значений — $(0; + \infty)$ . Функция всегда положительна.
Монотонна: возрастает при $a > 1$ , убывает при $0 < a < 1$ .
$a^{0} = 1$ для любого $a > 0$ .

Монотонность — ключевое свойство для решения уравнений. Именно из неё следует равносильность $a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y$ .

Метод 1. Приведение к одному основанию

Самый распространённый и быстрый метод. Идея: записать обе стороны уравнения как степени одного и того же числа.

Если удаётся привести $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ , то:

$f (x) = g (x)$

Пример. $2^{x + 1} = 16$ .

Записываем $16 = 2^{4}$ . Тогда $2^{x + 1} = 2^{4}$ , значит $x + 1 = 4$ , откуда $x = 3$ .

На ЕГЭ приведение к одному основанию требует знать степени двойки, тройки, пятёрки до 10 степени — это бытовая арифметика, встречающаяся в каждом варианте.

Метод 2. Замена переменной

Если уравнение имеет вид $A \cdot a^{2 x} + B \cdot a^{x} + C = 0$ , оно превращается в квадратное относительно $t = a^{x}$ :

$A t^{2} + B t + C = 0, t > 0$

Условие $t > 0$ — принципиальное. Показательная функция положительна, значит не всякий корень квадратного уравнения даст реальное $x$ . Отрицательный $t$ просто отбрасывается.

После решения квадратного уравнения для каждого положительного $t_{i}$ возвращаешься к $x$ через $a^{x} = t_{i}$ , то есть $x = lo g_{a} t_{i}$ .

Метод 3. Однородные уравнения

Уравнение вида

$A \cdot a^{2 x} + B \cdot a^{x} \cdot b^{x} + C \cdot b^{2 x} = 0$

называется однородным относительно $a^{x}$ и $b^{x}$ . Все слагаемые — произведения двух показательных функций, в сумме дающих одну степень.

Способ решения. Делим обе части на $b^{2 x}$ (это всегда больше нуля, значит деление не теряет корней):

$A (\frac{a}{b})^{2 x} + B (\frac{a}{b})^{x} + C = 0$

Вводишь замену $t = (a / b)^{x}$ , $t > 0$ . Получаешь квадратное уравнение.

Метод 4. Логарифмирование

Применяется, когда основания никак не привести к общему. Прологарифмируешь обе части уравнения по удобному основанию — обычно по натуральному или по одному из оснований уравнения.

Пример. $2^{x} = 5$ .

Логарифмируем по основанию 2: $x = lo g_{2} 5$ .

Или по натуральному: $x ln 2 = ln 5$ , откуда $x = \frac{l n 5}{l n 2} = lo g_{2} 5$ . Одно и то же число.

Алгоритм выбора метода

Попробуй привести к одному основанию. Если обе стороны — степени одного числа, метод 1 — кратчайший путь.
Если уравнение выглядит как квадратное (есть $a^{2 x}$ и $a^{x}$ ) — делай замену, метод 2.
Если три слагаемых $a^{2 x}$ , $a^{x} b^{x}$ , $b^{2 x}$ — однородное, метод 3.
Если ничего из перечисленного не подходит — логарифмируй, метод 4.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2^{x + 1} = 16$ .

Решение. Приводим к одному основанию: $16 = 2^{4}$ . Тогда $2^{x + 1} = 2^{4}$ .

Показательная функция монотонна, значит $x + 1 = 4$ , откуда $x = 3$ .

Ответ: $x = 3$ .

Типичная ошибка. Разделить обе части на 2: написать $x + 1 = 16/2 = 8$ . Это не работает — показательная функция не линейна, свойство «поделить на основание» не применимо.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Решение. Замечаем, что $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ . Замена $t = 2^{x}$ , $t > 0$ . Уравнение становится:

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

По теореме Виета: корни $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 4$ . Оба положительные — подходят.

Возвращаемся к $x$ :

$2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ ;
$2^{x} = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Ответ: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ .

Типичная ошибка. Не сообразить, что $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , и застрять. Всегда ищи способ выразить одно основание через другое.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} - 3 \cdot 5^{2 x} = 0$ .

Решение. Однородное уравнение. Делим обе части на $5^{2 x}$ (всегда положительно):

$(\frac{3}{5})^{2 x} - 2 (\frac{3}{5})^{x} - 3 = 0$

Замена $t = (3/5)^{x}$ , $t > 0$ . Уравнение: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ .

Дискриминант $D = 4 + 12 = 16$ . Корни $t = \frac{2 \pm 4}{2}$ , то есть $t_{1} = 3$ , $t_{2} = - 1$ .

$t = - 1$ отбрасываем ( $t > 0$ ). Остаётся $t = 3$ :

$(\frac{3}{5})^{x} = 3$

Логарифмируя по основанию 3:

$x lo g_{3} \frac{3}{5} = 1 ⟹ x = \frac{1}{l o g _{3} ( 3/5 )} = \frac{1}{1 - l o g _{3} 5}$

Ответ: $x = \frac{1}{1 - lo g _{3} 5}$ .

Типичная ошибка. Забыть ограничение $t > 0$ и взять в ответ $x$ , соответствующий $t = - 1$ .

Типичные ошибки

Забывать условие $t > 0$ при замене. Корни квадратного уравнения могут быть любыми, но $a^{x} > 0$ всегда. Отрицательные $t$ отбрасывай сразу.
Путать основание и показатель. В $2^{x}$ основание — двойка, показатель — $x$ . Переменная именно в показателе, а не в основании.
Терять корни при делении на переменную. В однородных уравнениях делишь на $b^{2 x}$ . Это безопасно, потому что $b^{2 x} > 0$ . Но делить на $a^{x} - b^{x}$ нельзя — это выражение может быть нулём.
Применять $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x y}$ . Правильно $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ . Степени при умножении складываются, а не перемножаются.
Не проверять ОДЗ в логарифмируемом случае. Перед логарифмированием обе части должны быть положительны. Показательная функция всегда положительна, но если в уравнении стоит $2^{x} - 3 = 5$ , то перед логарифмированием левой и правой частей сначала убедись, что $2^{x} - 3 > 0$ .

Связь с другими темами

Логарифмические уравнения — обратная пара к показательным. Логарифмированием решаются уравнения с разными основаниями; потенцированием логарифмические уравнения превращаются в показательные.
Квадратные уравнения — после замены $t = a^{x}$ уравнение почти всегда квадратное. Без быстрого решения квадратных уравнений показательные превращаются в пытку.
Метод интервалов — для показательных неравенств применяется обобщённый метод интервалов, использующий монотонность $a^{x}$ .

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — простейшие показательные уравнения из разряда «привести к одному основанию».
Задание 13 (уравнения с отбором корней) — показательные уравнения повышенного уровня. Замена переменной, однородные уравнения, комбинации с логарифмами.

Тренируй показательные на задачах ЕГЭ

Сотик даст именно те виды, где ты пока ошибаешься, и разберёт каждую ошибку

Начать бесплатно