Как решать $a^x = a^y$?

При $a > 0$ и $a \ne 1$ показательная функция строго монотонна, поэтому уравнение $a^x = a^y$ равносильно $x = y$. Это приведение к одному основанию — первый метод, который пробуешь в любой задаче.

Когда применять замену $t = a^x$?

Когда уравнение квадратное относительно $a^x$. Вид $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ после замены превращается в $A t^2 + B t + C = 0$. Решаешь квадратное, потом возвращаешься к $x$ через $a^x = t$.

Почему $t$ должно быть строго больше нуля?

Потому что $a^x > 0$ для любого $x$, если $a > 0$. Показательная функция всегда положительна. Если после решения квадратного уравнения $t_1 < 0$ или $t_1 = 0$ — этот корень отбрасывается, он не даёт никаких $x$.

Что такое однородное показательное уравнение?

Уравнение вида $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot b^{2x} = 0$, где все слагаемые одной степени по $a^x$ и $b^x$. Решается делением на $b^{2x}$ и заменой $t = (a/b)^x$.

Как решать уравнение с разными основаниями?

Либо привести к общему основанию (если это возможно), либо прологарифмировать обе части. Чаще работает приведение — ищи общее основание или раскладывай составные числа: $8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $100 = 10^2$.

Что делать, если основание и > 1, и < 1 в разных слагаемых?

Попробуй привести одно к другому через взаимно обратные числа. Например, $4^x = (1/4)^{-x}$. Или делай замену и сводишь к квадратному.

Почему показательная функция всегда положительна?

По определению степени для $a > 0$ и любого действительного $x$. Никакая положительная степень числа больше нуля не может дать ноль или отрицательное число. Из этого следует, что уравнения вида $a^x = 0$ или $a^x = -5$ не имеют решений.

В каком задании ЕГЭ встречаются показательные уравнения?

В задании 13 профиля — это 2 балла за полное решение. В задании 6 тоже встречаются простейшие показательные. На экзамене показательные часто идут в паре с логарифмическими и решаются потенцированием или логарифмированием.

Можно ли решать показательное уравнение графически?

Да, но только для оценки числа корней или приблизительного ответа. На ЕГЭ требуют аналитическое решение — значит графический метод оставляй на черновик для проверки.

Показательные уравнения — методы, примеры и задания ЕГЭ

Q: Что такое показательное уравнение?

Уравнение, в котором неизвестная стоит в показателе степени. Примеры $2^x = 8$, $3^{x+1} = 27$, $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$. Главное отличие от обычных уравнений — переменная не в основании, а в экспоненте.

Q: Как решать уравнение с разными основаниями?

Либо привести к общему основанию (если это возможно), либо прологарифмировать обе части. Чаще работает приведение — ищи общее основание или раскладывай составные числа: $8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $100 = 10^2$.

Q: Что делать, если основание и > 1, и < 1 в разных слагаемых?

Попробуй привести одно к другому через взаимно обратные числа. Например, $4^x = (1/4)^{-x}$. Или делай замену и сводишь к квадратному.

Q: Почему показательная функция всегда положительна?

По определению степени для $a > 0$ и любого действительного $x$. Никакая положительная степень числа больше нуля не может дать ноль или отрицательное число. Из этого следует, что уравнения вида $a^x = 0$ или $a^x = -5$ не имеют решений.

Показательное уравнение — это уравнение, где неизвестная стоит в показателе степени. На ЕГЭ проверяют четыре приёма: привести к одному основанию, сделать замену, решить однородное, применить свойство монотонности. Разберём все четыре с примерами.

Что такое показательное уравнение

Показательное уравнение содержит переменную в показателе степени. Формальный признак — выражение вида $a^{f(x)}$ , где $a > 0$ и $a \ne 1$ , а $f(x)$ — функция от неизвестной.

Простейшие примеры:

$2^x = 8$ ;
$3^{x+1} = 27$ ;
$5^{2x} = 25^{x+1}$ .

Более сложные — с заменой переменной или с разными основаниями.

Свойства показательной функции

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ , $a \ne 1$ имеет ключевые свойства:

Область значений — $(0; +\infty)$ . Функция всегда положительна.
Монотонна: возрастает при $a > 1$ , убывает при $0 < a < 1$ .
$a^0 = 1$ для любого $a > 0$ .

Монотонность — ключевое свойство для решения уравнений. Именно из неё следует равносильность $a^x = a^y \Leftrightarrow x = y$ .

Метод 1. Приведение к одному основанию

Самый распространённый и быстрый метод. Идея: записать обе стороны уравнения как степени одного и того же числа.

Если удаётся привести $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ , то:

$f(x) = g(x)$

Пример. $2^{x+1} = 16$ .

Записываем $16 = 2^4$ . Тогда $2^{x+1} = 2^4$ , значит $x + 1 = 4$ , откуда $x = 3$ .

На ЕГЭ приведение к одному основанию требует знать степени двойки, тройки, пятёрки до 10 степени — это бытовая арифметика, встречающаяся в каждом варианте.

Метод 2. Замена переменной

Если уравнение имеет вид $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ , оно превращается в квадратное относительно $t = a^x$ :

$A t^2 + B t + C = 0, \quad t > 0$

Условие $t > 0$ — принципиальное. Показательная функция положительна, значит не всякий корень квадратного уравнения даст реальное $x$ . Отрицательный $t$ просто отбрасывается.

После решения квадратного уравнения для каждого положительного $t_i$ возвращаешься к $x$ через $a^x = t_i$ , то есть $x = \log_a t_i$ .

Метод 3. Однородные уравнения

Уравнение вида

$A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x \cdot b^x + C \cdot b^{2x} = 0$

называется однородным относительно $a^x$ и $b^x$ . Все слагаемые — произведения двух показательных функций, в сумме дающих одну степень.

Способ решения. Делим обе части на $b^{2x}$ (это всегда больше нуля, значит деление не теряет корней):

$A \left(\frac{a}{b}\right)^{2x} + B \left(\frac{a}{b}\right)^x + C = 0$

Вводишь замену $t = (a/b)^x$ , $t > 0$ . Получаешь квадратное уравнение.

Метод 4. Логарифмирование

Применяется, когда основания никак не привести к общему. Прологарифмируешь обе части уравнения по удобному основанию — обычно по натуральному или по одному из оснований уравнения.

Пример. $2^x = 5$ .

Логарифмируем по основанию 2: $x = \log_2 5$ .

Или по натуральному: $x \ln 2 = \ln 5$ , откуда $x = \frac{\ln 5}{\ln 2} = \log_2 5$ . Одно и то же число.

Алгоритм выбора метода

Попробуй привести к одному основанию. Если обе стороны — степени одного числа, метод 1 — кратчайший путь.
Если уравнение выглядит как квадратное (есть $a^{2x}$ и $a^x$ ) — делай замену, метод 2.
Если три слагаемых $a^{2x}$ , $a^x b^x$ , $b^{2x}$ — однородное, метод 3.
Если ничего из перечисленного не подходит — логарифмируй, метод 4.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2^{x+1} = 16$ .

Решение. Приводим к одному основанию: $16 = 2^4$ . Тогда $2^{x+1} = 2^4$ .

Показательная функция монотонна, значит $x + 1 = 4$ , откуда $x = 3$ .

Ответ: $x = 3$ .

Типичная ошибка. Разделить обе части на 2: написать $x + 1 = 16/2 = 8$ . Это не работает — показательная функция не линейна, свойство «поделить на основание» не применимо.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

Решение. Замечаем, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ . Замена $t = 2^x$ , $t > 0$ . Уравнение становится:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета: корни $t_1 = 1$ , $t_2 = 4$ . Оба положительные — подходят.

Возвращаемся к $x$ :

$2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ;
$2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Ответ: $x_1 = 0$ , $x_2 = 2$ .

Типичная ошибка. Не сообразить, что $4^x = (2^x)^2$ , и застрять. Всегда ищи способ выразить одно основание через другое.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $3^{2x} - 2 \cdot 3^x \cdot 5^x - 3 \cdot 5^{2x} = 0$ .

Решение. Однородное уравнение. Делим обе части на $5^{2x}$ (всегда положительно):

$\left(\frac{3}{5}\right)^{2x} - 2\left(\frac{3}{5}\right)^x - 3 = 0$

Замена $t = (3/5)^x$ , $t > 0$ . Уравнение: $t^2 - 2t - 3 = 0$ .

Дискриминант $D = 4 + 12 = 16$ . Корни $t = \frac{2 \pm 4}{2}$ , то есть $t_1 = 3$ , $t_2 = -1$ .

$t = -1$ отбрасываем ( $t > 0$ ). Остаётся $t = 3$ :

$\left(\frac{3}{5}\right)^x = 3$

Логарифмируя по основанию 3:

$x \log_3 \frac{3}{5} = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{\log_3(3/5)} = \frac{1}{1 - \log_3 5}$

Ответ: $x = \dfrac{1}{1 - \log_3 5}$ .

Типичная ошибка. Забыть ограничение $t > 0$ и взять в ответ $x$ , соответствующий $t = -1$ .

Типичные ошибки

Забывать условие $t > 0$ при замене. Корни квадратного уравнения могут быть любыми, но $a^x > 0$ всегда. Отрицательные $t$ отбрасывай сразу.
Путать основание и показатель. В $2^x$ основание — двойка, показатель — $x$ . Переменная именно в показателе, а не в основании.
Терять корни при делении на переменную. В однородных уравнениях делишь на $b^{2x}$ . Это безопасно, потому что $b^{2x} > 0$ . Но делить на $a^x - b^x$ нельзя — это выражение может быть нулём.
Применять $a^x \cdot a^y = a^{xy}$ . Правильно $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ . Степени при умножении складываются, а не перемножаются.
Не проверять ОДЗ в логарифмируемом случае. Перед логарифмированием обе части должны быть положительны. Показательная функция всегда положительна, но если в уравнении стоит $2^x - 3 = 5$ , то перед логарифмированием левой и правой частей сначала убедись, что $2^x - 3 > 0$ .

Связь с другими темами

Логарифмические уравнения — обратная пара к показательным. Логарифмированием решаются уравнения с разными основаниями; потенцированием логарифмические уравнения превращаются в показательные.
Квадратные уравнения — после замены $t = a^x$ уравнение почти всегда квадратное. Без быстрого решения квадратных уравнений показательные превращаются в пытку.
Метод интервалов — для показательных неравенств применяется обобщённый метод интервалов, использующий монотонность $a^x$ .

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — простейшие показательные уравнения из разряда «привести к одному основанию».
Задание 13 (уравнения с отбором корней) — показательные уравнения повышенного уровня. Замена переменной, однородные уравнения, комбинации с логарифмами.

Тренируй показательные на задачах ЕГЭ

Сотик даст именно те виды, где ты пока ошибаешься, и разберёт каждую ошибку

Начать бесплатно