Периодическая функция

Периодичность — фундаментальное свойство тригонометрических функций. Если ты знаешь период, тебе не нужно знать всю функцию — достаточно одного «куска», остальное копируется.

Определение

Периодическая функция. Функция $f(x)$ называется периодической, если существует число $T \neq 0$ такое, что для всех $x$ из области определения:

$f(x + T) = f(x)$

Число $T$ называется периодом функции.

Наименьший положительный период — самое маленькое положительное $T$, для которого выполняется это равенство. Часто именно его называют просто «период функции» (особенно на ЕГЭ).

Если у функции есть период $T$, то $2T$, $3T$, $-T$ — тоже её периоды. Поэтому отдельно говорят про наименьший положительный.

Графическое представление

Если функция периодическая с периодом $T$, её график повторяется через каждые $T$ единиц по горизонтали. Достаточно нарисовать график на одном промежутке длины $T$ — дальше он копируется бесконечно влево и вправо.

Периоды основных функций

Тангенс и котангенс имеют период $\pi$ (вдвое меньше синуса и косинуса), потому что они «считают наклон» — а наклон через $\pi$ повторяется.

Период функции y = sin(kx + b)

Если функция получается из $\sin$, $\cos$ растяжением/сжатием по оси $Ox$ на коэффициент $k$:

$y = \sin(kx + b) \quad \text{или} \quad y = \cos(kx + b)$

Период:

$T = \frac{2\pi}{|k|}$

Примеры:

• $y = \sin(2x)$: $T = \pi$.
• $y = \cos(x/3)$: $T = 6\pi$.
• $y = \sin(\pi x)$: $T = 2$.

Для тангенса и котангенса аналогично, но с $\pi$ в числителе:

$T_{\tg(kx+b)} = \frac{\pi}{|k|}$

Период суммы и произведения

Если $f$ имеет период $T_1$, а $g$ — период $T_2$, то:

• $f + g$ имеет период, равный наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$ (если такое существует).
• $f \cdot g$ обычно имеет тот же НОК.

Пример. $y = \sin(2x) + \cos(3x)$. Периоды слагаемых: $\pi$ и $2\pi/3$. НОК: НОК$(\pi;\,2\pi/3) = 2\pi$. Период функции: $2\pi$.

Пример. $y = \sin x + \cos(\sqrt{2}\,x)$. Периоды: $2\pi$ и $\sqrt{2}\pi$. НОК не существует в действительных числах (отношение периодов иррационально). Функция — непериодическая.

Связь с задачей 13 ЕГЭ

В тригонометрических уравнениях (задание 13) важно знать период, чтобы записать все корни одной формулой.

Пример. Уравнение $\sin x = 1/2$. Один корень $x = \pi/6$. Так как $\sin$ имеет период $2\pi$, все корни этого типа: $x = \pi/6 + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Плюс симметричный корень из второй четверти: $x = 5\pi/6 + 2\pi n$.

Пример. Уравнение $\tg x = \sqrt{3}$. Один корень $x = \pi/3$. Так как $\tg$ имеет период $\pi$, все корни: $x = \pi/3 + \pi n$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наибольшее значение функции $y = 2 + 3\sin(x/2)$.»

Так как $\sin$ — периодическая, наибольшее и наименьшее значения находим из амплитуды:

• $\sin$ принимает значения от $-1$ до $1$.
• $3\sin(x/2)$ принимает от $-3$ до $3$.
• $2 + 3\sin(x/2)$ принимает от $-1$ до $5$.

Наибольшее значение — $5$.

Свойства периодической функции

1. Если $T$ — период, то $-T$, $2T$, $-2T$, ... — тоже периоды.
2. Сумма всех значений периодической функции на одном периоде одинакова для любого периода (часто используется в интегралах).
3. Если функция возрастает на одном периоде, то на следующем она тоже возрастает (по «копии» того же поведения).

Распространённые ошибки

1. Не указать «наименьший положительный». На ЕГЭ обычно ищут именно наименьший. Ответ «$4\pi$ — период $\sin x$» формально правильный, но не наименьший. Правильный ответ — $2\pi$.

2. Перепутать период $\tg x$ с периодом $\sin x$. Это типичная ошибка. $T_{\tg} = \pi$, не $2\pi$. Это легко проверить: $\tg(\pi/4) = 1$ и $\tg(\pi/4 + \pi) = \tg(5\pi/4) = 1$ — равны.

3. Поделить на $k$ вместо умножения. Период $\sin(kx)$ — это $2\pi / k$, не $2\pi \cdot k$. Запоминается просто: чем больше $k$, тем «быстрее» функция колеблется, тем меньше период.

4. Считать $y = x \sin x$ периодической. Не периодическая. Множитель $x$ растёт, поэтому функция не повторяется. Произведение периодической на непериодическую обычно непериодическое.

5. Не учитывать модуль в $|k|$. Период $\sin(-3x)$ — это $2\pi/3$, не $-2\pi/3$ и не «не существует». Знак $k$ не важен, важен только модуль.

Разобранный пример

Условие. Найди наименьший положительный период функции $y = \cos\left(\dfrac{x}{4}\right)$.

Решение. Период косинуса с аргументом $kx$ равен $T = \dfrac{2\pi}{|k|}$.

Здесь $k = 1/4$, значит $|k| = 1/4$, и период:

$T = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$

Ответ. $8\pi$.

Что запомнить

• $f(x + T) = f(x)$ — период $T$.
• На ЕГЭ — наименьший положительный период.
• $T_{\sin} = T_{\cos} = 2\pi$.
• $T_{\tg} = T_{\ctg} = \pi$.
• $T_{\sin(kx)} = 2\pi/|k|$.
• Сумма периодических функций периодична, если отношение периодов рационально.

Связь с другими темами

• Тригонометрические уравнения — период нужен для записи всех корней.
• Чётная и нечётная функция — другой тип симметрии.
• Уравнение sin x = a — практическое применение периода.