Периодическая функция

Периодичность — фундаментальное свойство тригонометрических функций. Если ты знаешь период, тебе не нужно знать всю функцию — достаточно одного «куска», остальное копируется.

Эта идея важнее, чем кажется на первый взгляд. Периодичность — это способ описать бесконечный объект конечным количеством информации. Синусоида тянется бесконечно влево и вправо, но вся она целиком восстанавливается из одного-единственного промежутка длины $2\pi$. Знаешь поведение на этом куске — знаешь поведение везде. Именно поэтому в тригонометрических уравнениях ответ всегда содержит «$+2\pi n$» или «$+\pi n$»: ты находишь один корень в пределах периода, а остальные получаешь копированием.

Главная трудность темы — различать просто «период» и «наименьший положительный период». У любой периодической функции периодов бесконечно много: если функция повторяется через $T$, то она повторяется и через $2T$, и через $3T$, и так далее. Но среди всех этих периодов есть один самый маленький положительный — и именно его обычно имеют в виду на ЕГЭ, когда спрашивают «период функции». Привыкай уточнять: нашёл период — проверь, нельзя ли найти меньше.

Определение

Периодическая функция. Функция $f(x)$ называется периодической, если существует число $T\ne 0$ такое, что для всех $x$ из области определения:

$f(x+T)=f(x)$

Число $T$ называется периодом функции. Обрати внимание на формулировку «для всех $x$»: равенство должно выполняться не в отдельных удачных точках, а на всей области определения. Если оно срабатывает лишь иногда, функция периодической не считается.

Наименьший положительный период — самое маленькое положительное $T$, для которого выполняется это равенство. Часто именно его называют просто «период функции» (особенно на ЕГЭ).

Если у функции есть период $T$, то $2T$, $3T$, $-T$ — тоже её периоды. Поэтому отдельно говорят про наименьший положительный.

Графическое представление

Если функция периодическая с периодом $T$, её график повторяется через каждые $T$ единиц по горизонтали. Достаточно нарисовать график на одном промежутке длины $T$ — дальше он копируется бесконечно влево и вправо.

Это даёт удобный графический способ найти период по картинке. Выбери любую заметную точку на графике — например, вершину «горба» синусоиды. Найди следующую такую же точку, где график повторяет ровно то же поведение. Расстояние по горизонтали между ними и есть период. Важно брать именно соседние одинаковые точки: если перепрыгнуть через одну, получишь удвоенный период, а это уже не наименьший.

Графическая интуиция помогает и в обратную сторону. Если тебе известен период, ты сразу знаешь, на сколько нужно сдвинуть график, чтобы он наложился сам на себя. Сдвиг на период оставляет картинку неизменной — это, по сути, и есть определение периодичности, переведённое на язык движений графика.

Периоды основных функций

Тангенс и котангенс имеют период $\pi$ (вдвое меньше синуса и косинуса), потому что они «считают наклон» — а наклон через $\pi$ повторяется.

Как коэффициент влияет на период

Прежде чем перейти к формуле, важно понять её на уровне картинки. Коэффициент $k$ перед $x$ внутри синуса или косинуса управляет «скоростью» колебаний. Чем больше $k$, тем чаще функция совершает свои взлёты и падения, тем плотнее «гармошка» графика, и тем короче период. Чем меньше $k$ (например, дробь меньше единицы), тем медленнее колебания, тем сильнее график растянут по горизонтали, и тем длиннее период.

Отсюда и логика формулы: период обратно пропорционален модулю коэффициента. Берётся именно модуль, потому что знак $k$ на длину периода не влияет — отрицательный коэффициент просто отражает график, но не меняет частоту колебаний. Функции $\sin (3x)$ и $\sin (-3x)$ имеют один и тот же период.

Эта обратная пропорция — источник самой частой ошибки в теме. Интуиция подсказывает «коэффициент больше — значит и период больше», но на деле всё наоборот. Запомни через образ гармошки: сжимаешь её сильнее (больший $k$) — складки становятся чаще и уже (меньший период).

Период функции y = sin(kx + b)

Если функция получается из $\sin$, $\cos$ растяжением/сжатием по оси $Ox$ на коэффициент $k$:

$y=\sin (kx+b)\text{или}y=\cos (kx+b)$

Период:

$T=\frac{2\pi }{|k|}$

Примеры:

• $y=\sin (2x)$: $T=\pi$.
• $y=\cos (x/3)$: $T=6\pi$.
• $y=\sin (\pi x)$: $T=2$.

Для тангенса и котангенса аналогично, но с $\pi$ в числителе:

$T_{\mathrm{tg}(kx+b)}=\frac{\pi }{|k|}$

Период суммы и произведения

Если $f$ имеет период $T_1$, а $g$ — период $T_2$, то:

• $f+g$ имеет период, равный наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$ (если такое существует).
• $f\cdot g$ обычно имеет тот же НОК.

Пример. $y=\sin (2x)+\cos (3x)$. Периоды слагаемых: $\pi$ и $2\pi /3$. НОК: НОК$(\pi ;2\pi /3)=2\pi$. Период функции: $2\pi$.

Пример. $y=\sin x+\cos (\sqrt{2}x)$. Периоды: $2\pi$ и $\sqrt{2}\pi$. НОК не существует в действительных числах (отношение периодов иррационально). Функция — непериодическая.

Связь с задачей 13 ЕГЭ

В тригонометрических уравнениях (задание 13) важно знать период, чтобы записать все корни одной формулой.

Пример. Уравнение $\sin x=1/2$. Один корень $x=\pi /6$. Так как $\sin$ имеет период $2\pi$, все корни этого типа: $x=\pi /6+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$. Плюс симметричный корень из второй четверти: $x=5\pi /6+2\pi n$.

Пример. Уравнение $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$. Один корень $x=\pi /3$. Так как $\mathrm{tg}$ имеет период $\pi$, все корни: $x=\pi /3+\pi n$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наибольшее значение функции $y=2+3\sin (x/2)$.»

Так как $\sin$ — периодическая, наибольшее и наименьшее значения находим из амплитуды:

• $\sin$ принимает значения от $-1$ до $1$.
• $3\sin (x/2)$ принимает от $-3$ до $3$.
• $2+3\sin (x/2)$ принимает от $-1$ до $5$.

Наибольшее значение — $5$.

Свойства периодической функции

1. Если $T$ — период, то $-T$, $2T$, $-2T$, ... — тоже периоды.
2. Сумма всех значений периодической функции на одном периоде одинакова для любого периода (часто используется в интегралах).
3. Если функция возрастает на одном периоде, то на следующем она тоже возрастает (по «копии» того же поведения).

Почему у тангенса период вдвое меньше

Это одна из самых частых путаниц, поэтому стоит понять её, а не запоминать. Синус и косинус возвращаются к исходному значению через $2\pi$ — полный оборот по окружности. А тангенс возвращается уже через $\pi$, то есть через половину оборота. Откуда такая разница?

Тангенс — это отношение синуса к косинусу. При повороте на $\pi$ и синус, и косинус меняют знак на противоположный. Но в отношении два минуса сокращаются: $\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}$. Значит, тангенс через половину оборота принимает то же самое значение, хотя синус и косинус по отдельности ещё не вернулись к себе. Поэтому период тангенса и котангенса — $\pi$, а не $2\pi$. Если запомнить именно это рассуждение про «минусы сокращаются», ошибка с периодом тангенса исчезнет навсегда.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — основной костяк.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди наименьший положительный период функции $y=\sin (3x)$.

Решение. Период функции вида $\sin (kx)$ считается по формуле $T=\frac{2\pi }{|k|}$. Здесь $k=3$, поэтому $T=\frac{2\pi }{3}$.

Проверим логику: чем больше коэффициент $k$, тем «быстрее» колеблется синус, тем короче период. Тройка ускоряет колебания втрое, поэтому период втрое меньше обычного $2\pi$. Всё сходится.

Типичная ошибка. Умножить на $k$ вместо деления и записать $6\pi$ — ровно наоборот тому, что должно быть.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди наименьший положительный период функции $y=\cos \left(\frac{x}{2}\right)+4$.

Решение. Прибавление числа $4$ сдвигает график по вертикали, но на период это никак не влияет — повторяемость по горизонтали остаётся прежней. Значит, период определяется только косинусом.

Посчитай период $\cos (x/2)$ сам по формуле.

Типичная ошибка. Решить, что добавленная константа $4$ меняет период. Сдвиг по вертикали период не трогает.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди наименьший положительный период функции $y=\sin (2x)+\cos (3x)$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Найди период каждого слагаемого: для $\sin (2x)$ и для $\cos (3x)$ по отдельности.

Шаг 2. Возьми их наименьшее общее кратное: период суммы — это НОК периодов слагаемых.

Шаг 3. Запиши ответ: проверь, что найденное число действительно подходит обоим слагаемым.

Типичная ошибка. Сложить периоды или взять их разность вместо наименьшего общего кратного.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 13). Запись всех корней уравнения. Найдя один корень тригонометрического уравнения, ты добавляешь период, чтобы описать все остальные. Без понимания периода ответ будет неполным — потеряешь серию корней и потеряешь балл.

Тип 2 (задание 11). Экстремум периодической функции. Если функция периодична, её наибольшее и наименьшее значения достаточно искать на одном периоде — на остальных всё повторяется. Это сильно сокращает работу: не надо перебирать бесконечную ось.

Тип 3. Определить, периодична ли функция вообще. Произведение периодической функции на растущую (например, $y=x\sin x$) периодичным не будет: множитель $x$ всё время увеличивает амплитуду, повторяемость ломается. Уметь распознавать такие «ложно-тригонометрические» функции тоже полезно.

Распространённые ошибки

1. Не указать «наименьший положительный». На ЕГЭ обычно ищут именно наименьший. Ответ «$4\pi$ — период $\sin x$» формально правильный, но не наименьший. Правильный ответ — $2\pi$.

2. Перепутать период $\mathrm{tg}x$ с периодом $\sin x$. Это типичная ошибка. $T_{\mathrm{tg}}=\pi$, не $2\pi$. Это легко проверить: $\mathrm{tg}(\pi /4)=1$ и $\mathrm{tg}(\pi /4+\pi )=\mathrm{tg}(5\pi /4)=1$ — равны.

3. Поделить на $k$ вместо умножения. Период $\sin (kx)$ — это $2\pi /k$, не $2\pi \cdot k$. Запоминается просто: чем больше $k$, тем «быстрее» функция колеблется, тем меньше период.

4. Считать $y=x\sin x$ периодической. Не периодическая. Множитель $x$ растёт, поэтому функция не повторяется. Произведение периодической на непериодическую обычно непериодическое.

5. Не учитывать модуль в $|k|$. Период $\sin (-3x)$ — это $2\pi /3$, не $-2\pi /3$ и не «не существует». Знак $k$ не важен, важен только модуль.

Разобранный пример

Условие. Найди наименьший положительный период функции $y=\cos \left(\frac{x}{4}\right)$.

Решение. Период косинуса с аргументом $kx$ равен $T=\frac{2\pi }{|k|}$.

Здесь $k=1/4$, значит $|k|=1/4$, и период:

$T=\frac{2\pi }{1/4}=8\pi$

Ответ. $8\pi$.

Зачем период нужен на экзамене

Период — не абстрактное свойство ради теории, а рабочий инструмент решения. В тригонометрических уравнениях он отвечает за полноту ответа. Любое такое уравнение имеет бесконечно много корней, расположенных периодически. Ты находишь корни в пределах одного периода, а затем добавляешь «$+Tn$», где $T$ — период, а $n$ пробегает все целые числа. Если ошибёшься в периоде, серия корней окажется неверной, и даже при правильно найденном первом корне ответ будет засчитан как ошибочный.

В задачах на наибольшее и наименьшее значение период экономит время. Раз функция повторяется, её экстремумы тоже повторяются с тем же шагом. Значит, достаточно исследовать функцию на одном периоде — а это конечный отрезок, с которым легко работать. Не надо бояться бесконечной оси: периодичность сводит бесконечную задачу к конечной.

Наконец, умение быстро называть периоды основных функций — $2\pi$ для синуса и косинуса, $\pi$ для тангенса и котангенса — экономит драгоценные минуты. Эти значения стоит довести до автоматизма, чтобы не выводить их каждый раз заново.

Что запомнить

• $f(x+T)=f(x)$ — период $T$.
• На ЕГЭ — наименьший положительный период.
• $T_{\sin }=T_{\cos }=2\pi$.
• $T_{\mathrm{tg}}=T_{\mathrm{ctg}}=\pi$.
• $T_{\sin (kx)}=2\pi /|k|$.
• Сумма периодических функций периодична, если отношение периодов рационально.

Связь с другими темами

• Тригонометрические уравнения — период нужен для записи всех корней.
• Чётная и нечётная функция — другой тип симметрии.
• Период синуса и косинуса — детальный разбор периодов тригонометрических функций.
• График синуса и косинуса — как период виден на графике.
• Монотонность функции — поведение функции внутри одного периода.