Чётная и нечётная функция

Чётность и нечётность — основные виды симметрии функций. Чётность даёт зеркальную симметрию относительно оси $Oy$, нечётность — центральную симметрию относительно начала координат. На ЕГЭ свойство нужно для задач 11 (наибольшее/наименьшее) и часто упрощает работу с интегралами.

Зачем вообще проверять функцию на чётность? Главная польза — экономия работы. Симметрия означает, что половина графика повторяет другую половину, поэтому достаточно изучить функцию на одной стороне, а вторую достроить отражением. Это касается и построения графика, и поиска экстремумов, и подсчёта определённых интегралов на симметричных отрезках. Распознав симметрию заранее, ты сокращаешь объём вычислений примерно вдвое.

Важно с самого начала понять, что чётность и нечётность — это не «либо одно, либо другое». У функции есть три возможных исхода: она может быть чётной, может быть нечётной, а может не быть ни той, ни другой. Последний случай — самый частый, и для него есть отдельное название: функция общего вида. Большинство функций, которые встречаются в жизни, именно такие, поэтому не удивляйся, если проверка часто заканчивается выводом «ни чётная, ни нечётная».

Определения

Чётная функция. Функция $f(x)$ называется чётной, если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно нуля: для каждого $x \in D(f)$ также $-x \in D(f)$.
2. Для всех $x \in D(f)$: $f(-x) = f(x)$.

Нечётная функция. Функция $f(x)$ называется нечётной, если выполнены:

1. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Для всех $x \in D(f)$: $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из равенств не выполняется (или $D(f)$ несимметрична), функция называется функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной). Обрати внимание: между чётной и нечётной нет «промежуточных» вариантов — функция либо удовлетворяет одному из двух точных равенств, либо не удовлетворяет ни одному и попадает в общий вид.

Геометрический смысл

Чётная функция. График симметричен относительно оси $Oy$. Если ты возьмёшь левую половину графика и отразишь её относительно $Oy$, получится правая половина. Можно представить, что ось $Oy$ — это зеркало, поставленное вертикально: правая часть графика — отражение левой. Самый знакомый пример такой симметрии — парабола $y = x^2$, у которой обе ветви одинаковы и стоят зеркально друг к другу.

Нечётная функция. График симметричен относительно начала координат. Если ты возьмёшь любую точку $(a;\,b)$ на графике, то $(-a;\,-b)$ тоже на графике. Здесь симметрия не зеркальная, а поворотная: представь, что весь график можно повернуть на пол-оборота вокруг начала координат, и он совпадёт сам с собой. Типичный образ — кубическая парабола $y = x^3$, у которой правая ветвь уходит вверх, а левая — симметрично вниз.

Примеры

Чётные функции:

• $y = x^2$ (и любая чётная степень $y = x^{2n}$);
• $y = |x|$;
• $y = \cos x$;
• $y = x^2 + 5$;
• $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$.

Нечётные функции:

• $y = x$ (и любая нечётная степень $y = x^{2n+1}$);
• $y = \dfrac{1}{x}$ (гипербола);
• $y = \sin x$, $y = \tg x$;
• $y = x^3 - x$.

Функции общего вида:

• $y = x + 1$ (линейная при $b \neq 0$);
• $y = 2^x$ (показательная);
• $y = \log_2 x$ (логарифмическая, к тому же $D(f)$ несимметрична);
• $y = \sqrt{x}$ ($D(f) = [0;+\infty)$ — несимметрична).

Алгоритм проверки

1. Найти область определения $D(f)$. Если $D(f)$ несимметрична относительно нуля (например, $[0;+\infty)$ или $(-1;\,5]$), функция сразу — общего вида. Дальше проверять не нужно.
2. Подставить $-x$ вместо $x$ в формулу. Получить $f(-x)$.
3. Упростить $f(-x)$.
4. Сравнить с $f(x)$ и с $-f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ — чётная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ — нечётная.
   • Иначе — общего вида.

Откуда берутся названия «чётная» и «нечётная»

Названия не случайны — они идут от степенных функций. Посмотри на $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$ — у всех показатель чётный, и все они чётные функции: при замене $x$ на $-x$ знак минус исчезает, ведь чётная степень минуса даёт плюс. А функции $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$ — с нечётным показателем — оказываются нечётными: нечётная степень сохраняет знак минус. Отсюда и пошли термины.

Эта связь даёт удобный быстрый признак для многочленов. Если в многочлене встречаются только чётные степени переменной (и, возможно, свободный член — он тоже «чётный», ведь это $x^0$), вся функция чётная. Если только нечётные степени без свободного члена — функция нечётная. А вот если степени смешаны, например есть и $x^2$, и $x^3$, симметрия ломается, и функция становится общего вида.

Понимание этого признака экономит время: часто не нужно подставлять $-x$ и упрощать, достаточно бросить взгляд на показатели степеней. Но осторожно — признак работает только для чистых многочленов. Как только появляются корни, дроби, логарифмы или тригонометрия, лучше вернуться к честной проверке через $f(-x)$.

Свойства чётности

Сумма.

• Чётная + чётная = чётная.
• Нечётная + нечётная = нечётная.
• Чётная + нечётная = общего вида (если обе ненулевые).

Произведение.

• Чётная × чётная = чётная.
• Нечётная × нечётная = чётная.
• Чётная × нечётная = нечётная.

Запоминается так же, как умножение знаков: «нечётная — это минус», «чётная — это плюс». Минус × минус = плюс.

Композиция $f(g(x))$.

• Если внешняя функция $f$ чётная, то композиция чётная (независимо от $g$).
• Если внешняя нечётная, а внутренняя чётная — композиция чётная.
• Если обе нечётные — композиция нечётная.

Применение в ЕГЭ

В задаче 11 (наибольшее/наименьшее). Если функция чётная, и нужно найти экстремум на отрезке $[-a;\,a]$, можно искать на $[0;\,a]$ — результат тот же. Это сокращает работу.

В графиках. Если знаешь, что функция чётная — рисуешь только правую половину, левую дорисовываешь зеркально. Для нечётной — половину рисуешь, вторую получаешь поворотом на $180°$ вокруг начала координат.

В уравнениях. Если уравнение $f(x) = c$ имеет корень $x_0$, и $f$ чётная, то $-x_0$ тоже корень. Если $f$ нечётная и $c = 0$, корни симметричны.

Эта симметрия корней — мощный инструмент самопроверки. Решив уравнение с чётной функцией и получив корень $x_0$, ты сразу знаешь, что и $-x_0$ обязан быть корнем. Если в твоём ответе симметричного корня нет — где-то ошибка, стоит перепроверить. И наоборот, найдя один корень, второй можно записать без вычислений, просто поменяв знак. Опытные решающие используют это, чтобы экономить время и ловить собственные промахи.

Симметрия проявляется и в задачах с параметром. Если уравнение содержит чётную функцию, число его корней почти всегда оказывается чётным (корни идут парами $x_0$ и $-x_0$), а нечётное число возможно лишь когда один из корней — сам ноль. Эта мысль помогает быстро прикинуть, при каких параметрах уравнение имеет, скажем, ровно три корня: один из них обязан быть нулевым. Такие рассуждения часто и есть ключ к задаче.

Почему область определения проверяют первой

Самый важный и самый недооценённый шаг проверки — это область определения. Многие сразу бросаются подставлять $-x$ в формулу, но если область определения несимметрична, вся дальнейшая работа теряет смысл. Разберёмся, почему.

Определение чётности требует, чтобы равенство $f(-x) = f(x)$ выполнялось для всех $x$ из области. Но чтобы вообще говорить про $f(-x)$, точка $-x$ обязана входить в область определения. Если область несимметрична — например, это луч $[0;\,+\infty)$ — то для положительного $x$ точка $-x$ отрицательна и в область не попадает. Значит, само выражение $f(-x)$ не определено, и проверять равенство не на чём.

Поэтому правило железное: сначала смотришь, симметрична ли область определения относительно нуля. Симметрична — значит для каждого $x$ есть и $-x$, можно продолжать проверку. Несимметрична — функция сразу объявляется общего вида, и дальше идти не нужно. Классический пример — функция корня: её область $[0;\,+\infty)$ несимметрична, поэтому корень не чётный и не нечётный, хотя по виду формулы это не очевидно.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Исследуй на чётность функцию $f(x) = x^3 - 4x$.

Решение. Область определения — вся числовая прямая, она симметрична относительно нуля, проверку продолжаем.

Подставляем $-x$: $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x$.

Сравниваем: это в точности $-(x^3 - 4x) = -f(x)$. Значит, функция нечётная.

Типичная ошибка. Невнимательно возвести $-x$ в куб и потерять знак минус, получив неверный вывод о чётности.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Исследуй на чётность функцию $f(x) = x^2 + \cos x$.

Решение. Область определения — вся прямая, симметрична. Подставь $-x$ в каждое слагаемое сам и упрости.

Типичная ошибка. Решить, что наличие косинуса делает функцию какой-то «смешанной». Здесь оба слагаемых чётные, поэтому и сумма чётная.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Исследуй на чётность функцию $f(x) = x^2 + 3x$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Проверь область определения — симметрична ли она.

Шаг 2. Подставь $-x$ и упрости полученное выражение.

Шаг 3. Сравни результат и с $f(x)$, и с $-f(x)$ — если не совпало ни с одним, делай вывод.

Типичная ошибка. Заметить $x^2$ и поспешно записать «чётная», не проверив второе слагаемое.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 11). Экстремум на симметричном отрезке. Если функция чётная, а отрезок симметричен относительно нуля, экстремум достаточно искать на правой половине. Левая повторит её зеркально, новых значений не добавит.

Тип 2. Построение графика. Зная чётность, рисуют половину графика и достраивают вторую отражением: для чётной — зеркалом относительно $Oy$, для нечётной — поворотом на полоборота вокруг начала координат. Это ускоряет и проверку чужого графика.

Тип 3. Свойства в комбинациях. Часто спрашивают про чётность суммы или произведения. Здесь работают простые правила знаков: сумма функций одинаковой чётности сохраняет её, а произведение ведёт себя как умножение знаков, где нечётность играет роль минуса.

Распространённые ошибки

1. Не проверять область определения. Функция $y = \sqrt{x}$ ни чётная, ни нечётная, потому что $D(f) = [0;\,+\infty)$ несимметрична. Без проверки $D(f)$ можно ошибочно начать упрощать $\sqrt{-x}$ — это уже не имеет смысла.

2. Считать $y = x^2 + x$ чётной, потому что есть $x^2$. Нет. Подстановка: $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$. Это не равно ни $f(x) = x^2 + x$, ни $-f(x) = -x^2 - x$. Функция общего вида.

3. Путать симметрию относительно $Oy$ и относительно начала координат. Чётная — относительно оси $Oy$ (вертикальная зеркаль). Нечётная — относительно $O$ (поворот на $180°$).

4. Думать, что у нечётной функции $f(0) = 0$ обязательно. Только если $0 \in D(f)$. У $y = 1/x$ ноль не входит в область определения.

5. Считать $y = \cos x$ нечётной. Это типичная ошибка. $\cos(-x) = \cos x$, значит $\cos$ — чётная. Нечётный — это $\sin x$ ($\sin(-x) = -\sin x$).

Разобранный пример

Условие. Является ли функция $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ чётной, нечётной или общего вида?

Решение.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$ — симметрична. Дальше проверяем.

Шаг 2. Подставим $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1$

Шаг 3. Сравним: $f(-x) = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$. Значит, функция чётная.

Дополнительно. Все слагаемые — чётные степени или константа. Сумма чётных функций — чётная.

Что запомнить

• Чётная: $f(-x) = f(x)$, симметрия относительно $Oy$.
• Нечётная: $f(-x) = -f(x)$, симметрия относительно $O$.
• Общего вида: ни то, ни другое.
• Перед проверкой — обязательно симметрия $D(f)$.
• Чётные степени → чётная. Нечётные степени → нечётная (если нет других слагаемых).
• $\cos x$ — чётная, $\sin x$ — нечётная.

Связь с другими темами

• График синуса и косинуса — $\sin$ нечётный, $\cos$ чётный, видно по симметрии графиков.
• Период функции — другое свойство симметрии.
• Линейная функция y=kx+b — нечётная при $b=0$.
• Функция модуля y=|x| — типичная чётная.
• Квадратичная функция — чётная при отсутствии линейного члена.