Чётная и нечётная функция

Чётность и нечётность — основные виды симметрии функций. Чётность даёт зеркальную симметрию относительно оси $Oy$, нечётность — центральную симметрию относительно начала координат. На ЕГЭ свойство нужно для задач 11 (наибольшее/наименьшее) и часто упрощает работу с интегралами.

Определения

Чётная функция. Функция $f(x)$ называется чётной, если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно нуля: для каждого $x \in D(f)$ также $-x \in D(f)$.
2. Для всех $x \in D(f)$: $f(-x) = f(x)$.

Нечётная функция. Функция $f(x)$ называется нечётной, если выполнены:

1. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Для всех $x \in D(f)$: $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из равенств не выполняется (или $D(f)$ несимметрична), функция называется функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Геометрический смысл

Чётная функция. График симметричен относительно оси $Oy$. Если ты возьмёшь левую половину графика и отразишь её относительно $Oy$, получится правая половина.

Нечётная функция. График симметричен относительно начала координат. Если ты возьмёшь любую точку $(a;\,b)$ на графике, то $(-a;\,-b)$ тоже на графике.

Примеры

Чётные функции:

• $y = x^2$ (и любая чётная степень $y = x^{2n}$);
• $y = |x|$;
• $y = \cos x$;
• $y = x^2 + 5$;
• $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$.

Нечётные функции:

• $y = x$ (и любая нечётная степень $y = x^{2n+1}$);
• $y = \dfrac{1}{x}$ (гипербола);
• $y = \sin x$, $y = \tg x$;
• $y = x^3 - x$.

Функции общего вида:

• $y = x + 1$ (линейная при $b \neq 0$);
• $y = 2^x$ (показательная);
• $y = \log_2 x$ (логарифмическая, к тому же $D(f)$ несимметрична);
• $y = \sqrt{x}$ ($D(f) = [0;+\infty)$ — несимметрична).

Алгоритм проверки

1. Найти область определения $D(f)$. Если $D(f)$ несимметрична относительно нуля (например, $[0;+\infty)$ или $(-1;\,5]$), функция сразу — общего вида. Дальше проверять не нужно.
2. Подставить $-x$ вместо $x$ в формулу. Получить $f(-x)$.
3. Упростить $f(-x)$.
4. Сравнить с $f(x)$ и с $-f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ — чётная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ — нечётная.
   • Иначе — общего вида.

Свойства чётности

Сумма.

• Чётная + чётная = чётная.
• Нечётная + нечётная = нечётная.
• Чётная + нечётная = общего вида (если обе ненулевые).

Произведение.

• Чётная × чётная = чётная.
• Нечётная × нечётная = чётная.
• Чётная × нечётная = нечётная.

Запоминается так же, как умножение знаков: «нечётная — это минус», «чётная — это плюс». Минус × минус = плюс.

Композиция $f(g(x))$.

• Если внешняя функция $f$ чётная, то композиция чётная (независимо от $g$).
• Если внешняя нечётная, а внутренняя чётная — композиция чётная.
• Если обе нечётные — композиция нечётная.

Применение в ЕГЭ

В задаче 11 (наибольшее/наименьшее). Если функция чётная, и нужно найти экстремум на отрезке $[-a;\,a]$, можно искать на $[0;\,a]$ — результат тот же. Это сокращает работу.

В графиках. Если знаешь, что функция чётная — рисуешь только правую половину, левую дорисовываешь зеркально. Для нечётной — половину рисуешь, вторую получаешь поворотом на $180°$ вокруг начала координат.

В уравнениях. Если уравнение $f(x) = c$ имеет корень $x_0$, и $f$ чётная, то $-x_0$ тоже корень. Если $f$ нечётная и $c = 0$, корни симметричны.

Распространённые ошибки

1. Не проверять область определения. Функция $y = \sqrt{x}$ ни чётная, ни нечётная, потому что $D(f) = [0;\,+\infty)$ несимметрична. Без проверки $D(f)$ можно ошибочно начать упрощать $\sqrt{-x}$ — это уже не имеет смысла.

2. Считать $y = x^2 + x$ чётной, потому что есть $x^2$. Нет. Подстановка: $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$. Это не равно ни $f(x) = x^2 + x$, ни $-f(x) = -x^2 - x$. Функция общего вида.

3. Путать симметрию относительно $Oy$ и относительно начала координат. Чётная — относительно оси $Oy$ (вертикальная зеркаль). Нечётная — относительно $O$ (поворот на $180°$).

4. Думать, что у нечётной функции $f(0) = 0$ обязательно. Только если $0 \in D(f)$. У $y = 1/x$ ноль не входит в область определения.

5. Считать $y = \cos x$ нечётной. Это типичная ошибка. $\cos(-x) = \cos x$, значит $\cos$ — чётная. Нечётный — это $\sin x$ ($\sin(-x) = -\sin x$).

Разобранный пример

Условие. Является ли функция $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ чётной, нечётной или общего вида?

Решение.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$ — симметрична. Дальше проверяем.

Шаг 2. Подставим $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1$

Шаг 3. Сравним: $f(-x) = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$. Значит, функция чётная.

Дополнительно. Все слагаемые — чётные степени или константа. Сумма чётных функций — чётная.

Что запомнить

• Чётная: $f(-x) = f(x)$, симметрия относительно $Oy$.
• Нечётная: $f(-x) = -f(x)$, симметрия относительно $O$.
• Общего вида: ни то, ни другое.
• Перед проверкой — обязательно симметрия $D(f)$.
• Чётные степени → чётная. Нечётные степени → нечётная (если нет других слагаемых).
• $\cos x$ — чётная, $\sin x$ — нечётная.

Связь с другими темами

• Тригонометрические функции — $\sin$, $\cos$, $\tg$ — типичные примеры чётности.
• Период функции — другое свойство симметрии.
• Линейная функция y=kx+b — нечётная при $b=0$.
• Функция модуля y=|x| — типичная чётная.