Экстремумы функции: максимум и минимум

Экстремумы — точки, где функция меняет своё поведение. Это базовая концепция для исследования функции (задание 12) и для нахождения наибольших и наименьших значений (задание 11). Главное здесь — чёткое разграничение «точки экстремума» и «значения экстремума».

Наглядно экстремумы — это «горки» и «ямки» графика. Там, где кривая перестаёт подниматься и начинает спускаться, у неё локальный максимум. Там, где наоборот, после спуска начинается подъём, локальный минимум. Слово «локальный» важно: речь идёт о вершине именно в окрестности точки, а не о рекорде на всём графике. У функции может быть несколько горок разной высоты, и каждая из них — локальный максимум, даже если рядом есть горка повыше.

Определения

Точка локального максимума $x_0$ — точка, в окрестности которой $f(x) \leq f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Точка локального минимума $x_0$ — точка, в окрестности которой $f(x) \geq f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Общее название: точка экстремума.

Соответствующее значение $f(x_0)$ — максимум или минимум функции (значение экстремума).

Важное разграничение. Точка экстремума — это $x_0$ (абсцисса). Значение экстремума — это $y_0 = f(x_0)$ (ордината). На ЕГЭ часто спрашивают одно или другое — внимательно читай условие.

Это различие даёт больше всего потерянных баллов в задании 12, поэтому останови на нём внимание. Представь горную вершину на карте. Точка экстремума — это где вершина находится, её координата по горизонтали. Значение экстремума — это высота вершины над уровнем моря. Один и тот же вопрос можно задать двумя способами, и они дают разные числа. Если в условии написано «найди точку максимума», ответом будет $x$. Если «найди максимум функции» или «найди наибольшее значение», ответом будет $y$. Перепутаешь — решишь правильно, а балл не получишь.

Критическая точка

Критическая точка функции — точка $x_0$ из области определения, в которой:

• $f'(x_0) = 0$, или
• $f'(x_0)$ не существует.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если $x_0$ — точка экстремума и функция дифференцируема в $x_0$, то $f'(x_0) = 0$.

Иными словами: все экстремумы (внутренние) находятся среди критических точек. Но не все критические точки — экстремумы.

Эту логику удобно держать как фильтр в два этапа. Сначала ты собираешь всех «подозреваемых»: точки, где производная равна нулю или не существует. Это и есть критические точки. Затем проверяешь каждого подозреваемого на смену знака производной. Те, у кого знак меняется, оказываются настоящими экстремумами. Те, у кого не меняется, отсеиваются. Классический пример отсева — функция $y = x^3$: в нуле её производная равна нулю, точка попадает в список подозреваемых, но знак производной по обе стороны одинаков, и экстремума нет.

Достаточное условие экстремума (через первую производную)

Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f$, и $f$ непрерывна в окрестности $x_0$. Тогда:

• Если $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через $x_0$ — это точка максимума.
• Если $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+» — это точка минимума.
• Если знак не меняется — экстремума нет.

Алгоритм поиска экстремумов

1. Найти область определения $D(f)$.
2. Вычислить производную $f'(x)$.
3. Найти критические точки: $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
4. Разбить $D(f)$ на интервалы критическими точками.
5. Определить знак $f'(x)$ на каждом интервале.
6. В каждой критической точке проверить смену знака:
   • «+» → «−»: максимум,
   • «−» → «+»: минимум,
   • без смены: не экстремум.

Пример

Задача. Найти точки экстремума функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. Производная: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$.

Шаг 3. $f'(x) = 0$ при $x = 1$ и $x = 2$.

Шаг 4. Интервалы: $(-\infty;\,1)$, $(1;\,2)$, $(2;\,+\infty)$.

Шаг 5. Знаки производной:

• $(-\infty;\,1)$: пробная точка $x = 0$, $f'(0) = 12 > 0$, знак «+».
• $(1;\,2)$: пробная точка $x = 1{,}5$, $f'(1{,}5) = 6 \cdot 0{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}5 < 0$, знак «−».
• $(2;\,+\infty)$: пробная точка $x = 3$, $f'(3) = 6 \cdot 2 \cdot 1 = 12 > 0$, знак «+».

Шаг 6. В $x = 1$: смена «+» на «−» → точка максимума. В $x = 2$: смена «−» на «+» → точка минимума.

Ответ. Точка максимума: $x_{max} = 1$. Точка минимума: $x_{min} = 2$.

Если бы в задаче спросили значения экстремумов:

• $f(1) = 2 - 9 + 12 - 5 = 0$ — максимум функции.
• $f(2) = 16 - 36 + 24 - 5 = -1$ — минимум функции.

Связь с задачей 7 ЕГЭ

В задаче 7 часто дан график производной $y = f'(x)$. По нему нужно сказать про точки экстремума функции $f$:

• Где график производной пересекает $Ox$ сверху вниз (с «+» на «−») — точка максимума функции $f$.
• Где график производной пересекает $Ox$ снизу вверх (с «−» на «+») — точка минимума функции $f$.

Точки, где производная просто касается оси (не меняя знак) — НЕ экстремумы.

Связь с задачей 11 ЕГЭ

Задача 11 — найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке $[a;\,b]$. Алгоритм:

1. Найти критические точки внутри $(a;\,b)$.
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах: $f(a)$, $f(b)$, $f(x_0)$.
3. Из этих значений выбрать наибольшее (для max) или наименьшее (для min).

Важно: на отрезке наибольшее/наименьшее значение всегда достигается, и оно либо в критической точке, либо на конце отрезка.

Почему достаточно проверить только эти точки. Между критическими точками функция строго монотонна, то есть либо всё время растёт, либо всё время падает. На монотонном куске рекорд не может прятаться где-то в середине: он всегда на краю куска. А края кусков — это либо критические точки, либо концы самого отрезка. Поэтому полный список кандидатов на наибольшее и наименьшее значение короткий: критические точки внутри отрезка плюс две его границы. Считаешь функцию в каждой из них и выбираешь самое большое и самое маленькое число.

Распространённые ошибки

1. Путать точку экстремума и значение экстремума. Если просят «точку максимума», ответ — $x_0$ (число на оси $Ox$). Если просят «максимум» или «наибольшее значение», ответ — $f(x_0)$ (число на оси $Oy$). Это самая частая ошибка в задаче 12.

2. Считать любую критическую точку экстремумом. $y = x^3$ имеет $y' = 3x^2$, $y'(0) = 0$, но $x = 0$ — НЕ экстремум, потому что слева и справа $y' > 0$ — функция везде возрастает.

3. Не проверять область определения. Если $f'(x_0)$ существует, но $x_0 \notin D(f)$ — это не критическая точка функции $f$.

4. Забыть про «не существует». Производная может не существовать в точках излома (как у $y = |x|$ в нуле). Такие точки тоже нужно проверять на экстремум — там часто есть.

5. На отрезке проверять только критические точки. Нужно проверять и концы отрезка $f(a)$, $f(b)$. Иногда наибольшее значение — именно там.

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найти наименьшее значение функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 4$ на отрезке $[0;\,4]$.

Решение. Производная: $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$.

Критические точки: $x = 1$ и $x = 3$. Обе на отрезке $[0;\,4]$.

Значения:

• $y(0) = 4$.
• $y(1) = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$.
• $y(3) = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$.
• $y(4) = 64 - 96 + 36 + 4 = 8$.

Наименьшее значение: $4$, достигается в $x = 0$ и $x = 3$.

Ответ. $4$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой основной костяк. Так навык исследования функции переходит из «понятно на показе» в «делаю сам».

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

Решение. Считаем производную:

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

Критические точки там, где $f'(x) = 0$: это $x = -1$ и $x = 3$.

Разбиваем числовую прямую этими точками на три интервала и проверяем знак производной пробной точкой в каждом:

• на $(-\infty;\,-1)$ берём $x = -2$: $f'(-2) = 3 \cdot (-5) \cdot (-1) = 15 > 0$, знак «+»;
• на $(-1;\,3)$ берём $x = 0$: $f'(0) = 3 \cdot (-3) \cdot 1 = -9 < 0$, знак «−»;
• на $(3;\,+\infty)$ берём $x = 4$: $f'(4) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$, знак «+».

В точке $x = -1$ знак меняется с «+» на «−» — это точка максимума. В точке $x = 3$ знак меняется с «−» на «+» — это точка минимума.

Ответ. $x_{\max} = -1$, $x_{\min} = 3$.

Типичная ошибка. Записать в ответ значения $f(-1)$ и $f(3)$, хотя спрашивали именно точки. Точка экстремума — это $x$, не $y$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Производная функции имеет вид $f'(x) = (x - 2)(x + 4)$. Найди точки экстремума.

Решение. Критические точки — нули производной: $x = -4$ и $x = 2$.

Дальше определи знаки производной на трёх интервалах сам, подставив по одной пробной точке в каждый, и реши, где какой экстремум.

Типичная ошибка. Назвать обе критические точки экстремумами «по умолчанию», не проверив смену знака. Здесь смена есть в обеих, но в других задачах одна из точек может оказаться без смены знака, и тогда это не экстремум.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди точку экстремума и значение экстремума функции $y = |x - 2| + 3$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Пойми, где у модуля особая точка. Уголок ломается там, где выражение под модулем обнуляется. Производная в этой точке не существует, но точка всё равно критическая.

Шаг 2. Разбери поведение слева и справа от излома. Раскрой модуль на двух кусках и определи, где функция убывает, а где возрастает.

Шаг 3. Сделай вывод про тип экстремума и посчитай его значение.

Типичная ошибка. Решить, что раз производная в $x = 2$ не существует, то экстремума там нет. Наоборот: точки излома — частое место экстремумов, их обязательно нужно проверять.

Типовые задачи ЕГЭ

Экстремумы спрашивают в трёх заданиях профиля. Разберём по одному типовому формату из каждого.

Тип 1. По графику производной (задание 7). Дан график $y = f'(x)$. Точки максимума функции $f$ там, где график производной пересекает ось $Ox$ сверху вниз (знак меняется с «+» на «−»). Точки минимума — где снизу вверх («−» на «+»). Если график производной только касается оси, не меняя знак, экстремума в этой точке нет.

Тип 2. Точка максимума или минимума (задание 12). Здесь почти всегда просят именно $x$ — абсциссу. Алгоритм стандартный: производная, критические точки, смена знака. В ответ идёт номер точки на оси, а не значение функции в ней.

Тип 3. Наибольшее и наименьшее на отрезке (задание 11). Найди наименьшее значение $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0;\,2]$. Производная $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, на отрезке лежит критическая точка $x = 1$. Считаем значения в критической точке и на концах: $f(0) = 0$, $f(1) = 1 - 3 = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Наименьшее значение $-2$ в точке $x = 1$, наибольшее $2$ в точке $x = 2$.

Что запомнить

• Точка экстремума — внутренняя точка $D(f)$, где функция «разворачивается».
• Все экстремумы внутри $D(f)$ — критические точки.
• Критическая точка ≠ экстремум (нужна смена знака производной).
• «+» → «−» — максимум; «−» → «+» — минимум.
• Точка экстремума — $x$, значение экстремума — $y$.
• На отрезке для наиб/наим значения — проверь критические точки и концы.

Связь с другими темами

• Монотонность функции — экстремум на стыке двух промежутков.
• Производная — основной инструмент.
• Квадратичная функция — простейший случай: один экстремум в вершине.
• Задание 7: производная по графику — задачи на чтение графиков.