Экстремумы функции: максимум и минимум

Экстремумы — точки, где функция меняет своё поведение. Это базовая концепция для исследования функции (задание 12) и для нахождения наибольших и наименьших значений (задание 11). Главное здесь — чёткое разграничение «точки экстремума» и «значения экстремума».

Определения

Точка локального максимума $x_0$ — точка, в окрестности которой $f(x) \leq f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Точка локального минимума $x_0$ — точка, в окрестности которой $f(x) \geq f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Общее название: точка экстремума.

Соответствующее значение $f(x_0)$ — максимум или минимум функции (значение экстремума).

Важное разграничение. Точка экстремума — это $x_0$ (абсцисса). Значение экстремума — это $y_0 = f(x_0)$ (ордината). На ЕГЭ часто спрашивают одно или другое — внимательно читай условие.

Критическая точка

Критическая точка функции — точка $x_0$ из области определения, в которой:

• $f'(x_0) = 0$, или
• $f'(x_0)$ не существует.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если $x_0$ — точка экстремума и функция дифференцируема в $x_0$, то $f'(x_0) = 0$.

Иными словами: все экстремумы (внутренние) находятся среди критических точек. Но не все критические точки — экстремумы.

Достаточное условие экстремума (через первую производную)

Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f$, и $f$ непрерывна в окрестности $x_0$. Тогда:

• Если $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через $x_0$ — это точка максимума.
• Если $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+» — это точка минимума.
• Если знак не меняется — экстремума нет.

Алгоритм поиска экстремумов

1. Найти область определения $D(f)$.
2. Вычислить производную $f'(x)$.
3. Найти критические точки: $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
4. Разбить $D(f)$ на интервалы критическими точками.
5. Определить знак $f'(x)$ на каждом интервале.
6. В каждой критической точке проверить смену знака:
   • «+» → «−»: максимум,
   • «−» → «+»: минимум,
   • без смены: не экстремум.

Пример

Задача. Найти точки экстремума функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. Производная: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$.

Шаг 3. $f'(x) = 0$ при $x = 1$ и $x = 2$.

Шаг 4. Интервалы: $(-\infty;\,1)$, $(1;\,2)$, $(2;\,+\infty)$.

Шаг 5. Знаки производной:

• $(-\infty;\,1)$: пробная точка $x = 0$, $f'(0) = 12 > 0$, знак «+».
• $(1;\,2)$: пробная точка $x = 1{,}5$, $f'(1{,}5) = 6 \cdot 0{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}5 < 0$, знак «−».
• $(2;\,+\infty)$: пробная точка $x = 3$, $f'(3) = 6 \cdot 2 \cdot 1 = 12 > 0$, знак «+».

Шаг 6. В $x = 1$: смена «+» на «−» → точка максимума. В $x = 2$: смена «−» на «+» → точка минимума.

Ответ. Точка максимума: $x_{max} = 1$. Точка минимума: $x_{min} = 2$.

Если бы в задаче спросили значения экстремумов:

• $f(1) = 2 - 9 + 12 - 5 = 0$ — максимум функции.
• $f(2) = 16 - 36 + 24 - 5 = -1$ — минимум функции.

Связь с задачей 7 ЕГЭ

В задаче 7 часто дан график производной $y = f'(x)$. По нему нужно сказать про точки экстремума функции $f$:

• Где график производной пересекает $Ox$ сверху вниз (с «+» на «−») — точка максимума функции $f$.
• Где график производной пересекает $Ox$ снизу вверх (с «−» на «+») — точка минимума функции $f$.

Точки, где производная просто касается оси (не меняя знак) — НЕ экстремумы.

Связь с задачей 11 ЕГЭ

Задача 11 — найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке $[a;\,b]$. Алгоритм:

1. Найти критические точки внутри $(a;\,b)$.
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах: $f(a)$, $f(b)$, $f(x_0)$.
3. Из этих значений выбрать наибольшее (для max) или наименьшее (для min).

Важно: на отрезке наибольшее/наименьшее значение всегда достигается, и оно либо в критической точке, либо на конце отрезка.

Распространённые ошибки

1. Путать точку экстремума и значение экстремума. Если просят «точку максимума», ответ — $x_0$ (число на оси $Ox$). Если просят «максимум» или «наибольшее значение», ответ — $f(x_0)$ (число на оси $Oy$). Это самая частая ошибка в задаче 12.

2. Считать любую критическую точку экстремумом. $y = x^3$ имеет $y' = 3x^2$, $y'(0) = 0$, но $x = 0$ — НЕ экстремум, потому что слева и справа $y' > 0$ — функция везде возрастает.

3. Не проверять область определения. Если $f'(x_0)$ существует, но $x_0 \notin D(f)$ — это не критическая точка функции $f$.

4. Забыть про «не существует». Производная может не существовать в точках излома (как у $y = |x|$ в нуле). Такие точки тоже нужно проверять на экстремум — там часто есть.

5. На отрезке проверять только критические точки. Нужно проверять и концы отрезка $f(a)$, $f(b)$. Иногда наибольшее значение — именно там.

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найти наименьшее значение функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 4$ на отрезке $[0;\,4]$.

Решение. Производная: $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$.

Критические точки: $x = 1$ и $x = 3$. Обе на отрезке $[0;\,4]$.

Значения:

• $y(0) = 4$.
• $y(1) = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$.
• $y(3) = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$.
• $y(4) = 64 - 96 + 36 + 4 = 8$.

Наименьшее значение: $4$, достигается в $x = 0$ и $x = 3$.

Ответ. $4$.

Что запомнить

• Точка экстремума — внутренняя точка $D(f)$, где функция «разворачивается».
• Все экстремумы внутри $D(f)$ — критические точки.
• Критическая точка ≠ экстремум (нужна смена знака производной).
• «+» → «−» — максимум; «−» → «+» — минимум.
• Точка экстремума — $x$, значение экстремума — $y$.
• На отрезке для наиб/наим значения — проверь критические точки и концы.

Связь с другими темами

• Монотонность функции — экстремум на стыке двух промежутков.
• Производная — основной инструмент.
• Квадратичная функция — простейший случай: один экстремум в вершине.
• Задание 7: производная по графику — задачи на чтение графиков.