Область значений функции

Область значений — пара к области определения. Если $D(f)$ — что мы подставляем, $E(f)$ — что мы получаем. На ЕГЭ область значений часто запрашивается прямо или нужна для решения задачи 11 (наибольшее/наименьшее значение).

Определение

Область значений функции $f$ — множество всех значений $y$, которые принимает $f(x)$, когда $x$ пробегает $D(f)$.

Обозначение: $E(f)$ или $E_f$.

Формально:

$E(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in D(f): f(x) = y\}$

Геометрический смысл

На графике функции $E(f)$ — это проекция графика на ось $Oy$. То есть множество всех «$y$-координат» точек графика.

Область значений основных функций

Методы нахождения E(f)

Метод 1: через свойства известной функции

Если функция простая или сводится к известной — используешь таблицу.

Пример. $y = 2 \sin x + 3$. $\sin x \in [-1;\,1]$, значит $2\sin x \in [-2;\,2]$, и $2\sin x + 3 \in [1;\,5]$. $E(f) = [1;\,5]$.

Метод 2: через производную

Универсальный метод. Алгоритм:

1. Найти $D(f)$.
2. Найти $f'(x)$, критические точки.
3. Определить промежутки монотонности.
4. Найти значения функции в критических точках и на концах $D(f)$ (или поведение при $x \to \pm \infty$).
5. Объединить все значения, которые функция принимает.

Пример. $f(x) = x^3 - 3x + 5$ на $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Критические точки: $-1$ и $1$.

Знаки $f'$: + на $(-\infty;\,-1)$, − на $(-1;\,1)$, + на $(1;\,+\infty)$.

$f(-1) = -1 + 3 + 5 = 7$ (максимум). $f(1) = 1 - 3 + 5 = 3$ (минимум).

При $x \to -\infty$: $f \to -\infty$. При $x \to +\infty$: $f \to +\infty$.

Значит, функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. $E(f) = \mathbb{R}$.

Метод 3: через ОДЗ обратной функции

Для уравнения $y = f(x)$ относительно $x$: при каких $y$ оно имеет решение в $D(f)$?

Пример. $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$. Решим относительно $x$: $y(x^2 + 1) = x$, $yx^2 - x + y = 0$.

Если $y = 0$: $x = 0$ — есть решение.

Если $y \neq 0$: квадратное уравнение, дискриминант $D = 1 - 4y^2 \geq 0$, то есть $|y| \leq 1/2$.

Объединяем: $|y| \leq 1/2$. $E(f) = [-1/2;\,1/2]$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Если задача — найти наибольшее (или наименьшее) значение функции, и ты определил $E(f) = [a;\,b]$, то наибольшее значение — $b$, наименьшее — $a$. Готово.

Пример. «Найти наибольшее значение функции $y = 5 \cos x - 12 \sin x + 1$.»

Используем стандартный приём: $a \cos x + b \sin x \in [-\sqrt{a^2 + b^2};\,\sqrt{a^2 + b^2}]$.

$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$. Значит, $5\cos x - 12 \sin x \in [-13;\,13]$, и вся функция $y \in [-12;\,14]$.

Наибольшее значение: $14$.

E(f) для параболы

Для $y = ax^2 + bx + c$ область значений — луч от значения в вершине до бесконечности (или наоборот). Сначала находишь вершину $y_0 = c - b^2/(4a)$ (или подстановкой $x_0 = -b/(2a)$). Затем:

• $a > 0$: $E(f) = [y_0;\,+\infty)$.
• $a < 0$: $E(f) = (-\infty;\,y_0]$.

Распространённые ошибки

1. Считать $E(f) = D(f)$ для произвольной функции. Это совпадает только для очень простых функций (например, $y = x$ или линейной с $k \neq 0$). Для большинства это разные множества.

2. Не учитывать ограниченность $D(f)$. Если ищешь $E(f)$ функции на отрезке, область значений может оказаться меньше, чем для функции на $\mathbb{R}$.

3. Забыть про точки разрыва. $y = 1/x$: $E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, потому что $1/x = 0$ невозможно.

4. Перепутать направление включения концов. Для $y = \sin x$: $E(f) = [-1;\,1]$ — оба конца включены. Для $y = e^x$: $E(f) = (0;\,+\infty)$ — ноль не включён (асимптота).

5. Предполагать, что максимум всегда достигается. Не всегда. У $y = e^{-x^2}$ максимум $1$ в $x = 0$ — достигается. Но у $y = \arctg x$ — асимптоты $\pm \pi/2$ — значения $\pi/2$ и $-\pi/2$ функция не принимает, $E(f) = (-\pi/2;\,\pi/2)$.

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найти наименьшее значение функции $y = x^2 - 4x + 7$.

Решение. Это квадратичная функция, $a = 1 > 0$, минимум в вершине.

$x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$. $y_0 = 4 - 8 + 7 = 3$.

$E(f) = [3;\,+\infty)$, наименьшее значение $3$.

Ответ. $3$.

Что запомнить

• $E(f)$ — все значения $y$, которые принимает функция.
• На графике — проекция на $Oy$.
• Для параболы — луч от вершины.
• Для $\sin$, $\cos$ — отрезок $[-1;\,1]$.
• Для $a^x$ — луч $(0;\,+\infty)$.
• Поиск через производную: критические точки + поведение на бесконечности.

Связь с другими темами

• Область определения функции — пара к $E(f)$.
• Экстремумы функции — концы $E(f)$ часто связаны с экстремумами.
• Квадратичная функция — простейший случай $E(f)$.