Квадратные неравенства — методы решения и задачи ЕГЭ

Квадратные неравенства решаются двумя способами: через график параболы и через метод интервалов. Оба дают один и тот же ответ, но параболой быстрее. Разберём оба приёма на трёх случаях: два корня, один, ни одного — и покажем, как это связано с заданием 15.

Что такое квадратное неравенство

Квадратное неравенство — неравенство вида

$a{x}^2+bx+c\gtrless 0$

где $a\ne 0$. Знак неравенства может быть $>$, $<$, $\ge$ или $\le$.

Задача — найти все $x$, при которых неравенство выполняется. Ответ обычно записывается в виде объединения интервалов.

Решение через параболу

Квадратный трёхчлен $y=a{x}^2+bx+c$ — это парабола. Она полностью определяется двумя вещами:

1. Направлением ветвей (вверх при $a>0$, вниз при $a<0$).
2. Точками пересечения с осью OX — корнями уравнения $a{x}^2+bx+c=0$.

Знак функции на каждом участке понятен из графика:

• Там, где парабола выше оси OX — функция положительна.
• Там, где парабола ниже оси — функция отрицательна.
• Корни — точки, где функция равна нулю.

Три случая по дискриминанту

Случай 1. $D>0$ — два корня. Парабола пересекает ось OX в двух точках $x_1<x_2$.

При $a>0$ (ветви вверх): функция $>0$ при $x<x_1$ или $x>x_2$; функция $<0$ при $x_1<x<x_2$.

При $a<0$ (ветви вниз): всё наоборот.

Случай 2. $D=0$ — один корень. Парабола касается оси в одной точке $x_0$.

При $a>0$: функция $\ge 0$ для всех $x$, причём $=0$ только в точке $x_0$.

При $a<0$: функция $\le 0$ для всех $x$, $=0$ только в $x_0$.

Случай 3. $D<0$ — корней нет. Парабола не пересекает ось.

При $a>0$: функция $>0$ для всех $x$.

При $a<0$: функция $<0$ для всех $x$.

Решение через метод интервалов

Метод интервалов — универсальный подход, особенно удобен, когда квадратный трёхчлен — часть более сложного выражения.

1. Разложи трёхчлен на множители: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
2. Отметь корни на числовой прямой.
3. Определи знаки на интервалах пробной точкой или чередованием.
4. Выбери интервалы с нужным знаком.

Метод интервалов даёт тот же ответ, что и метод параболы, и показывает универсальность подхода. Для более общих задач задания 15 он незаменим.

Учёт знака старшего коэффициента

Знак $a$ — ключевой момент. Если $a>0$, ветви параболы направлены вверх, и положительные значения — «на крыльях». Если $a<0$ — всё наоборот.

Удобный приём: если в уравнении $a<0$, умножай всё неравенство на $-1$ (меняя при этом знак неравенства), чтобы работать с параболой ветвями вверх. Это снижает риск ошибиться в анализе.

Алгоритм решения

1. Посчитай дискриминант $D=b^2-4ac$.
2. Определи корни (если $D\ge 0$).
3. Нарисуй параболу с учётом знака $a$ (хотя бы в голове).
4. Определи интервалы, где выполняется нужное неравенство.
5. Запиши ответ в виде объединения интервалов.
6. Внеси или исключи граничные точки в зависимости от строгости.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши неравенство $x^2-5x+6>0$.

Решение. Дискриминант $D=25-24=1>0$ — два корня. По Виета: сумма 5, произведение 6, корни $x_1=2$, $x_2=3$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Значит функция положительна «на крыльях» — левее $2$ и правее $3$. Строгое неравенство — точки исключаем.

Ответ: $x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

Типичная ошибка. Записать ответ $(2;3)$ — отрицательная часть параболы. Это было бы решение неравенства $<0$, а не $>0$.

Пример 2 (уровень Б). Реши неравенство $x^2+4x+4\le 0$.

Решение. Заметим, что $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$. Это полный квадрат. Значит:

$(x+2{)}^2\le 0$

Квадрат всегда $\ge 0$, равен нулю только при $x+2=0$, то есть $x=-2$.

Нестрогое неравенство $\le 0$ удовлетворяется только в одной точке $x=-2$.

Ответ: $x=-2$.

Типичная ошибка. Решить как обычное квадратное неравенство с двумя корнями, не заметив полного квадрата. Формально можно: $D=0$, корень $x=-2$ кратности 2. Парабола касается оси в этой точке и всюду выше.

Пример 3 (уровень В). Реши неравенство $-x^2+2x-5\ge 0$.

Решение. Умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства:

$x^2-2x+5\le 0$

Дискриминант $D=4-20=-16<0$. Корней нет. Старший коэффициент $a=1>0$ — парабола ветвями вверх, целиком выше оси OX.

Значит $x^2-2x+5>0$ для всех $x$. Условие $\le 0$ не выполняется нигде.

Ответ: решений нет ($\varnothing$).

Типичная ошибка. Забыть поменять знак неравенства при умножении на $-1$. Получится неверный результат с противоположным знаком.

Типичные ошибки

1. Забывать знак $a$. Если старший коэффициент отрицательный, парабола перевёрнута. Решения-интервалы тоже меняются местами.
2. Путать «больше» и «меньше». Для $D>0$, $a>0$: между корнями функция меньше нуля, вне корней — больше. Не путай направление.
3. Пропускать случай $D=0$. Один корень — это не «нет корней», не «два совпадающих», а особая ситуация. Внимательно анализируй, что означает $\ge 0$, $\le 0$, $>0$, $<0$ в этой точке.
4. Не проверять строгость неравенства. $\le$ или $<$ — это принципиальная разница в включении граничных точек. Небрежность тут теряет баллы в задании 15.
5. Делать ошибки в арифметике дискриминанта. $b^2-4ac$ — классика. Проверяй знак каждого слагаемого, особенно при отрицательном $b$.

Связь с другими темами

• Квадратные уравнения — фундамент. Без уверенного поиска корней квадратного уравнения неравенство не решить.
• Метод интервалов — обобщение подхода на любые произведения множителей. Квадратное неравенство — его частный случай.
• Теорема Виета — позволяет быстро находить корни без дискриминанта и анализировать их знаки в задаче с параметром.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 (неравенства) — квадратные неравенства встречаются напрямую или как часть логарифмического/показательного неравенства после замены переменной. 2 балла за полное решение.
• Задание 18 (задачи с параметром) — часто сводится к анализу квадратного трёхчлена: какие условия на параметр дают нужное расположение корней.