Теория вероятностей ЕГЭ — pillar от А до Я

Теория вероятностей в ЕГЭ профиль — это два задания, два балла. Сравнительно немного, но эти 2 балла из 31 — лёгкие, если знаешь формулы. И сравнительно сложные, если решаешь по интуиции.

Эта статья — полный pillar по теории вероятностей в ЕГЭ. Все формулы, все типы задач, разбор пяти распространённых ошибок и практическое расписание подготовки.

Где встречается теория вероятностей в ЕГЭ

Задание 4 — простая вероятность. Классическая формула: $P(A) = m/n$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов. Уровень сложности — 7-8 класс. 1 балл.

Задание 10 — сложная вероятность. Сложение, умножение, условная вероятность, Бернулли, Байес, иногда геометрическая. Уровень сложности — 11 класс + олимпиадный заход. 1 балл.

Итого: 2 балла из 31. Звучит немного, но для ученика, целящего 80+ — оба обязательны.

Базовые понятия

Случайное событие — то, что может произойти или не произойти при некотором эксперименте.

Вероятность события — число от 0 до 1, характеризующее «насколько часто» событие происходит при многократном повторении эксперимента. Запись: $P(A)$.

Невозможное событие — $P(A) = 0$. Например, «выпадение 7 на стандартной игральной кости».

Достоверное событие — $P(A) = 1$. Например, «выпадение числа от 1 до 6 на игральной кости».

Противоположное событие $\bar{A}$ — событие, которое происходит, если $A$ не произошло. Свойство:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Это часто экономит время — посчитать «вероятность не выпало ни одного орла» проще, чем «вероятность выпал хотя бы один орёл».

Классическая формула

Используется, если все исходы эксперимента равновозможны и их конечное число.

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — число благоприятных для $A$ исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.

Пример (типичная задача 4).

В коробке 8 белых и 12 чёрных шаров. Какова вероятность вытащить белый?

Общее число шаров: 20. Благоприятных (белых): 8. Ответ: $P = 8/20 = 0{,}4$.

Подвох: надо проверить «равновозможность». Если в задаче «бросают неправильный кубик» или «человек выбирает любимый цвет» — равновозможности нет, классическая формула не работает.

Сложение вероятностей

Если события $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти одновременно):

$P(A + B) = P(A) + P(B)$

Если совместны (могут произойти одновременно):

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

Пример. Брошены два кубика. Какова вероятность, что хотя бы на одном выпала шестёрка?

Здесь два события совместны. Проще через противоположное:

$P(\text{ни на одном}) = (5/6)(5/6) = 25/36$.

$P(\text{хотя бы один}) = 1 - 25/36 = 11/36$.

Умножение вероятностей

Если события $A$ и $B$ независимы (исход одного не влияет на исход другого):

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Если зависимы:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A)$

где $P(B|A)$ — условная вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло.

Пример. В коробке 5 красных и 3 синих шара. Достали один шар не глядя, отложили. Достали второй. Какова вероятность, что оба красные?

Это зависимые события — после первого шара состав изменился.

$P(1\text{-й красный}) = 5/8$. $P(2\text{-й красный} | 1\text{-й красный}) = 4/7$.

$P(\text{оба красные}) = (5/8)(4/7) = 20/56 = 5/14$.

Условная вероятность

$P(B|A) = \frac{P(A \cdot B)}{P(A)}$

Это вероятность $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

Пример (классика для ЕГЭ). В семье двое детей. Известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что и второй мальчик?

Возможные комбинации: ММ, МД, ДМ, ДД. Из них «один мальчик» — ММ, МД, ДМ (три случая). Из этих трёх «оба мальчики» — только ММ.

$P = 1/3$.

Формула полной вероятности

Если событие $A$ может произойти при условии одной из взаимоисключающих гипотез $H_1, H_2, \ldots, H_n$:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A|H_i)$

Пример. На заводе 70% деталей делает первый станок, 30% — второй. Доля брака — 2% и 5% соответственно. Какова вероятность взять с завода бракованную деталь?

$P(A) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$

Формула Байеса

Если $A$ произошло, какова вероятность гипотезы $H_k$:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A|H_k)}{P(A)}$

где знаменатель — полная вероятность $A$.

Пример (продолжение завода). Деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что её сделал второй станок?

$P(H_2|A) = \frac{0{,}3 \cdot 0{,}05}{0{,}029} = \frac{0{,}015}{0{,}029} \approx 0{,}517$

То есть бракованная деталь скорее с второго станка, чем с первого, несмотря на то что второй делает меньше деталей.

Формула Бернулли

Если есть $n$ независимых одинаковых испытаний, в каждом вероятность успеха $p$, то вероятность ровно $k$ успехов:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

где $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Пример. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Стреляет 5 раз. Какова вероятность ровно 3 попаданий?

$P_5(3) = C_5^3 \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^2 = 10 \cdot 0{,}512 \cdot 0{,}04 = 0{,}2048$

Когда применять Бернулли: одинаковые испытания, фиксированная вероятность успеха в каждом. Если стреляет два разных стрелка с разными вероятностями — Бернулли не работает.

Геометрическая вероятность

Если множество исходов «непрерывное» (точка на отрезке, точка на плоскости):

$P = \frac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}$

«Мера» — длина, площадь, объём.

Пример. На отрезке $[0; 10]$ наугад выбирают точку. Какова вероятность, что она попадёт в отрезок $[3; 7]$?

$P = \frac{7 - 3}{10 - 0} = 0{,}4$

Пример посложнее. Два человека договорились встретиться между 12:00 и 13:00, и каждый ждёт другого 15 минут. Какова вероятность встречи?

Координатная плоскость: $x$ — время прихода первого, $y$ — второго, оба от 0 до 60. Встреча: $|x - y| \le 15$. Это полоса вокруг диагонали. Площадь полосы / площадь квадрата = $1 - (45/60)^2 = 1 - 9/16 = 7/16$.

Типы задач — мини-каталог

В задание 4 чаще всего попадают:

• Шарики в коробке (классическая формула).
• Игральные кости — выпадение конкретного числа или суммы.
• Карты в колоде — вытащить определённую масть/значение.
• Монета — выпадение определённого числа орлов из k бросков.

В задание 10 чаще всего попадают:

• Стрелки и мишени (Бернулли или сложение/умножение).
• Лампочки и работа устройств (надёжность через противоположное).
• Заводы и брак (формула полной вероятности или Байес).
• Спортивные команды и матчи (умножение зависимых/независимых).

Пять типичных ошибок

Ошибка 1. Спутать «и» с «или». «Хотя бы один из двух стрелков попадёт» — это «или», нужно сложение. «Оба попадут» — это «и», нужно умножение. Перепутав, можно получить число > 1 — это сигнал.

Ошибка 2. Использовать Бернулли там, где не работает. Если стрелки разные (с разными вероятностями) — Бернулли неприменима. Решается прямым перечислением или через сложение/умножение по конкретным сценариям.

Ошибка 3. Не применять «через противоположное». Задача «вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях» проще через $1 - P(\text{ноль успехов})$. Если решать «прямо» — большая сумма Бернулли, легко ошибиться.

Ошибка 4. Забыть про «равновозможность». В задании 4 классическая формула работает, только если все исходы равновозможны. Если в задаче явно сказано, что одни исходы чаще — нужна другая модель.

Ошибка 5. Округление. Ответ часто требуется в виде десятичной дроби с двумя-тремя знаками. Округление промежуточных результатов даёт ошибку в финальном ответе. Округляй только в конце.

Чек-лист перед задачей

Прежде чем сесть решать задачу 4 или 10:

1. Какое именно событие нужно посчитать?
2. Является ли оно «и» или «или»? Несовместно или нет?
3. Если несколько событий — независимы ли они?
4. Можно ли упростить через противоположное? ($P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})$)
5. Сходится ли по здравому смыслу? (Если ответ > 1 или < 0 — точно ошибка)

Где готовиться

Учебник по теории вероятностей в Сотах:

• Формула Бернулли.
• Формула Байеса.
• Геометрическая вероятность.
• Перестановки, размещения, сочетания.
• Условная вероятность и независимость.
• Формула полной вероятности.

После теории — практика по 10-15 задач. Задание 4 — простое, обычно закрывается за неделю. Задание 10 — сложнее, нужно 3-4 недели для уверенного решения 70% типов.