Что такое формула Байеса?

Если событие $A$ произошло, формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой гипотезы $B_i$, которая могла привести к $A$. Формула: $P(B_i|A) = \dfrac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$, где знаменатель — полная вероятность $A$.

В чём разница между формулой полной вероятности и Байеса?

Полная вероятность отвечает «какова вероятность, что произойдёт $A$» — прямой вопрос. Байес отвечает «при условии, что $A$ уже произошло, какова вероятность гипотезы $B_i$» — обратный вопрос. Они работают с одной и той же конструкцией, но в разные стороны.

Что такое априорная и апостериорная вероятность?

Априорная — $P(B_i)$, вероятность гипотезы до наблюдения события $A$. Апостериорная — $P(B_i|A)$, вероятность той же гипотезы после того, как $A$ произошло. Формула Байеса — мост между ними.

Зачем переоценивать вероятность гипотезы?

Часто в реальной задаче случилось наблюдаемое событие $A$ (например, тест дал положительный результат), и нужно понять, какая из исходных гипотез наиболее вероятна (например, болеешь ли ты). До наблюдения была одна оценка, после — другая. Байес даёт точную формулу пересчёта.

Сумма апостериорных вероятностей всех гипотез равна единице?

Да. После того, как $A$ произошло, одна из гипотез всё равно реализовалась — другой возможности нет. Поэтому $P(B_1|A) + P(B_2|A) + \ldots + P(B_n|A) = 1$. Это полезно для самопроверки.

Можно ли применять Байеса без формулы, через здравый смысл?

Можно, через дерево вероятностей. Считаешь все пути, которые приводят к $A$, делишь интересующий путь на сумму всех. Это даёт тот же результат, что формула Байеса.

Формула Байеса: переоценка вероятности после события

В задаче «у двух фабрик закупают детали, у каждой свой процент брака» формула полной вероятности даёт прямую оценку: какова вероятность, что случайная деталь бракованная. А что если ты обнаружил, что деталь бракованная, и хочешь узнать, с какой фабрики она скорее всего пришла? Это обратный вопрос, и здесь работает формула Байеса.

Сама формула

Пусть $B_1, B_2, \ldots, B_n$ — гипотезы (полная группа), $A$ — наблюдённое событие. Формула Байеса:

P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}

В знаменателе — полная вероятность события $A$ :

P(A) = \sum_{j=1}^n P(B_j) \cdot P(A|B_j)

То есть формула Байеса = «вес одной гипотезы делим на сумму весов всех гипотез», где «вес» — это произведение априорной вероятности гипотезы и условной вероятности $A$ при этой гипотезе.

Откуда берётся формула

Возьмём определение условной вероятности дважды:

P(B_i|A) = \frac{P(B_i \cap A)}{P(A)}, \quad P(A|B_i) = \frac{P(A \cap B_i)}{P(B_i)}

Из второго: $P(A \cap B_i) = P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ . Подставляем в первое:

P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}

Это и есть формула Байеса. А знаменатель $P(A)$ обычно расписываем через полную вероятность.

Пример 1: две фабрики, бракованная деталь

Условие. Завод закупает у двух фабрик. А поставляет 60% деталей, у неё 2% брака. Б поставляет 40%, у неё 5% брака. На контроль попала бракованная деталь. Какова вероятность, что она с фабрики Б?

Решение. Гипотезы:

$B_1$ — деталь от А, $P(B_1) = 0{,}6$ .
$B_2$ — деталь от Б, $P(B_2) = 0{,}4$ .

$A$ — деталь бракованная. Условные:

$P(A|B_1) = 0{,}02$ , $P(A|B_2) = 0{,}05$ .

Сначала полная вероятность:

P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

Теперь Байес для $B_2$ :

P(B_2|A) = \frac{0{,}4 \cdot 0{,}05}{0{,}032} = \frac{0{,}020}{0{,}032} = 0{,}625

Ответ: $0{,}625$ .

Обрати внимание: до информации «деталь бракованная» вероятность фабрики Б была 0,4 (априорная). После — стала 0,625. Это потому, что у Б в полтора раза больше брака — и обнаружение брака повышает шанс, что деталь именно от неё.

Пример 2: тест на болезнь (классика Байеса)

Условие. Болезнью болеет 1% людей. Тест на эту болезнь даёт правильный результат в 95% случаев у больных и в 90% случаев у здоровых. Случайному человеку сделали тест, и он положительный. Какова вероятность, что человек действительно болен?

Решение. Гипотезы:

$B_1$ — человек болен, $P(B_1) = 0{,}01$ .
$B_2$ — здоров, $P(B_2) = 0{,}99$ .

$A$ — тест положительный.

$P(A|B_1) = 0{,}95$ (тест видит болезнь).
$P(A|B_2) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ (тест ошибается у 10% здоровых, давая ложный положительный).

Полная вероятность:

P(A) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}1 = 0{,}0095 + 0{,}099 = 0{,}1085

Байес:

P(B_1|A) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}1085} = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx 0{,}0876

Ответ: $\approx 0{,}0876$ , то есть около 8,76%.

Парадокс: тест очень точный (95% / 90%), но при положительном результате вероятность болезни всего 8,8%. Почему? Потому что болезнь редкая (1%), и большинство положительных тестов — это ложные срабатывания у здоровых. Этот пример важен — он показывает, почему интуитивный «тест точный, значит почти точно болен» — неверный ход.

Пример 3: два стрелка

Условие. Два стрелка: первый попадает с вероятностью 0,8, второй — с вероятностью 0,5. Случайно выбирают одного из них и делают выстрел. Выстрел попал в цель. Какова вероятность, что стрелял первый?

Решение. Гипотезы (выбор стрелка случайный, равновероятный):

$B_1$ — выбрали первого, $P(B_1) = 0{,}5$ .
$B_2$ — выбрали второго, $P(B_2) = 0{,}5$ .

$A$ — попадание.

$P(A|B_1) = 0{,}8$ , $P(A|B_2) = 0{,}5$ .

Полная вероятность:

P(A) = 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}4 + 0{,}25 = 0{,}65

Байес для первого стрелка:

P(B_1|A) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}8}{0{,}65} = \frac{0{,}4}{0{,}65} \approx 0{,}6154

Ответ: $\approx 0{,}6154$ .

Здесь априорная вероятность была 0,5 (случайный выбор), а после факта попадания — 0,615. Логично: попал значит более вероятно, что стрелял точный.

Самопроверка через сумму апостериорных

Полезный приём: после расчёта Байеса для всех гипотез сумма должна быть 1. Если не получилась — где-то ошибка.

В Примере 3: $P(B_1|A) \approx 0{,}6154$ , $P(B_2|A) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}65} = \frac{0{,}25}{0{,}65} \approx 0{,}3846$ . Сумма $\approx 1$ . ✓

Дерево вероятностей и Байес

Дерево даёт визуальную интерпретацию. Возьмём пример с фабриками:

            (0.6)         (0.02) брак    → 0.6·0.02 = 0.012
       ┌───── фабрика А ──┤
      ╱            └── (0.98) ок      → 0.6·0.98 = 0.588
старт              ┌── (0.05) брак    → 0.4·0.05 = 0.020
       └───── фабрика Б ──┤
            (0.4)         (0.95) ок      → 0.4·0.95 = 0.380

Все «брак»-листья: 0,012 + 0,020 = 0,032 (полная вероятность брака).

Доля «брак, фабрика Б» в общей сумме браков: $\dfrac{0{,}020}{0{,}032} = 0{,}625$ . То же, что Байес дал.

Дерево удобно при двух-трёх гипотезах. При большем числе сразу пиши формулу.

Когда Байес в задаче ЕГЭ

В задаче №5 ЕГЭ Байес распознаётся по обратной формулировке. Сравни:

Прямая (полная вероятность): «Найди вероятность, что случайно взятая деталь бракованная».
Обратная (Байес): «Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Найди вероятность, что она с фабрики А».

Ключевые слова:

«при условии, что произошло...»
«оказалось, что...»
«вычислили / измерили / увидели, что..., найти вероятность гипотезы».

Если в задаче дано «случилось $A$ , найти вероятность, что причиной была $B_i$ » — это прямой повод применить Байес.

Частые ошибки

Ошибка 1: путают $P(A|B)$ и $P(B|A)$ . Это разные вещи. Например, $P(\text{положительный тест}|\text{болен}) \neq P(\text{болен}|\text{положительный тест})$ . Первая — точность теста, вторая — то, что мы реально ищем.

Ошибка 2: забывают про знаменатель. Многие пишут «вероятность гипотезы $B_i$ это вес гипотезы умножить на условную вероятность $A$ » — без деления на полную вероятность. Это формула умножения для $P(B_i \cap A)$ , а не Байес.

Ошибка 3: ошибка в полной вероятности. Если $P(A)$ посчитан с ошибкой, всё дальнейшее тоже ошибочно. Сначала аккуратно полная вероятность, потом Байес.

Ошибка 4: применяют Байес там, где надо просто полную. Если в условии не сказано «А произошло, найти вероятность гипотезы», а просто «найти вероятность $A$ » — это полная вероятность, не Байес.

Краткий алгоритм

Выпиши гипотезы $B_i$ и их априорные вероятности $P(B_i)$ . Проверь, что сумма = 1.
Выпиши условные вероятности $P(A|B_i)$ для каждой гипотезы.
Посчитай полную вероятность $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ .
Подставь в формулу Байеса для нужной гипотезы: $P(B_i|A) = \dfrac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$ .
Самопроверка: сумма $P(B_i|A)$ по всем $i$ должна быть 1.

Подготовься к заданию 5 ЕГЭ — Байес и полная вероятность с разбором решений по 7 принципам Сот. Адаптивная траектория сама подстраивается под твой уровень.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Байес отвечает на обратный вопрос: « $A$ произошло — какова вероятность гипотезы $B_i$ ?».
Формула: $P(B_i|A) = \dfrac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$ , в знаменателе — полная вероятность.
Априорная $P(B_i)$ → апостериорная $P(B_i|A)$ : переоценка после наблюдения.
Сумма апостериорных по всем гипотезам = 1 (самопроверка).
В задаче ЕГЭ: «случилось $A$ , найти вероятность что причина $B_i$ » — это Байес.
Часть/целое: посчитай вес одной гипотезы и подели на сумму весов всех — это и есть Байес.

Формула Байеса для ЕГЭ