Что такое геометрическая вероятность?

Способ вычислять вероятность, когда исходов бесконечно много (точка попадает в область). Формула: $P(A) = \dfrac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}$. Мерой может быть длина, площадь или объём — в зависимости от размерности задачи.

Когда классическая вероятность не работает?

Когда исходов бесконечно много. Например, «случайная точка на отрезке [0; 1]» — нельзя посчитать «количество благоприятных исходов», потому что точек на отрезке бесконечно. Здесь работает геометрическая вероятность.

Что такое мера в формуле?

В одномерных задачах мера — длина (отрезка). В двумерных — площадь (фигуры). В трёхмерных — объём (тела). Какую меру брать, определяет постановка задачи.

Как решать задачи на встречу?

Стандартный приём: построить квадрат на плоскости, где оси — моменты прихода каждого человека. Условие встречи задаёт область внутри квадрата. Вероятность = площадь этой области / площадь квадрата.

Можно ли применять геометрическую вероятность в задачах с дискретными исходами?

Нет. Если исходов конечно (бросаем кубик, тянем карту) — это классическая вероятность $m/n$. Геометрическая нужна там, где исходы непрерывны (точка, момент времени, угол).

Что такое равномерное распределение?

Когда вероятность попадания в любой подотрезок (или подобласть) пропорциональна его мере, без предпочтений. В геометрической вероятности по умолчанию предполагается равномерное распределение.

Геометрическая вероятность: длина, площадь, объём

В классической вероятности ты считаешь количество благоприятных исходов и делишь на количество всех. А что делать, когда исходы — точки на отрезке или в квадрате, и их бесконечно много? «Посчитать» нельзя. Здесь работает геометрическая вероятность: вместо «количества» — «мера» (длина, площадь, объём).

Когда нужна геометрическая вероятность

Сравним два эксперимента:

Эксперимент 1: бросают кубик. Возможные исходы: ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ — шесть штук. Вероятность каждого — $1/6$ . Это классическая вероятность.

Эксперимент 2: случайно (равномерно) выбирают число от 0 до 10. Возможных значений — бесконечно много (любая точка отрезка). Какова вероятность, что число попадёт в [3; 5]? Считать «количество» нельзя — точек бесконечно. Но мы интуитивно понимаем: длина благоприятного отрезка 2, длина всего 10, значит вероятность $2/10 = 0, 2$ . Это и есть геометрическая вероятность.

Общая формула:

P (A) = \frac{мера благоприятной области}{мера всей области}

Мера — длина (1D), площадь (2D), объём (3D). Какую меру брать, видно из задачи: точка на отрезке — длина, точка в фигуре — площадь, точка в теле — объём.

Принцип «равномерного распределения»

В геометрической вероятности по умолчанию предполагается, что точка распределена равномерно: вероятность попадания в любую подобласть пропорциональна её мере. То есть никакая часть «всей области» не предпочтительнее другой.

Если в задаче явно сказано «случайно и равномерно», это и подразумевается. Если не сказано — почти всегда тоже равномерное (другие распределения в школе не рассматривают).

Пример 1: точка на отрезке

Условие. Точка наугад брошена на отрезок длиной 1. Найди вероятность, что расстояние от неё до левого конца больше $0, 3$ .

Решение. Вся область — отрезок [0; 1] длиной 1. Благоприятная область — точки, удалённые от левого конца больше чем на 0,3 — это отрезок (0,3; 1] длиной 0,7.

P = \frac{0 , 7}{1} = 0, 7

Ответ: $0, 7$ .

Пример 2: пересечение в квадрате

Условие. Случайным образом выбирают точку $(x, y)$ внутри квадрата $0 \leq x \leq 1$ , $0 \leq y \leq 1$ . Найди вероятность, что $x + y \leq 1$ .

Решение. Вся область — квадрат площадью $1 \cdot 1 = 1$ . Условие $x + y \leq 1$ задаёт треугольник с вершинами $(0; 0)$ , $(1; 0)$ , $(0; 1)$ — это половина квадрата.

Площадь треугольника:

S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0, 5

P = \frac{0 , 5}{1} = 0, 5

Ответ: $0, 5$ .

Пример 3: автобус и время прихода

Условие. Автобус приходит на остановку каждые 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найди вероятность, что ему придётся ждать автобус не более 3 минут.

Решение. Считаем «положение пассажира» относительно последнего автобуса. Это число от 0 до 10 минут (равномерно).

Если пассажир пришёл в момент $t$ после прошлого автобуса, ему ждать $(10 - t)$ минут до следующего. Условие «ждать не более 3 минут»: $10 - t \leq 3$ , то есть $t \geq 7$ .

Благоприятный отрезок: $[7; 10]$ длиной 3. Вся область: $[0; 10]$ длиной 10.

P = \frac{3}{10} = 0, 3

Ответ: $0, 3$ .

Пример 4: задача о встрече (типичная для ЕГЭ)

Условие. Два товарища договорились встретиться в парке между 12:00 и 13:00. Каждый приходит в случайный момент в этом интервале и ждёт 20 минут (но не позже 13:00). Найди вероятность, что они встретятся.

Решение. Обозначим $x$ — момент прихода первого (от 0 до 60 минут после 12:00), $y$ — момент прихода второго.

Все возможные пары $(x, y)$ образуют квадрат $60 \times 60$ на плоскости — площадь $3600$ .

Условие встречи: $∣ x - y ∣ \leq 20$ , то есть разница приходов не больше 20 минут.

Это область между двумя прямыми $y = x - 20$ и $y = x + 20$ внутри квадрата $[0; 60]^{2}$ .

Благоприятная область — это квадрат минус два треугольника в углах (где $∣ x - y ∣ > 20$ ):

Верхний треугольник: $y > x + 20$ , вершины $(0; 20)$ , $(0; 60)$ , $(40; 60)$ .
Нижний треугольник: $y < x - 20$ , вершины $(20; 0)$ , $(60; 0)$ , $(60; 40)$ .

Каждый треугольник прямоугольный с катетами 40, 40. Площадь каждого: $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 40 = 800$ .

Площадь благоприятной области: $3600 - 2 \cdot 800 = 2000$ .

P = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9} \approx 0, 556

Ответ: $\frac{5}{9}$ .

Пример 5: на интервале и в круге

Условие. В круг радиуса 2 с центром в начале координат случайно бросают точку. Найди вероятность, что она попадёт во вписанный квадрат (стороны параллельны осям).

Решение. Площадь круга: $S_{\circ} = π r^{2} = 4 π$ .

Вписанный в круг квадрат имеет диагональ, равную диаметру круга, то есть $4$ . Тогда сторона квадрата: $a = \frac{4}{2} = 22$ .

Площадь квадрата: $S_{□} = a^{2} = (22)^{2} = 8$ .

P = \frac{8}{4 π} = \frac{2}{π} \approx 0, 637

Ответ: $\frac{2}{π}$ .

Алгоритм решения

Определи, какая мера нужна: длина, площадь, объём.
Опиши «всю область» $Ω$ через неравенства или геометрически.
Опиши благоприятную область $A$ — обычно это система неравенств.
Посчитай меру $Ω$ и меру $A$ .
Подставь в формулу: $P = \frac{мера A}{мера Ω}$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: неверно определена «вся область». Если в задаче «точка наугад на отрезке от 0 до 5» — вся область отрезок длиной 5, не 1. Не забывай реальную длину.

Ошибка 2: путают площадь и периметр. Если задача 2D — нужна площадь. Периметр — длина, мера для 1D задач.

Ошибка 3: считают благоприятную область как разность фигур и забывают что-то вычесть. В задаче о встрече главная ошибка — забыть один из двух треугольников. Полезно сделать чертёж и заштриховать.

Ошибка 4: применяют геометрическую вероятность к дискретной задаче. «Тянут карту из колоды» — это $m / n$ , не геометрическая. Геометрическая нужна только для непрерывных исходов.

Геометрическая вероятность и ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль геометрическая вероятность встречается реже классической, но регулярно. Типичные сюжеты:

«Точка случайно выбрана на отрезке / в квадрате» — простая задача на длину или площадь.
«Два события произошли в случайные моменты времени, найти вероятность встречи / совпадения» — классическая задача о встрече, чертёж в квадрате.
«Точка случайно брошена в фигуру, найти вероятность попадания в подфигуру» — отношение площадей.

В большинстве случаев решение сводится к школьной планиметрии: посчитать две площади и поделить.

Прокачай задание 4 ЕГЭ — задачи на классическую и геометрическую вероятность с пошаговым разбором. Адаптивная траектория сама определит уровень и подстроится.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Геометрическая вероятность работает там, где исходов бесконечно (точка на отрезке, в фигуре).
Формула: $P = \frac{мера благоприятной области}{мера всей области}$ .
Мера: длина (1D), площадь (2D), объём (3D).
По умолчанию — равномерное распределение.
Задачи на встречу решаются через квадрат на плоскости, где оси — моменты прихода каждого.
Всегда делай чертёж — это сильно снижает шанс пропустить кусок благоприятной области.

Геометрическая вероятность