Геометрическая вероятность

В классической вероятности ты считаешь количество благоприятных исходов и делишь на количество всех. А что делать, когда исходы — точки на отрезке или в квадрате, и их бесконечно много? «Посчитать» нельзя. Здесь работает геометрическая вероятность: вместо «количества» — «мера» (длина, площадь, объём).

Когда нужна геометрическая вероятность

Сравним два эксперимента:

Эксперимент 1: бросают кубик. Возможные исходы: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — шесть штук. Вероятность каждого — $1/6$. Это классическая вероятность.

Эксперимент 2: случайно (равномерно) выбирают число от 0 до 10. Возможных значений — бесконечно много (любая точка отрезка). Какова вероятность, что число попадёт в [3; 5]? Считать «количество» нельзя — точек бесконечно. Но мы интуитивно понимаем: длина благоприятного отрезка 2, длина всего 10, значит вероятность $2/10 = 0{,}2$. Это и есть геометрическая вероятность.

Общая формула:

Мера — длина (1D), площадь (2D), объём (3D). Какую меру брать, видно из задачи: точка на отрезке — длина, точка в фигуре — площадь, точка в теле — объём.

Принцип «равномерного распределения»

В геометрической вероятности по умолчанию предполагается, что точка распределена равномерно: вероятность попадания в любую подобласть пропорциональна её мере. То есть никакая часть «всей области» не предпочтительнее другой.

Если в задаче явно сказано «случайно и равномерно», это и подразумевается. Если не сказано — почти всегда тоже равномерное (другие распределения в школе не рассматривают).

Пример 1: точка на отрезке

Условие. Точка наугад брошена на отрезок длиной 1. Найди вероятность, что расстояние от неё до левого конца больше $0{,}3$.

Решение. Вся область — отрезок [0; 1] длиной 1. Благоприятная область — точки, удалённые от левого конца больше чем на 0,3 — это отрезок (0,3; 1] длиной 0,7.

Ответ: $0{,}7$.

Пример 2: пересечение в квадрате

Условие. Случайным образом выбирают точку $(x, y)$ внутри квадрата $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$. Найди вероятность, что $x + y \le 1$.

Решение. Вся область — квадрат площадью $1 \cdot 1 = 1$. Условие $x + y \le 1$ задаёт треугольник с вершинами $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(0; 1)$ — это половина квадрата.

Площадь треугольника:

Ответ: $0{,}5$.

Пример 3: автобус и время прихода

Условие. Автобус приходит на остановку каждые 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найди вероятность, что ему придётся ждать автобус не более 3 минут.

Решение. Считаем «положение пассажира» относительно последнего автобуса. Это число от 0 до 10 минут (равномерно).

Если пассажир пришёл в момент $t$ после прошлого автобуса, ему ждать $(10 - t)$ минут до следующего. Условие «ждать не более 3 минут»: $10 - t \le 3$, то есть $t \ge 7$.

Благоприятный отрезок: $[7; 10]$ длиной 3. Вся область: $[0; 10]$ длиной 10.

Ответ: $0{,}3$.

Пример 4: задача о встрече (типичная для ЕГЭ)

Условие. Два товарища договорились встретиться в парке между 12:00 и 13:00. Каждый приходит в случайный момент в этом интервале и ждёт 20 минут (но не позже 13:00). Найди вероятность, что они встретятся.

Решение. Обозначим $x$ — момент прихода первого (от 0 до 60 минут после 12:00), $y$ — момент прихода второго.

Все возможные пары $(x, y)$ образуют квадрат $60 \times 60$ на плоскости — площадь $3600$.

Условие встречи: $|x - y| \le 20$, то есть разница приходов не больше 20 минут.

Это область между двумя прямыми $y = x - 20$ и $y = x + 20$ внутри квадрата $[0; 60]^2$.

Благоприятная область — это квадрат минус два треугольника в углах (где $|x - y| > 20$):

• Верхний треугольник: $y > x + 20$, вершины $(0; 20)$, $(0; 60)$, $(40; 60)$.
• Нижний треугольник: $y < x - 20$, вершины $(20; 0)$, $(60; 0)$, $(60; 40)$.

Каждый треугольник прямоугольный с катетами 40, 40. Площадь каждого: $\dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 40 = 800$.

Площадь благоприятной области: $3600 - 2 \cdot 800 = 2000$.

Ответ: $\dfrac{5}{9}$.

Пример 5: на интервале и в круге

Условие. В круг радиуса 2 с центром в начале координат случайно бросают точку. Найди вероятность, что она попадёт во вписанный квадрат (стороны параллельны осям).

Решение. Площадь круга: $S_\circ = \pi r^2 = 4\pi$.

Вписанный в круг квадрат имеет диагональ, равную диаметру круга, то есть $4$. Тогда сторона квадрата: $a = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

Площадь квадрата: $S_\square = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

Ответ: $\dfrac{2}{\pi}$.

Алгоритм решения

1. Определи, какая мера нужна: длина, площадь, объём.
2. Опиши «всю область» $\Omega$ через неравенства или геометрически.
3. Опиши благоприятную область $A$ — обычно это система неравенств.
4. Посчитай меру $\Omega$ и меру $A$.
5. Подставь в формулу: $P = \dfrac{\text{мера } A}{\text{мера } \Omega}$.

Частые ошибки

Ошибка 1: неверно определена «вся область». Если в задаче «точка наугад на отрезке от 0 до 5» — вся область отрезок длиной 5, не 1. Не забывай реальную длину.

Ошибка 2: путают площадь и периметр. Если задача 2D — нужна площадь. Периметр — длина, мера для 1D задач.

Ошибка 3: считают благоприятную область как разность фигур и забывают что-то вычесть. В задаче о встрече главная ошибка — забыть один из двух треугольников. Полезно сделать чертёж и заштриховать.

Ошибка 4: применяют геометрическую вероятность к дискретной задаче. «Тянут карту из колоды» — это $m/n$, не геометрическая. Геометрическая нужна только для непрерывных исходов.

Геометрическая вероятность и ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль геометрическая вероятность встречается реже классической, но регулярно. Типичные сюжеты:

• «Точка случайно выбрана на отрезке / в квадрате» — простая задача на длину или площадь.
• «Два события произошли в случайные моменты времени, найти вероятность встречи / совпадения» — классическая задача о встрече, чертёж в квадрате.
• «Точка случайно брошена в фигуру, найти вероятность попадания в подфигуру» — отношение площадей.

В большинстве случаев решение сводится к школьной планиметрии: посчитать две площади и поделить.

Что запомнить

• Геометрическая вероятность работает там, где исходов бесконечно (точка на отрезке, в фигуре).
• Формула: $P = \dfrac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}$.
• Мера: длина (1D), площадь (2D), объём (3D).
• По умолчанию — равномерное распределение.
• Задачи на встречу решаются через квадрат на плоскости, где оси — моменты прихода каждого.
• Всегда делай чертёж — это сильно снижает шанс пропустить кусок благоприятной области.