Уравнения a·sin x + b·cos x = c: метод и отбор корней

Метод вспомогательного угла превращает страшное уравнение с двумя функциями в обычное уравнение с одним синусом. Но в задании 12 решить уравнение — это полдела. Вторая половина, за которую тоже дают балл, — правильно отобрать корни на заданном отрезке. На этом и сделаем упор.

Как метод сводит уравнение к синусу

Идея метода — вынести из левой части общий множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$a\sin x + b\cos x = R\left(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x\right)$

Дроби $\dfrac{a}{R}$ и $\dfrac{b}{R}$ удобны тем, что сумма их квадратов равна единице:

$\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{R^2} = 1$

А раз так, их можно считать косинусом и синусом некоторого угла $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$. Тогда выражение в скобках складывается в синус суммы:

$a\sin x + b\cos x = R(\sin x\cos\varphi + \cos x\sin\varphi) = R\sin(x + \varphi)$

Уравнение принимает простой вид:

$R\sin(x + \varphi) = c \quad\Rightarrow\quad \sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$

Дальше это стандартное уравнение с синусом, которое ты уже умеешь решать. Вся хитрость метода уместилась в один переход: была сумма двух функций, стал один синус со сдвинутым аргументом. Остальное — чистая техника решения простейшего уравнения.

Почему R — это амплитуда

Множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ имеет наглядный смысл: это максимальное значение, которое может принять левая часть $a\sin x + b\cos x$. Синус $\sin(x + \varphi)$ колеблется от $-1$ до $1$, поэтому всё выражение $R\sin(x + \varphi)$ колеблется от $-R$ до $R$. Значит левая часть никогда не выходит за пределы отрезка $[-R;\ R]$.

Отсюда сразу следует условие существования решений. Уравнение $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{R}$ имеет корни, только когда $\left|\dfrac{c}{R}\right| \leq 1$, то есть когда $|c| \leq R$. Если же $|c| > R$, правая часть «выше потолка» левой, и решений нет. Например, у уравнения $\sin x + \cos x = 3$ амплитуда $R = \sqrt{2} \approx 1{,}41$, а справа стоит 3. Левая часть до тройки не дотягивается — корней нет. Это тот случай, когда задача решается за десять секунд без единого вычисления угла: посчитал $R$, сравнил с $|c|$, увидел, что правая часть больше, и записал ответ.

Почему именно этот угол φ

Возникает вопрос: откуда берётся угол $\varphi$ и почему его называют вспомогательным? Само название говорит о его роли. Этот угол не дан в условии, мы вводим его сами, чтобы свернуть сумму $\sin x\cos\varphi + \cos x\sin\varphi$ в один синус. Он «помогает» нам перейти от двух функций к одной, и в финальном ответе его роль — просто сдвинуть все корны на $\varphi$.

Геометрически вспомогательный угол — это направление вектора с координатами $(a;\ b)$. Длина этого вектора как раз равна $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, а угол наклона к оси $x$ и есть $\varphi$. Поэтому, чтобы найти $\varphi$, достаточно представить точку $(a;\ b)$ на плоскости и определить, в какой она четверти. Знак $a$ даёт знак косинуса $\varphi$, знак $b$ — знак синуса. Это и есть та самая проверка обоих знаков, без которой легко ошибиться с четвертью.

Важная деталь: для нахождения $\varphi$ нужны именно оба условия $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$ и $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$. Если опираться только на одно из них (например, только на $\tg\varphi = \dfrac{b}{a}$), угол определяется неоднозначно, потому что у тангенса в двух четвертях одинаковые значения. Два знака снимают эту неоднозначность и фиксируют четверть однозначно.

Алгоритм решения с отбором

1. Вычисли $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Проверь: если $|c| > R$, решений нет, стоп.
3. Найди угол $\varphi$ из условий $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$ (важны оба знака — они определяют четверть $\varphi$).
4. Реши $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{R}$, выпиши обе серии корней.
5. Из $x + \varphi = \ldots$ вырази $x$.
6. Отбери корни, попадающие в заданный отрезок: перебери целые $n$ для каждой серии.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход с упором на отбор.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\sin x + \cos x = 1$.

Решение. Здесь $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$. Амплитуда $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$. Проверка: $|c| = 1 \leq \sqrt{2}$, решения есть.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, оба положительны, значит $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$. Уравнение:

$\sqrt{2}\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение с синусом. $\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$, поэтому две серии:

• $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k$;
• $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Типичная ошибка. Забывают вторую серию (там, где $x + \varphi = \pi - \arcsin\ldots$). У синуса всегда две серии корней.

Ответ: $x = 2\pi k$ или $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$.

Решение. $a = \sqrt{3}$, $b = -1$, $c = 1$. Амплитуда $R = \sqrt{3 + 1} = 2$, решения есть.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = -\dfrac{1}{2}$. Попробуй сам определить $\varphi$ по этим двум знакам: косинус положительный, синус отрицательный — это четвёртая четверть.

Раскрытие: $\varphi = -\dfrac{\pi}{6}$. Уравнение:

$2\sin\!\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Две серии:

• $x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$;
• $x - \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$.

Типичная ошибка. Неверно определяют четверть $\varphi$, учитывая только знак косинуса. Нужны оба знака.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с упором на отбор). Реши уравнение $\sin x - \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2}$ и найди корни на отрезке $[0;\ 2\pi]$.

Решение.

Шаг 1. Найди $R$ и $\varphi$. Спроси себя: чему равна амплитуда? $R = \sqrt{1 + 3} = 2$. Угол $\varphi$ из $\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$, $\sin\varphi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — четвёртая четверть, $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Сведи к синусу. Уравнение становится $\sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, ведь $\dfrac{c}{R} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$, серии:

• $x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{12} + 2\pi k$;
• $x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{13\pi}{12} + 2\pi k$.

Шаг 3 (отбор на $[0;\ 2\pi]$). Спроси себя: какие $k$ дают корень внутри отрезка? Берём $k = 0$:

• $x = \dfrac{7\pi}{12} \approx 1{,}83$ — лежит в $[0;\ 2\pi]$ ✓;
• $x = \dfrac{13\pi}{12} \approx 3{,}40$ — лежит в $[0;\ 2\pi]$ ✓.

При $k = 1$ корни выходят за $2\pi \approx 6{,}28$, при $k = -1$ становятся отрицательными. Других нет.

Типичная ошибка. Останавливаются на общем решении и не делают отбор, теряя половину балла в задании 12.

Ответ: на отрезке $[0;\ 2\pi]$ корни $x = \dfrac{7\pi}{12}$ и $x = \dfrac{13\pi}{12}$.

Два способа отбора корней

В задании 12 после общего решения нужно отобрать корни на отрезке. Есть два равноценных способа, и стоит владеть обоими.

Первый способ — перебор целых $n$. Берёшь серию, например $x = \dfrac{7\pi}{12} + 2\pi k$, и подставляешь $k = -1, 0, 1, 2$ по очереди, переводя каждый корень в приближённое число. Если корень попал в отрезок, оставляешь его, если нет — отбрасываешь. Способ механический и надёжный, особенно когда отрезок большой и корней много.

Второй способ — единичная окружность. Рисуешь окружность, отмечаешь дугу, соответствующую отрезку, и наносишь точки-корни. Те, что попали на дугу, входят в ответ. Этот способ нагляднее, когда отрезок — ровно один оборот вроде $[0;\ 2\pi]$ или $[-\pi;\ \pi]$, а корни «красивые».

На практике многие комбинируют: окружность для быстрой прикидки, перебор $n$ для аккуратной записи. Выбор за тобой, но отбор делать обязательно — без него задание 12 не закрыто.

Ещё один разбор с отбором

Задача. Реши уравнение $\sin x - \cos x = 1$ и найди корни на отрезке $[0;\ 2\pi]$.

Решение. Здесь $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$. Амплитуда $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, решения есть.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\varphi = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ — четвёртая четверть, $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$. Уравнение:

$\sqrt{2}\sin\!\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Серии корней ($\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$):

• $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$;
• $x - \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$.

Отбор на $[0;\ 2\pi]$, $k = 0$: $x = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ ✓ и $x = \pi \approx 3{,}14$ ✓. При $k = 1$ корни выходят за отрезок, при $k = -1$ становятся отрицательными.

Ответ: на отрезке $[0;\ 2\pi]$ корни $x = \dfrac{\pi}{2}$ и $x = \pi$.

Графический взгляд на отбор

Отбор корней удобно представлять графически. Левая часть $a\sin x + b\cos x$ — это синусоида с амплитудой $R$. Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ значит «найти точки, где эта синусоида пересекает горизонтальную прямую $y = c$». На отрезке $[0;\ 2\pi]$ синусоида делает один полный цикл, поэтому прямая $y = c$ пересекает её обычно в двух точках — это и есть два корня. Если $c$ совпадает с максимумом $R$ или минимумом $-R$, прямая касается синусоиды в одной точке, и корень единственный. А если $|c| > R$, прямая проходит выше или ниже всей синусоиды и не пересекает её вовсе — отсюда «решений нет». Такая картинка помогает быстро прикинуть, сколько корней ждать на отрезке, и проверить себя после вычислений. Если по расчётам ты получил три корня на $[0;\ 2\pi]$, а график показывает только два пересечения, значит где-то ошибка: лишний корень не на отрезке или потерялась серия. График и вычисления должны согласоваться, и это согласование — бесплатная проверка решения.

Альтернатива через косинус

Левую часть можно записать не через синус, а через косинус:

$a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \psi), \quad \text{где } \cos\psi = \frac{b}{R},\ \sin\psi = \frac{a}{R}$

Оба подхода дают один и тот же набор корней. Выбор зависит от удобства: иногда табличное значение арккосинуса считается проще, чем арксинуса. На результат это не влияет. Если на экзамене один путь привёл к «некрасивому» арксинусу, попробуй переписать через косинус — нередко второй вариант даёт табличное значение и считается без калькулятора. Это маленькая хитрость, которая экономит время на сложных уравнениях, где правая часть $\dfrac{c}{R}$ оказывается неудобной дробью.

Когда выбирать этот метод

Метод вспомогательного угла — не единственный способ решить уравнение с синусом и косинусом. Полезно понимать, когда он лучше других.

Если справа стоит ноль ($a\sin x + b\cos x = 0$), вспомогательный угол избыточен. Такое уравнение проще решить делением на $\cos x$: получаешь $a\tg x + b = 0$, и сразу выходишь на тангенс. Это однородное уравнение первой степени, и для него деление быстрее.

Если справа ненулевое число $c$, деление на косинус уже не помогает, и тут вспомогательный угол незаменим. Он единственный надёжно сводит смесь синуса и косинуса к одному простейшему уравнению, не теряя корней.

Есть и третий путь — через формулы половинного угла (универсальная подстановка $t = \tg\dfrac{x}{2}$). Он работает всегда, но тянет за собой громоздкую дробь и риск потерять корни, где $\cos\dfrac{x}{2} = 0$. На ЕГЭ его берут реже, потому что вспомогательный угол даёт ответ короче. Поэтому держи в голове простое правило: ноль справа — дели на косинус, число справа — вспомогательный угол.

Типичные ошибки

1. Не проверять условие $|c| \leq R$. Если правая часть больше амплитуды, решений нет, и это надо увидеть сразу.
2. Неверно определять четверть угла $\varphi$. Учитывай знаки и косинуса, и синуса, а не одного из них.
3. Терять вторую серию корней. У синуса всегда две серии: $\arcsin$ и $\pi - \arcsin$.
4. Не делать отбор корней. В задании 12 без отбора на отрезке теряется балл, даже если общее решение верное.
5. Путать коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$. В формуле $\sin(x+\varphi)$ коэффициент при $\sin x$ это $\cos\varphi$, а при $\cos x$ это $\sin\varphi$.

Что запомнить

Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ решается методом вспомогательного угла: выносишь амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ и сворачиваешь левую часть в $R\sin(x + \varphi)$. Угол $\varphi$ находишь по двум знакам $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$ и $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$, определяя четверть. Решений нет, если $|c| > R$. После сведения к синусу выписываешь обе серии корней и обязательно делаешь отбор на заданном отрезке — это вторая половина балла в задании 12. Главное правило: ноль справа решай делением на косинус, ненулевое число — вспомогательным углом, и никогда не забывай про отбор.

Связь с другими темами

• Уравнение a·sin x + b·cos x = c — подробный разбор самой техники метода вспомогательного угла.
• Тригонометрические уравнения — базовые уравнения с синусом, к которым всё сводится.
• Отбор корней на единичной окружности — главный навык второй части задания 12.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 12 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Уравнения вида $a\sin x + b\cos x = c$ — один из распространённых типов.