Уравнения a·sin x + b·cos x = c — метод вспомогательного угла

Метод вспомогательного угла

Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ решают, вынося общий множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$a\sin x + b\cos x = R\left(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x\right)$

Поскольку $\left(\dfrac{a}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{R}\right)^2 = 1$, можно ввести угол $\varphi$ такой, что:

$\cos\varphi = \frac{a}{R}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{R}$

Тогда:

$a\sin x + b\cos x = R(\cos\varphi \sin x + \sin\varphi \cos x) = R\sin(x + \varphi)$

Уравнение принимает вид:

$R\sin(x + \varphi) = c \quad \Rightarrow \quad \sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$

Алгоритм решения

1. Вычисли $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Если $|c| > R$: решений нет.
3. Найди $\varphi$: $\cos\varphi = a/R$, $\sin\varphi = b/R$.
4. Реши $\sin(x + \varphi) = c/R$.
5. Из $x + \varphi = \ldots$ вырази $x$.

Пример 1: простой случай

Решить $\sin x + \cos x = 1$.

$a = 1$, $b = 1$, $c = 1$.

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos\varphi = 1/\sqrt{2}$, $\sin\varphi = 1/\sqrt{2}$ → $\varphi = \pi/4$.

$\sqrt{2}\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x + \dfrac{\pi}{4} = (-1)^n \dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

Ветка 1 ($n$ чётное): $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ → $x = 2\pi k$.

Ветка 2 ($n$ нечётное): $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ → $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x = 2\pi k$ и $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 2: с другими коэффициентами

Решить $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$.

$a = \sqrt{3}$, $b = -1$, $c = 1$.

$R = \sqrt{3 + 1} = 2$.

$\cos\varphi = \sqrt{3}/2$, $\sin\varphi = -1/2$ → $\varphi = -\pi/6$.

$2\sin\!\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 \Rightarrow \sin\!\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

$x - \dfrac{\pi}{6} = (-1)^n \dfrac{\pi}{6} + \pi n$.

Ветка 1: $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ветка 2: $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Альтернативный метод: через cos

Можно записать через косинус: $a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \psi)$, где $\tg\psi = a/b$.

Выбор (через $\sin$ или $\cos$) — в зависимости от удобства подстановки.

Проверка: нет ли решений

Перед решением всегда проверяй:

$|c| \leq R$?

• $|c| > R$ → решений нет.
• $|c| = R$ → ровно одна серия решений (соответствует $\sin(x+\varphi) = \pm 1$).

Пример задания 12 с отбором корней

Задача. Найти корни $\sin x - \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2}$ на $[0;\ 2\pi]$.

$R = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\varphi$: $\cos\varphi = 1/2$, $\sin\varphi = -\sqrt{3}/2$ → $\varphi = -\pi/3$.

$\sin(x - \pi/3) = \sqrt{2}/2$.

$\arcsin(\sqrt{2}/2) = \pi/4$.

Ветка 1: $x - \pi/3 = \pi/4 + 2\pi k$ → $x = \pi/4 + \pi/3 + 2\pi k = 7\pi/12 + 2\pi k$. При $k = 0$: $x = 7\pi/12 \approx 1.83$ ✓ (в $[0;\ 2\pi]$).

Ветка 2: $x - \pi/3 = \pi - \pi/4 + 2\pi k = 3\pi/4 + 2\pi k$ → $x = 3\pi/4 + \pi/3 + 2\pi k = 13\pi/12 + 2\pi k$. При $k = 0$: $x = 13\pi/12 \approx 3.40$ ✓.

Ответ: $x = 7\pi/12$ и $x = 13\pi/12$.

Что запомнить

1. $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
2. $\cos\varphi = a/R$, $\sin\varphi = b/R$ — определяют угол $\varphi$.
3. Если $|c| > R$ — решений нет.
4. После приведения — стандартное тригонометрическое уравнение.