Задачи на страницы книги и случайный выбор

Задачи на страницы книги — стандартный тип в задании 4 ЕГЭ на классическую вероятность. Сюжет всегда один: есть книга, её открывают наугад, и нужно найти вероятность, что номер открытой страницы обладает каким-то свойством — например, кратен пяти, двузначный или содержит цифру 7. Все такие задачи решаются по одной формуле $p=k/n$, и главная сложность не в самой формуле, а в том, чтобы аккуратно посчитать $n$ (всего страниц) и $k$ (страниц с нужным свойством). Разберём типичные подзадачи и ловушки, на которых теряют баллы.

Классическая формула вероятности

$p=\frac{k}{n}$

где:

• $n$ — общее число равновозможных исходов (всего страниц в книге).
• $k$ — число благоприятных исходов (страниц, номер которых удовлетворяет условию).

Условие применимости: все исходы равновозможны. Когда книгу открывают наугад, считается, что каждая страница выпадает с одинаковой вероятностью — это и позволяет применять формулу $k/n$. Если бы какая-то страница была «толще» или закладка делала её более вероятной, классическая формула уже не работала бы. В задачах ЕГЭ равновозможность всегда подразумевается по умолчанию.

Весь алгоритм сводится к трём шагам: найти $n$, аккуратно посчитать $k$, поделить и сократить дробь. Самый коварный шаг — второй: именно на подсчёте благоприятных исходов чаще всего ошибаются, забывая граничные значения или дважды считая одну и ту же страницу.

Разбор типичных подзадач

Страницы с заданным свойством цифр

Пример 1. Книга из 300 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность попасть на страницу с однозначным номером?

Однозначные: 1, 2, ..., 9 — итого 9 страниц.

$p=\frac{9}{300}=\frac{3}{100}=0,03$.

Ответ: $0,03$.

Пример 2. Книга из 200 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность попасть на страницу с двузначным номером?

Двузначные: 10, 11, ..., 99 — итого $99-10+1=90$ страниц.

$p=\frac{90}{200}=\frac{9}{20}=0,45$.

Ответ: $0,45$.

Двузначных чисел всегда ровно 90 (от 10 до 99) независимо от размера книги — главное, чтобы в книге было не меньше 99 страниц. Это удобный факт для быстрой прикидки: если спрашивают про двузначные номера, числитель почти наверняка 90.

Кратность номера

Пример 3. Книга из 150 страниц. Какова вероятность что номер страницы кратен 7?

Кратные 7 от 1 до 150: $7,14,21,\dots$ Последнее: $7\cdot 21=147\le 150$, $7\cdot 22=154>150$.

Итого: 21 страница.

$p=\frac{21}{150}=\frac{7}{50}=0,14$.

Ответ: $0,14$.

Запомни приём для кратности: чтобы посчитать, сколько чисел от 1 до $N$ делятся на $m$, бери целую часть от деления $\lfloor N/m\rfloor$. Здесь $\lfloor 150/7\rfloor =21$, потому что $7\cdot 21=147\le 150$, а $7\cdot 22=154$ уже больше 150. Этот приём работает всегда, когда нумерация начинается с 1.

Цифра в номере

Пример 4. Книга из 100 страниц. Открыли наугад. Вероятность что в номере есть цифра 5?

Номера от 1 до 100 с цифрой 5:

• Единицы = 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 — 10 чисел.
• Десятки = 5: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 — 10 чисел.

Пересечение: 55 — уже посчитана в обоих. По формуле включений-исключений: $10+10-1=19$.

$p=\frac{19}{100}=0,19$.

Ответ: $0,19$.

Здесь работает формула включений-исключений: складываем количество чисел с пятёркой в единицах и количество чисел с пятёркой в десятках, а затем вычитаем те, что попали в оба списка (число 55). Если просто сложить $10+10=20$, получится завышенный ответ, потому что 55 будет посчитано дважды. Этот приём универсален для всех «цифровых» условий: считай по каждому разряду отдельно, а потом убирай повторы.

Ловушка: страницы vs листы

Пример 5. Книга из 120 листов. Страницы пронумерованы от 1 до 240. Открыли наугад на каком-то листе (не странице). Какова вероятность что оба номера на листе — чётные?

Каждый лист $i$ ($i=1,\dots ,120$) содержит страницы $2i-1$ (нечётная) и $2i$ (чётная).

На каждом листе ровно одна чётная и одна нечётная — значит условие «оба чётные» невозможно.

$p=0$.

Ответ: $0$.

Эта задача — классическая ловушка на различие листа и страницы. Лист — это физический бумажный носитель, у него две стороны, а значит два номера страниц. По типографскому правилу нечётные страницы всегда справа, чётные — слева, поэтому на одном листе всегда одна чётная и одна нечётная страница. Условие «оба номера чётные» физически невозможно, отсюда и вероятность ноль. Когда в условии встречаются слова «лист», «разворот», «бумага» — сразу вспоминай это правило и проверяй, не противоречит ли требуемое свойство устройству книги.

Задача с двумя последовательными номерами

Пример 6. Книга из 100 страниц. Случайно выбрали страницу. Вероятность что её номер и следующей страницы — оба чётные?

Чётная страница $k$ имеет следующую $k+1$ (нечётную). Если выбрана нечётная $k$, следующая $k+1$ чётная. Оба чётных — невозможно (чётный + чётный: страницы $2m$ и $2m+1$ — второй нечётный).

$p=0$.

Если же условие «оба нечётные»: нечётная $k$, следующая $k+1$ чётная. Тоже невозможно.

Запомни общее правило: любые две подряд идущие страницы $k$ и $k+1$ имеют разную чётность — одна чётная, другая нечётная. Поэтому любое требование «оба соседних номера одинаковой чётности» автоматически невозможно, и ответ равен нулю без всякого подсчёта. Узнавай этот тип сразу: если в задаче два соседних номера и требуется их совпадение по чётности — пиши $0$.

Задача с суммой цифр

Пример 7. Книга из 50 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность что сумма цифр номера равна 5?

Номера от 1 до 50 с суммой цифр = 5:

• Однозначные: 5.
• Двузначные: $5+0=5$ (50); $1+4=5$ (14); $2+3=5$ (23); $3+2=5$ (32); $4+1=5$ (41).

Итого: 5, 14, 23, 32, 41, 50 — 6 номеров. Все в диапазоне 1–50 ✓.

$p=\frac{6}{50}=\frac{3}{25}=0,12$.

Ответ: $0,12$.

В задачах на сумму цифр нет красивой формулы — приходится аккуратно перебирать. Чтобы не потерять варианты, действуй системно: сначала все однозначные числа с нужной суммой, потом двузначные по возрастанию первой цифры. Так ты гарантированно не пропустишь, например, число 50 (сумма $5+0=5$), которое легко забыть, потому что вторая цифра — ноль. После перебора всегда перепроверь, все ли найденные числа попадают в диапазон страниц книги.

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи: первая разобрана полностью, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Это лучший способ проверить, что ты действительно умеешь считать $k$, а не просто читаешь готовое.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). В книге 250 страниц. Открыли наугад. Найди вероятность, что номер — трёхзначный.

Решение. Трёхзначные номера — от 100 до 250 включительно. Их количество: $250-100+1=151$. Всего страниц $n=250$.

$p=\frac{151}{250}=0,604$

Ответ: $0,604$. Важная деталь — формула «последнее минус первое плюс один»: легко забыть «плюс один» и получить 150 вместо 151.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). В книге 120 страниц. Открыли наугад. Найди вероятность, что номер трёхзначный.

Шаг 1: посчитай, сколько трёхзначных номеров в диапазоне от 1 до 120.

Шаг 2: найди вероятность.

Задача В (уровень В, два шага — сам). В книге 100 страниц. Открыли наугад. Найди вероятность, что в номере страницы есть цифра 5.

Шаг 1: перечисли номера от 1 до 100, в записи которых встречается цифра 5, и не забудь про двойной счёт.

Шаг 2: посчитай вероятность.

Алгоритм решения

1. Определи $n$ — общее число страниц.
2. Чётко прочитай условие: что значит «благоприятный исход» (какой номер страницы нужен).
3. Перечисли или посчитай $k$ — число благоприятных страниц. Для кратности используй $\lfloor N/m\rfloor$, для диапазона — «последнее минус первое плюс один».
4. $p=k/n$. Упрости дробь и переведи в десятичную.

Как распознать тип условия

Почти все задачи про страницы сводятся к одному из четырёх типов свойства номера. Научись определять тип сразу по формулировке — тогда подсчёт $k$ станет механическим.

• Свойство цифр разряда («однозначный», «двузначный», «трёхзначный»): считаем количество чисел в нужном диапазоне по формуле «последнее минус первое плюс один».
• Кратность («кратен 5», «делится на 7»): используем $\lfloor N/m\rfloor$.
• Наличие цифры («есть цифра 5», «начинается на 2»): перебираем по разрядам и обязательно вычитаем повторы.
• Сумма цифр («сумма цифр равна 5»): перебираем кандидатов вручную, диапазон обычно небольшой.

Если в задаче упоминаются «лист», «разворот» или «два соседних номера» — это сигнал про чётность и про разницу между листом и страницей, проверяй устройство книги отдельно.

Частые ошибки

1. Путать лист и страницу. Лист — это два номера страниц (одна чётная, одна нечётная). Правильно брать $n$ = число страниц, а не листов, и помнить, что на одном листе чётность номеров всегда разная.
2. Не учитывать граничные значения. При поиске кратных $m$ от 1 до $N$ бери $k=\lfloor N/m\rfloor$, а при подсчёте диапазона не забывай «плюс один»: от 100 до 250 не 150, а 151 число.
3. Двойной счёт при цифровых условиях. Если номер содержит и пятёрку в единицах, и в десятках (как 55), его нужно посчитать один раз — иначе $k$ окажется завышенным.
4. Путать «не менее» и «более». «Не менее 50» включает 50 (то есть 50 и больше); «более 50» начинается с 51. Один пропущенный номер меняет ответ.
5. Забывать сократить и перевести дробь. Ответ в ЕГЭ обычно требуется десятичной дробью, поэтому $\frac{19}{100}$ записывай как $0,19$, а не оставляй обыкновенной.

Связь с другими темами

• Классическое определение вероятности — базовая формула.
• Сложение вероятностей — при нескольких условиях.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 — классическая вероятность с подсчётом благоприятных исходов.

Задачи про страницы — это «маскировка» базового задания 4: за бытовым сюжетом про книгу прячется обычный подсчёт по формуле $k/n$. Поэтому, как только видишь «открыли книгу наугад», сразу переводи условие на язык исходов: что считать за $n$ (обычно число страниц) и какое свойство номера даёт благоприятный исход. Дальше — чистая арифметика с делимостью и диапазонами.

Что запомнить

• Все задачи про страницы решаются по формуле $p=k/n$, где $n$ — всего страниц, $k$ — страниц с нужным свойством.
• Кратность: чисел от 1 до $N$, делящихся на $m$, ровно $\lfloor N/m\rfloor$.
• Диапазон номеров: количество = «последнее минус первое плюс один».
• При цифровых условиях («есть цифра 5») вычитай повторы, чтобы не посчитать одну страницу дважды.
• Лист и страница — не одно и то же: лист содержит две страницы, читай условие внимательно.
• Подряд идущие страницы всегда чередуют чётность — это часто даёт ответ $0$ в задачах «оба номера чётные».