Задачи на страницы книги и случайный выбор

Задачи на страницы книги — стандартный тип в задании 4 ЕГЭ на классическую вероятность. Все решаются по формуле $p = k/n$, но важно правильно считать $n$ и $k$.

Классическая формула вероятности

$p = \frac{k}{n}$

где:

• $n$ — общее число равновозможных исходов (всего страниц).
• $k$ — число благоприятных исходов (страниц, удовлетворяющих условию).

Условие применимости: все исходы равновозможны (книгу открывают наугад — каждая страница с одинаковой вероятностью).

Разбор типичных подзадач

Страницы с заданным свойством цифр

Пример 1. Книга из 300 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность попасть на страницу с однозначным номером?

Однозначные: 1, 2, ..., 9 — итого 9 страниц.

$p = \dfrac{9}{300} = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$.

Ответ: $0{,}03$.

Пример 2. Книга из 200 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность попасть на страницу с двузначным номером?

Двузначные: 10, 11, ..., 99 — итого $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.

$p = \dfrac{90}{200} = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$.

Ответ: $0{,}45$.

Кратность номера

Пример 3. Книга из 150 страниц. Какова вероятность что номер страницы кратен 7?

Кратные 7 от 1 до 150: $7, 14, 21, \ldots$ Последнее: $7 \cdot 21 = 147 \leq 150$, $7 \cdot 22 = 154 > 150$.

Итого: 21 страница.

$p = \dfrac{21}{150} = \dfrac{7}{50} = 0{,}14$.

Ответ: $0{,}14$.

Цифра в номере

Пример 4. Книга из 100 страниц. Открыли наугад. Вероятность что в номере есть цифра 5?

Номера от 1 до 100 с цифрой 5:

• Единицы = 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 — 10 чисел.
• Десятки = 5: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 — 10 чисел.

Пересечение: 55 — уже посчитана в обоих. По формуле включений-исключений: $10 + 10 - 1 = 19$.

$p = \dfrac{19}{100} = 0{,}19$.

Ответ: $0{,}19$.

Ловушка: страницы vs листы

Пример 5. Книга из 120 листов. Страницы пронумерованы от 1 до 240. Открыли наугад на каком-то листе (не странице). Какова вероятность что оба номера на листе — чётные?

Каждый лист $i$ ($i = 1, \ldots, 120$) содержит страницы $2i-1$ (нечётная) и $2i$ (чётная).

На каждом листе ровно одна чётная и одна нечётная — значит условие «оба чётные» невозможно.

$p = 0$.

Ответ: $0$.

(Вот почему важно читать условие: лист или страница.)

Задача с двумя последовательными номерами

Пример 6. Книга из 100 страниц. Случайно выбрали страницу. Вероятность что её номер и следующей страницы — оба чётные?

Чётная страница $k$ имеет следующую $k+1$ (нечётную). Если выбрана нечётная $k$, следующая $k+1$ чётная. Оба чётных — невозможно (чётный + чётный: страницы $2m$ и $2m+1$ — второй нечётный).

$p = 0$.

Если же условие «оба нечётные»: нечётная $k$, следующая $k+1$ чётная. Тоже невозможно.

(Подряд идущие страницы чередуют чётность.)

Задача с суммой цифр

Пример 7. Книга из 50 страниц. Открыли наугад. Какова вероятность что сумма цифр номера равна 5?

Номера от 1 до 50 с суммой цифр = 5:

• Однозначные: 5.
• Двузначные: $5+0=5$ (50); $1+4=5$ (14); $2+3=5$ (23); $3+2=5$ (32); $4+1=5$ (41).

Итого: 5, 14, 23, 32, 41, 50 — 6 номеров. Все в диапазоне 1–50 ✓.

$p = \dfrac{6}{50} = \dfrac{3}{25} = 0{,}12$.

Ответ: $0{,}12$.

Алгоритм решения

1. Определи $n$ — общее число страниц.
2. Чётко прочитай условие: что значит «благоприятный исход» (какой номер страницы нужен).
3. Перечисли или посчитай $k$ — число благоприятных страниц.
4. $p = k/n$. Упрости дробь.

Частые ошибки

1. Путать лист и страницу. Лист = 2 страницы. Правильно: $n$ = число страниц (а не листов).
2. Не учитывать граничные значения. При поиске кратных $m$ от 1 до $N$: $k = \lfloor N/m \rfloor$.
3. Двойной счёт при цифровых условиях. Если номер содержит и пятёрку в единицах, и в десятках — считать один раз.
4. Путать «не менее» и «более». «Не менее 50» = 50 и больше; «более 50» = от 51.

Связь с другими темами

• Классическое определение вероятности — базовая формула.
• Сложение вероятностей — при нескольких условиях.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 — вероятность со сложными условиями.