Задание 10 — это 4 балла за вероятность. В отличие от задания 4 (классическая, одно событие), здесь нужно работать со сложными схемами: зависимые события, условная вероятность, формула Бейеса, схема Бернулли. Разбираем все типы.

Что проверяет задание 10

  • Умение применять формулы сложения и умножения вероятностей
  • Условная вероятность и формула полной вероятности
  • Формула Бейеса (иногда)
  • Схема Бернулли (несколько независимых испытаний)

Формат: 1 задача, текстовое условие. Максимум 4 балла (2 за правильную запись/метод, 2 за ответ).

Базовые формулы (не забыть!)

Сложение (несовместные события): P(A+B)=P(A)+P(B)P(A + B) = P(A) + P(B)

Сложение (совместные события): P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Умножение (независимые события): P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Умножение (зависимые события): P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Дополнение: P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Тип 1: Независимые события (цепочка)

Самый простой тип. Несколько испытаний, каждое не влияет на другое.

Пример. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,7. Стреляют 2 раза. Найти вероятность, что оба раза попадут.

Решение: P=0,7⋅0,7=0,49P = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49

Пример. Найти вероятность, что хотя бы один раз попадут (из двух выстрелов).

Удобнее через дополнение: P(хотя бы раз)=1−P(ни разу)=1−0,3⋅0,3=1−0,09=0,91P(\text{хотя бы раз}) = 1 - P(\text{ни разу}) = 1 - 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 1 - 0{,}09 = 0{,}91

Тип 2: Условная вероятность

Условная вероятность P(B∣A)P(B|A) — вероятность события B при условии, что A произошло.

P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Пример. В группе 20 студентов: 12 сдали математику, 8 — физику, 5 сдали оба. Студент выбран случайно и известно, что он сдал математику. Найти вероятность, что он сдал и физику.

Решение: P(физика∣матем)=P(оба)P(матем)=5/2012/20=512P(\text{физика} | \text{матем}) = \frac{P(\text{оба})}{P(\text{матем})} = \frac{5/20}{12/20} = \frac{5}{12}

Тип 3: Формула полной вероятности

Используется, когда событие B может произойти через несколько гипотез H1,H2,…,HnH_1, H_2, \ldots, H_n (полная группа, т.е. ∑P(Hi)=1\sum P(H_i) = 1).

P(B)=∑i=1nP(Hi)⋅P(B∣Hi)P(B) = \sum_{i=1}^n P(H_i) \cdot P(B|H_i)

Пример. На заводе есть два станка. Первый выпускает 60% деталей, второй — 40%. Брак у первого — 3%, у второго — 5%. Найти вероятность, что случайно выбранная деталь — брак.

Решение: P(брак)=0,6⋅0,03+0,4⋅0,05=0,018+0,020=0,038P(\text{брак}) = 0{,}6 \cdot 0{,}03 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038

Тип 4: Формула Бейеса

«Обратная» задача: известно что событие B произошло, найти вероятность, что это была гипотеза HkH_k.

P(Hk∣B)=P(Hk)⋅P(B∣Hk)P(B)P(H_k|B) = \frac{P(H_k) \cdot P(B|H_k)}{P(B)}

Пример (продолжение предыдущего). Деталь оказалась бракованной. Найти вероятность, что она с первого станка.

Решение: P(H1∣брак)=P(H1)⋅P(брак∣H1)P(брак)=0,6⋅0,030,038=0,0180,038≈0,47P(H_1|\text{брак}) = \frac{P(H_1) \cdot P(\text{брак}|H_1)}{P(\text{брак})} = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}03}{0{,}038} = \frac{0{,}018}{0{,}038} \approx 0{,}47

Тип 5: Схема Бернулли

nn независимых испытаний, в каждом вероятность успеха pp. Вероятность ровно kk успехов:

Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}

где q=1−pq = 1 - p, Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

Пример. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение: P5(3)=C53⋅(0,5)3⋅(0,5)2=10⋅0,125⋅0,25=10⋅0,03125=0,3125P_5(3) = C_5^3 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125

Частый вариант «хотя бы k раз»: Через дополнение. «Хотя бы 1 раз» = 1−Pn(0)1 - P_n(0).

Что чаще всего встречается в ЕГЭ-2026

По открытому банку ФИПИ 2025–2026:

  • Задачи с двумя гипотезами (завод, урна, партии) — 40% вариантов
  • Независимые события с «хотя бы» — 30% вариантов
  • Чистая схема Бернулли — 20% вариантов
  • Формула Бейеса — 10% вариантов

Типичные ошибки в задании 10

Ошибка 1. Складывать вероятности зависимых событий по формуле независимых.

Ошибка 2. Не использовать дополнение при «хотя бы раз» — считать напрямую длинную сумму.

Ошибка 3. В формуле Бернулли забыть биномиальный коэффициент CnkC_n^k.

Ошибка 4. Путать P(B∣A)P(B|A) и P(A∣B)P(A|B) — это разные вещи.

Ошибка 5. Не проверить, что гипотезы образуют полную группу (сумма = 1).

Чек-лист по заданию 10

  • Знаю формулы сложения и умножения (зависимые/независимые)
  • Умею применять формулу полной вероятности (2 гипотезы)
  • Знаю формулу Бейеса
  • Умею считать CnkC_n^k и применять формулу Бернулли
  • Использую дополнение при задачах «хотя бы»

Связанные темы

Соты прокачивают задание 10 постепенно: сначала независимые события, потом условная вероятность, потом Бейес и Бернулли — в том порядке, в каком это усваивается.