Задание 10 ЕГЭ профиль: вероятность сложных событий

Задание 10 — это 4 балла за вероятность. В отличие от задания 4 (классическая, одно событие), здесь нужно работать со сложными схемами: зависимые события, условная вероятность, формула Бейеса, схема Бернулли. Разбираем все типы.

Что проверяет задание 10

Умение применять формулы сложения и умножения вероятностей
Условная вероятность и формула полной вероятности
Формула Бейеса (иногда)
Схема Бернулли (несколько независимых испытаний)

Формат: 1 задача, текстовое условие. Максимум 4 балла (2 за правильную запись/метод, 2 за ответ).

Базовые формулы (не забыть!)

Сложение (несовместные события): $P (A + B) = P (A) + P (B)$

Сложение (совместные события): $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Умножение (независимые события): $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Умножение (зависимые события): $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

Дополнение: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

Тип 1: Независимые события (цепочка)

Самый простой тип. Несколько испытаний, каждое не влияет на другое.

Пример. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,7. Стреляют 2 раза. Найти вероятность, что оба раза попадут.

Решение: $P = 0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 49$

Пример. Найти вероятность, что хотя бы один раз попадут (из двух выстрелов).

Удобнее через дополнение: $P (хотя бы раз) = 1 - P (ни разу) = 1 - 0, 3 \cdot 0, 3 = 1 - 0, 09 = 0, 91$

Тип 2: Условная вероятность

Условная вероятность $P (B ∣ A)$ — вероятность события B при условии, что A произошло.

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

Пример. В группе 20 студентов: 12 сдали математику, 8 — физику, 5 сдали оба. Студент выбран случайно и известно, что он сдал математику. Найти вероятность, что он сдал и физику.

Решение: $P (физика ∣ матем) = \frac{P ( оба )}{P ( матем )} = \frac{5/20}{12/20} = \frac{5}{12}$

Тип 3: Формула полной вероятности

Используется, когда событие B может произойти через несколько гипотез $H_{1}, H_{2}, \dots, H_{n}$ (полная группа, т.е. $\sum P (H_{i}) = 1$ ).

$P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (H_{i}) \cdot P (B ∣ H_{i})$

Пример. На заводе есть два станка. Первый выпускает 60% деталей, второй — 40%. Брак у первого — 3%, у второго — 5%. Найти вероятность, что случайно выбранная деталь — брак.

Решение: $P (брак) = 0, 6 \cdot 0, 03 + 0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 018 + 0, 020 = 0, 038$

Тип 4: Формула Бейеса

«Обратная» задача: известно что событие B произошло, найти вероятность, что это была гипотеза $H_{k}$ .

$P (H_{k} ∣ B) = \frac{P ( H _{k} ) \cdot P ( B ∣ H _{k} )}{P ( B )}$

Пример (продолжение предыдущего). Деталь оказалась бракованной. Найти вероятность, что она с первого станка.

Решение: $P (H_{1} ∣ брак) = \frac{P ( H _{1} ) \cdot P ( брак ∣ H _{1} )}{P ( брак )} = \frac{0 , 6 \cdot 0 , 03}{0 , 038} = \frac{0 , 018}{0 , 038} \approx 0, 47$

Тип 5: Схема Бернулли

$n$ независимых испытаний, в каждом вероятность успеха $p$ . Вероятность ровно $k$ успехов:

$P_{n} (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}$

где $q = 1 - p$ , $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ .

Пример. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение: $P_{5} (3) = C_{5}^{3} \cdot (0, 5)^{3} \cdot (0, 5)^{2} = 10 \cdot 0, 125 \cdot 0, 25 = 10 \cdot 0, 03125 = 0, 3125$

Частый вариант «хотя бы k раз»: Через дополнение. «Хотя бы 1 раз» = $1 - P_{n} (0)$ .

Что чаще всего встречается в ЕГЭ-2026

По открытому банку ФИПИ 2025–2026:

Задачи с двумя гипотезами (завод, урна, партии) — 40% вариантов
Независимые события с «хотя бы» — 30% вариантов
Чистая схема Бернулли — 20% вариантов
Формула Бейеса — 10% вариантов

Типичные ошибки в задании 10

Ошибка 1. Складывать вероятности зависимых событий по формуле независимых.

Ошибка 2. Не использовать дополнение при «хотя бы раз» — считать напрямую длинную сумму.

Ошибка 3. В формуле Бернулли забыть биномиальный коэффициент $C_{n}^{k}$ .

Ошибка 4. Путать $P (B ∣ A)$ и $P (A ∣ B)$ — это разные вещи.

Ошибка 5. Не проверить, что гипотезы образуют полную группу (сумма = 1).

Чек-лист по заданию 10

Знаю формулы сложения и умножения (зависимые/независимые)
Умею применять формулу полной вероятности (2 гипотезы)
Знаю формулу Бейеса
Умею считать $C_{n}^{k}$ и применять формулу Бернулли
Использую дополнение при задачах «хотя бы»

Связанные темы

Соты прокачивают задание 10 постепенно: сначала независимые события, потом условная вероятность, потом Бейес и Бернулли — в том порядке, в каком это усваивается.