Независимые события: формула умножения

В задаче «два стрелка независимо стреляют по мишени, найти вероятность что оба попадут» — слово «независимо» — ключ. Оно даёт право умножать вероятности друг на друга. Если бы события были зависимыми (например, второй стрелок видит, попал ли первый, и волнуется), формула умножения уже не работала бы. Разберём, что такое независимость и как с ней работать.

Определение

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление $B$ не меняет вероятность $A$:

Эквивалентная формулировка через формулу умножения: $A$ и $B$ независимы, если

Эти два определения равносильны. Обычно проще использовать второе — формулу умножения.

Для $n$ событий $A_1, A_2, \ldots, A_n$ — независимы (в совокупности), если

и аналогично для любого подмножества.

Откуда берётся формула умножения

Из определения условной вероятности:

Это всегда верно (для любых событий с $P(B) > 0$). Если $A$ и $B$ независимы, то $P(A|B) = P(A)$, и формула становится:

Независимость и интуиция

«$A$ и $B$ независимы» означает, что знание о $B$ не помогает (и не мешает) предсказывать $A$.

Примеры независимых событий:

• Подбрасывание монеты сейчас и подбрасывание монеты завтра.
• Извлечение шара из урны с возвратом и следующее извлечение.
• Выстрел стрелка А и выстрел стрелка Б, если они стреляют не глядя друг на друга.
• Выпадение карты пик и выпадение красной масти из новой колоды (их совместная вероятность 13/52, произведение 13/52 · 26/52 = 13/104, но 13/52 = 1/4, а 26/52 = 1/2, и их произведение 1/8 = 13/104 ✓ — независимы).

Примеры зависимых событий:

• Извлечение шара из урны без возврата и следующее извлечение.
• «Дождь сегодня» и «у меня мокрые ботинки сегодня».
• В наборе трёх карт «у меня туз» и «у тебя туз» (зависимы — если у меня туз, у тебя меньше шансов).

Пример 1: проверка независимости

Условие. Бросают кубик. $A$ — выпало чётное. $B$ — выпало больше 3. Независимы ли $A$ и $B$?

Решение. $A = \{2, 4, 6\}$, $P(A) = 3/6 = 1/2$. $B = \{4, 5, 6\}$, $P(B) = 3/6 = 1/2$. $A \cap B = \{4, 6\}$, $P(A \cap B) = 2/6 = 1/3$.

Произведение: $P(A) \cdot P(B) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4$.

$1/3 \neq 1/4$. Значит, события зависимые.

Интуитивно понятно: знание «выпало больше 3» сужает выбор до $\{4, 5, 6\}$, среди которых чётных — 2 из 3, что больше «обычной» доли чётных (3 из 6). Условная вероятность $P(A|B) = 2/3 \neq 1/2 = P(A)$.

Пример 2: две лампы

Условие. Лампа №1 работает с вероятностью $0{,}9$, лампа №2 — с вероятностью $0{,}8$. Они независимы. Найди вероятность, что обе работают.

Решение. $P(\text{обе работают}) = 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72$.

Ответ: $0{,}72$.

Пример 3: «хотя бы одна работает» через противоположное

Условие. Те же две лампы. Найди вероятность, что хотя бы одна работает.

Решение. «Хотя бы одна» через противоположное «обе не работают». Если лампы независимы, то их противоположные тоже независимы:

$P(\text{1 не работает}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$. $P(\text{2 не работает}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. $P(\text{обе не работают}) = 0{,}1 \cdot 0{,}2 = 0{,}02$.

$P(\text{хотя бы одна работает}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$.

Ответ: $0{,}98$.

Пример 4: схема последовательная и параллельная

Условие. В электрической цепи 3 элемента, каждый работает независимо с вероятностью $0{,}9$. Найди вероятность работы цепи, если элементы соединены: (а) последовательно; (б) параллельно.

Решение.

(а) Последовательно: цепь работает, только если работают все. По умножению независимых:

(б) Параллельно: цепь работает, если работает хотя бы один. Через противоположное:

Ответы: (а) $0{,}729$, (б) $0{,}999$.

Параллельная схема значительно надёжнее — это базовый принцип резервирования в технике.

Пример 5: три стрелка

Условие. Три стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания: $0{,}5$; $0{,}6$; $0{,}7$. Найди вероятность, что попал ровно один.

Решение. Возможны три варианта «ровно одного попадания»:

1. Попал 1, не попал 2, 3: $P_1 = 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$.
2. Не попал 1, попал 2, не попал 3: $P_2 = 0{,}5 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$.
3. Не попал 1, 2, попал 3: $P_3 = 0{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}14$.

(Внутри каждого варианта используем умножение независимых.)

Складываем (несовместны):

Ответ: $0{,}29$.

Пример 6: независимы или нет?

Условие. В колоде 36 карт. Достают одну. $A$ — карта пиковой масти. $B$ — карта-туз. Независимы ли $A$ и $B$?

Решение. $P(A) = 9/36 = 1/4$. $P(B) = 4/36 = 1/9$. $A \cap B$ — туз пик, $P(A \cap B) = 1/36$.

$P(A) \cdot P(B) = 1/4 \cdot 1/9 = 1/36$.

$1/36 = 1/36$. Значит независимы.

В колоде из 36 карт пиков 9, тузов 4, и их пересечение даёт ровно один туз пик — это в точности произведение долей. В этом смысле «масть» и «номинал» независимы.

Несовместные vs независимые

Это две разные концепции, и их часто путают.

Важный факт: если $A$ и $B$ оба имеют ненулевую вероятность и несовместны, то они зависимы. Потому что $P(A \cap B) = 0$, а $P(A) \cdot P(B) > 0$ — не равны. Несовместность — это сильная зависимость: если случилось $A$, то $B$ точно не случилось.

Частые ошибки

Ошибка 1: применяют формулу умножения к зависимым событиям. Например, в задаче с урной «без возврата» — там события зависимы. Нужна условная вероятность, а не умножение долей.

Ошибка 2: путают несовместные и независимые. В одной задаче сказано «несовместные» — нельзя применять умножение. В другой «независимые» — можно. Оба термина важны.

Ошибка 3: формула для $P(A \cup B)$ как сумма без вычитания. Даже для независимых: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$, не просто сумма.

Ошибка 4: предполагают независимость когда не сказано. Если в условии не явно «независимо», но интуиция подсказывает зависимость (например, «два события в одной погоде») — нужно искать дополнительную информацию или решать через условную вероятность.

Когда независимость в ЕГЭ

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ профиль слово «независимо» — почти всегда явный сигнал. Проверь:

• «Два стрелка независимо...» — формула умножения.
• «Каждый элемент независимо работает с вероятностью...» — умножение для всех вместе.
• «Случайно с возвратом...» — независимость по умолчанию.

Если в условии «без возврата», «зависит от», «после того как» — предполагай зависимость и переходи к условной вероятности.

Что запомнить

• $A$ и $B$ независимы $\iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Эквивалентно: $P(A|B) = P(A)$.
• Несовместные и независимые — разное. Несовместные с ненулевой вероятностью — зависимы.
• Если $A$, $B$ независимы, то и $\bar{A}$, $\bar{B}$ независимы.
• Параллельная схема надёжнее последовательной (вероятность работы ближе к 1).
• В ЕГЭ слово «независимо» — сигнал применять формулу умножения.