Что такое формула полной вероятности?

Если событие $A$ может произойти при наступлении одной из нескольких взаимоисключающих гипотез $B_1, B_2, \ldots, B_n$ (полная группа), то его полная вероятность: $P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)$.

Когда применять формулу полной вероятности?

Когда событие $A$ зависит от того, какая «гипотеза» (один из взаимоисключающих сценариев) реализовалась. Типичный признак: «выбрали один из двух (трёх) источников, потом из него взяли объект — какова вероятность, что объект имеет некое свойство?».

Чем формула полной вероятности отличается от формулы Байеса?

Полная вероятность отвечает на вопрос «какова вероятность $A$» (прямой вопрос). Байес — на вопрос «при условии, что $A$ произошло, какова вероятность что реализовалась гипотеза $B_i$» (обратный вопрос). Они работают с одной и той же конструкцией, но в разные стороны.

Почему сумма вероятностей гипотез равна единице?

Потому что гипотезы образуют полную группу — это значит, что одна из них обязательно реализуется, причём только одна. Это полный набор взаимоисключающих исходов, и сумма их вероятностей всегда 1.

Можно ли решать задачи через дерево вероятностей вместо формулы?

Можно. Дерево — это визуальное представление формулы полной вероятности. Каждый путь от корня к листу — это $P(B_i) \cdot P(A|B_i)$. Сумма путей, ведущих к нужному исходу, и есть $P(A)$.

Формула полной вероятности: разбираем по шагам

Q: Что такое полная группа событий?

Набор попарно несовместных событий, которые в сумме покрывают все возможные исходы. Сумма их вероятностей равна 1: $P(B_1) + P(B_2) + \ldots + P(B_n) = 1$.

В задаче №5 ЕГЭ часто встречается типовая структура: «бракованные детали выпускают две фабрики», «таблетку взяли из одной из двух упаковок», «билет вытянул один из трёх студентов». Что общего? Прежде чем произошло интересующее тебя событие, реализовался один из нескольких сценариев — ты не знаешь какой именно. Здесь работает формула полной вероятности.

Что такое полная группа событий

Сначала нужно разобраться с понятием «полная группа событий». Это набор событий $B_1, B_2, \ldots, B_n$ со свойствами:

Попарно несовместны: никакие два не могут произойти одновременно.
Покрывают всё: одно из них обязательно произойдёт.

Из этих свойств следует:

P(B_1) + P(B_2) + \ldots + P(B_n) = 1

Простой пример полной группы: бросаем кубик. События «выпало 1», «выпало 2», ..., «выпало 6» — это полная группа из шести событий, сумма вероятностей $6 \cdot \frac{1}{6} = 1$ .

Другой пример: «купленный на улице зонт оказался от фирмы А» и «от фирмы Б» — полная группа, если уличный продавец продаёт зонты только этих двух фирм.

Сама формула

Пусть $A$ — интересующее нас событие, и оно может произойти при разных «гипотезах» $B_1, \ldots, B_n$ , образующих полную группу. Тогда:

P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)

Каждое слагаемое — это «вероятность пути»: сначала реализовалась гипотеза $B_i$ (с вероятностью $P(B_i)$ ), а потом при этой гипотезе случилось $A$ (с условной вероятностью $P(A|B_i)$ ).

Откуда берётся формула

Событие $A$ можно разбить на непересекающиеся куски: « $A$ произошло вместе с $B_1$ », « $A$ произошло вместе с $B_2$ », ..., « $A$ произошло вместе с $B_n$ ». Это куски $A \cap B_1$ , $A \cap B_2$ , и так далее. Они не пересекаются (потому что $B_i$ попарно несовместны).

По свойству суммы вероятностей несовместных:

P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \ldots + P(A \cap B_n)

Каждый $P(A \cap B_i)$ по формуле умножения равен $P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ . Подставляем — получаем формулу полной вероятности.

Пример 1: две фабрики

Условие. Завод закупает детали у двух фабрик. Фабрика А поставляет 60% всех деталей, у неё 2% брака. Фабрика Б поставляет 40%, у неё 5% брака. Случайно выбранная деталь оказалась на сборке. Какова вероятность, что она бракованная?

Решение. Введём гипотезы:

$B_1$ — деталь от фабрики А, $P(B_1) = 0{,}6$ .
$B_2$ — деталь от фабрики Б, $P(B_2) = 0{,}4$ .

Это полная группа: проверка $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ . ✓

Условные вероятности брака:

$P(A|B_1) = 0{,}02$ (брак при условии, что деталь от А).
$P(A|B_2) = 0{,}05$ .

По формуле полной вероятности:

P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

Ответ: $0{,}032$ .

То есть в среднем 3,2% всех деталей на сборке — бракованные. Это «средневзвешенное» от двух фабрик с весами по объёму поставок.

Пример 2: две урны

Условие. В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй — 2 белых и 8 чёрных. Сначала бросают монету: если орёл — берут шар из первой урны, если решка — из второй. Найди вероятность, что вытащили белый шар.

Решение. Гипотезы по выбору урны (монета честная):

$B_1$ — выбрали первую урну, $P(B_1) = 0{,}5$ .
$B_2$ — вторую, $P(B_2) = 0{,}5$ .

Условные вероятности «достать белый при условии, что урна выбрана»:

$P(A|B_1) = 4/10 = 0{,}4$ .
$P(A|B_2) = 2/10 = 0{,}2$ .

Полная вероятность:

P(A) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3

Ответ: $0{,}3$ .

Пример 3: три варианта (типичная задача №5)

Условие. Биатлонист стреляет 3 раза по разным мишеням. На каждую мишень даётся одна попытка. Вероятность попадания в первую мишень 0,8, во вторую 0,7, в третью 0,6. Найди вероятность, что биатлонист попадёт ровно в две мишени.

Решение. Здесь чистая формула полной вероятности неудобна — задача решается через перечисление непересекающихся вариантов «попал в каких именно двух», но это, по сути, та же конструкция: разбили событие на куски и просуммировали.

Возможные сценарии «ровно 2 попадания»:

Попал в 1 и 2, не попал в 3: $P_1 = 0{,}8 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}224$ .
Попал в 1 и 3, не попал в 2: $P_2 = 0{,}8 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}144$ .
Попал в 2 и 3, не попал в 1: $P_3 = 0{,}2 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}084$ .

Суммируем:

P = 0{,}224 + 0{,}144 + 0{,}084 = 0{,}452

Ответ: $0{,}452$ .

Здесь формула Бернулли тоже не работает, потому что вероятности разные. А полная вероятность в чистом виде — даёт инструмент: «разбить на непересекающиеся куски, посчитать каждый по умножению, сложить».

Пример 4: два этапа отбора

Условие. В офис приходит 70% сотрудников из отдела А и 30% из отдела Б. Среди сотрудников отдела А 90% носит пропуск, среди Б — 80%. Случайно выбранный сотрудник: какова вероятность, что у него есть пропуск?

Решение. Гипотезы:

$B_1$ — сотрудник из А, $P(B_1) = 0{,}7$ .
$B_2$ — из Б, $P(B_2) = 0{,}3$ .

Условные:

$P(A|B_1) = 0{,}9$ .
$P(A|B_2) = 0{,}8$ .

P(A) = 0{,}7 \cdot 0{,}9 + 0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}63 + 0{,}24 = 0{,}87

Ответ: $0{,}87$ .

Дерево вероятностей как альтернатива

Для тех, кому формула с суммой кажется сложной, дерево даёт визуальную аналогию.

Возьмём задачу про две урны (Пример 2). Дерево:

            (0.5)
       ┌───── урна 1
      ╱            ├── (0.4) белый  → 0.5·0.4 = 0.2
старт              └── (0.6) чёрный  → 0.5·0.6 = 0.3
      ╲       ┌── (0.2) белый  → 0.5·0.2 = 0.1
       └───── урна 2
            (0.5)  └── (0.8) чёрный  → 0.5·0.8 = 0.4

Чтобы найти $P(\text{белый})$ , складываем все пути, которые ведут к «белый»:

P(\text{белый}) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3

То же самое, что по формуле. Дерево полезно, когда гипотез немного (2–3) и удобно прорисовать. При большом числе гипотез сразу пиши формулу.

Как распознать формулу полной вероятности в задаче

В заданиях ЕГЭ типовые формулировки:

«Сначала случайным образом выбирают один из $N$ источников, потом из него вытаскивают объект» — гипотезы по источникам.
«Объект может попасть к нам через несколько каналов» — гипотезы по каналам.
«Завод закупает у разных поставщиков, у каждого свой процент брака» — гипотезы по поставщикам.

Ключевой признак: интересующее событие $A$ может реализоваться при разных предпосылках $B_i$ , и вероятность $A$ зависит от того, какая предпосылка случилась.

Частые ошибки

Ошибка 1: гипотезы не образуют полную группу. Сумма $P(B_i)$ должна быть 1. Если получилось 0,9 — пропустили один сценарий. Если 1,1 — где-то двойной счёт.

Ошибка 2: путают $P(A|B_i)$ и $P(B_i|A)$ . Условие читать аккуратно. Если в задаче «при условии, что деталь бракованная, найти вероятность, что она от первой фабрики» — это уже не формула полной вероятности, это формула Байеса.

Ошибка 3: забывают умножить на $P(B_i)$ . Просто складывают $P(A|B_i)$ без весов гипотез. Это даёт неверный ответ.

Ошибка 4: применяют формулу там, где её не надо. Если задача «в коробке 5 белых и 3 чёрных, достали один шар, какова вероятность, что белый?» — это классическая вероятность, $P = 5/8$ , без всяких гипотез.

Связь с формулой Байеса

Если ты разобрал полную вероятность, формула Байеса — следующий логический шаг. Она отвечает на «обратный» вопрос: «событие $A$ произошло, какова вероятность, что реализовалась гипотеза $B_i$ ?». Формально:

P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}

В знаменателе — та самая полная вероятность $P(A)$ . То есть Байес = «разделить одно слагаемое полной вероятности на всю сумму». Подробнее — в статье про формулу Байеса.

Прокачай задание 5 ЕГЭ — задачи на полную вероятность и Байеса. В Сотах 30+ разобранных задач этого типа с пошаговым решением и адаптивной сложностью.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Полная группа: попарно несовместные события, сумма вероятностей = 1.
Формула: $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ .
Каждое слагаемое = «вес гипотезы × условная вероятность $A$ при этой гипотезе».
Дерево вероятностей — визуальный аналог формулы.
В ЕГЭ типичный признак — «выбирают один из источников, потом из него — объект».
Если задача спрашивает «при условии $A$ , какая гипотеза?» — это уже Байес, не полная вероятность.

Формула полной вероятности