Дискретная случайная величина и её закон распределения

В одном эксперименте бросают кубик и записывают число очков. В другом стреляют 5 раз и считают количество попаданий. В третьем играют в лотерею и считают выигрыш. Все три случая объединяет одно: результат — это число, которое нельзя предсказать заранее. Это и есть случайная величина. Разберём, как описывать её и работать с ней.

Что такое случайная величина

Случайная величина — это правило, которое каждому исходу случайного эксперимента сопоставляет число.

Примеры:

• Бросаем кубик. $X$ = число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Стрелок делает 5 выстрелов. $Y$ = число попаданий. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
• Подбрасываем монету до первого орла. $Z$ = номер броска, в котором выпал орёл. Возможные значения: 1, 2, 3, ... (теоретически бесконечно).

Если множество возможных значений счётное (можно перечислить: 0, 1, 2, ...) — это дискретная случайная величина (ДСВ).

Закон распределения ДСВ

Полное описание ДСВ — это закон распределения. Обычно записывается в виде таблицы:

Здесь $x_i$ — возможные значения, $p_i = P(X = x_i)$ — соответствующие вероятности.

Главное условие: сумма всех вероятностей равна 1:

Если в твоей таблице сумма не 1 — где-то ошибка.

Пример 1: кубик

Условие. Записать закон распределения для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик честный, каждое равновероятно: $p = 1/6$.

Сумма: $6 \cdot 1/6 = 1$. ✓

Это так называемое равномерное дискретное распределение.

Пример 2: число попаданий из 3 выстрелов

Условие. Стрелок делает 3 выстрела с вероятностью попадания 0,8 каждый. Найди закон распределения для $X$ — числа попаданий.

Решение. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли:

$P(X=0) = 0{,}2^3 = 0{,}008$. $P(X=1) = C_3^1 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2^2 = 3 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}04 = 0{,}096$. $P(X=2) = C_3^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$. $P(X=3) = 0{,}8^3 = 0{,}512$.

Сумма: $0{,}008 + 0{,}096 + 0{,}384 + 0{,}512 = 1$. ✓

Это биномиальное распределение с параметрами $n = 3$, $p = 0{,}8$.

Биномиальное распределение

Самое частое дискретное распределение в ЕГЭ. Случайная величина $X$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли.

Возможные значения: $0, 1, 2, \ldots, n$. Вероятности — по формуле Бернулли:

Сумма всех — это $\sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1$ (биномиальная формула Ньютона). Корректно.

Пример 3: геометрическое распределение

Условие. Подбрасывают монету до первого орла. Найди вероятность, что орёл выпадет на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м броске.

Решение. $p = 0{,}5$, $q = 0{,}5$.

$P(X=1) = p = 0{,}5$. $P(X=2) = q \cdot p = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. $P(X=3) = q^2 \cdot p = 0{,}5^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$. $P(X=4) = q^3 \cdot p = 0{,}5^4 = 0{,}0625$.

В общем случае: $P(X=k) = q^{k-1} \cdot p$.

Это геометрическое распределение с параметром $p$. Возможных значений бесконечно много (1, 2, 3, ...), но сумма $\sum p \cdot q^{k-1} = p \cdot \dfrac{1}{1-q} = p \cdot \dfrac{1}{p} = 1$ (бесконечная геометрическая прогрессия). Корректно.

Пример 4: вероятность интервала значений

Условие. Биномиальная случайная величина $X$ с параметрами $n = 5$, $p = 0{,}3$. Найди $P(1 \le X \le 3)$.

Решение. $P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.

$P(X=1) = C_5^1 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^4 = 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}2401 = 0{,}36015$. $P(X=2) = C_5^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 = 10 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}343 = 0{,}3087$. $P(X=3) = C_5^3 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2 = 10 \cdot 0{,}027 \cdot 0{,}49 = 0{,}1323$.

$P(1 \le X \le 3) \approx 0{,}3602 + 0{,}3087 + 0{,}1323 \approx 0{,}8012$.

Ответ: $\approx 0{,}8012$.

Функция распределения

Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ — это вероятность того, что случайная величина не превысит $x$.

Для ДСВ из Примера 2:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0{,}008, & 0 \le x < 1 \\ 0{,}104, & 1 \le x < 2 \\ 0{,}488, & 2 \le x < 3 \\ 1, & x \ge 3 \end{cases}$

То есть $F$ — ступенчатая функция, со скачками в точках, где находятся значения $X$. Высота скачка = вероятность этого значения.

В ЕГЭ профиль функция распределения встречается реже таблицы, но иногда нужна для $P(X \le k)$ через готовую формулу.

Пример 5: лотерея с асимметричной случайной величиной

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 выигрышный с призом 5000 руб., 9 — с призом 500 руб., остальные пустые. Найди закон распределения случайной величины «выигрыш по одному билету».

Решение. Возможные значения: 0, 500, 5000.

$P(X = 0) = 90/100 = 0{,}9$. $P(X = 500) = 9/100 = 0{,}09$. $P(X = 5000) = 1/100 = 0{,}01$.

Сумма: $0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}01 = 1$. ✓

Пример 6: «найти параметр»

Условие. Закон распределения случайной величины:

Найди $a$.

Решение. Сумма должна быть 1:

Ответ: $a = 0{,}4$.

Этот тип задач — самый частый в задании 4 ЕГЭ, когда дана таблица и нужно найти недостающую вероятность.

Что важно для следующих тем

ДСВ — основа для двух важных характеристик:

• Математическое ожидание $E(X) = \sum x_i p_i$ — «среднее значение».
• Дисперсия $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ — «разброс вокруг среднего».

Без понимания закона распределения эти формулы превращаются в чистую механику. С пониманием — становятся очевидными.

Частые ошибки

Ошибка 1: сумма вероятностей не равна 1. Если в таблице сумма $0{,}9$ — потеряли исход. Если $1{,}1$ — двойной счёт. Самопроверка обязательна.

Ошибка 2: вероятность вне $[0; 1]$. Если получилось $-0{,}1$ или $1{,}3$ — где-то ошибка в условии или в подсчёте.

Ошибка 3: путают значение и вероятность. В таблице сверху значения $X$, снизу — вероятности. Нельзя писать в значениях вероятности или наоборот.

Ошибка 4: применяют формулу Бернулли, когда испытания не Бернулли. Если вероятности успехов разные, или испытания зависимы — это не биномиальное, нужно считать напрямую.

Когда ДСВ в ЕГЭ

В заданиях 4 и иногда 5 ЕГЭ профиль ДСВ появляется в:

• «Дана таблица распределения, найти параметр / вероятность интервала».
• «Сделано $n$ испытаний с вероятностью $p$, найти $P(X = k)$» — биномиальное.
• «Подбрасывание до первого успеха» — геометрическое.

Простая задача — таблица с одной неизвестной вероятностью. Сложная — сумма нескольких $P(X=k)$ через биномиальное распределение.

Что запомнить

• Случайная величина — правило, сопоставляющее каждому исходу число.
• ДСВ принимает счётное множество значений; описывается законом распределения (таблица $X$ ↔ $P$).
• Сумма вероятностей всегда 1 — главная самопроверка.
• Биномиальное: число успехов в $n$ испытаниях Бернулли, $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.
• Геометрическое: номер первого успеха, $P(X=k) = q^{k-1} p$.
• Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ — ступенчатая для ДСВ.
• ДСВ — фундамент для математического ожидания и дисперсии.