Дискретная случайная величина и её закон распределения

В одном эксперименте бросают кубик и записывают число очков. В другом стреляют 5 раз и считают количество попаданий. В третьем играют в лотерею и считают выигрыш. Все три случая объединяет одно: результат — это число, которое нельзя предсказать заранее. Это и есть случайная величина. Разберём, как описывать её и работать с ней.

Что такое случайная величина

Случайная величина — это правило, которое каждому исходу случайного эксперимента сопоставляет число. Важно понять разницу между событием и случайной величиной. Событие — это «да или нет» (выпала шестёрка или не выпала). Случайная величина — это число (сколько именно очков выпало). Из одного и того же эксперимента можно «вытащить» разные случайные величины: бросая два кубика, можно изучать и сумму очков, и максимум, и разность — это три разные случайные величины на одном пространстве исходов.

Примеры:

• Бросаем кубик. $X$ = число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Стрелок делает 5 выстрелов. $Y$ = число попаданий. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
• Подбрасываем монету до первого орла. $Z$ = номер броска, в котором выпал орёл. Возможные значения: 1, 2, 3, ... (теоретически бесконечно).

Если множество возможных значений счётное (можно перечислить: 0, 1, 2, ...) — это дискретная случайная величина (ДСВ).

Закон распределения ДСВ

Полное описание ДСВ — это закон распределения. Обычно записывается в виде таблицы:

Здесь $x_i$ — возможные значения, $p_i = P(X = x_i)$ — соответствующие вероятности.

Главное условие: сумма всех вероятностей равна 1:

Если в твоей таблице сумма не 1 — где-то ошибка. Это правило не формальность, а самая надёжная самопроверка в теме: оно ловит и потерянный исход (сумма меньше 1), и двойной счёт (сумма больше 1). Привыкни заканчивать каждую задачу с таблицей сложением вероятностей — это занимает пять секунд и спасает от обидных потерь баллов. Дополнительно каждая отдельная вероятность обязана лежать в диапазоне от 0 до 1: если в ответе получилось отрицательное число или число больше единицы, значит ошибка точно есть.

Пример 1: кубик

Условие. Записать закон распределения для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик честный, каждое равновероятно: $p = 1/6$.

Сумма: $6 \cdot 1/6 = 1$. ✓

Это так называемое равномерное дискретное распределение.

Пример 2: число попаданий из 3 выстрелов

Условие. Стрелок делает 3 выстрела с вероятностью попадания 0,8 каждый. Найди закон распределения для $X$ — числа попаданий.

Решение. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли:

$P(X=0) = 0{,}2^3 = 0{,}008$. $P(X=1) = C_3^1 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2^2 = 3 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}04 = 0{,}096$. $P(X=2) = C_3^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$. $P(X=3) = 0{,}8^3 = 0{,}512$.

Сумма: $0{,}008 + 0{,}096 + 0{,}384 + 0{,}512 = 1$. ✓

Это биномиальное распределение с параметрами $n = 3$, $p = 0{,}8$. Обрати внимание на структуру таблицы: чем ближе число попаданий к ожидаемому, тем выше вероятность. При $p = 0{,}8$ из трёх выстрелов вероятнее всего попасть все три или хотя бы два раза, а вот промахнуться полностью почти нереально — отсюда крошечная вероятность $0{,}008$ у исхода «ноль попаданий».

Биномиальное распределение

Самое частое дискретное распределение в ЕГЭ. Случайная величина $X$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли.

Возможные значения: $0, 1, 2, \ldots, n$. Вероятности — по формуле Бернулли:

Сумма всех — это $\sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1$ (биномиальная формула Ньютона). Корректно.

Чтобы не путаться, держи в голове смысл биномиального распределения: это «сколько раз случился успех, если опыт повторили $n$ раз с одинаковой вероятностью $p$». Значения, которые может принять величина, — это $0, 1, 2, \ldots, n$ (от «ни одного успеха» до «все успехи»), и для каждого работает формула Бернулли. Большинство задач задания 4 на случайную величину — именно про биномиальное распределение, поэтому уверенно владеть формулой Бернулли здесь критично.

Пример 3: геометрическое распределение

Условие. Подбрасывают монету до первого орла. Найди вероятность, что орёл выпадет на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м броске.

Решение. $p = 0{,}5$, $q = 0{,}5$.

$P(X=1) = p = 0{,}5$. $P(X=2) = q \cdot p = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. $P(X=3) = q^2 \cdot p = 0{,}5^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$. $P(X=4) = q^3 \cdot p = 0{,}5^4 = 0{,}0625$.

В общем случае: $P(X=k) = q^{k-1} \cdot p$.

Это геометрическое распределение с параметром $p$. Возможных значений бесконечно много (1, 2, 3, ...), но сумма $\sum p \cdot q^{k-1} = p \cdot \dfrac{1}{1-q} = p \cdot \dfrac{1}{p} = 1$ (бесконечная геометрическая прогрессия). Корректно.

Пример 4: вероятность интервала значений

Условие. Биномиальная случайная величина $X$ с параметрами $n = 5$, $p = 0{,}3$. Найди $P(1 \le X \le 3)$.

Решение. $P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.

$P(X=1) = C_5^1 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^4 = 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}2401 = 0{,}36015$. $P(X=2) = C_5^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 = 10 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}343 = 0{,}3087$. $P(X=3) = C_5^3 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2 = 10 \cdot 0{,}027 \cdot 0{,}49 = 0{,}1323$.

$P(1 \le X \le 3) \approx 0{,}3602 + 0{,}3087 + 0{,}1323 \approx 0{,}8012$.

Ответ: $\approx 0{,}8012$.

Функция распределения

Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ — это вероятность того, что случайная величина не превысит $x$.

Для ДСВ из Примера 2:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0{,}008, & 0 \le x < 1 \\ 0{,}104, & 1 \le x < 2 \\ 0{,}488, & 2 \le x < 3 \\ 1, & x \ge 3 \end{cases}$

То есть $F$ — ступенчатая функция, со скачками в точках, где находятся значения $X$. Высота скачка = вероятность этого значения.

Понять функцию распределения проще всего так: она накапливает вероятность слева направо. В самой левой точке (до всех значений) $F = 0$ — туда «вероятность ещё не натекла». В самой правой (после всех значений) $F = 1$ — вся вероятность уже накоплена. Между значениями функция держится постоянной, а в самих значениях делает скачок вверх ровно на вероятность этого значения. Поэтому через $F$ удобно отвечать на вопросы вида «какова вероятность, что величина не больше $k$» — это просто значение $F(k)$.

В ЕГЭ профиль функция распределения встречается реже таблицы, но иногда нужна для $P(X \le k)$ через готовую формулу, поэтому полезно уметь читать ступенчатый график и находить по нему вероятности.

Пример 5: лотерея с асимметричной случайной величиной

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 выигрышный с призом 5000 руб., 9 — с призом 500 руб., остальные пустые. Найди закон распределения случайной величины «выигрыш по одному билету».

Решение. Возможные значения: 0, 500, 5000.

$P(X = 0) = 90/100 = 0{,}9$. $P(X = 500) = 9/100 = 0{,}09$. $P(X = 5000) = 1/100 = 0{,}01$.

Сумма: $0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}01 = 1$. ✓

Этот пример показывает, что значения случайной величины не обязаны быть «красивыми» 0, 1, 2 — здесь это денежные суммы 0, 500 и 5000 рублей. Закон распределения работает с любыми числами: важно лишь, чтобы вероятности были корректны и в сумме давали единицу. Именно такие «денежные» случайные величины потом используют для расчёта математического ожидания — среднего выигрыша.

Пример 6: «найти параметр»

Условие. Закон распределения случайной величины:

Найди $a$.

Решение. Сумма должна быть 1:

Ответ: $a = 0{,}4$.

Этот тип задач — самый частый в задании 4 ЕГЭ, когда дана таблица и нужно найти недостающую вероятность. Решается он буквально в одну строку через условие нормировки: сложи все известные вероятности и вычти их сумму из единицы. Никаких дополнительных формул здесь не требуется — только аккуратная арифметика.

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи разной степени самостоятельности: первая полностью разобрана, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Так ты проверишь, что умеешь строить закон распределения и считать вероятности интервалов, а не просто читаешь готовое.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Монету подбрасывают 3 раза. Построй закон распределения для числа выпавших орлов и найди $P(X = 2)$.

Решение. Это биномиальное распределение с $n = 3$, $p = 0{,}5$. Возможные значения: 0, 1, 2, 3.

$P(X=k) = C_3^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{3-k} = C_3^k \cdot 0{,}5^3 = \frac{C_3^k}{8}$

Сумма: $\dfrac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$ ✓. Отсюда $P(X = 2) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

Ответ: $0{,}375$.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Стрелок делает 5 выстрелов, вероятность попадания каждого $0{,}2$. $X$ — число попаданий. Найди $P(X \le 1)$.

Шаг 1: запиши, какие значения $X$ входят в событие «$X \le 1$», и через какую формулу их считать.

Шаг 2: посчитай и сложи.

Задача В (уровень В, два шага — сам). Монету подбрасывают до первого орла. $X$ — номер броска, в котором выпал орёл ($p = 0{,}3$ для орла). Найди $P(X = 3)$.

Шаг 1: определи тип распределения и общую формулу для $P(X = k)$.

Шаг 2: подставь $k = 3$.

Что важно для следующих тем

ДСВ — основа для двух важных характеристик:

• Математическое ожидание $E(X) = \sum x_i p_i$ — «среднее значение».
• Дисперсия $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ — «разброс вокруг среднего».

Без понимания закона распределения эти формулы превращаются в чистую механику. С пониманием — становятся очевидными.

Как распознать тип распределения

В задании 4 почти всегда встречается один из трёх типов. Научись определять тип по формулировке — тогда сразу понятно, какую формулу применять.

• Просто таблица значений и вероятностей, иногда с одной неизвестной — нужно лишь использовать условие «сумма равна 1» и, возможно, посчитать вероятность интервала сложением. Это самый частый и самый простой тип.
• «Сделали $n$ одинаковых независимых попыток, найти вероятность ровно $k$ успехов» — биномиальное распределение, формула Бернулли. Сигнальные слова: «выстрелов», «попыток», «деталей», «независимо», «одинаковая вероятность».
• «Повторяют до первого успеха» — геометрическое распределение, $P(X = k) = q^{k-1} p$. Сигнальные слова: «до первого», «пока не получится», «номер первой удачи».

Если в условии вероятности успеха в разных попытках разные или попытки зависимы — это уже не биномиальное распределение, и таблицу придётся строить напрямую через дерево вероятностей.

Частые ошибки

Ошибка 1: сумма вероятностей не равна 1. Если в таблице сумма $0{,}9$ — потеряли исход. Если $1{,}1$ — двойной счёт. Самопроверка обязательна.

Ошибка 2: вероятность вне $[0; 1]$. Если получилось $-0{,}1$ или $1{,}3$ — где-то ошибка в условии или в подсчёте.

Ошибка 3: путают значение и вероятность. В таблице сверху значения $X$, снизу — вероятности. Нельзя писать в значениях вероятности или наоборот.

Ошибка 4: применяют формулу Бернулли, когда испытания не Бернулли. Если вероятности успехов разные, или испытания зависимы — это не биномиальное, нужно считать напрямую.

Когда ДСВ в ЕГЭ

В заданиях 4 и иногда 5 ЕГЭ профиль ДСВ появляется в:

• «Дана таблица распределения, найти параметр / вероятность интервала».
• «Сделано $n$ испытаний с вероятностью $p$, найти $P(X = k)$» — биномиальное.
• «Подбрасывание до первого успеха» — геометрическое.

Простая задача — таблица с одной неизвестной вероятностью. Сложная — сумма нескольких $P(X=k)$ через биномиальное распределение.

Что запомнить

• Случайная величина — правило, сопоставляющее каждому исходу число.
• ДСВ принимает счётное множество значений; описывается законом распределения (таблица $X$ ↔ $P$).
• Сумма вероятностей всегда 1 — главная самопроверка.
• Биномиальное: число успехов в $n$ испытаниях Бернулли, $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.
• Геометрическое: номер первого успеха, $P(X=k) = q^{k-1} p$.
• Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ — ступенчатая для ДСВ.
• ДСВ — фундамент для математического ожидания и дисперсии.