Чем дискретная случайная величина отличается от непрерывной?

Дискретная (ДСВ) принимает счётное множество значений: 0, 1, 2, 3 и т.д. Непрерывная — любое значение из интервала (например, время в секундах). В ЕГЭ профиль обычно работают с дискретными.

Что такое закон распределения?

Таблица или формула, показывающая, какие значения принимает случайная величина и с какими вероятностями. Сумма всех вероятностей должна равняться 1.

Какие самые частые дискретные распределения?

Биномиальное (число успехов в $n$ испытаниях Бернулли), геометрическое (номер первого успеха), Пуассоновское (число событий за интервал). В ЕГЭ профиль чаще всего биномиальное.

Что такое функция распределения?

$F(x) = P(X \le x)$ — вероятность того, что случайная величина не превысит $x$. Для ДСВ это ступенчатая функция, скачки в точках, где находятся значения $X$.

Как проверить корректность закона распределения?

Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Если сумма не 1 — где-то ошибка. Каждая вероятность должна быть от 0 до 1 включительно.

Дискретная случайная величина: закон распределения

Q: Что такое случайная величина?

Числовая характеристика результата случайного эксперимента. Например, число выпавших очков на кубике; число попаданий в мишень из 5 выстрелов; время ожидания автобуса. Случайная величина принимает значения, которые мы не можем заранее предсказать точно — только с какой-то вероятностью.

В одном эксперименте бросают кубик и записывают число очков. В другом стреляют 5 раз и считают количество попаданий. В третьем играют в лотерею и считают выигрыш. Все три случая объединяет одно: результат — это число, которое нельзя предсказать заранее. Это и есть случайная величина. Разберём, как описывать её и работать с ней.

Что такое случайная величина

Случайная величина — это правило, которое каждому исходу случайного эксперимента сопоставляет число. Важно понять разницу между событием и случайной величиной. Событие — это «да или нет» (выпала шестёрка или не выпала). Случайная величина — это число (сколько именно очков выпало). Из одного и того же эксперимента можно «вытащить» разные случайные величины: бросая два кубика, можно изучать и сумму очков, и максимум, и разность — это три разные случайные величины на одном пространстве исходов.

Примеры:

Бросаем кубик. $X$ = число выпавших очков. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Стрелок делает 5 выстрелов. $Y$ = число попаданий. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Подбрасываем монету до первого орла. $Z$ = номер броска, в котором выпал орёл. Возможные значения: 1, 2, 3, ... (теоретически бесконечно).

Если множество возможных значений счётное (можно перечислить: 0, 1, 2, ...) — это дискретная случайная величина (ДСВ).

Закон распределения ДСВ

Полное описание ДСВ — это закон распределения. Обычно записывается в виде таблицы:

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{n}$

Здесь $x_{i}$ — возможные значения, $p_{i} = P (X = x_{i})$ — соответствующие вероятности.

Главное условие: сумма всех вероятностей равна 1:

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

Если в твоей таблице сумма не 1 — где-то ошибка. Это правило не формальность, а самая надёжная самопроверка в теме: оно ловит и потерянный исход (сумма меньше 1), и двойной счёт (сумма больше 1). Привыкни заканчивать каждую задачу с таблицей сложением вероятностей — это занимает пять секунд и спасает от обидных потерь баллов. Дополнительно каждая отдельная вероятность обязана лежать в диапазоне от 0 до 1: если в ответе получилось отрицательное число или число больше единицы, значит ошибка точно есть.

Пример 1: кубик

Условие. Записать закон распределения для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик честный, каждое равновероятно: $p = 1/6$ .

$X$	1	2	3	4	5	6
$P$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

Сумма: $6 \cdot 1/6 = 1$ . ✓

Это так называемое равномерное дискретное распределение.

Пример 2: число попаданий из 3 выстрелов

Условие. Стрелок делает 3 выстрела с вероятностью попадания 0,8 каждый. Найди закон распределения для $X$ — числа попаданий.

Решение. Возможные значения: 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли:

$P (X = 0) = 0, 2^{3} = 0, 008$ . $P (X = 1) = C_{3}^{1} \cdot 0, 8 \cdot 0, 2^{2} = 3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 04 = 0, 096$ . $P (X = 2) = C_{3}^{2} \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 3 \cdot 0, 64 \cdot 0, 2 = 0, 384$ . $P (X = 3) = 0, 8^{3} = 0, 512$ .

$X$	0	1	2	3
$P$	$0, 008$	$0, 096$	$0, 384$	$0, 512$

Сумма: $0, 008 + 0, 096 + 0, 384 + 0, 512 = 1$ . ✓

Это биномиальное распределение с параметрами $n = 3$ , $p = 0, 8$ . Обрати внимание на структуру таблицы: чем ближе число попаданий к ожидаемому, тем выше вероятность. При $p = 0, 8$ из трёх выстрелов вероятнее всего попасть все три или хотя бы два раза, а вот промахнуться полностью почти нереально — отсюда крошечная вероятность $0, 008$ у исхода «ноль попаданий».

Биномиальное распределение

Самое частое дискретное распределение в ЕГЭ. Случайная величина $X$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли.

Возможные значения: $0, 1, 2, \dots, n$ . Вероятности — по формуле Бернулли:

P (X = k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Сумма всех — это $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^{n} = 1$ (биномиальная формула Ньютона). Корректно.

Чтобы не путаться, держи в голове смысл биномиального распределения: это «сколько раз случился успех, если опыт повторили $n$ раз с одинаковой вероятностью $p$ ». Значения, которые может принять величина, — это $0, 1, 2, \dots, n$ (от «ни одного успеха» до «все успехи»), и для каждого работает формула Бернулли. Большинство задач задания 4 на случайную величину — именно про биномиальное распределение, поэтому уверенно владеть формулой Бернулли здесь критично.

Пример 3: геометрическое распределение

Условие. Подбрасывают монету до первого орла. Найди вероятность, что орёл выпадет на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м броске.

Решение. $p = 0, 5$ , $q = 0, 5$ .

$P (X = 1) = p = 0, 5$ . $P (X = 2) = q \cdot p = 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$ . $P (X = 3) = q^{2} \cdot p = 0, 5^{2} \cdot 0, 5 = 0, 125$ . $P (X = 4) = q^{3} \cdot p = 0, 5^{4} = 0, 0625$ .

В общем случае: $P (X = k) = q^{k - 1} \cdot p$ .

Это геометрическое распределение с параметром $p$ . Возможных значений бесконечно много (1, 2, 3, ...), но сумма $\sum p \cdot q^{k - 1} = p \cdot \frac{1}{1 - q} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$ (бесконечная геометрическая прогрессия). Корректно.

Пример 4: вероятность интервала значений

Условие. Биномиальная случайная величина $X$ с параметрами $n = 5$ , $p = 0, 3$ . Найди $P (1 \leq X \leq 3)$ .

Решение. $P (1 \leq X \leq 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)$ .

$P (X = 1) = C_{5}^{1} \cdot 0, 3 \cdot 0, 7^{4} = 5 \cdot 0, 3 \cdot 0, 2401 = 0, 36015$ . $P (X = 2) = C_{5}^{2} \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 7^{3} = 10 \cdot 0, 09 \cdot 0, 343 = 0, 3087$ . $P (X = 3) = C_{5}^{3} \cdot 0, 3^{3} \cdot 0, 7^{2} = 10 \cdot 0, 027 \cdot 0, 49 = 0, 1323$ .

$P (1 \leq X \leq 3) \approx 0, 3602 + 0, 3087 + 0, 1323 \approx 0, 8012$ .

Ответ: $\approx 0, 8012$ .

Функция распределения

Функция распределения $F (x) = P (X \leq x)$ — это вероятность того, что случайная величина не превысит $x$ .

Для ДСВ из Примера 2:

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0, 008, 0, 104, 0, 488, 1, x < 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 2 2 \leq x < 3 x \geq 3$

То есть $F$ — ступенчатая функция, со скачками в точках, где находятся значения $X$ . Высота скачка = вероятность этого значения.

Понять функцию распределения проще всего так: она накапливает вероятность слева направо. В самой левой точке (до всех значений) $F = 0$ — туда «вероятность ещё не натекла». В самой правой (после всех значений) $F = 1$ — вся вероятность уже накоплена. Между значениями функция держится постоянной, а в самих значениях делает скачок вверх ровно на вероятность этого значения. Поэтому через $F$ удобно отвечать на вопросы вида «какова вероятность, что величина не больше $k$ » — это просто значение $F (k)$ .

В ЕГЭ профиль функция распределения встречается реже таблицы, но иногда нужна для $P (X \leq k)$ через готовую формулу, поэтому полезно уметь читать ступенчатый график и находить по нему вероятности.

Пример 5: лотерея с асимметричной случайной величиной

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 выигрышный с призом 5000 руб., 9 — с призом 500 руб., остальные пустые. Найди закон распределения случайной величины «выигрыш по одному билету».

Решение. Возможные значения: 0, 500, 5000.

$P (X = 0) = 90/100 = 0, 9$ . $P (X = 500) = 9/100 = 0, 09$ . $P (X = 5000) = 1/100 = 0, 01$ .

$X$	0	500	5000
$P$	$0, 9$	$0, 09$	$0, 01$

Сумма: $0, 9 + 0, 09 + 0, 01 = 1$ . ✓

Этот пример показывает, что значения случайной величины не обязаны быть «красивыми» 0, 1, 2 — здесь это денежные суммы 0, 500 и 5000 рублей. Закон распределения работает с любыми числами: важно лишь, чтобы вероятности были корректны и в сумме давали единицу. Именно такие «денежные» случайные величины потом используют для расчёта математического ожидания — среднего выигрыша.

Пример 6: «найти параметр»

Условие. Закон распределения случайной величины:

$X$	1	2	3	4
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$a$	$0, 2$

Найди $a$ .

Решение. Сумма должна быть 1:

0, 1 + 0, 3 + a + 0, 2 = 1 \Rightarrow a = 0, 4

Ответ: $a = 0, 4$ .

Этот тип задач — самый частый в задании 4 ЕГЭ, когда дана таблица и нужно найти недостающую вероятность. Решается он буквально в одну строку через условие нормировки: сложи все известные вероятности и вычти их сумму из единицы. Никаких дополнительных формул здесь не требуется — только аккуратная арифметика.

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи разной степени самостоятельности: первая полностью разобрана, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Так ты проверишь, что умеешь строить закон распределения и считать вероятности интервалов, а не просто читаешь готовое.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Монету подбрасывают 3 раза. Построй закон распределения для числа выпавших орлов и найди $P (X = 2)$ .

Решение. Это биномиальное распределение с $n = 3$ , $p = 0, 5$ . Возможные значения: 0, 1, 2, 3.

$P (X = k) = C_{3}^{k} \cdot 0, 5^{k} \cdot 0, 5^{3 - k} = C_{3}^{k} \cdot 0, 5^{3} = \frac{C _{3}^{k}}{8}$

$X$	0	1	2	3
$P$	$1/8$	$3/8$	$3/8$	$1/8$

Сумма: $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$ ✓. Отсюда $P (X = 2) = \frac{3}{8} = 0, 375$ .

Ответ: $0, 375$ .

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Стрелок делает 5 выстрелов, вероятность попадания каждого $0, 2$ . $X$ — число попаданий. Найди $P (X \leq 1)$ .

Шаг 1: запиши, какие значения $X$ входят в событие « $X \leq 1$ », и через какую формулу их считать.

Шаг 1: ответ

Входят

X = 0

X = 1

. Считаем по формуле Бернулли:

P (X = 0) = 0, 8^{5}

P (X = 1) = C_{5}^{1} \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{4}

Шаг 2: посчитай и сложи.

Шаг 2: ответ

P (X = 0) = 0, 8^{5} \approx 0, 328

P (X = 1) = 5 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{4} \approx 0, 410

. Сумма

P (X \leq 1) \approx 0, 737

Задача В (уровень В, два шага — сам). Монету подбрасывают до первого орла. $X$ — номер броска, в котором выпал орёл ( $p = 0, 3$ для орла). Найди $P (X = 3)$ .

Шаг 1: определи тип распределения и общую формулу для $P (X = k)$ .

Шаг 1: ответ

Это геометрическое распределение: успех на

k

-м шаге означает

k - 1

неудач подряд, затем успех. Формула:

P (X = k) = q^{k - 1} \cdot p

, где

q = 1 - p = 0, 7

Шаг 2: подставь $k = 3$ .

Шаг 2: ответ

P (X = 3) = 0, 7^{2} \cdot 0, 3 = 0, 49 \cdot 0, 3 = 0, 147

Что важно для следующих тем

ДСВ — основа для двух важных характеристик:

Математическое ожидание $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ — «среднее значение».
Дисперсия $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ — «разброс вокруг среднего».

Без понимания закона распределения эти формулы превращаются в чистую механику. С пониманием — становятся очевидными.

Как распознать тип распределения

В задании 4 почти всегда встречается один из трёх типов. Научись определять тип по формулировке — тогда сразу понятно, какую формулу применять.

Просто таблица значений и вероятностей, иногда с одной неизвестной — нужно лишь использовать условие «сумма равна 1» и, возможно, посчитать вероятность интервала сложением. Это самый частый и самый простой тип.
«Сделали $n$ одинаковых независимых попыток, найти вероятность ровно $k$ успехов» — биномиальное распределение, формула Бернулли. Сигнальные слова: «выстрелов», «попыток», «деталей», «независимо», «одинаковая вероятность».
«Повторяют до первого успеха» — геометрическое распределение, $P (X = k) = q^{k - 1} p$ . Сигнальные слова: «до первого», «пока не получится», «номер первой удачи».

Если в условии вероятности успеха в разных попытках разные или попытки зависимы — это уже не биномиальное распределение, и таблицу придётся строить напрямую через дерево вероятностей.

Частые ошибки

Ошибка 1: сумма вероятностей не равна 1. Если в таблице сумма $0, 9$ — потеряли исход. Если $1, 1$ — двойной счёт. Самопроверка обязательна.

Ошибка 2: вероятность вне $[0; 1]$ . Если получилось $- 0, 1$ или $1, 3$ — где-то ошибка в условии или в подсчёте.

Ошибка 3: путают значение и вероятность. В таблице сверху значения $X$ , снизу — вероятности. Нельзя писать в значениях вероятности или наоборот.

Ошибка 4: применяют формулу Бернулли, когда испытания не Бернулли. Если вероятности успехов разные, или испытания зависимы — это не биномиальное, нужно считать напрямую.

Когда ДСВ в ЕГЭ

В заданиях 4 и иногда 5 ЕГЭ профиль ДСВ появляется в:

«Дана таблица распределения, найти параметр / вероятность интервала».
«Сделано $n$ испытаний с вероятностью $p$ , найти $P (X = k)$ » — биномиальное.
«Подбрасывание до первого успеха» — геометрическое.

Простая задача — таблица с одной неизвестной вероятностью. Сложная — сумма нескольких $P (X = k)$ через биномиальное распределение.

Прокачай задание 4 ЕГЭ — дискретные случайные величины и биномиальное распределение. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Случайная величина — правило, сопоставляющее каждому исходу число.
ДСВ принимает счётное множество значений; описывается законом распределения (таблица $X$ ↔ $P$ ).
Сумма вероятностей всегда 1 — главная самопроверка.
Биномиальное: число успехов в $n$ испытаниях Бернулли, $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ .
Геометрическое: номер первого успеха, $P (X = k) = q^{k - 1} p$ .
Функция распределения $F (x) = P (X \leq x)$ — ступенчатая для ДСВ.
ДСВ — фундамент для математического ожидания и дисперсии.

Дискретная случайная величина и её закон распределения