Математическое ожидание: формула и смысл

В лотерее ты можешь выиграть 5000 рублей с маленькой вероятностью или ничего с большой. Какова «средняя» сумма выигрыша на один билет в долгосрочной перспективе? Это математическое ожидание. Понятие простое, но за ним — основа всего, что считается «в среднем» в теории вероятностей. Разберём формулу, смысл и типичные задачи ЕГЭ.

Определение

Если ДСВ $X$ принимает значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, то её математическое ожидание:

Обозначение: $E(X)$, $M(X)$ или $\mu$.

Формула — это «среднее значение, взвешенное по вероятностям». Каждое значение умножаем на его вероятность и складываем. Сравни с обычным средним арифметическим: там все слагаемые равноправны и делятся на их количество. В математическом ожидании «вес» каждого значения — это его вероятность: чаще выпадающие значения вносят больший вклад в среднее, редкие — меньший. Если все вероятности равны (как у честного кубика), математическое ожидание совпадает с обычным средним арифметическим значений — это частный случай.

Физический смысл

Закон больших чисел: если повторять эксперимент много раз и считать среднее значение всех результатов, оно будет стремиться к $E(X)$. Чем больше повторений — тем точнее.

Пример: бросаем кубик 1000 раз и считаем среднее число очков. Оно будет близко к 3,5. Через 10 000 бросков — ещё ближе. Это и есть $E(X)$ для кубика.

Поэтому математическое ожидание — это «типичный результат на длинной дистанции». Важно понимать: для одного отдельного эксперимента $E(X)$ ничего не гарантирует — за один бросок кубика ты получишь конкретное целое число, а не 3,5. Зато для тысячи бросков среднее почти наверняка окажется около 3,5. Математическое ожидание — это про массовость, про усреднение по множеству повторений, а не про предсказание единичного результата.

Пример 1: кубик

Условие. Найти $E(X)$, где $X$ — число очков на одном броске кубика.

Решение.

Ответ: $3{,}5$.

Заметь: 3,5 не выпадает на кубике никогда. Но среднее по большому числу бросков — именно это значение. Это ключевая особенность математического ожидания, к которой нужно привыкнуть: оно описывает «центр тяжести» распределения и вовсе не обязано совпадать с каким-либо реальным исходом.

Пример 2: лотерея

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 билет даёт 5000 руб., 9 билетов дают 500 руб., остальные пустые. Найди ожидаемый выигрыш по одному билету.

Решение. Закон распределения:

Ответ: $95$ рублей.

То есть в среднем игрок «получает» 95 рублей за билет. Если билет стоит 100 рублей, то в долгосрочной перспективе игрок теряет 5 рублей с каждого билета (это и есть «маржа лотереи»). Этот пример хорошо показывает практический смысл математического ожидания: оно отвечает на вопрос «выгодно ли участвовать на дистанции». Если ожидаемый выигрыш меньше цены билета — на длинной серии игрок гарантированно в минусе, как бы ему ни везло в отдельных розыгрышах. Так устроены все азартные игры и страхование: их экономика держится именно на разнице между ценой участия и математическим ожиданием выигрыша.

Пример 3: биномиальное распределение

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Делает 10 выстрелов. Найди ожидаемое число попаданий.

Решение. Можно посчитать через таблицу с 11 строками — но есть короткая формула.

Для биномиального распределения с параметрами $n$ и $p$:

Здесь $n = 10$, $p = 0{,}7$.

Ответ: $7$ попаданий в среднем.

Эта формула очень удобна — не нужно строить полную таблицу. Просто умножение. Логика проста: если каждый из 10 выстрелов в среднем даёт $0{,}7$ попадания, то 10 выстрелов в сумме дают $10 \cdot 0{,}7 = 7$. Это прямое следствие свойства линейности — математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий, а у каждого отдельного выстрела ожидание равно $p$. Поэтому всегда, когда видишь «биномиальную» формулировку (серия одинаковых независимых попыток), сразу применяй $np$ вместо громоздкого подсчёта по таблице.

Свойства математического ожидания

Свойство 1 (умножение на константу): $E(cX) = c \cdot E(X)$.

Если случайную величину умножить на 2, ожидание тоже умножится на 2.

Свойство 2 (прибавление константы): $E(X + c) = E(X) + c$.

Если ко всем значениям прибавить 5, ожидание тоже увеличится на 5.

Объединение: $E(aX + b) = aE(X) + b$ — линейность.

Свойство 3 (сумма случайных величин): $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$.

Это работает всегда, независимо от того, зависимы $X$ и $Y$ или нет. Очень мощное свойство.

Свойство 4 (произведение независимых): $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$. Для зависимых формула не работает.

Запомни ключевое различие между свойствами 3 и 4. Сумма математических ожиданий работает всегда, без всяких условий — это одно из самых удобных свойств во всей теории. А вот произведение требует независимости. Поэтому, когда видишь $E(X + Y)$, смело складывай; когда видишь $E(XY)$, сначала проверь, независимы ли величины.

Пример 4: применение свойств

Условие. Найти $E(2X + 3)$, если $E(X) = 5$.

Решение. По линейности:

Ответ: $13$. Сдвиг и множитель применились по правилу линейности.

Пример 5: сумма независимых

Условие. Бросают два кубика независимо. Найди ожидаемое значение суммы очков.

Решение. $X$ — очки первого кубика, $Y$ — второго. $E(X) = E(Y) = 3{,}5$.

По свойству 3: $E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

Ответ: $7$ очков в среднем.

Пример 6: «найти параметры через $E(X)$»

Условие. Закон распределения содержит две неизвестные вероятности $a$ и $b$:

Известно, что $E(X) = 0{,}5$. Найди $a$ и $b$.

Решение. Когда в таблице две неизвестные вероятности, нужны два уравнения. Первое даёт условие нормировки (сумма вероятностей равна 1), второе — известное значение математического ожидания.

Уравнение нормировки:

$0{,}2 + a + b + 0{,}1 = 1 \;\Rightarrow\; a + b = 0{,}7$

Уравнение математического ожидания (значение 0 в произведении исчезает, поэтому слагаемое с $a$ не появляется):

$E(X) = -1 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot 0{,}1 = -0{,}2 + b + 0{,}2 = b$

Раз $E(X) = 0{,}5$, то $b = 0{,}5$. Подставляем в первое уравнение: $a = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2$.

Ответ: $a = 0{,}2$, $b = 0{,}5$.

Обрати внимание на удобство: значение $X = 0$ автоматически убирает $a$ из уравнения для $E(X)$, поэтому $b$ нашлось сразу, без системы. Если бы нулевого значения не было, пришлось бы решать систему двух уравнений с двумя неизвестными — тоже несложно, но на шаг длиннее.

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи: первая разобрана полностью, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Проверь, что умеешь считать $E(X)$ и по таблице, и через готовые формулы.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Дан закон распределения:

Найди $E(X)$.

Решение. По определению $E(X) = \sum x_i p_i$:

$E(X) = 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}2 = 0{,}5 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}7$

Ответ: $1{,}7$. Заметь, что $1{,}7$ не совпадает ни с одним значением из таблицы — для математического ожидания это нормально.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Стрелок делает 10 выстрелов, вероятность попадания каждого $0{,}7$. Найди ожидаемое число попаданий.

Шаг 1: определи тип распределения и нужную формулу.

Шаг 2: посчитай.

Задача В (уровень В, два шага — сам). Игрок бросает кубик, пока не выпадет шестёрка. $X$ — номер броска, в котором впервые выпала шестёрка. Найди $E(X)$.

Шаг 1: определи тип распределения и вероятность успеха в одном броске.

Шаг 2: примени формулу математического ожидания.

Геометрическое распределение

Для геометрического распределения (номер первого успеха при вероятности успеха $p$):

Например, при $p = 0{,}25$ первый успех ожидается в среднем на $1/0{,}25 = 4$-м испытании.

Формула выводится через сумму бесконечного ряда $\sum k \cdot p \cdot q^{k-1}$, что в школе обычно не доказывают, но формула полезна. Интуиция за ней очень простая: чем меньше вероятность успеха в одной попытке, тем дольше в среднем приходится ждать первого успеха. При $p = 0{,}5$ ждём в среднем 2 попытки, при $p = 0{,}1$ — уже 10, при $p = 0{,}01$ — целых 100. Зависимость «обратная»: $E(X) = 1/p$.

Алгоритм решения

1. Запиши закон распределения (таблица $X$ ↔ $P$).
2. Проверь сумму вероятностей = 1.
3. Подставь в формулу: $E(X) = \sum x_i p_i$.
4. Если есть линейная замена ($Y = aX + b$), используй $E(Y) = aE(X) + b$.
5. Если биномиальное — сразу $np$. Если геометрическое — сразу $1/p$.

Как распознать тип задачи на ЕГЭ

В задании 4 математическое ожидание появляется в нескольких узнаваемых формах. Определяй тип сразу — это экономит время.

• Дана таблица распределения, найти $E(X)$ — просто применяй определение $\sum x_i p_i$. Самый частый вариант.
• «Сделали $n$ независимых попыток с вероятностью $p$» — биномиальное распределение, используй короткую формулу $E(X) = np$ вместо полной таблицы.
• «Повторяют до первого успеха» — геометрическое распределение, $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
• «Среднее за день / неделю / месяц» — найди $E$ за одну попытку и умножь на число повторений.
• «Дано $E(X)$, найти параметр таблицы» — составь уравнения нормировки и математического ожидания, реши их.

Полезная проверка правдоподобия: $E(X)$ всегда лежит между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины. Если ожидание вышло за эти границы — точно ошибка в подсчёте.

Частые ошибки

Ошибка 1: вместо $\sum x_i p_i$ считают $\sum x_i / n$. Это среднее арифметическое значений, без учёта весов. Если вероятности разные — будет ошибка. Среднее арифметическое — частный случай при равных вероятностях.

Ошибка 2: применяют $E(XY) = E(X)E(Y)$ к зависимым. Для зависимых эта формула не работает. Сумма же $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ работает всегда.

Ошибка 3: считают через таблицу там, где есть формула. Биномиальное — $np$. Геометрическое — $1/p$. Не нужно строить таблицу.

Ошибка 4: забывают, что $E(X)$ — число, а не вероятность. $E(X)$ может быть отрицательным, дробным, больше единицы — это нормально. Это среднее значение, а не вероятность.

Когда ожидание в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль математическое ожидание появляется:

• В задачах с таблицей распределения, нужно посчитать $E(X)$.
• В формулировках «среднее ... за день / за неделю / за месяц» — нужно умножить $E$ на число повторений.
• В задачах с биномиальным распределением — через $np$.

Часто комбинируется с дисперсией (см. отдельную тему).

Что запомнить

• $E(X) = \sum x_i p_i$ — взвешенная сумма значений.
• Физический смысл: среднее по большому числу повторений (закон больших чисел).
• Линейность: $E(aX + b) = aE(X) + b$, $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ всегда.
• $E(XY) = E(X) E(Y)$ только для независимых.
• Биномиальное: $E(X) = np$. Геометрическое: $E(X) = 1/p$.
• $E(X)$ может не совпадать ни с одним возможным значением (как 3,5 для кубика).