Математическое ожидание: формула и смысл

В лотерее ты можешь выиграть 5000 рублей с маленькой вероятностью или ничего с большой. Какова «средняя» сумма выигрыша на один билет в долгосрочной перспективе? Это математическое ожидание. В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 по профильной математике как раз такая задача: в задании 6, новом в 2027 году, нужно найти математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Задание 6 проверяет понятия случайной величины, распределения вероятностей, математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения (так сказано в проекте кодификатора ЕГЭ-2027 от ФИПИ). Здесь разберём математическое ожидание; дисперсия вынесена на отдельную страницу.

Определение

Если ДСВ $X$ принимает значения $x_1,x_2,\dots ,x_n$ с вероятностями $p_1,p_2,\dots ,p_n$, то её математическое ожидание:

Обозначение: $E(X)$, $M(X)$ или $\mu$.

Формула — это «среднее значение, взвешенное по вероятностям»: каждое значение умножаем на его вероятность и складываем. В обычном среднем арифметическом все слагаемые равноправны, а здесь «вес» значения — его вероятность. Если все вероятности равны (как у честного кубика), математическое ожидание совпадает с обычным средним арифметическим.

Физический смысл

Закон больших чисел: если повторять эксперимент много раз и считать среднее значение всех результатов, оно будет стремиться к $E(X)$. Чем больше повторений — тем точнее.

Пример: бросаем кубик 1000 раз и считаем среднее число очков. Оно будет близко к 3,5. Через 10 000 бросков — ещё ближе. Это и есть $E(X)$ для кубика.

Для одного отдельного эксперимента $E(X)$ ничего не гарантирует: за один бросок кубика ты получишь целое число, а не 3,5. Математическое ожидание — про усреднение по множеству повторений, а не про предсказание единичного результата.

Пример 1: кубик

Условие. Найти $E(X)$, где $X$ — число очков на одном броске кубика.

Решение.

Ответ: $3,5$.

Число 3,5 на кубике не выпадает никогда. Математическое ожидание — «центр тяжести» распределения, и оно не обязано совпадать с реальным исходом.

Пример 2: лотерея

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 билет даёт 5000 руб., 9 билетов дают 500 руб., остальные пустые. Найди ожидаемый выигрыш по одному билету.

Решение. Закон распределения:

Ответ: $95$ рублей.

В среднем один билет «приносит» 95 рублей. Если билет стоит 100 рублей, то на длинной серии игрок теряет в среднем 5 рублей на билет. Математическое ожидание отвечает на вопрос «выгодно ли участвовать на дистанции»: если ожидаемый выигрыш меньше цены билета, на длинной серии игрок почти наверняка окажется в минусе, как бы ему ни везло в отдельных розыгрышах.

Пример 3: биномиальное распределение

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0,7$. Делает 10 выстрелов. Найди ожидаемое число попаданий.

Решение. Можно посчитать через таблицу с 11 строками (вероятности по формуле Бернулли), но есть короткая формула.

Для биномиального распределения с параметрами $n$ и $p$:

Здесь $n=10$, $p=0,7$.

Ответ: $7$ попаданий в среднем.

Почему так: у каждого отдельного выстрела ожидание числа попаданий равно $p$, а математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий. Поэтому для серии одинаковых независимых попыток сразу применяй $np$ вместо подсчёта по таблице.

Свойства математического ожидания

Свойство 1 (умножение на константу): $E(cX)=c\cdot E(X)$.

Если случайную величину умножить на 2, ожидание тоже умножится на 2.

Свойство 2 (прибавление константы): $E(X+c)=E(X)+c$.

Если ко всем значениям прибавить 5, ожидание тоже увеличится на 5.

Объединение: $E(aX+b)=aE(X)+b$ — линейность.

Свойство 3 (сумма случайных величин): $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

Это работает всегда, независимо от того, зависимы $X$ и $Y$ или нет.

Свойство 4 (произведение независимых): $E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$. Для зависимых формула не работает.

Когда видишь $E(X+Y)$, смело складывай; когда видишь $E(XY)$, сначала проверь, независимы ли величины.

Пример 4: применение свойств

Условие. Найти $E(2X+3)$, если $E(X)=5$.

Решение. По линейности:

Ответ: $13$.

Пример 5: сумма независимых

Условие. Бросают два кубика независимо. Найди ожидаемое значение суммы очков.

Решение. $X$ — очки первого кубика, $Y$ — второго. $E(X)=E(Y)=3,5$.

По свойству 3: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3,5+3,5=7$.

Ответ: $7$ очков в среднем.

Пример 6: «найти параметры через $E(X)$»

Условие. Закон распределения содержит две неизвестные вероятности $a$ и $b$:

Известно, что $E(X)=0,5$. Найди $a$ и $b$.

Решение. Когда в таблице две неизвестные вероятности, нужны два уравнения. Первое даёт условие нормировки (сумма вероятностей равна 1), второе — известное значение математического ожидания.

Уравнение нормировки:

$0,2+a+b+0,1=1\Rightarrow a+b=0,7$

Уравнение математического ожидания (значение 0 в произведении исчезает, поэтому слагаемое с $a$ не появляется):

$E(X)=-1\cdot 0,2+0\cdot a+1\cdot b+2\cdot 0,1=-0,2+b+0,2=b$

Раз $E(X)=0,5$, то $b=0,5$. Подставляем в первое уравнение: $a=0,7-0,5=0,2$.

Ответ: $a=0,2$, $b=0,5$.

Значение $X=0$ убирает $a$ из уравнения для $E(X)$, поэтому $b$ нашлось сразу. Без нулевого значения пришлось бы решать систему двух уравнений.

Три задачи с постепенным усложнением

Первая задача разобрана полностью, во второй один шаг за тобой, в третьей — два.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Дан закон распределения:

Найди $E(X)$.

Решение. По определению $E(X)=\sum x_i{p}_i$:

$E(X)=1\cdot 0,5+2\cdot 0,3+3\cdot 0,2=0,5+0,6+0,6=1,7$

Ответ: $1,7$. Это число не совпадает ни с одним значением из таблицы, и для математического ожидания это нормально.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Стрелок делает 10 выстрелов, вероятность попадания каждого $0,7$. Найди ожидаемое число попаданий.

Шаг 1: определи тип распределения и нужную формулу.

Шаг 2: посчитай.

Задача В (уровень В, два шага — сам). Случайная величина $X$ принимает значения $0,2,4,6$ с вероятностями $0,1;0,3;0,4$ и $p$ соответственно. Найди $E(2X-1)$.

Шаг 1: найди $p$ и $E(X)$.

Шаг 2: примени линейность.

Алгоритм решения

1. Запиши закон распределения (таблица $X$ ↔ $P$).
2. Проверь сумму вероятностей = 1.
3. Подставь в формулу: $E(X)=\sum x_i{p}_i$.
4. Если есть линейная замена ($Y=aX+b$), используй $E(Y)=aE(X)+b$.
5. Если в условии серия $n$ одинаковых независимых попыток с вероятностью успеха $p$, число успехов имеет биномиальное распределение и $E(X)=np$.

Как распознать тип задачи

• Дана таблица распределения, найти $E(X)$ — применяй определение $\sum x_i{p}_i$.
• «Сделали $n$ независимых попыток с вероятностью $p$» — биномиальное распределение, короткая формула $E(X)=np$ вместо полной таблицы.
• «Среднее за день / неделю / месяц» — найди $E$ за одну попытку и умножь на число повторений.
• «Дано $E(X)$, найти параметр таблицы» — составь уравнения нормировки и математического ожидания, реши их.

Проверка правдоподобия: $E(X)$ лежит между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины (включая границы). Если ожидание вышло за них, в подсчёте ошибка.

Частые ошибки

Ошибка 1: вместо $\sum x_i{p}_i$ считают $\sum x_i/n$. Это среднее арифметическое значений, без учёта весов. Если вероятности разные, получится неверный ответ. Среднее арифметическое — частный случай при равных вероятностях.

Ошибка 2: применяют $E(XY)=E(X)E(Y)$ к зависимым. Для зависимых эта формула не работает. Сумма же $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ работает всегда.

Ошибка 3: строят таблицу там, где есть формула. Для биномиального распределения $E(X)=np$.

Ошибка 4: забывают, что $E(X)$ — число, а не вероятность. $E(X)$ может быть отрицательным, дробным, больше единицы. Это среднее значение, а не вероятность.

Что запомнить

• $E(X)=\sum x_i{p}_i$ — взвешенная сумма значений.
• Физический смысл: среднее по большому числу повторений (закон больших чисел).
• Линейность: $E(aX+b)=aE(X)+b$, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ всегда.
• $E(XY)=E(X)E(Y)$ только для независимых.
• Биномиальное: $E(X)=np$.
• $E(X)$ может не совпадать ни с одним возможным значением (как 3,5 для кубика).

Проверено: 2026-10-08. Номер задания и состав темы сверены с проектом кодификатора и демоверсии ЕГЭ-2027 (ФИПИ).