Математическое ожидание: формула и смысл

В лотерее ты можешь выиграть 5000 рублей с маленькой вероятностью или ничего с большой. Какова «средняя» сумма выигрыша на один билет в долгосрочной перспективе? Это математическое ожидание. Понятие простое, но за ним — основа всего, что считается «в среднем» в теории вероятностей. Разберём формулу, смысл и типичные задачи ЕГЭ.

Определение

Если ДСВ $X$ принимает значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, то её математическое ожидание:

Обозначение: $E(X)$, $M(X)$ или $\mu$.

Формула — это «среднее значение, взвешенное по вероятностям». Каждое значение умножаем на его вероятность и складываем.

Физический смысл

Закон больших чисел: если повторять эксперимент много раз и считать среднее значение всех результатов, оно будет стремиться к $E(X)$. Чем больше повторений — тем точнее.

Пример: бросаем кубик 1000 раз и считаем среднее число очков. Оно будет близко к 3,5. Через 10 000 бросков — ещё ближе. Это и есть $E(X)$ для кубика.

Поэтому математическое ожидание — это «типичный результат на длинной дистанции».

Пример 1: кубик

Условие. Найти $E(X)$, где $X$ — число очков на одном броске кубика.

Решение.

Ответ: $3{,}5$.

Заметь: 3,5 не выпадает на кубике никогда. Но среднее по большому числу бросков — именно это значение.

Пример 2: лотерея

Условие. В лотерее 100 билетов: 1 билет даёт 5000 руб., 9 билетов дают 500 руб., остальные пустые. Найди ожидаемый выигрыш по одному билету.

Решение. Закон распределения:

Ответ: $95$ рублей.

То есть в среднем игрок «получает» 95 рублей за билет. Если билет стоит 100 рублей, то в долгосрочной перспективе игрок теряет 5 рублей с каждого билета (это и есть «маржа лотереи»).

Пример 3: биномиальное распределение

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Делает 10 выстрелов. Найди ожидаемое число попаданий.

Решение. Можно посчитать через таблицу с 11 строками — но есть короткая формула.

Для биномиального распределения с параметрами $n$ и $p$:

Здесь $n = 10$, $p = 0{,}7$.

Ответ: $7$ попаданий в среднем.

Эта формула очень удобна — не нужно строить полную таблицу. Просто умножение.

Свойства математического ожидания

Свойство 1 (умножение на константу): $E(cX) = c \cdot E(X)$.

Если случайную величину умножить на 2, ожидание тоже умножится на 2.

Свойство 2 (прибавление константы): $E(X + c) = E(X) + c$.

Если ко всем значениям прибавить 5, ожидание тоже увеличится на 5.

Объединение: $E(aX + b) = aE(X) + b$ — линейность.

Свойство 3 (сумма случайных величин): $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$.

Это работает всегда, независимо от того, зависимы $X$ и $Y$ или нет. Очень мощное свойство.

Свойство 4 (произведение независимых): $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$. Для зависимых формула не работает.

Пример 4: применение свойств

Условие. Найти $E(2X + 3)$, если $E(X) = 5$.

Решение. По линейности:

Ответ: $13$.

Пример 5: сумма независимых

Условие. Бросают два кубика независимо. Найди ожидаемое значение суммы очков.

Решение. $X$ — очки первого кубика, $Y$ — второго. $E(X) = E(Y) = 3{,}5$.

По свойству 3: $E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

Ответ: $7$.

Пример 6: «найти параметр через $E(X)$»

Условие. Закон распределения:

Известно, что $E(X) = 0{,}5$. Найди $a$.

Решение. Сначала из суммы вероятностей: $0{,}2 + 0{,}3 + a + 0{,}1 = 1 \Rightarrow a = 0{,}4$.

Проверим через $E(X)$: $E(X) = -1 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}1 = -0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}4$.

Получили $0{,}4$, а не $0{,}5$ — значит данные неконсистентны (или вероятности другие). В корректной задаче два уравнения — сумма вероятностей и $E(X)$ — задают двух неизвестных. Здесь лишь одно неизвестное, а уравнений два, и они не согласованы.

В реальной задаче ЕГЭ обычно $a$ не определяется однозначно из суммы — то есть в таблице несколько неизвестных, и второе уравнение — $E(X)$.

Скорректированный пример:

Дано $E(X) = 0{,}5$.

Уравнения:

• $0{,}2 + a + b + 0{,}1 = 1 \Rightarrow a + b = 0{,}7$.
• $-0{,}2 + 0 + b + 0{,}2 = 0{,}5 \Rightarrow b = 0{,}5$.

Тогда $a = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2$.

Ответ: $a = 0{,}2$, $b = 0{,}5$.

Геометрическое распределение

Для геометрического распределения (номер первого успеха при вероятности успеха $p$):

Например, при $p = 0{,}25$ первый успех ожидается в среднем на $1/0{,}25 = 4$-м испытании.

Формула выводится через сумму бесконечного ряда $\sum k \cdot p \cdot q^{k-1}$, что в школе обычно не доказывают, но формула полезна.

Алгоритм решения

1. Запиши закон распределения (таблица $X$ ↔ $P$).
2. Проверь сумму вероятностей = 1.
3. Подставь в формулу: $E(X) = \sum x_i p_i$.
4. Если есть линейная замена ($Y = aX + b$), используй $E(Y) = aE(X) + b$.
5. Если биномиальное — сразу $np$. Если геометрическое — сразу $1/p$.

Частые ошибки

Ошибка 1: вместо $\sum x_i p_i$ считают $\sum x_i / n$. Это среднее арифметическое значений, без учёта весов. Если вероятности разные — будет ошибка. Среднее арифметическое — частный случай при равных вероятностях.

Ошибка 2: применяют $E(XY) = E(X)E(Y)$ к зависимым. Для зависимых эта формула не работает. Сумма же $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ работает всегда.

Ошибка 3: считают через таблицу там, где есть формула. Биномиальное — $np$. Геометрическое — $1/p$. Не нужно строить таблицу.

Ошибка 4: забывают, что $E(X)$ — число, а не вероятность. $E(X)$ может быть отрицательным, дробным, больше единицы — это нормально. Это среднее значение, а не вероятность.

Когда ожидание в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль математическое ожидание появляется:

• В задачах с таблицей распределения, нужно посчитать $E(X)$.
• В формулировках «среднее ... за день / за неделю / за месяц» — нужно умножить $E$ на число повторений.
• В задачах с биномиальным распределением — через $np$.

Часто комбинируется с дисперсией (см. отдельную тему).

Что запомнить

• $E(X) = \sum x_i p_i$ — взвешенная сумма значений.
• Физический смысл: среднее по большому числу повторений (закон больших чисел).
• Линейность: $E(aX + b) = aE(X) + b$, $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ всегда.
• $E(XY) = E(X) E(Y)$ только для независимых.
• Биномиальное: $E(X) = np$. Геометрическое: $E(X) = 1/p$.
• $E(X)$ может не совпадать ни с одним возможным значением (как 3,5 для кубика).