Что такое дисперсия?

Мера разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Формула: $D(X) = E[(X - E(X))^2]$. Удобнее считать как $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.

Почему берут квадрат отклонения, а не модуль?

Квадрат удобнее с точки зрения математических свойств: легко считать, имеет полезные свойства линейности, естественно связан с теоремой Чебышёва. Модуль тоже встречается, но реже.

Что такое среднеквадратичное отклонение?

Корень из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$. Также называется «стандартным отклонением». Имеет ту же размерность, что и сама случайная величина (а дисперсия — её квадрат), поэтому часто более интуитивно.

Какие свойства у дисперсии?

$D(c) = 0$ для константы. $D(X + c) = D(X)$ — сдвиг не меняет разброс. $D(cX) = c^2 D(X)$ — масштабирование меняет разброс в $c^2$ раз. $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ только для независимых.

Чему равна дисперсия биномиального распределения?

Для $X \sim B(n, p)$: $D(X) = npq = np(1-p)$, где $q = 1-p$. Например, в 10 испытаниях с $p = 0{,}3$: $D(X) = 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1$.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Нет. Дисперсия — это среднее квадратов отклонений, всегда $\ge 0$. $D(X) = 0$ означает, что величина детерминированная (всегда принимает одно значение).

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Математическое ожидание показывает, какое значение случайная величина принимает «в среднем». Но среднее одинаково и в случае, когда все результаты близки к нему, и когда они сильно «разбросаны». Дисперсия отвечает на вопрос: насколько результаты разбросаны вокруг среднего? Без неё описание случайной величины неполное.

Зачем нужна дисперсия

Сравни две случайные величины:

$X$	-10	0	10
$P$	$0, 5$	$0$	$0, 5$

$Y$	-1	0	1
$P$	$0, 5$	$0$	$0, 5$

У обеих $E (X) = E (Y) = 0$ . Но $X$ принимает значения далеко от среднего, а $Y$ — близко. Среднее одинаковое, разброс — разный.

Дисперсия фиксирует это различие — показывает, насколько значения «разбросаны» вокруг среднего. Представь двух стрелков с одинаковым средним результатом: один кладёт все пули кучно у центра, второй разбрасывает их по всей мишени. Среднее у них совпадает, но первый явно стабильнее — и именно дисперсия это различие улавливает. В жизни малая дисперсия означает предсказуемость и надёжность, большая — высокий риск и непредсказуемость. Поэтому дисперсию и среднеквадратичное отклонение используют везде, где важна не только средняя величина, но и стабильность: в оценке рисков, в контроле качества, в статистике.

Определение

Дисперсия случайной величины $X$ :

D (X) = E [(X - E (X))^{2}]

То есть среднее квадратов отклонений от математического ожидания.

Это можно расписать для ДСВ:

D (X) = i \sum (x_{i} - E (X))^{2} \cdot p_{i}

Эквивалентная (часто более удобная) формула:

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

Чтобы её использовать, сначала считают $E (X)$ , потом $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}$ , потом подставляют. На практике почти всегда выбирают именно вторую формулу: считать $\sum x_{i}^{2} p_{i}$ проще, чем возиться с квадратами отклонений $(x_{i} - E (X))^{2}$ , где легко ошибиться в знаке. Главное — не забыть возвести $E (X)$ в квадрат во втором слагаемом: это типичная ловушка, к которой мы ещё вернёмся.

Среднеквадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность «квадрат единицы» (например, если $X$ в рублях, $D (X)$ в рубль-квадратах). Это неинтуитивно. Поэтому часто берут корень:

σ (X) = D (X)

Это среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение). Его размерность совпадает с самой случайной величиной.

Если $X$ в рублях, $σ (X)$ тоже в рублях. Это «средний разброс в исходных единицах». Поэтому на практике стандартное отклонение почти всегда удобнее дисперсии для интерпретации: фразу «зарплаты в среднем 50 тысяч с отклонением 5 тысяч» понять легко, а «дисперсия 25 миллионов рубль-квадратов» звучит абсурдно, хотя это то же самое. В задачах ЕГЭ обычно просят найти и $D (X)$ , и $σ (X)$ — сначала считаешь дисперсию, потом извлекаешь корень. Запомни порядок: дисперсия первична, отклонение — это просто корень из неё.

Пример 1: кубик

Условие. Найди $D (X)$ и $σ (X)$ для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. $E (X) = 3, 5$ (см. отдельную тему).

Считаем $E (X^{2})$ :

E (X^{2}) = 1^{2} \cdot \frac{1}{6} + 2^{2} \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15, 1 \overline{6}

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{91}{6} - 12, 25 = 15, 1 \overline{6} - 12, 25 \approx 2, 9 \overline{16}

Точнее: $D (X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2, 917$ .

σ (X) = D (X) = 35/12 \approx 1, 708

Ответ: $D (X) = 35/12 \approx 2, 917$ , $σ (X) \approx 1, 708$ .

То есть «типичное отклонение от среднего» — около 1,7 очка. Это согласуется со здравым смыслом: значения кубика (от 1 до 6) разбросаны вокруг среднего 3,5, и типичное отклонение в полтора-два очка выглядит правдоподобно. Заметь, что мы держали $E (X^{2})$ в виде обыкновенной дроби $\frac{91}{6}$ до самого конца — это снижает риск ошибки округления. Округлять стоит только в финальном ответе, а промежуточные значения по возможности оставлять точными дробями.

Пример 2: лотерея

Условие. Закон распределения выигрыша по билету:

$X$	0	500	5000
$P$	$0, 9$	$0, 09$	$0, 01$

Найди $D (X)$ .

Решение. $E (X) = 0 \cdot 0, 9 + 500 \cdot 0, 09 + 5000 \cdot 0, 01 = 0 + 45 + 50 = 95$ .

$E (X^{2}) = 0^{2} \cdot 0, 9 + 50 0^{2} \cdot 0, 09 + 500 0^{2} \cdot 0, 01 = 0 + 22500 + 250000 = 272500$ .

$D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 272500 - 9025 = 263475$ .

$σ (X) = 263475 \approx 513, 3$ рубля.

Ответ: $D (X) = 263475$ , $σ (X) \approx 513, 3$ .

Огромный разброс — $σ$ значительно больше среднего выигрыша 95 рублей. Это потому что один редкий выигрыш в 5000 «вытягивает» дисперсию вверх. Лотереи — характерный пример «асимметричной» случайной величины. Обрати внимание на технический момент: в $E (X^{2})$ слагаемое $500 0^{2} = 250000$ дало основной вклад, хотя его вероятность всего $0, 01$ . Так и работает дисперсия — большие отклонения, возведённые в квадрат, доминируют над мелкими, даже если случаются редко. Именно поэтому одно крупное редкое событие способно резко увеличить разброс всей величины.

Свойства дисперсии

Свойство 1 (константа): $D (c) = 0$ .

Если случайная величина детерминированная (всегда $c$ ), её разброс — ноль.

Свойство 2 (сдвиг): $D (X + c) = D (X)$ .

Если ко всем значениям прибавить число, разброс не меняется. Только сдвигается весь спектр.

Свойство 3 (масштаб): $D (c X) = c^{2} \cdot D (X)$ .

Если значения умножить на $c$ , разброс увеличится в $c^{2}$ раз. Логично: квадрат отклонения тоже умножился на $c^{2}$ .

Объединение: $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ — нелинейность по $a$ (квадрат), но не зависит от $b$ .

Свойство 4 (сумма независимых): $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$ .

В отличие от матожидания (где формула суммы работает всегда), для дисперсии нужна независимость. Это принципиальное отличие: матожидание «линейно во всём» и складывается без условий, а дисперсия складывается только когда между величинами нет связи. Запомни эту асимметрию — на ней построено много задач-ловушек.

Пример 3: применение свойств

Условие. $D (X) = 4$ . Найди $D (3 X - 7)$ .

Решение.

D (3 X - 7) = 3^{2} \cdot D (X) = 9 \cdot 4 = 36

Сдвиг $- 7$ не влияет на дисперсию, потому что прибавление константы лишь смещает все значения целиком, не меняя их взаимного разброса. А вот множитель 3 растягивает разброс, и квадрат отклонений увеличивается в $3^{2} = 9$ раз.

Ответ: $36$ .

Биномиальное распределение

Для $X \sim B (n, p)$ (число успехов в $n$ испытаниях Бернулли):

E (X) = n p, D (X) = n pq = n p (1 - p)

Формулы выводятся через свойства независимости отдельных испытаний и упрощают расчёты. Идея вывода простая: число успехов в $n$ испытаниях — это сумма $n$ независимых «индикаторов» (каждое испытание даёт 0 или 1), у каждого индикатора дисперсия $pq$ , а дисперсии независимых слагаемых складываются. Отсюда и получается $D = n pq$ . Знать вывод необязательно, но эта логика помогает запомнить, почему именно произведение трёх множителей. На экзамене эти формулы экономят массу времени: вместо построения таблицы из $n + 1$ строк ты получаешь ответ в одно умножение.

Пример 4: биномиальное

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 8$ . Делает 5 выстрелов. Найди $D$ и $σ$ числа попаданий.

Решение. $X \sim B (5, 0, 8)$ . $q = 0, 2$ .

D (X) = n pq = 5 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 8

σ (X) = 0, 8 \approx 0, 894

Ответ: $D (X) = 0, 8$ , $σ (X) \approx 0, 894$ .

То есть число попаданий обычно в пределах $E (X) \pm σ = 4 \pm 0, 9$ , то есть от 3 до 5. Такой интервал «среднее плюс-минус сигма» — удобный способ прикинуть типичный диапазон результата на практике.

Пример 5: проверка свойства независимости

Условие. Бросают 2 кубика независимо. Найди дисперсию суммы.

Решение. $X$ — очки первого, $Y$ — очки второго. $D (X) = D (Y) = 35/12$ .

По свойству независимости: $D (X + Y) = D (X) + D (Y) = 35/12 + 35/12 = 70/12 = 35/6 \approx 5, 833$ .

Ответ: $D (X + Y) = 35/6$ .

Это в два раза больше дисперсии одного кубика. С каждым новым независимым слагаемым дисперсия растёт линейно. Здесь критично слово «независимо»: именно оно даёт право складывать дисперсии. Если бы кубики были как-то связаны (например, второй всегда показывает то же, что первый), формула $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ уже не работала бы. Поэтому в задачах на сумму всегда первым делом проверяй, независимы ли слагаемые, — это определяет, можно ли вообще складывать дисперсии.

Пример 6: вычисление через таблицу

Условие. Закон распределения:

$X$	-2	0	2
$P$	$0, 25$	$0, 5$	$0, 25$

Найди $D (X)$ .

Решение. $E (X) = - 2 \cdot 0, 25 + 0 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 25 = - 0, 5 + 0 + 0, 5 = 0$ .

$E (X^{2}) = 4 \cdot 0, 25 + 0 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 25 = 1 + 0 + 1 = 2$ .

$D (X) = 2 - 0 = 2$ .

$σ (X) = 2 \approx 1, 414$ .

Ответ: $D (X) = 2$ , $σ (X) = 2$ .

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи: первая разобрана полностью, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Проверь, что умеешь считать дисперсию и через таблицу, и через свойства, и для биномиального распределения.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Дан закон распределения:

$X$	-1	0	1
$P$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 3$

Найди $D (X)$ .

Решение. Сначала матожидание: $E (X) = - 1 \cdot 0, 3 + 0 \cdot 0, 4 + 1 \cdot 0, 3 = 0$ . Затем $E (X^{2}) = 1 \cdot 0, 3 + 0 \cdot 0, 4 + 1 \cdot 0, 3 = 0, 6$ . Подставляем:

$D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 0, 6 - 0 = 0, 6$

Ответ: $0, 6$ .

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Известно, что $D (X) = 9$ . Найди $D (5 X - 2)$ .

Шаг 1: вспомни, как множитель и сдвиг влияют на дисперсию.

Шаг 1: ответ

Множитель

c

даёт квадрат

c^{2}

, сдвиг

b

на дисперсию не влияет:

D (a X + b) = a^{2} D (X)

Шаг 2: подставь числа.

Шаг 2: ответ

D (5 X - 2) = 5^{2} \cdot 9 = 225

Задача В (уровень В, два шага — сам). Стрелок делает 20 выстрелов, вероятность попадания каждого $0, 4$ . $X$ — число попаданий. Найди $D (X)$ и $σ (X)$ .

Шаг 1: определи тип распределения и нужную формулу для дисперсии.

Шаг 1: ответ

Это биномиальное распределение

B (20; 0, 4)

, дисперсия считается по формуле

D (X) = n pq

, где

q = 1 - p = 0, 6

Шаг 2: посчитай $D (X)$ и $σ (X)$ .

Шаг 2: ответ

D (X) = 20 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6 = 4, 8

. Тогда

σ (X) = 4, 8 \approx 2, 19

Что показывает дисперсия

Дисперсия = 0: случайная величина детерминированная (одно значение всегда).
Малая дисперсия: результаты близки к среднему. Например, монета с $p = 0, 5$ имеет $D = 0, 25$ — небольшая.
Большая дисперсия: результаты сильно разбросаны. Лотерея с редким большим выигрышем — типичный пример.
$σ$ — «типичное отклонение» в исходных единицах. Если $E (X) = 100$ и $σ = 10$ , обычное значение в диапазоне $90 - 110$ .

Алгоритм решения

Запиши закон распределения. Проверь $\sum p_{i} = 1$ .
Посчитай $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ .
Посчитай $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}$ .
$D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ .
Если нужно, $σ = D$ .

Если случайная величина биномиальная — сразу $E (X) = n p$ , $D (X) = n pq$ .

Как распознать тип задачи на ЕГЭ

В задании 4 дисперсия появляется в нескольких узнаваемых формах. Определяй тип сразу — тогда понятно, считать через таблицу или сразу по формуле.

Дана таблица распределения, найти $D (X)$ или $σ (X)$ — стандартный путь: посчитать $E (X)$ , затем $E (X^{2})$ , затем $D = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ .
«Сделали $n$ независимых попыток с вероятностью $p$ » — биномиальное распределение, сразу применяй короткую формулу $D = n pq$ , не строй таблицу из всех значений.
«Дана $D (X)$ , найти $D (a X + b)$ » — задача на свойства: множитель даёт квадрат, сдвиг игнорируется, $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ .
«Найти дисперсию суммы» — обязательно проверь независимость: только для независимых $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ .

Полезная самопроверка: дисперсия не может быть отрицательной. Если в ответе получилось $D < 0$ , значит где-то ошибка — скорее всего, в формуле $E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ забыли квадрат у $E (X)$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: считают $D (X)$ как $E (X^{2}) - E (X)$ вместо $E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ . Без квадрата над $E (X)$ ответ неверный. Внимание к скобкам.

Ошибка 2: применяют $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ к зависимым. Только для независимых. Для зависимых нужна формула с ковариацией, что в школе не изучают.

Ошибка 3: считают $σ = D$ . $σ = D$ , не равно $D$ . $D$ имеет размерность квадрата, $σ$ — обычной величины.

Ошибка 4: путают $D (c X)$ с $cD (X)$ . $D (c X) = c^{2} D (X)$ — c квадратом. $E (c X) = c E (X)$ — без квадрата. Разные правила.

Когда дисперсия в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль дисперсия появляется:

В задачах с таблицей распределения, нужно посчитать $D (X)$ или $σ (X)$ .
В биномиальных задачах через $D = n pq$ .
В задачах «оценить разброс» — обычно через $σ$ как «типичное отклонение».

Часто в одном задании просят найти и $E (X)$ , и $D (X)$ , и $σ (X)$ — стандартный набор.

Прокачай задание 4 ЕГЭ — дисперсия, матожидание, биномиальное распределение. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

$D (X) = E [(X - E (X))^{2}] = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ — мера разброса вокруг среднего.
$σ (X) = D (X)$ — среднеквадратичное отклонение, в исходных единицах.
Свойства: $D (c) = 0$ ; $D (X + c) = D (X)$ ; $D (c X) = c^{2} D (X)$ .
$D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ только для независимых.
Биномиальное: $D (X) = n pq$ .
$D \geq 0$ всегда; $D = 0$ — детерминированная величина.
Алгоритм: $E (X)$ , $E (X^{2})$ , $D = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ .

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Зачем нужна дисперсия

Определение

Среднеквадратичное отклонение

Пример 1: кубик

Пример 2: лотерея

Свойства дисперсии

Пример 3: применение свойств

Биномиальное распределение

Пример 4: биномиальное

Пример 5: проверка свойства независимости

Пример 6: вычисление через таблицу

Три задачи с постепенным усложнением

Что показывает дисперсия

Алгоритм решения

Как распознать тип задачи на ЕГЭ

Частые ошибки

Когда дисперсия в ЕГЭ

Что запомнить

Частые вопросы

Смежные темы