Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Математическое ожидание показывает, какое значение случайная величина принимает «в среднем». Но среднее одинаково и в случае, когда все результаты близки к нему, и когда они сильно «разбросаны». Дисперсия отвечает на вопрос: насколько результаты разбросаны вокруг среднего? Без неё описание случайной величины неполное.

Зачем нужна дисперсия

Сравни две случайные величины:

У обеих $E(X) = E(Y) = 0$. Но $X$ принимает значения далеко от среднего, а $Y$ — близко. Среднее одинаковое, разброс — разный.

Дисперсия фиксирует это различие — показывает, насколько значения «разбросаны» вокруг среднего. Представь двух стрелков с одинаковым средним результатом: один кладёт все пули кучно у центра, второй разбрасывает их по всей мишени. Среднее у них совпадает, но первый явно стабильнее — и именно дисперсия это различие улавливает. В жизни малая дисперсия означает предсказуемость и надёжность, большая — высокий риск и непредсказуемость. Поэтому дисперсию и среднеквадратичное отклонение используют везде, где важна не только средняя величина, но и стабильность: в оценке рисков, в контроле качества, в статистике.

Определение

Дисперсия случайной величины $X$:

То есть среднее квадратов отклонений от математического ожидания.

Это можно расписать для ДСВ:

Эквивалентная (часто более удобная) формула:

Чтобы её использовать, сначала считают $E(X)$, потом $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$, потом подставляют. На практике почти всегда выбирают именно вторую формулу: считать $\sum x_i^2 p_i$ проще, чем возиться с квадратами отклонений $(x_i - E(X))^2$, где легко ошибиться в знаке. Главное — не забыть возвести $E(X)$ в квадрат во втором слагаемом: это типичная ловушка, к которой мы ещё вернёмся.

Среднеквадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность «квадрат единицы» (например, если $X$ в рублях, $D(X)$ в рубль-квадратах). Это неинтуитивно. Поэтому часто берут корень:

Это среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение). Его размерность совпадает с самой случайной величиной.

Если $X$ в рублях, $\sigma(X)$ тоже в рублях. Это «средний разброс в исходных единицах». Поэтому на практике стандартное отклонение почти всегда удобнее дисперсии для интерпретации: фразу «зарплаты в среднем 50 тысяч с отклонением 5 тысяч» понять легко, а «дисперсия 25 миллионов рубль-квадратов» звучит абсурдно, хотя это то же самое. В задачах ЕГЭ обычно просят найти и $D(X)$, и $\sigma(X)$ — сначала считаешь дисперсию, потом извлекаешь корень. Запомни порядок: дисперсия первична, отклонение — это просто корень из неё.

Пример 1: кубик

Условие. Найди $D(X)$ и $\sigma(X)$ для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. $E(X) = 3{,}5$ (см. отдельную тему).

Считаем $E(X^2)$:

Точнее: $D(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}917$.

Ответ: $D(X) = 35/12 \approx 2{,}917$, $\sigma(X) \approx 1{,}708$.

То есть «типичное отклонение от среднего» — около 1,7 очка. Это согласуется со здравым смыслом: значения кубика (от 1 до 6) разбросаны вокруг среднего 3,5, и типичное отклонение в полтора-два очка выглядит правдоподобно. Заметь, что мы держали $E(X^2)$ в виде обыкновенной дроби $\dfrac{91}{6}$ до самого конца — это снижает риск ошибки округления. Округлять стоит только в финальном ответе, а промежуточные значения по возможности оставлять точными дробями.

Пример 2: лотерея

Условие. Закон распределения выигрыша по билету:

Найди $D(X)$.

Решение. $E(X) = 0 \cdot 0{,}9 + 500 \cdot 0{,}09 + 5000 \cdot 0{,}01 = 0 + 45 + 50 = 95$.

$E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}9 + 500^2 \cdot 0{,}09 + 5000^2 \cdot 0{,}01 = 0 + 22\,500 + 250\,000 = 272\,500$.

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 272\,500 - 9025 = 263\,475$.

$\sigma(X) = \sqrt{263\,475} \approx 513{,}3$ рубля.

Ответ: $D(X) = 263\,475$, $\sigma(X) \approx 513{,}3$.

Огромный разброс — $\sigma$ значительно больше среднего выигрыша 95 рублей. Это потому что один редкий выигрыш в 5000 «вытягивает» дисперсию вверх. Лотереи — характерный пример «асимметричной» случайной величины. Обрати внимание на технический момент: в $E(X^2)$ слагаемое $5000^2 = 250\,000$ дало основной вклад, хотя его вероятность всего $0{,}01$. Так и работает дисперсия — большие отклонения, возведённые в квадрат, доминируют над мелкими, даже если случаются редко. Именно поэтому одно крупное редкое событие способно резко увеличить разброс всей величины.

Свойства дисперсии

Свойство 1 (константа): $D(c) = 0$.

Если случайная величина детерминированная (всегда $c$), её разброс — ноль.

Свойство 2 (сдвиг): $D(X + c) = D(X)$.

Если ко всем значениям прибавить число, разброс не меняется. Только сдвигается весь спектр.

Свойство 3 (масштаб): $D(cX) = c^2 \cdot D(X)$.

Если значения умножить на $c$, разброс увеличится в $c^2$ раз. Логично: квадрат отклонения тоже умножился на $c^2$.

Объединение: $D(aX + b) = a^2 D(X)$ — нелинейность по $a$ (квадрат), но не зависит от $b$.

Свойство 4 (сумма независимых): $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$.

В отличие от матожидания (где формула суммы работает всегда), для дисперсии нужна независимость. Это принципиальное отличие: матожидание «линейно во всём» и складывается без условий, а дисперсия складывается только когда между величинами нет связи. Запомни эту асимметрию — на ней построено много задач-ловушек.

Пример 3: применение свойств

Условие. $D(X) = 4$. Найди $D(3X - 7)$.

Решение.

Сдвиг $-7$ не влияет на дисперсию, потому что прибавление константы лишь смещает все значения целиком, не меняя их взаимного разброса. А вот множитель 3 растягивает разброс, и квадрат отклонений увеличивается в $3^2 = 9$ раз.

Ответ: $36$.

Биномиальное распределение

Для $X \sim B(n, p)$ (число успехов в $n$ испытаниях Бернулли):

Формулы выводятся через свойства независимости отдельных испытаний и упрощают расчёты. Идея вывода простая: число успехов в $n$ испытаниях — это сумма $n$ независимых «индикаторов» (каждое испытание даёт 0 или 1), у каждого индикатора дисперсия $pq$, а дисперсии независимых слагаемых складываются. Отсюда и получается $D = npq$. Знать вывод необязательно, но эта логика помогает запомнить, почему именно произведение трёх множителей. На экзамене эти формулы экономят массу времени: вместо построения таблицы из $n + 1$ строк ты получаешь ответ в одно умножение.

Пример 4: биномиальное

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}8$. Делает 5 выстрелов. Найди $D$ и $\sigma$ числа попаданий.

Решение. $X \sim B(5, 0{,}8)$. $q = 0{,}2$.

Ответ: $D(X) = 0{,}8$, $\sigma(X) \approx 0{,}894$.

То есть число попаданий обычно в пределах $E(X) \pm \sigma = 4 \pm 0{,}9$, то есть от 3 до 5. Такой интервал «среднее плюс-минус сигма» — удобный способ прикинуть типичный диапазон результата на практике.

Пример 5: проверка свойства независимости

Условие. Бросают 2 кубика независимо. Найди дисперсию суммы.

Решение. $X$ — очки первого, $Y$ — очки второго. $D(X) = D(Y) = 35/12$.

По свойству независимости: $D(X + Y) = D(X) + D(Y) = 35/12 + 35/12 = 70/12 = 35/6 \approx 5{,}833$.

Ответ: $D(X+Y) = 35/6$.

Это в два раза больше дисперсии одного кубика. С каждым новым независимым слагаемым дисперсия растёт линейно. Здесь критично слово «независимо»: именно оно даёт право складывать дисперсии. Если бы кубики были как-то связаны (например, второй всегда показывает то же, что первый), формула $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ уже не работала бы. Поэтому в задачах на сумму всегда первым делом проверяй, независимы ли слагаемые, — это определяет, можно ли вообще складывать дисперсии.

Пример 6: вычисление через таблицу

Условие. Закон распределения:

Найди $D(X)$.

Решение. $E(X) = -2 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}25 = -0{,}5 + 0 + 0{,}5 = 0$.

$E(X^2) = 4 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 = 1 + 0 + 1 = 2$.

$D(X) = 2 - 0 = 2$.

$\sigma(X) = \sqrt{2} \approx 1{,}414$.

Ответ: $D(X) = 2$, $\sigma(X) = \sqrt{2}$.

Три задачи с постепенным усложнением

Три задачи: первая разобрана полностью, во второй один шаг за тобой, в третьей — два. Проверь, что умеешь считать дисперсию и через таблицу, и через свойства, и для биномиального распределения.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Дан закон распределения:

Найди $D(X)$.

Решение. Сначала матожидание: $E(X) = -1 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 = 0$. Затем $E(X^2) = 1 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 = 0{,}6$. Подставляем:

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0{,}6 - 0 = 0{,}6$

Ответ: $0{,}6$.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Известно, что $D(X) = 9$. Найди $D(5X - 2)$.

Шаг 1: вспомни, как множитель и сдвиг влияют на дисперсию.

Шаг 2: подставь числа.

Задача В (уровень В, два шага — сам). Стрелок делает 20 выстрелов, вероятность попадания каждого $0{,}4$. $X$ — число попаданий. Найди $D(X)$ и $\sigma(X)$.

Шаг 1: определи тип распределения и нужную формулу для дисперсии.

Шаг 2: посчитай $D(X)$ и $\sigma(X)$.

Что показывает дисперсия

• Дисперсия = 0: случайная величина детерминированная (одно значение всегда).
• Малая дисперсия: результаты близки к среднему. Например, монета с $p = 0{,}5$ имеет $D = 0{,}25$ — небольшая.
• Большая дисперсия: результаты сильно разбросаны. Лотерея с редким большим выигрышем — типичный пример.
• $\sigma$ — «типичное отклонение» в исходных единицах. Если $E(X) = 100$ и $\sigma = 10$, обычное значение в диапазоне $90-110$.

Алгоритм решения

1. Запиши закон распределения. Проверь $\sum p_i = 1$.
2. Посчитай $E(X) = \sum x_i p_i$.
3. Посчитай $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.
4. $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
5. Если нужно, $\sigma = \sqrt{D}$.

Если случайная величина биномиальная — сразу $E(X) = np$, $D(X) = npq$.

Как распознать тип задачи на ЕГЭ

В задании 4 дисперсия появляется в нескольких узнаваемых формах. Определяй тип сразу — тогда понятно, считать через таблицу или сразу по формуле.

• Дана таблица распределения, найти $D(X)$ или $\sigma(X)$ — стандартный путь: посчитать $E(X)$, затем $E(X^2)$, затем $D = E(X^2) - [E(X)]^2$.
• «Сделали $n$ независимых попыток с вероятностью $p$» — биномиальное распределение, сразу применяй короткую формулу $D = npq$, не строй таблицу из всех значений.
• «Дана $D(X)$, найти $D(aX + b)$» — задача на свойства: множитель даёт квадрат, сдвиг игнорируется, $D(aX + b) = a^2 D(X)$.
• «Найти дисперсию суммы» — обязательно проверь независимость: только для независимых $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

Полезная самопроверка: дисперсия не может быть отрицательной. Если в ответе получилось $D < 0$, значит где-то ошибка — скорее всего, в формуле $E(X^2) - [E(X)]^2$ забыли квадрат у $E(X)$.

Частые ошибки

Ошибка 1: считают $D(X)$ как $E(X^2) - E(X)$ вместо $E(X^2) - [E(X)]^2$. Без квадрата над $E(X)$ ответ неверный. Внимание к скобкам.

Ошибка 2: применяют $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ к зависимым. Только для независимых. Для зависимых нужна формула с ковариацией, что в школе не изучают.

Ошибка 3: считают $\sigma = D$. $\sigma = \sqrt{D}$, не равно $D$. $D$ имеет размерность квадрата, $\sigma$ — обычной величины.

Ошибка 4: путают $D(cX)$ с $cD(X)$. $D(cX) = c^2 D(X)$ — c квадратом. $E(cX) = cE(X)$ — без квадрата. Разные правила.

Когда дисперсия в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль дисперсия появляется:

• В задачах с таблицей распределения, нужно посчитать $D(X)$ или $\sigma(X)$.
• В биномиальных задачах через $D = npq$.
• В задачах «оценить разброс» — обычно через $\sigma$ как «типичное отклонение».

Часто в одном задании просят найти и $E(X)$, и $D(X)$, и $\sigma(X)$ — стандартный набор.

Что запомнить

• $D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$ — мера разброса вокруг среднего.
• $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ — среднеквадратичное отклонение, в исходных единицах.
• Свойства: $D(c) = 0$; $D(X+c) = D(X)$; $D(cX) = c^2 D(X)$.
• $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ только для независимых.
• Биномиальное: $D(X) = npq$.
• $D \ge 0$ всегда; $D = 0$ — детерминированная величина.
• Алгоритм: $E(X)$, $E(X^2)$, $D = E(X^2) - [E(X)]^2$.