Что такое дисперсия?

Мера разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Формула: $D(X) = E[(X - E(X))^2]$. Удобнее считать как $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.

Почему берут квадрат отклонения, а не модуль?

Квадрат удобнее с точки зрения математических свойств: легко считать, имеет полезные свойства линейности, естественно связан с теоремой Чебышёва. Модуль тоже встречается, но реже.

Что такое среднеквадратичное отклонение?

Корень из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$. Также называется «стандартным отклонением». Имеет ту же размерность, что и сама случайная величина (а дисперсия — её квадрат), поэтому часто более интуитивно.

Какие свойства у дисперсии?

$D(c) = 0$ для константы. $D(X + c) = D(X)$ — сдвиг не меняет разброс. $D(cX) = c^2 D(X)$ — масштабирование меняет разброс в $c^2$ раз. $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ только для независимых.

Чему равна дисперсия биномиального распределения?

Для $X \sim B(n, p)$: $D(X) = npq = np(1-p)$, где $q = 1-p$. Например, в 10 испытаниях с $p = 0{,}3$: $D(X) = 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1$.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Нет. Дисперсия — это среднее квадратов отклонений, всегда $\ge 0$. $D(X) = 0$ означает, что величина детерминированная (всегда принимает одно значение).

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Математическое ожидание показывает, какое значение случайная величина принимает «в среднем». Но среднее одинаково и в случае, когда все результаты близки к нему, и когда они сильно «разбросаны». Дисперсия отвечает на вопрос: насколько результаты разбросаны вокруг среднего? Без неё описание случайной величины неполное.

Зачем нужна дисперсия

Сравни две случайные величины:

$X$	-10	0	10
$P$	$0{,}5$	$0$	$0{,}5$

$Y$	-1	0	1
$P$	$0{,}5$	$0$	$0{,}5$

У обеих $E(X) = E(Y) = 0$ . Но $X$ принимает значения далеко от среднего, а $Y$ — близко. Среднее одинаковое, разброс — разный.

Дисперсия фиксирует это различие — показывает, насколько значения «разбросаны» вокруг среднего.

Определение

Дисперсия случайной величины $X$ :

D(X) = E\left[(X - E(X))^2\right]

То есть среднее квадратов отклонений от математического ожидания.

Это можно расписать для ДСВ:

D(X) = \sum_i (x_i - E(X))^2 \cdot p_i

Эквивалентная (часто более удобная) формула:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Чтобы её использовать, сначала считают $E(X)$ , потом $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ , потом подставляют.

Среднеквадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность «квадрат единицы» (например, если $X$ в рублях, $D(X)$ в рубль-квадратах). Это неинтуитивно. Поэтому часто берут корень:

\sigma(X) = \sqrt{D(X)}

Это среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение). Его размерность совпадает с самой случайной величиной.

Если $X$ в рублях, $\sigma(X)$ тоже в рублях. Это «средний разброс в исходных единицах».

Пример 1: кубик

Условие. Найди $D(X)$ и $\sigma(X)$ для $X$ — числа очков на одном броске кубика.

Решение. $E(X) = 3{,}5$ (см. отдельную тему).

Считаем $E(X^2)$ :

E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}1\overline{6}

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - 12{,}25 = 15{,}1\overline{6} - 12{,}25 \approx 2{,}9\overline{16}

Точнее: $D(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12} \approx 2{,}917$ .

\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{35/12} \approx 1{,}708

Ответ: $D(X) = 35/12 \approx 2{,}917$ , $\sigma(X) \approx 1{,}708$ .

То есть «типичное отклонение от среднего» — около 1,7 очка.

Пример 2: лотерея

Условие. Закон распределения выигрыша по билету:

$X$	0	500	5000
$P$	$0{,}9$	$0{,}09$	$0{,}01$

Найди $D(X)$ .

Решение. $E(X) = 0 \cdot 0{,}9 + 500 \cdot 0{,}09 + 5000 \cdot 0{,}01 = 0 + 45 + 50 = 95$ .

$E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}9 + 500^2 \cdot 0{,}09 + 5000^2 \cdot 0{,}01 = 0 + 22\,500 + 250\,000 = 272\,500$ .

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 272\,500 - 9025 = 263\,475$ .

$\sigma(X) = \sqrt{263\,475} \approx 513{,}3$ рубля.

Ответ: $D(X) = 263\,475$ , $\sigma(X) \approx 513{,}3$ .

Огромный разброс — $\sigma$ значительно больше среднего выигрыша 95 рублей. Это потому что один редкий выигрыш в 5000 «вытягивает» дисперсию вверх. Лотереи — характерный пример «асимметричной» случайной величины.

Свойства дисперсии

Свойство 1 (константа): $D(c) = 0$ .

Если случайная величина детерминированная (всегда $c$ ), её разброс — ноль.

Свойство 2 (сдвиг): $D(X + c) = D(X)$ .

Если ко всем значениям прибавить число, разброс не меняется. Только сдвигается весь спектр.

Свойство 3 (масштаб): $D(cX) = c^2 \cdot D(X)$ .

Если значения умножить на $c$ , разброс увеличится в $c^2$ раз. Логично: квадрат отклонения тоже умножился на $c^2$ .

Объединение: $D(aX + b) = a^2 D(X)$ — нелинейность по $a$ (квадрат), но не зависит от $b$ .

Свойство 4 (сумма независимых): $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ — только для независимых $X$ и $Y$ .

В отличие от матожидания (где формула суммы работает всегда), для дисперсии нужна независимость.

Пример 3: применение свойств

Условие. $D(X) = 4$ . Найди $D(3X - 7)$ .

Решение.

D(3X - 7) = 3^2 \cdot D(X) = 9 \cdot 4 = 36

Сдвиг $-7$ не влияет на дисперсию.

Ответ: $36$ .

Биномиальное распределение

Для $X \sim B(n, p)$ (число успехов в $n$ испытаниях Бернулли):

E(X) = np, \quad D(X) = npq = np(1-p)

Формулы выводятся через свойства независимости отдельных испытаний и упрощают расчёты.

Пример 4: биномиальное

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}8$ . Делает 5 выстрелов. Найди $D$ и $\sigma$ числа попаданий.

Решение. $X \sim B(5, 0{,}8)$ . $q = 0{,}2$ .

D(X) = npq = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}8

\sigma(X) = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}894

Ответ: $D(X) = 0{,}8$ , $\sigma(X) \approx 0{,}894$ .

То есть число попаданий обычно в пределах $E(X) \pm \sigma = 4 \pm 0{,}9$ , то есть от 3 до 5.

Пример 5: проверка свойства независимости

Условие. Бросают 2 кубика независимо. Найди дисперсию суммы.

Решение. $X$ — очки первого, $Y$ — очки второго. $D(X) = D(Y) = 35/12$ .

По свойству независимости: $D(X + Y) = D(X) + D(Y) = 35/12 + 35/12 = 70/12 = 35/6 \approx 5{,}833$ .

Ответ: $D(X+Y) = 35/6$ .

Это в два раза больше дисперсии одного кубика. С каждым новым независимым слагаемым дисперсия растёт линейно.

Пример 6: вычисление через таблицу

Условие. Закон распределения:

$X$	-2	0	2
$P$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}25$

Найди $D(X)$ .

Решение. $E(X) = -2 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}25 = -0{,}5 + 0 + 0{,}5 = 0$ .

$E(X^2) = 4 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}25 = 1 + 0 + 1 = 2$ .

$D(X) = 2 - 0 = 2$ .

$\sigma(X) = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ .

Ответ: $D(X) = 2$ , $\sigma(X) = \sqrt{2}$ .

Что показывает дисперсия

Дисперсия = 0: случайная величина детерминированная (одно значение всегда).
Малая дисперсия: результаты близки к среднему. Например, монета с $p = 0{,}5$ имеет $D = 0{,}25$ — небольшая.
Большая дисперсия: результаты сильно разбросаны. Лотерея с редким большим выигрышем — типичный пример.
$\sigma$ — «типичное отклонение» в исходных единицах. Если $E(X) = 100$ и $\sigma = 10$ , обычное значение в диапазоне $90-110$ .

Алгоритм решения

Запиши закон распределения. Проверь $\sum p_i = 1$ .
Посчитай $E(X) = \sum x_i p_i$ .
Посчитай $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ .
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ .
Если нужно, $\sigma = \sqrt{D}$ .

Если случайная величина биномиальная — сразу $E(X) = np$ , $D(X) = npq$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: считают $D(X)$ как $E(X^2) - E(X)$ вместо $E(X^2) - [E(X)]^2$ . Без квадрата над $E(X)$ ответ неверный. Внимание к скобкам.

Ошибка 2: применяют $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ к зависимым. Только для независимых. Для зависимых нужна формула с ковариацией, что в школе не изучают.

Ошибка 3: считают $\sigma = D$ . $\sigma = \sqrt{D}$ , не равно $D$ . $D$ имеет размерность квадрата, $\sigma$ — обычной величины.

Ошибка 4: путают $D(cX)$ с $cD(X)$ . $D(cX) = c^2 D(X)$ — c квадратом. $E(cX) = cE(X)$ — без квадрата. Разные правила.

Когда дисперсия в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль дисперсия появляется:

В задачах с таблицей распределения, нужно посчитать $D(X)$ или $\sigma(X)$ .
В биномиальных задачах через $D = npq$ .
В задачах «оценить разброс» — обычно через $\sigma$ как «типичное отклонение».

Часто в одном задании просят найти и $E(X)$ , и $D(X)$ , и $\sigma(X)$ — стандартный набор.

Прокачай задание 4 ЕГЭ — дисперсия, матожидание, биномиальное распределение. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

$D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$ — мера разброса вокруг среднего.
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ — среднеквадратичное отклонение, в исходных единицах.
Свойства: $D(c) = 0$ ; $D(X+c) = D(X)$ ; $D(cX) = c^2 D(X)$ .
$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ только для независимых.
Биномиальное: $D(X) = npq$ .
$D \ge 0$ всегда; $D = 0$ — детерминированная величина.
Алгоритм: $E(X)$ , $E(X^2)$ , $D = E(X^2) - [E(X)]^2$ .