Конус — объём, площадь поверхности и разборы задач ЕГЭ

Конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Три ключевых числа: радиус основания, высота, образующая. И три формулы, связывающие их. Разберём все, плюс классическую задачу про развёртку — сектор круга.

Что такое конус

Круговой конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Если вращать прямоугольный треугольник с катетами $r$ и $h$ и гипотенузой $l$ вокруг катета $h$, получается конус:

• катет $h$ — высота конуса (ось вращения);
• катет $r$ — радиус основания (круга);
• гипотенуза $l$ — образующая конуса.

Вершина конуса — точка на оси, из которой «выходит» боковая поверхность. Основание — круг радиуса $r$, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси.

Элементы конуса

• Радиус $r$ — радиус круга-основания.
• Высота $h$ — расстояние от вершины до плоскости основания (перпендикуляр).
• Образующая $l$ — отрезок от вершины до любой точки окружности основания.
• Ось — прямая через вершину и центр основания.

Связь радиуса, высоты и образующей — теорема Пифагора в осевом сечении:

$l^2 = r^2 + h^2$

Это уравнение связывает три главных числа конуса. Зная любые два — находишь третье.

Объём конуса

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Коэффициент $1/3$ — тот же, что в формуле пирамиды. Действительно, конус — это «пирамида с круговым основанием», и формула структурно совпадает: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$ с $S_{осн} = \pi r^2$.

Боковая поверхность

$S_{бок} = \pi r l$

Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиусом $l$ и длиной дуги $2\pi r$. Площадь сектора вычисляется как $\frac{1}{2} \cdot l \cdot 2\pi r = \pi r l$ — формула, которую легко запомнить.

Центральный угол сектора $\varphi = \frac{2\pi r}{l}$ в радианах или $\varphi° = \frac{360° r}{l}$ в градусах.

Полная поверхность

Добавляем к боковой площадь основания (круга):

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$

Развёртка конуса

Развёртка состоит из двух фигур:

1. Сектор круга. Радиус $l$, длина дуги $2\pi r$.
2. Круг-основание. Радиус $r$.

При сборке сектор «сворачивается» по двум прямым радиусам, и свободная дуга приклеивается к окружности основания.

Почему радиус сектора равен образующей. При развёртывании каждая образующая конуса превращается в радиус сектора. Длина образующей остаётся $l$.

Почему длина дуги равна длине окружности основания. При развёртывании окружность основания «выпрямляется» в дугу, но длина сохраняется — $2\pi r$.

Угол сектора развёртки

Вот где многие спотыкаются. Угол сектора — это не какая-то отдельная характеристика, он однозначно определяется двумя числами: $r$ и $l$.

Угол $\varphi$ (в радианах) — это отношение длины дуги к радиусу сектора:

$\varphi = \frac{2\pi r}{l}$

В градусах: полная окружность ($2\pi$ радиан) равна $360°$, поэтому:

$\varphi° = \frac{2\pi r}{l} \cdot \frac{360°}{2\pi} = \frac{360° \cdot r}{l}$

Или короче: $\varphi° = \dfrac{r}{l} \cdot 360°$.

Это соотношение говорит: угол сектора зависит только от отношения $r/l$. Если образующая вдвое длиннее радиуса ($l = 2r$), угол будет $180°$ — полукруг. Если $l = r$ — полный круг ($360°$), то есть никакого «конуса» не получится — это уже плоская фигура.

Пример. Конус с $r = 4$ и образующей $l = 12$. Найди угол сектора развёртки.

$\varphi° = \frac{360° \cdot 4}{12} = 120°$

Проверка: $r/l = 1/3$, то есть дуга составляет треть полной окружности — угол $120°$ это треть от $360°$. Всё сходится.

Сечения конуса

Осевое сечение. Проходит через ось и даёт равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $h$. Стороны этого треугольника — две образующие длиной $l$, а основание — диаметр $2r$. Площадь осевого сечения:

$S_{\text{осев}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = rh$

В задаче 14 осевое сечение часто является отправной точкой: «осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 4» — это значит $r = 3$, $h = 4$, и из них сразу ищешь $l$ и объём.

Параллельно основанию. Если провести плоскость, параллельную основанию, на высоте $h'$ от основания (то есть на расстоянии $h - h'$ от вершины), то сечение — круг меньшего радиуса. Этот радиус определяется коэффициентом подобия.

Расстояние от вершины до плоскости сечения составляет $h - h'$. По подобию треугольников (осевое сечение):

$\frac{r'}{r} = \frac{h - h'}{h}$

Значит $r' = r \cdot \dfrac{h - h'}{h}$. На высоте $h' = 0$ получаем $r' = r$ (основание), на $h' = h$ получаем $r' = 0$ (вершина).

Частный случай: сечение на середине высоты ($h' = h/2$) даёт окружность радиуса $r/2$ — площадь в четыре раза меньше основания.

Наклонное сечение. Плоскость, не перпендикулярная оси, но пересекающая все образующие, даёт эллипс. Плоскость, параллельная одной из образующих, — параболу. Плоскость, проходящая через ось и пересекающая только одну образующую — гиперболу. Это классические «конические сечения», известные ещё Аполлонию.

Усечённый конус

Если конус разрезать плоскостью, параллельной основанию, получается усечённый конус — тело с двумя параллельными круглыми основаниями разных радиусов $R$ (большего) и $r$ (меньшего).

Обозначим высоту усечённого конуса $h$, а образующую (наклонный отрезок, соединяющий точки окружностей обоих оснований) — $l$.

Образующая усечённого конуса:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Это — теорема Пифагора в осевом сечении: осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $h$ и боковой стороной $l$.

Формула объёма:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

При $r = 0$ (малый радиус обнуляется) получаем формулу обычного конуса $V = \frac{1}{3}\pi h R^2$ — частный случай совпадает. При $r = R$ (оба радиуса равны) формула превращается в $V = \pi R^2 h$ — объём цилиндра. Всё логично.

Боковая поверхность усечённого конуса:

$S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l$

Запоминать удобно так: это «среднее» двух окружностей ($\pi(R+r)$ — их полусумма) умноженное на образующую.

Пример. Усечённый конус с $R = 5$, $r = 2$, $h = 4$. Найди образующую и боковую поверхность.

Образующая:

$l = \sqrt{4^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$

Боковая поверхность:

$S_{\text{бок}} = \pi(5 + 2) \cdot 5 = 35\pi$

Разбор примеров

На ЕГЭ задачи на конус строятся по нескольким устойчивым схемам. В задании 3 — прямое применение формул: дали два параметра, найди объём или поверхность. В задании 14 логика сложнее: конус становится частью составной задачи, где нужно сначала «распаковать» геометрические связи (вписанный квадрат, параллельное сечение, усечённый конус), а потом считать. Три примера ниже идут от простого к сложному — именно по этой прогрессии.

Пример 1 (уровень А). В конусе радиус основания 3, высота 4. Найди объём и образующую.

Решение. Образующая — по Пифагору:

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

Объём:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$

Ответ: $l = 5$, $V = 12\pi$.

Типичная ошибка. Попытаться написать $l = r + h = 7$. Образующая не есть сумма радиуса и высоты — это гипотенуза, и находится по Пифагору.

Пример 2 (уровень Б). Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 10 и длиной дуги $6\pi$. Найди объём конуса.

Решение. Радиус сектора равен образующей: $l = 10$. Длина дуги равна длине окружности основания: $2\pi r = 6\pi$, значит $r = 3$.

Высоту находим по Пифагору:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91}$

Объём:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot \sqrt{91} = 3\pi\sqrt{91}$

Ответ: $V = 3\pi\sqrt{91}$.

Типичная ошибка. Принять радиус сектора за радиус основания. В развёртке радиус сектора — это образующая, а не радиус.

Пример 3 (уровень В). В конус с радиусом $R = 6$ и высотой $H = 12$ вписана правильная четырёхугольная пирамида. Найди отношение объёмов.

Решение. «Вписана» означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание (квадрат) вписано в круг-основание конуса.

Квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$: диагональ квадрата равна диаметру окружности $2R = 12$. Сторона квадрата $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Площадь основания пирамиды:

$S_{пир} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$

Высота пирамиды совпадает с высотой конуса: $h = 12$.

Объём пирамиды:

$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 12 = 288$

Объём конуса:

$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 12 = 144\pi$

Отношение:

$\frac{V_{пир}}{V_{кон}} = \frac{288}{144\pi} = \frac{2}{\pi}$

Ответ: $\dfrac{2}{\pi}$.

Типичная ошибка. Принять сторону квадрата за радиус окружности. Для вписанного квадрата диагональ равна диаметру, и сторона находится по теореме Пифагора.

Как решать задачи с усечённым конусом

В задании 3 ЕГЭ усечённый конус встречается редко, но задание 14 иногда строит целую цепочку: «из полного конуса высотой $H$ и радиусом $R$ вырезали меньший конус высотой $H/2$». Нужно найти объём усечённого остатка.

Логика такая: найди объём полного конуса, найди объём срезанной части, вычти.

Срезанная часть — конус, подобный исходному с коэффициентом $1/2$ (высоты относятся как $1:2$). По подобию тел ($k = 1/2$) все линейные размеры уменьшаются в 2 раза, значит объём — в $2^3 = 8$ раз. Объём срезанной части $= V/8$.

Объём усечённого конуса $= V - V/8 = 7V/8$.

Можно проверить по формуле: при $r = R/2$ и $h_{\text{уч}} = H/2$:

$V_{\text{уч}} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{H}{2} \cdot \left(R^2 + R \cdot \frac{R}{2} + \frac{R^2}{4}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{H}{2} \cdot \frac{7R^2}{4} = \frac{7}{24}\pi R^2 H$

Полный конус: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{8}{24}\pi R^2 H$. Отношение: $V_{\text{уч}} / V = 7/8$. Совпадает.

Типичные ошибки

1. Путать высоту и образующую. Высота $h$ — перпендикуляр от вершины до плоскости основания, образующая $l$ — наклонный отрезок от вершины до точки окружности. Они связаны через Пифагора ($l^2 = r^2 + h^2$), но это разные величины. Особенно часто путают, когда в задаче «высота конуса равна 5» — нельзя сразу писать $l = 5$.

2. Забывать $1/3$ в объёме. Как и в пирамиде — классическая ошибка. Если написал $V = \pi r^2 h$ без $1/3$, получил объём цилиндра, а не конуса.

3. Ошибаться в формуле боковой поверхности. $S_{\text{бок}} = \pi r l$, а не $\pi r^2$ или $\pi l^2$. Легко запомнить: площадь сектора — полупроизведение радиуса ($l$) на длину дуги ($2\pi r$), то есть $\pi r l$.

4. В развёртке путать радиус сектора и радиус основания. Радиус сектора $= l$ (образующая), длина дуги $= 2\pi r$ (окружность основания). Не перепутай — это самая частая ошибка на задачах про развёртку.

5. Для усечённого конуса забыть слагаемое $Rr$. Формула объёма $\frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ содержит три слагаемых под скобкой. Иногда пишут только $R^2 + r^2$, пропуская $Rr$.

6. Для конуса с наклонной высотой применять формулу прямого. На ЕГЭ обычно прямой круговой конус, но в задании 14 могут встретиться косые конусы — тогда $h \ne l$, и подход другой.

Связь с другими темами

• Пирамида — конус относится к пирамиде так же, как круг к многоугольнику. Формулы объёма ($\frac{1}{3} S_{\text{осн}} h$) и боковой поверхности структурно одинаковы.
• Цилиндр — парная фигура. Цилиндр и конус с одинаковыми радиусами и высотами связаны соотношением $V_{\text{цил}} = 3 V_{\text{кон}}$. Это значит, что в цилиндр вмещается ровно три конуса с теми же $r$ и $h$ — красивый факт, который можно доказать через принцип Кавальери.
• Теорема Пифагора — связывает три главных числа конуса: $l^2 = r^2 + h^2$. Без Пифагора не обходится ни одна задача на конус, где даны два параметра и нужен третий.
• Подобие треугольников — нужно для работы с параллельными сечениями конуса и усечённым конусом. Коэффициент подобия определяет, как меняется радиус сечения при движении вдоль оси.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 (стереометрия базовая) — прямое применение формул объёма и поверхности. 1 балл.
• Задание 14 (стереометрия повышенного уровня) — конус как контейнер для вписанных фигур или с осевыми/наклонными сечениями.