Конус: элементы, развёртка и сечения для ЕГЭ

Конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Три ключевых числа: радиус основания, высота, образующая. На этой странице разобраны элементы конуса, поверхность, развёртка и сечения; задачи на объём вынесены на страницу объём конуса.

Что такое конус

Круговой конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Если вращать прямоугольный треугольник с катетами $r$ и $h$ и гипотенузой $l$ вокруг катета $h$, получается конус:

• катет $h$ — высота конуса (ось вращения);
• катет $r$ — радиус основания (круга);
• гипотенуза $l$ — образующая конуса.

Вершина конуса — точка на оси, из которой «выходит» боковая поверхность. Основание — круг радиуса $r$, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси.

Элементы конуса

• Радиус $r$ — радиус круга-основания.
• Высота $h$ — расстояние от вершины до плоскости основания (перпендикуляр).
• Образующая $l$ — отрезок от вершины до любой точки окружности основания.
• Ось — прямая через вершину и центр основания.

Связь радиуса, высоты и образующей — теорема Пифагора в осевом сечении:

$l^2=r^2+h^2$

Это уравнение связывает три главных числа конуса. Зная любые два — находишь третье.

Объём конуса

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Задачи на объём, в том числе с вписанными фигурами, подробно разобраны на странице объём конуса. Здесь только формула и связь с другими фигурами.

Коэффициент $1/3$ — тот же, что в формуле пирамиды. Действительно, конус — это «пирамида с круговым основанием», и формула структурно совпадает: $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}h$ с $S_{\text{осн}}=\pi r^2$.

Боковая поверхность

$S_{\text{бок}}=\pi rl$

Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиусом $l$ и длиной дуги $2\pi r$. Площадь сектора вычисляется как $\frac{1}{2}\cdot l\cdot 2\pi r=\pi rl$ — формула, которую легко запомнить.

Центральный угол сектора $\phi =\frac{2\pi r}{l}$ в радианах или $\phi °=\frac{360°r}{l}$ в градусах.

Полная поверхность

Добавляем к боковой площадь основания (круга):

$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$

Пример. Радиус основания конуса равен $3$, образующая равна $5$. Найди площади боковой и полной поверхности.

$S_{\text{бок}}=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi ,S_{\text{полн}}=15\pi +\pi \cdot 3^2=24\pi$

Проверка по формуле $\pi r(l+r)=\pi \cdot 3\cdot 8=24\pi$. Сошлось.

Развёртка конуса

Развёртка состоит из двух фигур:

1. Сектор круга. Радиус $l$, длина дуги $2\pi r$.
2. Круг-основание. Радиус $r$.

При сборке сектор «сворачивается» по двум прямым радиусам, и свободная дуга приклеивается к окружности основания.

Почему радиус сектора равен образующей. При развёртывании каждая образующая конуса превращается в радиус сектора. Длина образующей остаётся $l$.

Почему длина дуги равна длине окружности основания. При развёртывании окружность основания «выпрямляется» в дугу, но длина сохраняется — $2\pi r$.

Угол сектора развёртки

Вот где многие спотыкаются. Угол сектора — это не какая-то отдельная характеристика, он однозначно определяется двумя числами: $r$ и $l$.

Угол $\phi$ (в радианах) — это отношение длины дуги к радиусу сектора:

$\phi =\frac{2\pi r}{l}$

В градусах: полная окружность ($2\pi$ радиан) равна $360°$, поэтому:

$\phi °=\frac{2\pi r}{l}\cdot \frac{360°}{2\pi }=\frac{360°\cdot r}{l}$

Или короче: $\phi °=\frac{r}{l}\cdot 360°$.

Это соотношение говорит: угол сектора зависит только от отношения $r/l$. Если образующая вдвое длиннее радиуса ($l=2r$), угол будет $180°$ — полукруг. Если $l=r$ — полный круг ($360°$), то есть никакого «конуса» не получится — это уже плоская фигура.

Пример. Конус с $r=4$ и образующей $l=12$. Найди угол сектора развёртки.

$\phi °=\frac{360°\cdot 4}{12}=120°$

Проверка: $r/l=1/3$, то есть дуга составляет треть полной окружности — угол $120°$ это треть от $360°$. Всё сходится.

Сечения конуса

Осевое сечение. Проходит через ось и даёт равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и высотой $h$. Стороны этого треугольника — две образующие длиной $l$, а основание — диаметр $2r$. Площадь осевого сечения:

$S_{\text{осев}}=\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h=rh$

В задачах части 2 (задание 15 по проекту ЕГЭ-2027, в 2026 году — задание 14) осевое сечение часто является отправной точкой: «осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 4» — это значит $r=3$, $h=4$, и из них сразу ищешь $l$ и объём. Подробнее: осевое сечение конуса и цилиндра.

Параллельно основанию. Если провести плоскость, параллельную основанию, на высоте $h^{\prime }$ от основания (то есть на расстоянии $h-h^{\prime }$ от вершины), то сечение — круг меньшего радиуса. Этот радиус определяется коэффициентом подобия.

Расстояние от вершины до плоскости сечения составляет $h-h^{\prime }$. По подобию треугольников (осевое сечение):

$\frac{r^{\prime }}{r}=\frac{h-h^{\prime }}{h}$

Значит $r^{\prime }=r\cdot \frac{h-h^{\prime }}{h}$. На высоте $h^{\prime }=0$ получаем $r^{\prime }=r$ (основание), на $h^{\prime }=h$ получаем $r^{\prime }=0$ (вершина).

Частный случай: сечение на середине высоты ($h^{\prime }=h/2$) даёт окружность радиуса $r/2$ — площадь в четыре раза меньше основания.

Наклонное сечение. Плоскость, не перпендикулярная оси, но пересекающая все образующие, даёт эллипс. Плоскость, параллельная одной из образующих, — параболу. Плоскость, параллельная двум образующим (например, параллельная оси и не проходящая через неё), даёт гиперболу; у конуса как тела это дуга гиперболы. Плоскость, проходящая через ось, гиперболы не даёт: это осевое сечение, равнобедренный треугольник. Эллипс, парабола и гипербола — классические «конические сечения», известные ещё Аполлонию.

Усечённый конус

Если конус разрезать плоскостью, параллельной основанию, получается усечённый конус — тело с двумя параллельными круглыми основаниями разных радиусов $R$ (большего) и $r$ (меньшего).

Обозначим высоту усечённого конуса $h$, а образующую (наклонный отрезок, соединяющий точки окружностей обоих оснований) — $l$.

Образующая усечённого конуса:

$l=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$

Это — теорема Пифагора в осевом сечении: осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $h$ и боковой стороной $l$.

Формула объёма:

$V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$

При $r=0$ (малый радиус обнуляется) получаем формулу обычного конуса $V=\frac{1}{3}\pi h{R}^2$ — частный случай совпадает. При $r=R$ (оба радиуса равны) формула превращается в $V=\pi R^{2}h$ — объём цилиндра. Всё логично.

Боковая поверхность усечённого конуса:

$S_{\text{бок}}=\pi (R+r)l$

Запоминать удобно так: это «среднее» двух окружностей ($\pi (R+r)$ — их полусумма) умноженное на образующую.

Пример. Усечённый конус с $R=5$, $r=2$, $h=4$. Найди образующую и боковую поверхность.

Образующая:

$l=\sqrt{4^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$

Боковая поверхность:

$S_{\text{бок}}=\pi (5+2)\cdot 5=35\pi$

Разбор примеров

Задачи на конус строятся по нескольким схемам. В задании 3 — прямое применение формул: дали два параметра, найди объём или поверхность. В части 2 (задание 15 по проекту ЕГЭ-2027, в 2026 году — задание 14) конус становится частью составной задачи, где нужно сначала «распаковать» геометрические связи (вписанный квадрат, параллельное сечение, усечённый конус), а потом считать. Три примера ниже идут от простого к сложному.

Пример 1 (уровень А). В конусе радиус основания 3, высота 4. Найди объём и образующую.

Решение. Образующая — по Пифагору:

$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5$

Объём:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 4=12\pi$

Ответ: $l=5$, $V=12\pi$.

Типичная ошибка. Попытаться написать $l=r+h=7$. Образующая не есть сумма радиуса и высоты — это гипотенуза, и находится по Пифагору.

Пример 2 (уровень Б). Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 10 и длиной дуги $6\pi$. Найди объём конуса.

Решение. Радиус сектора равен образующей: $l=10$. Длина дуги равна длине окружности основания: $2\pi r=6\pi$, значит $r=3$.

Высоту находим по Пифагору:

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}$

Объём:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot \sqrt{91}=3\pi \sqrt{91}$

Ответ: $V=3\pi \sqrt{91}$.

Типичная ошибка. Принять радиус сектора за радиус основания. В развёртке радиус сектора — это образующая, а не радиус.

Пример 3 (уровень В). В конус с радиусом $R=6$ и высотой $H=12$ вписана правильная четырёхугольная пирамида. Найди отношение объёмов.

Решение. «Вписана» означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание (квадрат) вписано в круг-основание конуса.

Квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$: диагональ квадрата равна диаметру окружности $2R=12$. Сторона квадрата $a=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Площадь основания пирамиды:

$S_{пир}=a^2=(6\sqrt{2}{)}^2=72$

Высота пирамиды совпадает с высотой конуса: $h=12$.

Объём пирамиды:

$V_{пир}=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 12=288$

Объём конуса:

$V_{кон}=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 12=144\pi$

Отношение:

$\frac{V_{пир}}{V_{кон}}=\frac{288}{144\pi }=\frac{2}{\pi }$

Ответ: $\frac{2}{\pi }$.

Типичная ошибка. Принять сторону квадрата за радиус окружности. Для вписанного квадрата диагональ равна диаметру, и сторона находится по теореме Пифагора.

Как решать задачи с усечённым конусом

Усечённый конус часто задают цепочкой: «из полного конуса высотой $H$ и радиусом $R$ вырезали меньший конус высотой $H/2$». Нужно найти объём усечённого остатка.

Логика такая: найди объём полного конуса, найди объём срезанной части, вычти.

Срезанная часть — конус, подобный исходному с коэффициентом $1/2$ (высоты относятся как $1:2$). По подобию тел ($k=1/2$) все линейные размеры уменьшаются в 2 раза, значит объём — в $2^3=8$ раз. Объём срезанной части $=V/8$.

Объём усечённого конуса $=V-V/8=7V/8$.

Можно проверить по формуле: при $r=R/2$ и $h_{\text{уч}}=H/2$:

$V_{\text{уч}}=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{H}{2}\cdot \left(R^2+R\cdot \frac{R}{2}+\frac{R^2}{4}\right)=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{H}{2}\cdot \frac{7R^2}{4}=\frac{7}{24}\pi R^{2}H$

Полный конус: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{8}{24}\pi R^{2}H$. Отношение: $V_{\text{уч}}/V=7/8$. Совпадает.

Типичные ошибки

1. Путать высоту и образующую. Высота $h$ — перпендикуляр от вершины до плоскости основания, образующая $l$ — наклонный отрезок от вершины до точки окружности. Они связаны через Пифагора ($l^2=r^2+h^2$), но это разные величины. Особенно часто путают, когда в задаче «высота конуса равна 5» — нельзя сразу писать $l=5$.

2. Забывать $1/3$ в объёме. Как и в пирамиде — классическая ошибка. Если написал $V=\pi r^{2}h$ без $1/3$, получил объём цилиндра, а не конуса.

3. Ошибаться в формуле боковой поверхности. $S_{\text{бок}}=\pi rl$, а не $\pi r^2$ или $\pi l^2$. Легко запомнить: площадь сектора — полупроизведение радиуса ($l$) на длину дуги ($2\pi r$), то есть $\pi rl$.

4. В развёртке путать радиус сектора и радиус основания. Радиус сектора $=l$ (образующая), длина дуги $=2\pi r$ (окружность основания). Не перепутай — это самая частая ошибка на задачах про развёртку.

5. Для усечённого конуса забыть слагаемое $Rr$. Формула объёма $\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$ содержит три слагаемых под скобкой. Иногда пишут только $R^2+r^2$, пропуская $Rr$.

6. Применять формулы прямого конуса к наклонному. Формулы этой страницы верны только для прямого кругового конуса. У наклонного конуса образующие разной длины, и поверхность по формуле $\pi rl$ не считается.

Связь с другими темами

• Объём конуса — формула объёма и задачи на неё, в том числе с вписанной пирамидой.
• Осевое сечение конуса и цилиндра — как по осевому сечению найти радиус, высоту и образующую.
• Пирамида — конус относится к пирамиде так же, как круг к многоугольнику. Формулы объёма ($\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}h$) и боковой поверхности структурно одинаковы.
• Цилиндр — парная фигура. Цилиндр и конус с одинаковыми радиусами и высотами связаны соотношением $V_{\text{цил}}=3V_{\text{кон}}$. Это значит, что в цилиндр вмещается ровно три конуса с теми же $r$ и $h$ — красивый факт, который можно доказать через принцип Кавальери.
• Теорема Пифагора — связывает три главных числа конуса: $l^2=r^2+h^2$. Без Пифагора не обходится ни одна задача на конус, где даны два параметра и нужен третий.
• Подобие треугольников — нужно для работы с параллельными сечениями конуса и усечённым конусом. Коэффициент подобия определяет, как меняется радиус сечения при движении вдоль оси.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 (стереометрия части 1) — прямое применение формул объёма и поверхности, 1 балл.
• Стереометрия части 2 — конус как часть составной задачи: вписанные фигуры, осевые и параллельные сечения. По проекту ЕГЭ-2027 это задание 15, в 2026 году — задание 14. Документы ФИПИ на 2027 год опубликованы как проект.

Проверено: 2026-10-08.