Что проверяется в задании 3 ЕГЭ?

Задание 3 — стереометрия базового уровня. Нужно найти объём или другой параметр геометрического тела (цилиндра, конуса, шара, пирамиды, призмы). Одно действие или несколько формульных подстановок.

Какие формулы нужны для задания 3?

Цилиндр: $V = \pi r^2 h$. Конус: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$. Шар: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$. Пирамида: $V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$. Прямая призма: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.

Как решать задание 3 быстро?

Шаг 1: определи фигуру и что ищешь. Шаг 2: выпиши нужную формулу. Шаг 3: найди недостающие данные (часто нужна теорема Пифагора или формула образующей). Шаг 4: подставь и вычисли.

Часто ли в задании 3 просят площадь поверхности?

Иногда, но чаще объём. Площадь полной поверхности: цилиндр $S = 2\pi r(r+h)$, конус $S = \pi r(r+l)$, шар $S = 4\pi r^2$. Полную таблицу смотри в теле статьи.

Задание 3 ЕГЭ математика профиль — стереометрия и объёмы

Задание 3 ЕГЭ профиль — базовая стереометрия. Один балл, одно тело, одна формула. Звучит просто — и действительно несложно, если знать пять семейств формул и уметь находить недостающие параметры через теорему Пифагора. Разберём каждое тело с примером.

Сводная таблица формул

Тело	Объём	Полная поверхность
Цилиндр	$V = π r^{2} h$	$S = 2 π r (r + h)$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$S = π r (r + l)$
Шар	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$	$S_{сферы} = 4 π r^{2}$
Прав. пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$	$S = S_{осн} + \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a$
Прямая призма	$V = S_{осн} \cdot h$	$S = 2 S_{осн} + P_{осн} \cdot h$

Обозначения: $r$ — радиус, $h$ — высота, $l$ — образующая конуса (отрезок от вершины до точки окружности основания), $a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани), $P_{осн}$ — периметр основания.

Цилиндр

Формулы: $V = π r^{2} h, S = 2 π r (r + h)$

Задача. Радиус основания цилиндра равен 4, высота — 6. Найди объём.

Решение. $V = π \cdot 4^{2} \cdot 6 = 96 π$ .

Конус

Формулы: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h, S = π r (r + l)$

Связь радиуса, высоты и образующей: $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ (теорема Пифагора).

Задача. Радиус основания конуса равен 3, образующая $l = 5$ . Найди объём.

Решение. $h = l^{2} - r^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ $V = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 4 = 12 π$

Шар и сфера

Формулы: $V_{шара} = \frac{4}{3} π r^{3}, S_{сферы} = 4 π r^{2}$

Задача. Радиус шара равен 3. Найди объём.

Решение. $V = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ .

Пирамида

Формулы: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Для правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a$ , где $a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани, то есть расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания).

Задача. Правильная четырёхугольная пирамида с квадратом $6 \times 6$ в основании, высота 4. Найди объём.

Решение. $S_{осн} = 36$ . $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$ .

Призма

Формула: $V = S_{осн} \cdot h$

Основание может быть любым многоугольником — главное правильно найти его площадь.

Задача. Прямая призма с прямоугольным треугольником в основании (катеты 3 и 4). Высота призмы 10. Найди объём.

Решение. $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ . $V = 6 \cdot 10 = 60$ .

Тактика в задании 3

Шаг 1. Определи тип тела и что надо найти (объём, поверхность или параметр).

Шаг 2. Выпиши нужную формулу из таблицы.

Шаг 3. Проверь, все ли данные есть. Если дана образующая конуса — найди высоту через Пифагора ( $h = l^{2} - r^{2}$ ). Если дан диаметр — раздели на 2.

Шаг 4. Подставь и вычисли. Не упрощай $π$ без необходимости — ответ типа $36 π$ полностью корректен.

Ссылки по темам

Если нужна развёрнутая теория по конкретному телу:

Цилиндр → /uchebnik/stereometriya/cilindr
Конус → /uchebnik/stereometriya/konus
Шар → /uchebnik/stereometriya/obem-shara
Пирамида → /uchebnik/stereometriya/piramida
Призма → /uchebnik/stereometriya/prizma-obem-i-ploshchad-poverhnosti

Отработай задание 3 на практике

Диагностика покажет, какой тип объёмов даётся тяжелее всего

Попробовать бесплатно

Задание 3 ЕГЭ профильная математика — стереометрия

Сводная таблица формул

Цилиндр

Конус

Шар и сфера

Пирамида

Призма

Тактика в задании 3

Ссылки по темам

Частые вопросы