Задание 3 ЕГЭ профиль — базовая стереометрия. Один балл, одно тело, одна формула. Звучит просто — и действительно несложно, если знать пять семейств формул и уметь находить недостающие параметры через теорему Пифагора. Разберём каждое тело с примером.

Сводная таблица формул

ТелоОбъёмПолная поверхность
ЦилиндрV=πr2hV = \pi r^2 hS=2πr(r+h)S = 2\pi r(r+h)
КонусV=13πr2hV = \dfrac{1}{3}\pi r^2 hS=πr(r+l)S = \pi r(r+l)
ШарV=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3Sсферы=4πr2S_{\text{сферы}} = 4\pi r^2
Прав. пирамидаV=13Sосн⋅hV = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot hS=Sосн+12Pосн⋅aS = S_{\text{осн}} + \dfrac{1}{2}P_{\text{осн}} \cdot a
Прямая призмаV=Sосн⋅hV = S_{\text{осн}} \cdot hS=2Sосн+Pосн⋅hS = 2S_{\text{осн}} + P_{\text{осн}} \cdot h

Обозначения: rr — радиус, hh — высота, ll — образующая конуса (отрезок от вершины до точки окружности основания), aa — апофема пирамиды (высота боковой грани), PоснP_{\text{осн}} — периметр основания.

Цилиндр

Формулы: V=πr2h,S=2πr(r+h)V = \pi r^2 h, \quad S = 2\pi r(r + h)

rh

Задача. Радиус основания цилиндра равен 4, высота — 6. Найди объём.

Решение. V=π⋅42⋅6=96πV = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 96\pi.

Конус

Формулы: V=13πr2h,S=πr(r+l)V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \quad S = \pi r(r + l)

rh

Связь радиуса, высоты и образующей: l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2 (теорема Пифагора).

Задача. Радиус основания конуса равен 3, образующая l=5l=5. Найди объём.

Решение. h=l2−r2=25−9=16=4h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 V=13π⋅9⋅4=12πV = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi

Шар и сфера

Формулы: Vшара=43πr3,Sсферы=4πr2V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad S_{\text{сферы}} = 4\pi r^2

R

Задача. Радиус шара равен 3. Найди объём.

Решение. V=43π⋅27=36πV = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi.

Пирамида

Формулы: V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h

ShB (основание)

Для правильной пирамиды: Sбок=12Pосн⋅aS_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}P_{\text{осн}} \cdot a, где aa — апофема пирамиды (высота боковой грани, то есть расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания).

Задача. Правильная четырёхугольная пирамида с квадратом 6×66\times6 в основании, высота 4. Найди объём.

Решение. Sосн=36S_{\text{осн}} = 36. V=13⋅36⋅4=48V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48.

Призма

Формула: V=Sосн⋅hV = S_{\text{осн}} \cdot h

abc

Основание может быть любым многоугольником — главное правильно найти его площадь.

Задача. Прямая призма с прямоугольным треугольником в основании (катеты 3 и 4). Высота призмы 10. Найди объём.

Решение. Sосн=12⋅3⋅4=6S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6. V=6⋅10=60V = 6 \cdot 10 = 60.

Тактика в задании 3

Шаг 1. Определи тип тела и что надо найти (объём, поверхность или параметр).

Шаг 2. Выпиши нужную формулу из таблицы.

Шаг 3. Проверь, все ли данные есть. Если дана образующая конуса — найди высоту через Пифагора (h=l2−r2h = \sqrt{l^2 - r^2}). Если дан диаметр — раздели на 2.

Шаг 4. Подставь и вычисли. Не упрощай π\pi без необходимости — ответ типа 36π36\pi полностью корректен.

Ссылки по темам

Если нужна развёрнутая теория по конкретному телу:

Отработай задание 3 на практике
Диагностика покажет, какой тип объёмов даётся тяжелее всего
Попробовать бесплатно