Цилиндр — объём, площадь поверхности и задачи ЕГЭ

Цилиндр — простая фигура вращения: один радиус, одна высота, формулы объёма и поверхности. Ошибаются в нём чаще всего в площади, где путают боковую и полную поверхность. Ниже формулы и три разобранные задачи. Номера заданий даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ), для 2026 года указан прежний номер.

Что такое цилиндр

Цилиндр (круговой цилиндр) — тело вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Если прямоугольник со сторонами $r$ и $h$ вращать вокруг стороны $h$, то:

• сторона $h$, лежащая на оси вращения, остаётся на оси и задаёт высоту цилиндра;
• две стороны $r$, перпендикулярные оси, описывают два круга радиуса $r$ — нижнее и верхнее основания;
• четвёртая сторона $h$, параллельная оси, описывает боковую поверхность.

Получается фигура с двумя параллельными кругами-основаниями одного радиуса и гладкой боковой поверхностью.

Элементы цилиндра

• Основания — два равных параллельных круга, расположенных в параллельных плоскостях.
• Радиус $r$ — радиус основания.
• Высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований.
• Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований.
• Образующая — отрезок между соответствующими точками окружностей оснований, параллельный оси.

В прямом круговом цилиндре ось перпендикулярна основаниям, и образующая равна высоте: $l=h$. Дальше цилиндр понимается как прямой круговой.

Объём цилиндра

$V=\pi r^2\cdot h$

Формула — произведение площади круга-основания на высоту. По структуре совпадает с формулой объёма призмы $V=S_{\text{осн}}\cdot h$; цилиндр — «призма с круговым основанием».

Расшифровка:

• $\pi r^2$ — площадь круга-основания;
• $h$ — высота цилиндра;
• произведение — объём.

Боковая поверхность

Если развернуть боковую поверхность цилиндра на плоскость, получится прямоугольник. Одна его сторона — высота $h$, вторая — длина окружности основания $2\pi r$. Значит:

$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot h$

Развёртка боковой поверхности — ключ к пониманию многих задач. Если в задаче говорят, что боковая поверхность развёрнута в квадрат, значит $2\pi r=h$.

Полная поверхность

Полная поверхность включает боковую и два круга-основания:

$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(r+h)$

Формула проще запоминается как «$2\pi r$ умножить на $(r+h)$».

Сечения цилиндра

Осевое сечение. Сечение плоскостью, проходящей через ось. Это прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$ (высота). Площадь осевого сечения $=2rh$.

Подробнее об осевом сечении цилиндра и конуса, с чертежами и примерами, — на странице Осевое сечение конуса и цилиндра. В условиях встречаются, например, такие формулировки: «осевое сечение цилиндра — квадрат» или «осевое сечение — прямоугольник с диагональю 13». В первом случае $2r=h$ (ширина прямоугольника равна высоте). Во втором — по теореме Пифагора: $\sqrt{(2r{)}^2+h^2}=13$.

Параллельное основанию. Любое сечение плоскостью, параллельной основаниям, — круг радиуса $r$. Все такие сечения равны — это отличает цилиндр от конуса, где такие сечения уменьшаются при движении к вершине.

Параллельное оси (плоскость проходит через ось или рядом с осью). Если плоскость содержит ось — получается осевое сечение (прямоугольник $2r\times h$). Если плоскость параллельна оси, но не содержит её, то сечение — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте $h$, а вторая — хорде основания.

Хорда на расстоянии $d$ от оси ($0\le d<r$) вычисляется так: в окружности радиуса $r$ хорда на расстоянии $d$ от центра имеет длину

$b=2\sqrt{r^2-d^2}$

Значит прямоугольное сечение такой плоскостью имеет размеры $2\sqrt{r^2-d^2}\times h$.

Касательная плоскость. Плоскость, касающаяся боковой поверхности, пересекает её по одной прямой — образующей. Такая плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Развёртка цилиндра

Полная развёртка состоит из трёх фигур:

1. Прямоугольник боковой поверхности: $2\pi r\times h$.
2. Круг верхнего основания: радиус $r$.
3. Круг нижнего основания: радиус $r$.

Два круга приклеиваются к прямоугольнику по сторонам длиной $2\pi r$.

Кратчайший путь по поверхности цилиндра

Развёртка помогает в задачах на кратчайший путь по поверхности: «Муравей ползёт по поверхности цилиндра из точки A на нижнем основании в точку B на верхнем основании, двигаясь по кратчайшему пути. Найди длину пути».

Суть в том, что кратчайший путь по поверхности — это прямая на развёртке. Развернём боковую поверхность в прямоугольник $2\pi r\times h$. Если точки A и B расположены с диаметрально противоположных сторон цилиндра, то при развёртывании расстояние по горизонтали между ними составляет $\pi r$ (полуокружность). Кратчайший путь — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\pi r$ и $h$:

$d=\sqrt{(\pi r{)}^2+h^2}$

В общем случае, если точки разделены углом $\alpha$ (в радианах) при взгляде сверху, горизонтальное расстояние на развёртке будет $\alpha \cdot r$, и кратчайший путь:

$d=\sqrt{(\alpha r{)}^2+h^2}$

Пример. Цилиндр с $r=3$ и $h=4$. Муравей ползёт от нижней точки к диаметрально противоположной верхней. Найди длину пути.

При развёртывании горизонтальное расстояние $=\pi r=3\pi$. По Пифагору:

$d=\sqrt{(3\pi {)}^2+4^2}=\sqrt{9{\pi }^2+16}$

Ответ: $d=\sqrt{9{\pi }^2+16}$.

Вписанный и описанный цилиндр

Цилиндр, вписанный в прямую призму: радиус цилиндра равен радиусу вписанной окружности основания призмы ($r=r_{\text{вп}}$), высота совпадает с высотой призмы.

Цилиндр, описанный около прямой призмы: радиус цилиндра равен радиусу описанной окружности основания призмы ($r=r_{\text{оп}}$), высота совпадает с высотой призмы.

Запомни несколько частых случаев:

• Правильный треугольник со стороной $a$: описанная окружность имеет радиус $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, вписанная $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$. Отношение $R/r=2$.

• Правильный квадрат со стороной $a$: описанная окружность $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, вписанная $r=\frac{a}{2}$. Отношение $R/r=\sqrt{2}$.

• Правильный шестиугольник со стороной $a$: описанная $R=a$, вписанная $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Практически: если в задаче есть «цилиндр описан около правильной треугольной призмы с ребром $a$», ищи радиус описанной окружности правильного треугольника — это и есть радиус цилиндра.

Пример. Прямой цилиндр описан около куба с ребром 6. Найди объём цилиндра.

Основание куба — квадрат со стороной 6. Описанная окружность квадрата: $R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.

Высота цилиндра равна высоте куба: $h=6$.

$V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 18\cdot 6=108\pi$

Разбор примеров

Три примера идут от «подставь в формулу» до «переведи задачу на язык развёртки и вписанных фигур».

Пример 1 (уровень А). Радиус основания цилиндра равен 3, высота 5. Найди объём.

Решение. По формуле:

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 5=45\pi$

Ответ: $V=45\pi$.

Типичная ошибка. Написать $V=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi$, забыв возвести радиус в квадрат.

Пример 2 (уровень Б). Развёртка боковой поверхности цилиндра — квадрат со стороной 10. Найди объём цилиндра.

Решение. Развёртка — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$. Раз развёртка — квадрат со стороной 10, значит:

$2\pi r=10\text{и}h=10$

Из первого равенства: $r=\frac{5}{\pi }$.

Объём:

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot \frac{25}{{\pi }^2}\cdot 10=\frac{250}{\pi }$

Ответ: $V=\frac{250}{\pi }$.

Типичная ошибка. Принять сторону квадрата за радиус. $2\pi r=10$ — это длина окружности, а не радиус.

Пример 3 (уровень В). В цилиндр радиуса $R=6$ и высоты $H=10$ вписана правильная треугольная призма. Найди отношение объёма призмы к объёму цилиндра.

Решение. Правильная треугольная призма вписана в цилиндр — значит её вершины лежат на окружностях оснований цилиндра, а рёбра параллельны оси. Основание призмы — правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$: $a=R\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$:

$S_{призм}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(6\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{108\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}$

Объём призмы: $V_{призм}=27\sqrt{3}\cdot 10=270\sqrt{3}$.

Объём цилиндра: $V_{цил}=\pi \cdot 36\cdot 10=360\pi$.

Отношение:

$\frac{V_{призм}}{V_{цил}}=\frac{270\sqrt{3}}{360\pi }=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }$.

Типичная ошибка. Считать, что сторона вписанного треугольника равна радиусу. На самом деле связь $a=R\sqrt{3}$ для правильного треугольника в описанной окружности.

Как готовиться к задачам с цилиндром

В задании 3 даны $r$ и $h$ (или данные, из которых они находятся), и нужно найти объём или поверхность. Здесь ошибаются из-за невнимательности: диаметр вместо радиуса, боковая вместо полной поверхности.

В стереометрии части 2 (№15; в 2026 году №14) цилиндр может быть частью составной конфигурации. Возможные постановки:

1. Цилиндр описан около призмы (или вписан в призму) — радиус находится через вписанную или описанную окружность основания.
2. В цилиндр вписан конус (та же ось, основание конуса совпадает с одним основанием цилиндра, вершина лежит на другом) — радиусы и высоты совпадают, объём конуса в 3 раза меньше.
3. Кратчайший путь по поверхности — развернуть и применить теорему Пифагора.
4. Шар внутри цилиндра — шар вписан в цилиндр, если $r_{\text{шара}}=r_{\text{цил}}$ и $2r_{\text{шара}}=h$.

Для каждой постановки полезно нарисовать осевое сечение: в нём часто видна вся геометрия задачи.

Типичные ошибки

1. Путать боковую и полную поверхность. Боковая — только прямоугольник развёртки ($2\pi rh$). Полная — плюс два круга-основания ($+2\pi r^2$). Площадь поверхности цилиндра без уточнения — это полная поверхность.

2. Забывать коэффициент 2 в длине окружности. Площадь круга $\pi r^2$, но длина окружности $2\pi r$. В развёртке используется именно $2\pi r$ (длина стороны прямоугольника). Если написать $\pi r$, получится длина полуокружности, а не всей окружности.

3. Считать диаметр вместо радиуса. Диаметр $d=2r$. Если в условии дан диаметр — подели пополам, прежде чем подставлять в формулу. Особенно часто ошибаются, когда «осевое сечение — прямоугольник $6\times 10$»: $6=2r$, значит $r=3$, а не 6.

4. В задаче про кратчайший путь не переходить к развёртке. Интуиция говорит «путь по спирали», а на самом деле нужно развернуть поверхность и найти прямую на прямоугольнике. Без развёртки задача не решается.

5. Брать неверный радиус описанной/вписанной окружности. Для правильного треугольника $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ (описанная), для квадрата $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Эти значения нужно знать — выводить на экзамене долго.

Связь с другими темами

• Пирамида — смежная объёмная фигура. Как конус относится к пирамиде, так цилиндр относится к призме. Формула объёма в обоих случаях — $S_{\text{осн}}\cdot h$.
• Конус — связан с цилиндром соотношением объёмов $V_{\text{конус}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{цил}}$ при одинаковых радиусе и высоте. Если конус вписан в цилиндр (та же ось, то же основание), объём незанятого пространства составляет $\frac{2}{3}$ объёма цилиндра.
• Теорема Пифагора — нужна для задач на кратчайший путь по поверхности цилиндра и для нахождения диагонали осевого сечения.
• Правильный многоугольник — для задач «призма вписана в цилиндр» нужны формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного треугольника, квадрата и шестиугольника.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 (стереометрия, часть 1) — прямое применение формул объёма и поверхности. 1 балл.
• Задание 15 (стереометрия, часть 2; в 2026 году №14) — цилиндр как часть составной конфигурации: вписанные или описанные тела, сечения.

Проверено: 2026-10-08.