Цилиндр — объём, площадь поверхности и задачи ЕГЭ

Цилиндр — самая простая фигура вращения на ЕГЭ: один радиус, одна высота, две формулы для объёма и поверхности. Но даже здесь находят способ ошибиться — чаще всего в площади, где путают боковую и полную. Разберём все формулы на трёх задачах.

Что такое цилиндр

Цилиндр (круговой цилиндр) — тело вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Если прямоугольник со сторонами $r$ и $h$ вращать вокруг стороны $h$, то:

• сторона $r$, противоположная оси вращения, опишет круг радиуса $r$ — это верхнее основание;
• сама сторона $h$ (ось вращения) — другой круг радиуса $r$ — нижнее основание;
• свободные стороны $r$ опишут две окружности радиуса $r$.

Получается фигура с двумя параллельными кругами-основаниями одного радиуса и гладкой боковой поверхностью.

Элементы цилиндра

• Основания — два равных параллельных круга, расположенных в параллельных плоскостях.
• Радиус $r$ — радиус основания.
• Высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований.
• Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований.
• Образующая — отрезок между соответствующими точками окружностей оснований, параллельный оси.

В прямом круговом цилиндре ось перпендикулярна основаниям, и образующая равна высоте: $l = h$. На ЕГЭ почти всегда работают именно с прямым цилиндром.

Объём цилиндра

$V = \pi r^2 \cdot h$

Формула — произведение площади круга-основания на высоту. По структуре совпадает с формулой объёма призмы $V = S_{осн} \cdot h$; цилиндр — «призма с круговым основанием».

Расшифровка:

• $\pi r^2$ — площадь круга-основания;
• $h$ — высота цилиндра;
• произведение — объём.

Боковая поверхность

Если развернуть боковую поверхность цилиндра на плоскость, получится прямоугольник. Одна его сторона — высота $h$, вторая — длина окружности основания $2\pi r$. Значит:

$S_{бок} = 2\pi r \cdot h$

Развёртка боковой поверхности — ключ к пониманию многих задач. Если в задаче говорят, что боковая поверхность развёрнута в квадрат, значит $2\pi r = h$.

Полная поверхность

Полная поверхность включает боковую и два круга-основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h)$

Формула проще запоминается как «$2\pi r$ умножить на $(r + h)$».

Сечения цилиндра

Осевое сечение. Сечение плоскостью, проходящей через ось. Это прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$ (высота). Площадь осевого сечения $= 2rh$.

Осевое сечение часто фигурирует в задачах в таком виде: «осевое сечение цилиндра — квадрат» или «осевое сечение — прямоугольник с диагональю 13». В первом случае $2r = h$ (ширина прямоугольника равна высоте). Во втором — по теореме Пифагора: $\sqrt{(2r)^2 + h^2} = 13$.

Параллельное основанию. Любое сечение плоскостью, параллельной основаниям, — круг радиуса $r$. Все такие сечения равны — это отличает цилиндр от конуса, где такие сечения уменьшаются при движении к вершине.

Параллельное оси (плоскость проходит через ось или рядом с осью). Если плоскость содержит ось — получается осевое сечение (прямоугольник $2r \times h$). Если плоскость параллельна оси, но не содержит её, то сечение — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте $h$, а вторая — хорде основания.

Хорда на расстоянии $d$ от оси ($0 \le d < r$) вычисляется так: в окружности радиуса $r$ хорда на расстоянии $d$ от центра имеет длину

$b = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

Значит прямоугольное сечение такой плоскостью имеет размеры $2\sqrt{r^2 - d^2} \times h$.

Касательная плоскость. Плоскость, касающаяся боковой поверхности, пересекает её по одной прямой — образующей. Такая плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Развёртка цилиндра

Полная развёртка состоит из трёх фигур:

1. Прямоугольник боковой поверхности: $2\pi r \times h$.
2. Круг верхнего основания: радиус $r$.
3. Круг нижнего основания: радиус $r$.

Два круга приклеиваются к прямоугольнику по сторонам длиной $2\pi r$. При развёртывании прямоугольник получает размеры, пропорциональные периметру основания.

Кратчайший путь по поверхности цилиндра

Развёртка открывает неочевидную задачу — классика задания 14: «Муравей ползёт по поверхности цилиндра из точки A на нижнем основании в точку B на верхнем основании, двигаясь по кратчайшему пути. Найди длину пути».

Суть в том, что кратчайший путь по поверхности — это прямая на развёртке. Развернём боковую поверхность в прямоугольник $2\pi r \times h$. Если точки A и B расположены с диаметрально противоположных сторон цилиндра, то при развёртывании расстояние по горизонтали между ними составляет $\pi r$ (полуокружность). Кратчайший путь — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\pi r$ и $h$:

$d = \sqrt{(\pi r)^2 + h^2}$

В общем случае, если точки разделены углом $\alpha$ (в радианах) при взгляде сверху, горизонтальное расстояние на развёртке будет $\alpha \cdot r$, и кратчайший путь:

$d = \sqrt{(\alpha r)^2 + h^2}$

Пример. Цилиндр с $r = 3$ и $h = 4$. Муравей ползёт от нижней точки к диаметрально противоположной верхней. Найди длину пути.

При развёртывании горизонтальное расстояние $= \pi r = 3\pi$. По Пифагору:

$d = \sqrt{(3\pi)^2 + 4^2} = \sqrt{9\pi^2 + 16}$

Ответ: $d = \sqrt{9\pi^2 + 16}$.

Вписанный и описанный цилиндр

Цилиндр, вписанный в прямую призму: радиус цилиндра равен радиусу вписанной окружности основания призмы ($r = r_{\text{вп}}$), высота совпадает с высотой призмы.

Цилиндр, описанный около прямой призмы: радиус цилиндра равен радиусу описанной окружности основания призмы ($r = r_{\text{оп}}$), высота совпадает с высотой призмы.

Запомни несколько частых случаев:

• Правильный треугольник со стороной $a$: описанная окружность имеет радиус $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$, вписанная $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$. Отношение $R/r = 2$.

• Правильный квадрат со стороной $a$: описанная окружность $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, вписанная $r = \dfrac{a}{2}$. Отношение $R/r = \sqrt{2}$.

• Правильный шестиугольник со стороной $a$: описанная $R = a$, вписанная $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Практически: если в задаче есть «цилиндр описан около правильной треугольной призмы с ребром $a$», ищи радиус описанной окружности правильного треугольника — это и есть радиус цилиндра.

Пример. Прямой цилиндр описан около правильной четырёхугольной призмы (куба) с ребром 6. Найди объём цилиндра.

Основание куба — квадрат со стороной 6. Описанная окружность квадрата: $R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

Высота цилиндра равна высоте куба: $h = 6$.

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 18 \cdot 6 = 108\pi$

Разбор примеров

Цилиндр — одна из немногих стереометрических фигур, где задание 3 решается буквально в одну строку. Но задание 14 компенсирует это — там цилиндр обычно встроен в составную задачу: описан около призмы, вписан в шар или является контейнером для другого тела. Поэтому три примера ниже сознательно идут от «подставь в формулу» до «переведи задачу на язык развёртки». Последнее — самый нетривиальный навык.

Пример 1 (уровень А). Радиус основания цилиндра равен 3, высота 5. Найди объём.

Решение. По формуле:

$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi$

Ответ: $V = 45\pi$.

Типичная ошибка. Написать $V = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$, забыв возвести радиус в квадрат.

Пример 2 (уровень Б). Развёртка боковой поверхности цилиндра — квадрат со стороной 10. Найди объём цилиндра.

Решение. Развёртка — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$. Раз развёртка — квадрат со стороной 10, значит:

$2\pi r = 10 \quad \text{и} \quad h = 10$

Из первого равенства: $r = \frac{5}{\pi}$.

Объём:

$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 10 = \frac{250}{\pi}$

Ответ: $V = \dfrac{250}{\pi}$.

Типичная ошибка. Принять сторону квадрата за радиус. $2\pi r = 10$ — это длина окружности, а не радиус.

Пример 3 (уровень В). В цилиндр радиуса $R = 6$ и высоты $H = 10$ вписана правильная треугольная призма. Найди отношение объёма призмы к объёму цилиндра.

Решение. Правильная треугольная призма вписана в цилиндр — значит её вершины лежат на окружностях оснований цилиндра, а рёбра параллельны оси. Основание призмы — правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$: $a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$:

$S_{призм} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$

Объём призмы: $V_{призм} = 27\sqrt{3} \cdot 10 = 270\sqrt{3}$.

Объём цилиндра: $V_{цил} = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi$.

Отношение:

$\frac{V_{призм}}{V_{цил}} = \frac{270\sqrt{3}}{360\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Типичная ошибка. Считать, что сторона вписанного треугольника равна радиусу. На самом деле связь $a = R\sqrt{3}$ для правильного треугольника в описанной окружности.

Как готовиться к задачам с цилиндром

На задании 3 ЕГЭ обычно дают $r$ и $h$ напрямую и просят найти объём или поверхность — это чистое подстановка в формулу. Ошибаются здесь в основном из-за невнимательности: диаметр vs радиус, боковая vs полная поверхность.

На задании 14 цилиндр появляется как контейнер. Классические сценарии:

1. Цилиндр описан около призмы (или вписан в призму) — нужно найти радиус через вписанную/описанную окружность основания.
2. В цилиндр вписан конус (та же ось, основание конуса совпадает с одним основанием цилиндра, вершина касается другого) — радиусы совпадают, высоты совпадают, объём конуса в 3 раза меньше.
3. Кратчайший путь по поверхности — развернуть, применить Пифагора.
4. Сфера внутри цилиндра — шар вписан в цилиндр если $r_{\text{шара}} = r_{\text{цил}}$ и $2r_{\text{шара}} = h$ (диаметр шара равен высоте цилиндра).

Для каждого из этих сценариев полезно нарисовать осевое сечение — прямоугольник, в котором часто видна вся геометрия задачи.

Типичные ошибки

1. Путать боковую и полную поверхность. Боковая — только прямоугольник развёртки ($2\pi r h$). Полная — плюс два круга-основания ($+2\pi r^2$). Если условие говорит «найди площадь поверхности» без уточнения — обычно имеется в виду полная.

2. Забывать коэффициент 2 в длине окружности. Площадь круга $\pi r^2$, но длина окружности $2\pi r$. В развёртке используется именно $2\pi r$ (длина стороны прямоугольника). Написал $\pi r$ — посчитал площадь полукруга, а не длину.

3. Считать диаметр вместо радиуса. Диаметр $d = 2r$. Если в условии дан диаметр — подели пополам, прежде чем подставлять в формулу. Особенно часто ошибаются, когда «осевое сечение — прямоугольник $6 \times 10$»: $6 = 2r$, значит $r = 3$, а не 6.

4. В задаче про кратчайший путь не переходить к развёртке. Интуиция говорит «путь по спирали», а на самом деле нужно развернуть поверхность и найти прямую на прямоугольнике. Без развёртки задача не решается.

5. Брать неверный радиус описанной/вписанной окружности. Для правильного треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (описанная), для квадрата $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Эти значения нужно знать — выводить на экзамене долго.

Связь с другими темами

• Пирамида — смежная объёмная фигура. Как конус относится к пирамиде, так цилиндр относится к призме. Формула объёма в обоих случаях — $S_{\text{осн}} \cdot h$.
• Конус — связан с цилиндром соотношением объёмов $V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} V_{\text{цил}}$ при одинаковых радиусе и высоте. Если конус вписан в цилиндр (та же ось, то же основание), объём незанятого пространства составляет $\frac{2}{3}$ объёма цилиндра.
• Теорема Пифагора — нужна для задач на кратчайший путь по поверхности цилиндра и для нахождения диагонали осевого сечения.
• Вписанные многоугольники — для задач типа «призма вписана в цилиндр» нужно знать формулы радиусов описанных и вписанных окружностей правильных многоугольников. Правильный треугольник, квадрат, шестиугольник — три самых частых случая на ЕГЭ.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 (стереометрия базовая) — прямое применение формул объёма и поверхности. 1 балл.
• Задание 14 (стереометрия повышенного уровня) — цилиндр встречается как контейнер для вписанных или описанных тел, или в связи с сечениями.