Призма — формулы объёма, площади поверхности, разборы задания 3 и 14

Призма — самый частый объект в задании 1 ЕГЭ по профильной математике. В задании 5 она появляется уже в развёрнутых вычислениях. Два параметра, которые нужно уметь считать: объём (одна формула для всех видов призм) и площадь поверхности (формула разбивается на две части). Разберём оба параметра от определения до типичных ошибок.

Что такое призма

Призма — многогранник, у которого два основания: это два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Боковые грани — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований.

Основные элементы призмы:

• Основания — два равных параллельных многоугольника (треугольники, четырёхугольники, шестиугольники и любые другие);
• Боковые грани — параллелограммы, соединяющие основания;
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие соответствующие вершины двух оснований;
• Высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.

Призма называется $n$-угольной, если в основании лежит $n$-угольник. Чаще всего на ЕГЭ встречаются треугольная ($n=3$), четырёхугольная ($n=4$) и шестиугольная ($n=6$).

Виды призм

Прямая призма

Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следствие: высота призмы равна длине бокового ребра.

В прямой призме боковые грани — прямоугольники.

Наклонная призма

Наклонная призма — боковые рёбра наклонены к основаниям. Боковое ребро и высота при этом не совпадают: высота — это перпендикуляр между плоскостями оснований, а боковое ребро — наклонный отрезок.

На ЕГЭ наклонная призма встречается реже, но путаница «высота = боковое ребро» при решении — типичная ошибка.

Правильная призма

Правильная призма — прямая призма с правильным многоугольником в основании. Все боковые грани — равные прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед с квадратными основаниями — правильная четырёхугольная призма. Куб — его частный случай.

Является ли прямоугольный параллелепипед правильной призмой?

Объём призмы

Для всех видов призм — прямой, наклонной, правильной — формула одна:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h$

Где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания (любого из двух, они равны);
• $h$ — высота призмы, то есть перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.

Для прямой призмы $h$ совпадает с длиной бокового ребра. Удобно: чтобы найти объём, достаточно знать основание и длину бокового ребра.

Для наклонной призмы $h$ — это именно перпендикуляр, а не длина бокового ребра. Если дана только длина бокового ребра и угол его наклона, нужно сначала найти высоту через тригонометрию.

Объём призмы — площадь основания, умноженная на высоту. Та же логика, что у цилиндра: $V = S \cdot h$. Формула не меняется от формы основания.

Призма с основанием-треугольником площадью $12$ и высотой $5$. Чему равен объём?

Площадь поверхности призмы

Площадь полной поверхности складывается из боковой поверхности и двух оснований:

$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2\,S_{\text{осн}}$

Боковая поверхность прямой призмы

Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник: ширина равна стороне основания, высота равна высоте призмы. Сложив все такие прямоугольники, получаем:

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$

Где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $h$ — высота призмы.

Боковая поверхность наклонной призмы (справочно)

Для наклонной призмы удобнее использовать формулу через перпендикулярное сечение:

$S_{\text{бок}} = P_{\perp} \cdot l$

Где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения (плоскости, перпендикулярной боковым рёбрам), $l$ — длина бокового ребра. На ЕГЭ наклонная призма с вычислением этой формулы встречается редко — основная формула для прямой призмы важнее.

Прямая треугольная призма, основание — равносторонний треугольник со стороной $4$, высота призмы $7$. Найди площадь боковой поверхности.

Прямоугольный параллелепипед и куб

Прямоугольный параллелепипед — прямая четырёхугольная призма с прямоугольным основанием. Рёбра обозначают $a$, $b$, $c$.

Объём:

$V = abc$

Это частный случай $V = S_{\text{осн}} \cdot h = (ab) \cdot c$.

Полная поверхность — сумма шести прямоугольных граней:

$S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ca)$

Расшифровка: три пары граней. Грани $ab$ — это верхнее и нижнее основания, грани $bc$ — передняя и задняя, грани $ca$ — левая и правая.

Куб — частный случай параллелепипеда с $a = b = c$:

$V_{\text{куб}} = a^3, \quad S_{\text{полн}} = 6a^2$

Куб с ребром $a = 2$. Найди объём и полную поверхность.

Правильная треугольная и шестиугольная призмы

В задании 3 и 14 ЕГЭ часто встречаются правильные призмы с треугольным или шестиугольным основанием. Для них нужно знать площади оснований.

Правильный треугольник со стороной $a$

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Например, при $a = 4$: $S = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

Правильный шестиугольник со стороной $a$

Правильный шестиугольник делится на 6 правильных равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь каждого: $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Итого:

$S_{\text{6-уг}} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Правильный шестиугольник = 6 одинаковых треугольников. Не путай со стороной правильного треугольника со стороной $a$: его площадь в 6 раз меньше.

Правильный шестиугольник со стороной $1$. Чему равна его площадь?

Ответ: $S_{\text{полн}} = 54$.

Типичная ошибка. Считать $6a$ вместо $6a^2$, то есть получить $6 \cdot 3 = 18$. Площадь каждой из шести граней — $a^2$, а не $a$.

Пример 3 (уровень В, faded — два шага свёрнуты). Найди объём правильной шестиугольной призмы со стороной основания $a = 2$ и высотой $h = 5$.

Решение.

Шаг 1. Найди площадь правильного шестиугольника со стороной $2$. Вспомни, из скольких треугольников он состоит и какова площадь каждого. Попробуй посчитать $S_{\text{осн}}$ самостоятельно.

Шаг 2. Используя найденную $S_{\text{осн}}$ и высоту $h = 5$, найди объём призмы.

Ответ: $V = 30\sqrt{3}$.

Типичная ошибка. Использовать формулу площади равностороннего треугольника $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ для всего шестиугольника напрямую — без умножения на 6. Тогда получится $\sqrt{3}$ вместо $6\sqrt{3}$, а объём окажется в шесть раз меньше правильного.

Типичные ошибки

1. Брать длину бокового ребра вместо высоты в наклонной призме. Высота — перпендикуляр между плоскостями оснований. В наклонной призме ребро наклонено, оно длиннее высоты. Подстановка ребра вместо высоты завышает объём.

2. Путать полную и боковую поверхность. Боковая — только «стенки», без оснований. Полная — боковая плюс два основания. Перед записью формулы прочитай вопрос ещё раз: «боковая» или «полная».

3. Ошибка в площади правильного шестиугольника. Частая ошибка — писать $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (это площадь одного треугольника, а не шестиугольника). Нужно умножать на 6.

4. Неверная формула периметра основания. Для треугольной призмы $P = 3a$ (если треугольник правильный), для шестиугольной $P = 6a$. Если основание — произвольный многоугольник, суммируй все стороны вручную.

5. Забывать коэффициент $2$ в полной поверхности. $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$, а не $S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$. Оснований два, и оба входят в полную поверхность.

Связь с другими темами

Призма тесно связана с соседними телами вращения и многогранниками.

• Пирамида: объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой ($V_{\text{пир}} = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$). Если умеешь считать призму, пирамида — один дополнительный шаг.
• Цилиндр: объём цилиндра $V = \pi r^2 h$ — та же логика «площадь основания на высоту». Радиус в формуле площади круга вместо формулы многоугольника.
• Конус: так же, как пирамида и призма, конус и цилиндр связаны коэффициентом $1/3$.

Понимание этих связей помогает не зубрить три отдельных формулы, а выводить их из одной логики.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 1 (базовое, 1 балл) — стереометрическая задача с вычислением. Обычно: найти объём или площадь поверхности по готовым размерам. Призма появляется здесь чаще любого другого тела — особенно прямоугольный параллелепипед и куб. Задача решается прямой подстановкой в формулу. Подробнее: задание 1 ЕГЭ профильная математика.

Задание 5 (повышенный уровень, до 2 баллов) — геометрия с доказательствами или несколькими шагами вычислений. Здесь призма может выступать как основная фигура или как часть составного тела. Может потребоваться найти высоту через теорему Пифагора или задействовать площадь сечения. Подробнее: задание 5 ЕГЭ профильная математика.

Разбор примеров

Применяем faded worked examples: первый пример разобран полностью, во втором один шаг свёрнут, третий — skeleton с двумя prompts.

Пример 1 (уровень А, fully worked). Найди объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$.

Решение. Прямоугольный параллелепипед — частный случай прямой призмы. Объём по формуле $V = abc$:

$V = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$

Ответ: $V = 120$.

Типичная ошибка. Считать площадь поверхности вместо объёма: $S = 2(4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2(20 + 30 + 24) = 148 \ne 120$. Перед подстановкой убедись, что вопрос про объём, а не про поверхность.

Пример 2 (уровень Б, faded — один шаг свёрнут). Найди площадь полной поверхности куба с ребром $a = 3$.

Решение. У куба все рёбра равны: $a = b = c = 3$. Полная поверхность куба:

$S_{\text{полн}} = 6a^2$

Попробуй сам подставить $a = 3$ и вычислить результат. Сколько получается?