Что такое правильный тетраэдр?

Тетраэдр, все грани которого — равные равносторонние треугольники. Это один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Все рёбра одинаковой длины.

Какова формула объёма правильного тетраэдра?

$V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$, где $a$ — длина ребра. Получается из общей формулы $V = \dfrac{1}{3} S_{ ext{осн}} \cdot h$ через площадь основания $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ и высоту $h = a \sqrt{2/3}$.

Какова площадь поверхности правильного тетраэдра?

$S = a^2 \sqrt{3}$. Это сумма площадей четырёх равных равносторонних треугольников: $4 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}$.

Где находится центр правильного тетраэдра?

В точке пересечения медиан основания (центре правильного треугольника), причём высота, опущенная из вершины тетраэдра, попадает именно в эту точку. Высота: $h = a \sqrt{2/3}$.

Чем тетраэдр отличается от пирамиды?

Тетраэдр — это треугольная пирамида (основание — треугольник). Пирамида в общем случае может быть с любым многоугольным основанием (треугольным, четырёхугольным, шестиугольным и т.д.).

Тетраэдр: свойства, формулы объёма и площади поверхности

Q: Что такое тетраэдр?

Простейший многогранник из 4 треугольных граней, 4 вершин и 6 рёбер. Является треугольной пирамидой. У произвольного тетраэдра грани — разные треугольники; у правильного — равные равносторонние.

Тетраэдр — простейший многогранник из всех возможных. Четыре вершины, шесть рёбер, четыре треугольные грани — собрать меньше уже не получится. На ЕГЭ профиль тетраэдр появляется в задании 3 (объёмы) и задании 14 (углы, расстояния, сечения). Разберём ключевые формулы и приёмы решения.

Что такое тетраэдр

Тетраэдр (от греч. «четырёхгранник») — многогранник с 4 гранями, 4 вершинами, 6 рёбрами. Каждая грань — треугольник. Это самая простая фигура в стереометрии: меньше четырёх граней просто невозможно для замкнутой пространственной фигуры.

По сути, тетраэдр — это треугольная пирамида. Каждая из четырёх граней может быть выбрана за основание, и оставшаяся вершина становится «вершиной пирамиды».

Виды тетраэдров

Произвольный тетраэдр — все грани разные треугольники, никаких ограничений.

Равногранный тетраэдр — все четыре грани равны (но не обязательно равносторонние).

Прямоугольный тетраэдр — три ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

Правильный тетраэдр — все четыре грани равны и являются равносторонними треугольниками. Все рёбра равной длины.

В ЕГЭ профиль чаще всего встречаются произвольный (в задании 14) и правильный (в задании 3 и 14). Дальше сосредоточимся на правильном.

Правильный тетраэдр

Все 6 рёбер равны $a$ . Все 4 грани — равносторонние треугольники со стороной $a$ . Это один из пяти платоновых тел — правильных многогранников.

Высота правильного тетраэдра

Пусть $h$ — высота тетраэдра (расстояние от вершины $A$ до плоскости основания $BCD$ ). Опустим перпендикуляр $AO$ в плоскость основания. Точка $O$ — это центр правильного треугольника $BCD$ (точка пересечения медиан, она же точка пересечения серединных перпендикуляров).

Расстояние от центра правильного треугольника со стороной $a$ до его вершины — это $\dfrac{2}{3}$ медианы:

OB = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}

В прямоугольном треугольнике $AOB$ : гипотенуза $AB = a$ (ребро), катет $OB = a/\sqrt{3}$ , катет $AO = h$ .

По теореме Пифагора:

h^2 = AB^2 - OB^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}

h = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}

Объём правильного тетраэдра

Площадь основания (равносторонний треугольник): $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .

Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$ .

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}

Формула:

V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}

Площадь поверхности

Полная поверхность — 4 равносторонних треугольника, каждый площадью $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ :

S_{пов} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}

Апофема

Апофема правильного тетраэдра — это высота боковой грани, опущенная из вершины боковой грани на противоположное ребро. Поскольку грани — равносторонние треугольники со стороной $a$ :

m = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Пример 1: объём по ребру

Условие. Правильный тетраэдр имеет ребро 6. Найди его объём.

Решение. $V = \dfrac{6^3 \sqrt{2}}{12} = \dfrac{216 \sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}46$ .

Ответ: $18\sqrt{2}$ .

Пример 2: ребро по объёму

Условие. Объём правильного тетраэдра равен $\sqrt{2}/12$ . Найди длину ребра.

Решение. Из $V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$ :

\frac{a^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12} \Rightarrow a^3 = 1 \Rightarrow a = 1

Ответ: $a = 1$ .

Пример 3: высота тетраэдра

Условие. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 3.

Решение. $h = \dfrac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ .

Ответ: $\sqrt{6}$ .

Пример 4: расстояние от вершины до плоскости через объём

Условие. В тетраэдре $ABCD$ объём равен 18, площадь треугольника $ABC$ равна 9. Найти расстояние от $D$ до плоскости $ABC$ .

Решение. Расстояние от вершины до плоскости основания — это высота, если основание = $ABC$ .

$V = \dfrac{1}{3} S \cdot h \Rightarrow 18 = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot h \Rightarrow h = 6$ .

Ответ: $h = 6$ .

Этот приём («одна формула, четыре грани могут быть основанием») — один из самых полезных в задании 14.

Пример 5: угол между ребром и плоскостью основания

Условие. В правильном тетраэдре с ребром $a$ найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Решение. Угол между ребром $AB$ и плоскостью основания $BCD$ — это угол $\angle ABO$ , где $O$ — проекция $A$ на плоскость основания.

Из прямоугольного $\triangle AOB$ : $\cos(\angle ABO) = \dfrac{OB}{AB} = \dfrac{a/\sqrt{3}}{a} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .

\angle ABO = \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 54{,}74°

Ответ: $\arccos(1/\sqrt{3})$ .

Это угол между ребром правильного тетраэдра и любой смежной гранью. Полезный факт для задания 14.

Пример 6: угол между гранями (двугранный)

Условие. Найти двугранный угол между двумя соседними гранями правильного тетраэдра.

Решение. Возьмём грани $ABC$ и $ABD$ , их общее ребро $AB$ . Опустим из вершины $C$ и $D$ перпендикуляры на $AB$ — попадут в середину $M$ (так как $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ — равносторонние).

$CM = DM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (медиана = высота равностороннего). $CD = a$ (ребро тетраэдра).

В $\triangle CMD$ : по теореме косинусов

CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)

a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos \angle CMD

a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cos \angle CMD

\cos \angle CMD = \frac{3a^2/2 - a^2}{3a^2/2} = \frac{1}{3}

\angle CMD = \arccos \frac{1}{3} \approx 70{,}53°

Ответ: $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$ .

Этот угол одинаков для любой пары соседних граней правильного тетраэдра.

Связь с другими телами

Куб содержит правильный тетраэдр: можно соединить четыре несоседние вершины куба и получить правильный тетраэдр со стороной $a\sqrt{2}$ , где $a$ — ребро куба. Объём такого тетраэдра — $1/3$ объёма куба.

Октаэдр имеет ту же симметрию, что и куб. Тетраэдр — другая категория симметрии.

В сложных задачах задания 14 иногда тетраэдр «вырастает» из других фигур — нужно увидеть это.

Частые ошибки

Ошибка 1: используют формулу для куба или другого тела. Правильный тетраэдр ≠ куб. $V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$ , не $a^3$ .

Ошибка 2: считают высоту как ребро. Высота правильного тетраэдра $\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}816 a$ , меньше ребра.

Ошибка 3: апофема vs высота тетраэдра. Апофема — высота боковой грани (плоский отрезок $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ). Высота тетраэдра — пространственный отрезок от вершины до плоскости основания ( $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ ). Это разные величины!

Ошибка 4: при решении забывают, что у правильного тетраэдра все 6 рёбер равны. Если в задаче «правильный тетраэдр со стороной 4», все рёбра равны 4, не только основания.

Когда тетраэдр в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

Задание 3: «Найти объём тетраэдра» — иногда правильный, иногда произвольный (тогда нужны конкретные размеры).
Задание 14: «Найти угол / расстояние / сечение» в сложной комбинации тетраэдра с плоскостью.

Знание формул правильного тетраэдра — обязательный минимум для №3.

Прокачай задания 3 и 14 ЕГЭ — стереометрия с пошаговым разбором по 7 принципам решения. Адаптивная траектория Сот сама подстроится под уровень.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Тетраэдр — простейший многогранник: 4 грани (треугольные), 4 вершины, 6 рёбер.
Правильный тетраэдр: все рёбра равны $a$ , грани — равносторонние треугольники.
Объём: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$ .
Площадь поверхности: $S = a^2 \sqrt{3}$ .
Высота: $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ .
Апофема: $m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Любая грань может быть основанием — этим пользуются в задаче 14 «расстояние от вершины до плоскости».
Двугранный угол между соседними гранями: $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$ .

Тетраэдр: свойства и формулы для ЕГЭ