Какова формула площади боковой поверхности правильной пирамиды?

$S_{ ext{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{ ext{осн}} \cdot l$, где $P_{ ext{осн}}$ — периметр основания, $l$ — апофема (высота боковой грани). Это сумма площадей всех боковых граней-треугольников.

Чему равна полная поверхность пирамиды?

$S_{ ext{полн}} = S_{ ext{бок}} + S_{ ext{осн}}$. Сумма боковой поверхности и площади основания. Если в задаче «площадь поверхности» без уточнения — обычно имеется в виду полная.

Откуда берётся $1/2$ в формуле?

Каждая боковая грань — треугольник с основанием = сторона многоугольника и высотой = апофема $l$. Площадь треугольника = $\dfrac{1}{2} \cdot$ основание $\cdot$ высота. Сумма по всем граням: $\dfrac{1}{2} \cdot \sum a_i \cdot l = \dfrac{1}{2} P l$.

Как считать боковую поверхность непрвильной пирамиды?

Сумма площадей боковых граней по отдельности. Каждая грань — треугольник с известными сторонами. Используй формулы Герона или классическую $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$.

Что такое апофема и где её взять?

Апофема — высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. У правильной пирамиды все апофемы равны. Связь: $l^2 = h^2 + r^2$, где $h$ — высота пирамиды, $r$ — радиус вписанной в основание окружности.

Какая разница между апофемой и боковым ребром?

Апофема ($l$) лежит в плоскости боковой грани и идёт до **середины** стороны основания. Боковое ребро ($b$) — отрезок до **вершины** основания. Эти величины разные: всегда $b > l$ (для непрямоугольных боковых граней).

Площадь поверхности пирамиды: формула и примеры

В задании 3 ЕГЭ часто просят найти площадь поверхности пирамиды. Если пирамида правильная — формула простая: пол-периметра умножить на апофему. Если произвольная — придётся считать каждую боковую грань отдельно. Разберём обе ситуации.

Боковая поверхность правильной пирамиды

Самая важная формула:

S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания (сумма длин всех сторон), $l$ — апофема (высота боковой грани, из вершины пирамиды на сторону).

Логика: правильная пирамида имеет все боковые грани одинаковыми равнобедренными треугольниками. Каждая грань — треугольник с основанием = сторона многоугольника $a_i$ и высотой = апофема $l$ . Площадь грани: $\dfrac{1}{2} a_i l$ . Сумма по всем граням: $\dfrac{1}{2} l \sum a_i = \dfrac{1}{2} l P_{\text{осн}}$ .

Полная поверхность

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}

Просто сложение боковой поверхности и площади основания. В задании 3 чаще всего спрашивают именно полную поверхность, реже — только боковую.

Пример 1: правильная четырёхугольная

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, апофема 5. Найди боковую и полную поверхности.

Решение. Периметр основания: $P = 4 \cdot 6 = 24$ .

Боковая: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Площадь основания: $S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$ .

Полная: $S_{\text{полн}} = 60 + 36 = 96$ .

Ответы: $S_{\text{бок}} = 60$ , $S_{\text{полн}} = 96$ .

Пример 2: треугольная

Условие. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 4, апофема 3. Найди полную поверхность.

Решение. Периметр: $P = 12$ .

Боковая: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$ .

Основание: $S_{\text{осн}} = \dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ .

Полная: $S_{\text{полн}} = 18 + 4\sqrt{3} \approx 24{,}93$ .

Ответ: $18 + 4\sqrt{3}$ .

Пример 3: апофема через высоту

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Найди боковую поверхность.

Решение. Сначала найдём апофему. Радиус вписанной в квадрат: $r = a/2 = 3$ .

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-середина стороны):

l^2 = h^2 + r^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow l = 5

Боковая: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Ответ: $60$ .

Пример 4: апофема через ребро

Условие. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 4, боковое ребро 5. Найди апофему.

Решение. Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 5 и основанием 4. Апофема — высота этого треугольника, опущенная на основание.

По теореме Пифагора:

l^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 \Rightarrow l = \sqrt{21}

Ответ: $l = \sqrt{21}$ .

Пример 5: шестиугольная

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 2, высота $\sqrt{3}$ . Найди полную поверхность.

Решение. Радиус вписанной окружности шестиугольника: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ .

Апофема пирамиды: $l^2 = h^2 + r^2 = 3 + 3 = 6 \Rightarrow l = \sqrt{6}$ .

Боковая: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$ .

Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \dfrac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .

Полная: $S_{\text{полн}} = 6\sqrt{6} + 6\sqrt{3}$ .

Ответ: $6\sqrt{6} + 6\sqrt{3}$ .

Пример 6: непрвильная пирамида (через грани)

Условие. Пирамида $SABCD$ с прямоугольным основанием $ABCD$ , $AB = 6$ , $BC = 8$ . Высота $SO$ опущена в центр прямоугольника. $SO = 12$ . Найди боковую поверхность.

Решение. Это не правильная пирамида (основание прямоугольник, не квадрат). Боковые грани разные:

$\triangle SAB$ и $\triangle SCD$ : основание 6.
$\triangle SBC$ и $\triangle SAD$ : основание 8.

Апофемы попарно равны (центр прямоугольника одинаково удалён от пар противоположных сторон).

Расстояние от центра до сторон длиной 6: $r_1 = 4$ (половина другой стороны). Расстояние до сторон длиной 8: $r_2 = 3$ .

Апофема к сторонам по 6: $l_1^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160 \Rightarrow l_1 = 4\sqrt{10}$ . Апофема к сторонам по 8: $l_2^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153 \Rightarrow l_2 = 3\sqrt{17}$ .

Площадь $\triangle SAB = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{10} = 12\sqrt{10}$ . Площадь $\triangle SBC = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{17} = 12\sqrt{17}$ .

Боковая поверхность (по две грани каждого типа):

S_{\text{бок}} = 2 \cdot 12\sqrt{10} + 2 \cdot 12\sqrt{17} = 24\sqrt{10} + 24\sqrt{17}

Ответ: $24\sqrt{10} + 24\sqrt{17}$ .

Алгоритм решения

Определи тип пирамиды (правильная / произвольная).
Если правильная:
- Если есть апофема — сразу $\dfrac{1}{2} P l$ .
- Если есть высота — найди апофему через $l^2 = h^2 + r^2$ .
- Если есть ребро — апофема через теорему Пифагора в боковой грани.
Если произвольная — посчитай каждую грань отдельно.
Для полной поверхности — добавь площадь основания.

Связи апофемы с другими элементами

В правильной $n$ -угольной пирамиде:

С высотой пирамиды и радиусом вписанной: $l^2 = h^2 + r^2$ .
С боковым ребром и половиной стороны: $l^2 = b^2 - (a/2)^2$ .

Эти две формулы покрывают почти все случаи нахождения апофемы.

Частые ошибки

Ошибка 1: путают апофему и боковое ребро. В формуле $\dfrac{1}{2} P l$ нужна именно апофема, не ребро. Подставка ребра вместо апофемы даёт завышенный результат.

Ошибка 2: считают полную поверхность как $\dfrac{1}{2} P l$ . Это только боковая. К ней нужно прибавить $S_{\text{осн}}$ .

Ошибка 3: применяют формулу $\dfrac{1}{2} P l$ к произвольной пирамиде. Формула работает только для правильной (где все апофемы равны). В произвольной — каждую грань считаем отдельно.

Ошибка 4: для треугольной пирамиды считают площадь основания как $\dfrac{1}{2} a h$ . Если это правильная (равносторонний треугольник), то $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .

Когда в ЕГЭ

В задании 3 ЕГЭ профиль площадь поверхности появляется:

«Найти полную поверхность правильной четырёхугольной пирамиды» — прямое применение $\dfrac{1}{2} P l + a^2$ .
«Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды».
Иногда вместо апофемы дают высоту или ребро — нужен дополнительный шаг.

Если правильность не указана явно — внимательно читай условие, возможно нужен подсчёт по граням.

Реши 30 задач №3 ЕГЭ на площадь поверхности пирамид и других тел. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам решения.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Боковая поверхность правильной пирамиды: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$ .
Полная: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$ .
Апофема ≠ боковое ребро. Апофема — до середины стороны, ребро — до вершины.
Связь апофемы с высотой пирамиды: $l^2 = h^2 + r^2$ , где $r$ — радиус вписанной в основание.
Для произвольной пирамиды формула $\dfrac{1}{2} P l$ не работает — считаем по граням.
Все площади граней — это $\dfrac{1}{2}$ × (основание грани) × (высота грани).

Площадь поверхности пирамиды