Какова формула площади боковой поверхности правильной пирамиды?

$S_{ ext{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{ ext{осн}} \cdot l$, где $P_{ ext{осн}}$ — периметр основания, $l$ — апофема (высота боковой грани). Это сумма площадей всех боковых граней-треугольников.

Чему равна полная поверхность пирамиды?

$S_{ ext{полн}} = S_{ ext{бок}} + S_{ ext{осн}}$. Сумма боковой поверхности и площади основания. Если в задаче «площадь поверхности» без уточнения — обычно имеется в виду полная.

Откуда берётся $1/2$ в формуле?

Каждая боковая грань — треугольник с основанием = сторона многоугольника и высотой = апофема $l$. Площадь треугольника = $\dfrac{1}{2} \cdot$ основание $\cdot$ высота. Сумма по всем граням: $\dfrac{1}{2} \cdot \sum a_i \cdot l = \dfrac{1}{2} P l$.

Как считать боковую поверхность непрвильной пирамиды?

Сумма площадей боковых граней по отдельности. Каждая грань — треугольник с известными сторонами. Используй формулы Герона или классическую $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$.

Что такое апофема и где её взять?

Апофема — высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. У правильной пирамиды все апофемы равны. Связь: $l^2 = h^2 + r^2$, где $h$ — высота пирамиды, $r$ — радиус вписанной в основание окружности.

Какая разница между апофемой и боковым ребром?

Апофема ($l$) лежит в плоскости боковой грани и идёт до **середины** стороны основания. Боковое ребро ($b$) — отрезок до **вершины** основания. Эти величины разные: всегда $b > l$ (для непрямоугольных боковых граней).

Площадь поверхности пирамиды: формула и примеры

В задании 3 ЕГЭ часто просят найти площадь поверхности пирамиды. Если пирамида правильная — формула простая: пол-периметра умножить на апофему. Если произвольная — придётся считать каждую боковую грань отдельно. Разберём обе ситуации.

Боковая поверхность правильной пирамиды

Самая важная формула:

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

где $P_{осн}$ — периметр основания (сумма длин всех сторон), $l$ — апофема (высота боковой грани, из вершины пирамиды на сторону).

Логика: правильная пирамида имеет все боковые грани одинаковыми равнобедренными треугольниками. Каждая грань — треугольник с основанием = сторона многоугольника $a_{i}$ и высотой = апофема $l$ . Площадь грани: $\frac{1}{2} a_{i} l$ . Сумма по всем граням: $\frac{1}{2} l \sum a_{i} = \frac{1}{2} l P_{осн}$ .

Полная поверхность

S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}

Просто сложение боковой поверхности и площади основания. В задании 3 чаще всего спрашивают именно полную поверхность, реже — только боковую.

Пример 1: правильная четырёхугольная

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, апофема 5. Найди боковую и полную поверхности.

Решение. Периметр основания: $P = 4 \cdot 6 = 24$ .

Боковая: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Площадь основания: $S_{осн} = 6^{2} = 36$ .

Полная: $S_{полн} = 60 + 36 = 96$ .

Ответы: $S_{бок} = 60$ , $S_{полн} = 96$ .

Пример 2: треугольная

Условие. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 4, апофема 3. Найди полную поверхность.

Решение. Периметр: $P = 12$ .

Боковая: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$ .

Основание: $S_{осн} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = 43 \approx 6, 93$ .

Полная: $S_{полн} = 18 + 43 \approx 24, 93$ .

Ответ: $18 + 43$ .

Пример 3: апофема через высоту

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Найди боковую поверхность.

Решение. Сначала найдём апофему. Радиус вписанной в квадрат: $r = a /2 = 3$ .

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-середина стороны):

l^{2} = h^{2} + r^{2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow l = 5

Боковая: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Ответ: $60$ .

Пример 4: апофема через ребро

Условие. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 4, боковое ребро 5. Найди апофему.

Решение. Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 5 и основанием 4. Апофема — высота этого треугольника, опущенная на основание.

По теореме Пифагора:

l^{2} = 5^{2} - 2^{2} = 25 - 4 = 21 \Rightarrow l = 21

Ответ: $l = 21$ .

Пример 5: шестиугольная

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 2, высота $3$ . Найди полную поверхность.

Решение. Радиус вписанной окружности шестиугольника: $r = \frac{a 3}{2} = 3$ .

Апофема пирамиды: $l^{2} = h^{2} + r^{2} = 3 + 3 = 6 \Rightarrow l = 6$ .

Боковая: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 66$ .

Площадь основания: $S_{осн} = \frac{3 \cdot 4 3}{2} = 63$ .

Полная: $S_{полн} = 66 + 63$ .

Ответ: $66 + 63$ .

Пример 6: непрвильная пирамида (через грани)

Условие. Пирамида $S A B C D$ с прямоугольным основанием $A B C D$ , $A B = 6$ , $B C = 8$ . Высота $S O$ опущена в центр прямоугольника. $S O = 12$ . Найди боковую поверхность.

Решение. Это не правильная пирамида (основание прямоугольник, не квадрат). Боковые грани разные:

$△ S A B$ и $△ S C D$ : основание 6.
$△ S B C$ и $△ S A D$ : основание 8.

Апофемы попарно равны (центр прямоугольника одинаково удалён от пар противоположных сторон).

Расстояние от центра до сторон длиной 6: $r_{1} = 4$ (половина другой стороны). Расстояние до сторон длиной 8: $r_{2} = 3$ .

Апофема к сторонам по 6: $l_{1}^{2} = 1 2^{2} + 4^{2} = 144 + 16 = 160 \Rightarrow l_{1} = 410$ . Апофема к сторонам по 8: $l_{2}^{2} = 1 2^{2} + 3^{2} = 144 + 9 = 153 \Rightarrow l_{2} = 317$ .

Площадь $△ S A B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 410 = 1210$ . Площадь $△ S B C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 317 = 1217$ .

Боковая поверхность (по две грани каждого типа):

S_{бок} = 2 \cdot 1210 + 2 \cdot 1217 = 2410 + 2417

Ответ: $2410 + 2417$ .

Алгоритм решения

Определи тип пирамиды (правильная / произвольная).
Если правильная:
- Если есть апофема — сразу $\frac{1}{2} P l$ .
- Если есть высота — найди апофему через $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ .
- Если есть ребро — апофема через теорему Пифагора в боковой грани.
Если произвольная — посчитай каждую грань отдельно.
Для полной поверхности — добавь площадь основания.

Связи апофемы с другими элементами

В правильной $n$ -угольной пирамиде:

С высотой пирамиды и радиусом вписанной: $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ .
С боковым ребром и половиной стороны: $l^{2} = b^{2} - (a /2)^{2}$ .

Эти две формулы покрывают почти все случаи нахождения апофемы.

Частые ошибки

Ошибка 1: путают апофему и боковое ребро. В формуле $\frac{1}{2} P l$ нужна именно апофема, не ребро. Подставка ребра вместо апофемы даёт завышенный результат.

Ошибка 2: считают полную поверхность как $\frac{1}{2} P l$ . Это только боковая. К ней нужно прибавить $S_{осн}$ .

Ошибка 3: применяют формулу $\frac{1}{2} P l$ к произвольной пирамиде. Формула работает только для правильной (где все апофемы равны). В произвольной — каждую грань считаем отдельно.

Ошибка 4: для треугольной пирамиды считают площадь основания как $\frac{1}{2} ah$ . Если это правильная (равносторонний треугольник), то $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .

Когда в ЕГЭ

В задании 3 ЕГЭ профиль площадь поверхности появляется:

«Найти полную поверхность правильной четырёхугольной пирамиды» — прямое применение $\frac{1}{2} P l + a^{2}$ .
«Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды».
Иногда вместо апофемы дают высоту или ребро — нужен дополнительный шаг.

Если правильность не указана явно — внимательно читай условие, возможно нужен подсчёт по граням.

Реши 30 задач №3 ЕГЭ на площадь поверхности пирамид и других тел. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам решения.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Боковая поверхность правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$ .
Полная: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ .
Апофема ≠ боковое ребро. Апофема — до середины стороны, ребро — до вершины.
Связь апофемы с высотой пирамиды: $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ , где $r$ — радиус вписанной в основание.
Для произвольной пирамиды формула $\frac{1}{2} P l$ не работает — считаем по граням.
Все площади граней — это $\frac{1}{2}$ × (основание грани) × (высота грани).

Площадь поверхности пирамиды