В задании 3 ЕГЭ профиль одна из самых частых задач — найти объём правильной пирамиды. Достаточно знать формулу площади основания (треугольника, квадрата, шестиугольника) и общую формулу объёма пирамиды. Разберём все типичные постановки и приёмы.

Главная формула

Для любой пирамиды (правильной или нет):

V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

В правильной пирамиде формула та же — особенность только в том, что SоснS_{\text{осн}} легко считается через сторону правильного многоугольника, а hh часто можно найти через теорему Пифагора в осевом сечении.

Формулы по типам

Треугольная (основание — равносторонний треугольник со стороной aa)

Площадь основания: S=a234S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}.

V=13⋅a234⋅h=a2h312V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{12}

Четырёхугольная (основание — квадрат со стороной aa)

Площадь основания: S=a2S = a^2.

V=13a2hV = \frac{1}{3} a^2 h

Это самая простая и частая формула в задании 3.

Шестиугольная (основание — правильный шестиугольник со стороной aa)

Площадь основания: S=3a232S = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} (это сумма 6 равносторонних треугольников со стороной aa).

V=13⋅3a232⋅h=a2h32V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{2}

Пример 1: четырёхугольная по сторонам

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания 9 и высотой 4. Найди объём.

Решение.

V=13⋅92⋅4=81⋅43=108V = \frac{1}{3} \cdot 9^2 \cdot 4 = \frac{81 \cdot 4}{3} = 108

Ответ: 108108.

Пример 2: треугольная

Условие. Правильная треугольная пирамида со стороной основания 6 и высотой 4. Найди объём.

Решение.

V=62⋅4⋅312=144312=123V = \frac{6^2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{12} = \frac{144 \sqrt{3}}{12} = 12\sqrt{3}

Ответ: 12312\sqrt{3}.

Пример 3: ребро вместо высоты

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, боковое ребро 5. Найди объём.

Решение. Высота не дана напрямую. Сначала найдём её через теорему Пифагора.

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина проектируется в центр квадрата. Расстояние от центра до вершины квадрата (полудиагональ): R=a22=622=32R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-вершина основания):

h2=b2−R2=25−18=7⇒h=7h^2 = b^2 - R^2 = 25 - 18 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7}

Объём:

V=13⋅36⋅7=127V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}

Ответ: 12712\sqrt{7}.

Пример 4: апофема вместо высоты

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 8, апофема 5. Найди объём.

Решение. Апофема — высота боковой грани. Она связана с высотой пирамиды через расстояние от центра основания до середины стороны: r=a2=4r = \dfrac{a}{2} = 4.

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-середина стороны):

h2=l2−r2=25−16=9⇒h=3h^2 = l^2 - r^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow h = 3

Объём:

V=13⋅64⋅3=64V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64

Ответ: 6464.

Пример 5: шестиугольная

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 2, высота 3\sqrt{3}. Найди объём.

Решение.

V=4⋅3⋅32=4⋅32=6V = \frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

Ответ: 66.

Пример 6: «обратная» задача

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида имеет объём 96 и высоту 8. Найди сторону основания.

Решение. Из формулы V=13a2hV = \dfrac{1}{3} a^2 h:

96=a2⋅83⇒a2=96⋅38=36⇒a=696 = \frac{a^2 \cdot 8}{3} \Rightarrow a^2 = \frac{96 \cdot 3}{8} = 36 \Rightarrow a = 6

Ответ: a=6a = 6.

Алгоритм решения

  1. Запиши тип пирамиды и какая её сторона известна.
  2. Если высота дана напрямую — подставь в формулу площади основания и считай объём.
  3. Если дано боковое ребро — найди высоту через h2=b2−R2h^2 = b^2 - R^2.
  4. Если дана апофема — найди высоту через h2=l2−r2h^2 = l^2 - r^2.
  5. Если дан угол наклона ребра / грани к основанию — найди высоту через тригонометрию (h=Rtan⁡αh = R \tan \alpha или h=rtan⁡βh = r \tan \beta).

Важные радиусы для основания

Многоугольникrr (вписанная)RR (описанная)SS
Равносторонний треугольникa23\dfrac{a}{2\sqrt{3}}a3\dfrac{a}{\sqrt{3}}a234\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}
Квадратa2\dfrac{a}{2}a22\dfrac{a\sqrt{2}}{2}a2a^2
Правильный шестиугольникa32\dfrac{a\sqrt{3}}{2}aa3a232\dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{2}

Эти три набора надо знать наизусть для задачи 3.

Частые ошибки

Ошибка 1: забывают 13\dfrac{1}{3}. Получают объём призмы. Это самая распространённая ошибка в задании 3.

Ошибка 2: путают апофему и высоту пирамиды. Апофема — высота боковой грани, лежит в плоскости грани. Высота пирамиды — перпендикуляр в пространстве. Подставлять апофему вместо высоты — серьёзная ошибка.

Ошибка 3: для шестиугольной пирамиды считают площадь как a2a^2. Это формула квадрата. Для шестиугольника S=3a232S = \dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{2}.

Ошибка 4: путают RR и rr при использовании ребра / апофемы. Ребро связано с RR (описанная), апофема — с rr (вписанная).

Когда задача в ЕГЭ

В задании 3 ЕГЭ профиль типичные постановки:

  • «Сторона основания и высота даны напрямую» — простейшая, прямая подстановка.
  • «Сторона и боковое ребро» — сначала найти высоту через теорему Пифагора.
  • «Сторона и апофема» — то же, но через другой треугольник.
  • «Сторона и угол наклона ребра / грани» — через тригонометрию.

Объёмы тел вращения (конус, цилиндр) — отдельная тема.

Реши 30 задач №3 ЕГЭ на объёмы пирамид с разбором по 7 принципам решения. Адаптивная траектория Сот подберёт следующее по уровню.
Попробовать бесплатно

Что запомнить

  • Общая формула: V=13Sосн⋅hV = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h.
  • Четырёхугольная: V=a2h3V = \dfrac{a^2 h}{3}. Запомни намертво — это бóльшая часть задач 3.
  • Треугольная: V=a2h312V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{12}.
  • Шестиугольная: V=a2h32V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{2}.
  • Если дано ребро: h2=b2−R2h^2 = b^2 - R^2.
  • Если дана апофема: h2=l2−r2h^2 = l^2 - r^2.
  • 13\dfrac{1}{3} — обязательный множитель, отличает пирамиду от призмы.