Какая формула объёма правильной пирамиды?

$V = \dfrac{1}{3} S_{ ext{осн}} \cdot h$, где $S_{ ext{осн}}$ — площадь основания (правильного многоугольника), $h$ — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины до плоскости основания).

Чему равен объём правильной четырёхугольной пирамиды?

$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$, где $a$ — сторона квадратного основания, $h$ — высота. Например, при $a = 6$, $h = 5$: $V = \dfrac{36 \cdot 5}{3} = 60$.

Чему равен объём правильной треугольной пирамиды?

$V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{12}$, где $a$ — сторона равностороннего треугольника-основания, $h$ — высота пирамиды. Это $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h$.

Чему равен объём правильной шестиугольной пирамиды?

$V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона шестиугольника, $h$ — высота. Это $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h$.

Откуда берётся $1/3$ в формуле объёма пирамиды?

Из общей формулы для объёма пирамиды и конуса: $V = \dfrac{1}{3} S_{ ext{осн}} \cdot h$. Можно интуитивно понять через сравнение: 3 одинаковые пирамиды с одной общей вершиной заполняют призму с тем же основанием и высотой.

Как найти объём, если дано боковое ребро вместо высоты?

Сначала найди высоту через теорему Пифагора: $h^2 = b^2 - R^2$, где $b$ — ребро, $R$ — радиус описанной окружности основания. Потом подставь в формулу объёма.

Объём правильной пирамиды: формула и примеры

В задании 3 ЕГЭ профиль одна из самых частых задач — найти объём правильной пирамиды. Достаточно знать формулу площади основания (треугольника, квадрата, шестиугольника) и общую формулу объёма пирамиды. Разберём все типичные постановки и приёмы.

Главная формула

Для любой пирамиды (правильной или нет):

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

В правильной пирамиде формула та же — особенность только в том, что $S_{осн}$ легко считается через сторону правильного многоугольника, а $h$ часто можно найти через теорему Пифагора в осевом сечении.

Формулы по типам

Треугольная (основание — равносторонний треугольник со стороной $a$ )

Площадь основания: $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot h = \frac{a ^{2} h 3}{12}

Четырёхугольная (основание — квадрат со стороной $a$ )

Площадь основания: $S = a^{2}$ .

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Это самая простая и частая формула в задании 3.

Шестиугольная (основание — правильный шестиугольник со стороной $a$ )

Площадь основания: $S = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$ (это сумма 6 равносторонних треугольников со стороной $a$ ).

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a ^{2} 3}{2} \cdot h = \frac{a ^{2} h 3}{2}

Пример 1: четырёхугольная по сторонам

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания 9 и высотой 4. Найди объём.

Решение.

V = \frac{1}{3} \cdot 9^{2} \cdot 4 = \frac{81 \cdot 4}{3} = 108

Ответ: $108$ .

Пример 2: треугольная

Условие. Правильная треугольная пирамида со стороной основания 6 и высотой 4. Найди объём.

Решение.

V = \frac{6 ^{2} \cdot 4 \cdot 3}{12} = \frac{144 3}{12} = 123

Ответ: $123$ .

Пример 3: ребро вместо высоты

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, боковое ребро 5. Найди объём.

Решение. Высота не дана напрямую. Сначала найдём её через теорему Пифагора.

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина проектируется в центр квадрата. Расстояние от центра до вершины квадрата (полудиагональ): $R = \frac{a 2}{2} = \frac{6 2}{2} = 32$ .

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-вершина основания):

h^{2} = b^{2} - R^{2} = 25 - 18 = 7 \Rightarrow h = 7

Объём:

V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7 = 127

Ответ: $127$ .

Пример 4: апофема вместо высоты

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 8, апофема 5. Найди объём.

Решение. Апофема — высота боковой грани. Она связана с высотой пирамиды через расстояние от центра основания до середины стороны: $r = \frac{a}{2} = 4$ .

В прямоугольном треугольнике (вершина-центр-середина стороны):

h^{2} = l^{2} - r^{2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow h = 3

Объём:

V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64

Ответ: $64$ .

Пример 5: шестиугольная

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона основания 2, высота $3$ . Найди объём.

Решение.

V = \frac{4 \cdot 3 \cdot 3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

Ответ: $6$ .

Пример 6: «обратная» задача

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида имеет объём 96 и высоту 8. Найди сторону основания.

Решение. Из формулы $V = \frac{1}{3} a^{2} h$ :

96 = \frac{a ^{2} \cdot 8}{3} \Rightarrow a^{2} = \frac{96 \cdot 3}{8} = 36 \Rightarrow a = 6

Ответ: $a = 6$ .

Алгоритм решения

Запиши тип пирамиды и какая её сторона известна.
Если высота дана напрямую — подставь в формулу площади основания и считай объём.
Если дано боковое ребро — найди высоту через $h^{2} = b^{2} - R^{2}$ .
Если дана апофема — найди высоту через $h^{2} = l^{2} - r^{2}$ .
Если дан угол наклона ребра / грани к основанию — найди высоту через тригонометрию ( $h = R tan α$ или $h = r tan β$ ).

Важные радиусы для основания

Многоугольник	$r$ (вписанная)	$R$ (описанная)	$S$
Равносторонний треугольник	$\frac{a}{2 3}$	$\frac{a}{3}$	$\frac{a ^{2} 3}{4}$
Квадрат	$\frac{a}{2}$	$\frac{a 2}{2}$	$a^{2}$
Правильный шестиугольник	$\frac{a 3}{2}$	$a$	$\frac{3 a ^{2} 3}{2}$

Эти три набора надо знать наизусть для задачи 3.

Частые ошибки

Ошибка 1: забывают $\frac{1}{3}$ . Получают объём призмы. Это самая распространённая ошибка в задании 3.

Ошибка 2: путают апофему и высоту пирамиды. Апофема — высота боковой грани, лежит в плоскости грани. Высота пирамиды — перпендикуляр в пространстве. Подставлять апофему вместо высоты — серьёзная ошибка.

Ошибка 3: для шестиугольной пирамиды считают площадь как $a^{2}$ . Это формула квадрата. Для шестиугольника $S = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$ .

Ошибка 4: путают $R$ и $r$ при использовании ребра / апофемы. Ребро связано с $R$ (описанная), апофема — с $r$ (вписанная).

Когда задача в ЕГЭ

В задании 3 ЕГЭ профиль типичные постановки:

«Сторона основания и высота даны напрямую» — простейшая, прямая подстановка.
«Сторона и боковое ребро» — сначала найти высоту через теорему Пифагора.
«Сторона и апофема» — то же, но через другой треугольник.
«Сторона и угол наклона ребра / грани» — через тригонометрию.

Объёмы тел вращения (конус, цилиндр) — отдельная тема.

Реши 30 задач №3 ЕГЭ на объёмы пирамид с разбором по 7 принципам решения. Адаптивная траектория Сот подберёт следующее по уровню.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Общая формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ .
Четырёхугольная: $V = \frac{a ^{2} h}{3}$ . Запомни намертво — это бóльшая часть задач 3.
Треугольная: $V = \frac{a ^{2} h 3}{12}$ .
Шестиугольная: $V = \frac{a ^{2} h 3}{2}$ .
Если дано ребро: $h^{2} = b^{2} - R^{2}$ .
Если дана апофема: $h^{2} = l^{2} - r^{2}$ .
$\frac{1}{3}$ — обязательный множитель, отличает пирамиду от призмы.

Объём правильной пирамиды

Главная формула

Формулы по типам

Треугольная (основание — равносторонний треугольник со стороной $a$ )

Четырёхугольная (основание — квадрат со стороной $a$ )

Шестиугольная (основание — правильный шестиугольник со стороной $a$ )

Пример 1: четырёхугольная по сторонам

Пример 2: треугольная

Пример 3: ребро вместо высоты

Пример 4: апофема вместо высоты

Пример 5: шестиугольная

Пример 6: «обратная» задача

Алгоритм решения

Важные радиусы для основания

Частые ошибки

Когда задача в ЕГЭ

Что запомнить

Частые вопросы

Смежные темы

Главная формула

Формулы по типам

Треугольная (основание — равносторонний треугольник со стороной a)

Четырёхугольная (основание — квадрат со стороной a)

Шестиугольная (основание — правильный шестиугольник со стороной a)

Пример 1: четырёхугольная по сторонам

Пример 2: треугольная

Пример 3: ребро вместо высоты

Пример 4: апофема вместо высоты

Пример 5: шестиугольная

Пример 6: «обратная» задача

Алгоритм решения

Важные радиусы для основания

Частые ошибки

Когда задача в ЕГЭ

Что запомнить

Частые вопросы

Смежные темы

Треугольная (основание — равносторонний треугольник со стороной $a$ )

Четырёхугольная (основание — квадрат со стороной $a$ )

Шестиугольная (основание — правильный шестиугольник со стороной $a$ )