Правильная пирамида: формулы и свойства

В задании 3 ЕГЭ часто встречается «правильная четырёхугольная пирамида» или «правильная шестиугольная». В отличие от произвольной пирамиды, у правильной всё симметрично — апофемы равны, рёбра равны, грани конгруэнтны. Эта симметрия упрощает решение в разы. Разберём ключевые формулы и приёмы.

Что такое правильная пирамида

Правильная $n$-угольная пирамида — это пирамида, у которой:

1. Основание — правильный $n$-угольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.).
2. Вершина проектируется в центр основания.

Из этих двух условий следуют важные свойства:

• Все боковые рёбра равны (вершина на одинаковом расстоянии от каждой вершины основания).
• Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
• Все апофемы равны (один общий радиус «вписанного» в боковую поверхность).

Ключевые элементы

Высота $h$

Перпендикуляр от вершины пирамиды до плоскости основания. Попадает в центр основания (точка пересечения серединных перпендикуляров правильного $n$-угольника).

Апофема $l$

Высота боковой грани (равнобедренного треугольника), опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.

Боковое ребро $b$

Отрезок от вершины пирамиды до вершины основания. Все рёбра равны.

Радиусы основания

• $r$ — радиус вписанной в основание окружности (расстояние от центра до стороны).
• $R$ — радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины).

Формула связи

В правильной пирамиде есть три ключевых прямоугольных треугольника, связывающих $h$, $l$, $b$, $r$, $R$ и сторону основания $a$.

Связь $h$, $r$, $l$ (через апофему)

В осевом сечении: вершина пирамиды $S$, центр основания $O$, середина стороны основания $M$. $SO = h$ (высота), $OM = r$ (радиус вписанной), $SM = l$ (апофема).

В $\triangle SOM$ — прямой угол в $O$:

Связь $h$, $R$, $b$ (через ребро)

В прямоугольном $\triangle SOA$, где $A$ — вершина основания: $SO = h$, $OA = R$, $SA = b$ (ребро).

Эти две формулы — основа всех расчётов в правильной пирамиде.

Формулы для частных случаев

Правильная треугольная пирамида (основание — равносторонний треугольник со стороной $a$)

• Сторона основания: $a$.
• Радиус описанной окружности: $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
• Радиус вписанной: $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$.
• Площадь основания: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Если все рёбра равны (включая боковые), это правильный тетраэдр — отдельная статья.

Правильная четырёхугольная пирамида (основание — квадрат со стороной $a$)

• Сторона: $a$.
• $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (полудиагональ квадрата).
• $r = \dfrac{a}{2}$.
• Площадь: $S = a^2$.

Правильная шестиугольная пирамида (основание — правильный шестиугольник со стороной $a$)

• Сторона: $a$.
• $R = a$ (в правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины = сторона).
• $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Площадь: $S = \dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Объём правильной пирамиды

Общая формула:

В каждом частном случае подставляешь свою $S$ и $h$.

Правильная треугольная: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{12}$.

Правильная четырёхугольная: $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$.

Правильная шестиугольная: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{2}$.

Площадь поверхности

Боковая поверхность:

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $l$ — апофема.

Это сумма площадей боковых граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник с основанием = сторона многоугольника и высотой = апофема. Сумма всех «оснований» — это периметр.

Полная поверхность:

Пример 1: объём четырёхугольной пирамиды

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания 6 и высоту 8. Найди объём.

Решение. $V = \dfrac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 8 = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$.

Ответ: $V = 96$.

Пример 2: апофема через ребро и сторону

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания 4 и боковое ребро 5. Найди апофему.

Решение. Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 4 и боковыми сторонами 5. Апофема — высота этого треугольника.

По теореме Пифагора: $l^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$. $l = \sqrt{21}$.

Ответ: $l = \sqrt{21}$.

Пример 3: высота через ребро и сторону

Условие. Та же пирамида (сторона 4, ребро 5). Найди высоту.

Решение. $R = a\sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2}$ (полудиагональ квадрата).

По формуле $b^2 = h^2 + R^2$:

Ответ: $h = \sqrt{17}$.

Пример 4: площадь поверхности

Условие. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 6, апофема 5. Найди площадь полной поверхности.

Решение. Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45$ (периметр $3 \cdot 6 = 18$).

Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \dfrac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Полная: $S = 45 + 9\sqrt{3} \approx 60{,}59$.

Ответ: $S = 45 + 9\sqrt{3}$.

Пример 5: шестиугольная пирамида

Условие. Правильная шестиугольная пирамида со стороной основания $a = 2$ и высотой $h = 3$. Найди объём.

Решение. Площадь шестиугольника: $S = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $V = 6\sqrt{3}$.

Пример 6: угол между ребром и плоскостью основания

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 4, высота 6. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Решение. Угол между ребром $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$, где $O$ — центр основания.

В $\triangle SOA$ (прямоугольный): $SO = 6$, $OA = R = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $\arctan(3\sqrt{2}/2)$.

Алгоритм решения

1. Определи тип пирамиды (треугольная / четырёхугольная / шестиугольная).
2. Выпиши известные элементы: $a$ (сторона), $h$, $l$, $b$, $r$, $R$.
3. Если нужно $V$ — используй $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$.
4. Если нужны связи между элементами — теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике (через осевое сечение).
5. Площадь боковой поверхности — $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$.

Частые ошибки

Ошибка 1: путают апофему ($l$) и боковое ребро ($b$). Апофема — расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания (в плоскости боковой грани). Ребро — расстояние от вершины до вершины основания. $b > l$ всегда (кроме вырожденных случаев).

Ошибка 2: путают $r$ и $R$ для основания. $r$ — вписанная (до стороны), $R$ — описанная (до вершины). В апофеме используется $r$, в ребре — $R$.

Ошибка 3: для шестиугольной берут $R = a/\sqrt{3}$ как у треугольной. В правильном шестиугольнике $R = a$ — это особенность. У треугольника $R = a/\sqrt{3}$, у квадрата $R = a\sqrt{2}/2$.

Ошибка 4: считают $V = a^2 h$ для четырёхугольной пирамиды. Без $\dfrac{1}{3}$ это объём призмы, а не пирамиды.

Когда правильная пирамида в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

• Задание 3: «Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной 4 и высотой 6» — прямая подстановка в $V = \dfrac{1}{3} S h$.
• Задание 14: расчёт двугранного угла, расстояния между скрещивающимися рёбрами, угла между ребром и гранью.

Знание трёх формул площади основания (треугольник, квадрат, шестиугольник) и общей $V = \dfrac{1}{3} S h$ закрывает большинство задач 3.

Что запомнить

• Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, вершина над центром.
• Все боковые рёбра равны, все апофемы равны, все боковые грани конгруэнтны.
• Связь высоты-апофемы-радиуса вписанной: $l^2 = h^2 + r^2$.
• Связь высоты-ребра-радиуса описанной: $b^2 = h^2 + R^2$.
• Объём: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$. Боковая площадь: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} l$.
• Запомни $R$ для квадрата ($a\sqrt{2}/2$), треугольника ($a/\sqrt{3}$), шестиугольника ($a$).
• Апофема ≠ боковое ребро. Это разные вещи.