Сечение многогранника плоскостью

В задании 14 ЕГЭ профиль одна из самых сложных задач — построить сечение многогранника плоскостью и найти его площадь. На бумаге задача кажется хитрой, но на самом деле всё сводится к двум-трём простым приёмам построения. Разберём метод следов и метод вспомогательных плоскостей на примерах куба, призмы и пирамиды.

Принципы построения сечения

Цель: дано три точки (или две точки и условие параллельности и т.п.). Найти все рёбра сечения — отрезки пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Базовые принципы:

1. Две точки на одной грани соединяются отрезком — это сторона сечения.
2. Две точки на скрещивающихся рёбрах нужно соединить через приём (метод следов или вспомогательных плоскостей).
3. Если сечение пересекает параллельные грани, то их линии пересечения параллельны (по аксиоме о параллельных плоскостях).

Метод следов

Идея: продлим стороны сечения и найдём точки, в которых секущая плоскость пересекает выбранную опорную плоскость (например, основание). Соединив эти точки, получим след — линию пересечения секущей с опорной плоскостью. Дальше можно «строить» из следа в любую грань.

Алгоритм метода следов:

1. Среди данных точек найди две, лежащие на одной грани. Соедини — это сторона сечения.
2. Если оставшаяся точка не на смежной грани, продли построенную сторону до пересечения с прямыми, лежащими в опорной плоскости (продление рёбер).
3. Получи след в опорной плоскости.
4. Из следа проводи прямые через оставшиеся точки — это новые стороны сечения.

Пример 1: треугольное сечение пирамиды

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$, $N$, $K$ — середины рёбер $SA$, $SB$, $SC$. Построить сечение и найти его форму.

Решение. $M$, $N$, $K$ лежат на трёх боковых рёбрах. Каждая пара лежит на одной боковой грани:

• $M, N$ — оба на грани $SAB$ → отрезок $MN$ — сторона сечения.
• $N, K$ — оба на грани $SBC$ → отрезок $NK$.
• $M, K$ — оба на грани $SAC$ (диагональное сечение). Чтобы $MK$ был стороной сечения, нужно, чтобы плоскость $SAC$ была гранью многогранника. Но она — диагональное сечение, не грань. Значит секущая плоскость должна как-то пройти и через $K$, и через $M$ — для этого через четвёртую грань $SAD$.

Точнее: точки $M$ (на $SA$) и $K$ (на $SC$) скрещивающиеся со стороной квадрата основания. Сечение — это треугольник $MNK$, если плоскость $MNK$ пересекает только три боковые грани (через $SA$, $SB$, $SC$), не задевая четвёртую $SD$ (грань $SAD$).

Поскольку $M, N, K$ — середины рёбер, выходящих из общей вершины $S$, плоскость $MNK$ параллельна основанию $ABCD$. Следовательно, она пересекает четвёртое боковое ребро $SD$ тоже в его середине. Получается четырёхугольное сечение (точнее, квадрат, подобный основанию с коэффициентом $1/2$).

Ответ: сечение — квадрат со стороной $\dfrac{a}{2}$, где $a$ — сторона основания пирамиды.

Пример 2: сечение куба плоскостью через три точки на рёбрах

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6 точки $M$, $N$, $K$ — середины рёбер $AB$, $BC$, $BB_1$. Построить сечение.

Решение. $M$ и $N$ лежат в плоскости основания $ABCD$ — соединяем: $MN$. Это сторона сечения, лежит в плоскости основания.

$N$ и $K$ лежат на гранях $BCC_1B_1$ — соединяем $NK$. Это вторая сторона.

$M$ и $K$ — на скрещивающихся гранях. Через $M$ и $K$ нужно провести прямую в плоскости сечения. Плоскость определяется любыми тремя точками; раз она содержит $M$, $N$, $K$, то $MK$ лежит в ней.

Также $MK$ пересекает грань $ABB_1A_1$ — точно. Это даёт ещё одну сторону: $MK$.

Итого сечение — треугольник $MNK$. Все три стороны — отрезки в смежных гранях вокруг вершины $B$.

Если бы точки были на не-смежных рёбрах, потребовался бы метод следов — продление сторон до пересечения с плоскостью основания.

Ответ: треугольник $MNK$, площадь считается по сторонам.

Пример 3: сечение куба шестиугольником

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построить сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $AD$, $A_1A$, и параллельной диагонали $BD_1$.

Решение. Это уже сложная задача с шестиугольным сечением. Полное построение требует нескольких шагов с методом следов. Здесь приведём идею.

Через 3 заданные точки и условие параллельности можно «вытянуть» секущую плоскость через все 6 граней куба. Сечение — правильный шестиугольник со стороной $a\sqrt{2}/2$ (где $a$ — ребро куба).

Площадь правильного шестиугольника с известной стороной $s$: $S = \dfrac{3 s^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставив $s = a\sqrt{2}/2$: $S = \dfrac{3 \cdot a^2/2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Этот результат — стандартный для «шестиугольного сечения куба».

Пример 4: площадь треугольного сечения

Условие. В кубе с ребром 6 построено сечение через три середины рёбер, выходящих из одной вершины. Найди площадь.

Решение. Пусть рёбра — $AB$, $AD$, $AA_1$, выходящие из $A$. Середины — $M$, $N$, $K$ соответственно. Сечение — треугольник $MNK$.

$AM = AN = AK = 3$.

$MN$ — гипотенуза в $\triangle AMN$ (прямоугольный в $A$): $MN = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$.

Аналогично $NK = MK = 3\sqrt{2}$.

Это равносторонний треугольник со стороной $3\sqrt{2}$.

Ответ: $S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.

Пример 5: трапециевидное сечение призмы

Условие. В прямой призме $ABCA_1B_1C_1$ с равносторонним основанием со стороной 4 и высотой 6 построить сечение через ребро $A_1B_1$ и середину ребра $AC$. Найди площадь.

Решение. $A_1B_1$ — целое ребро, $A_1$ и $B_1$ в плоскости верхнего основания, $A_1B_1$ — сторона сечения.

Третья точка — $M$, середина $AC$. $M$ лежит в плоскости нижнего основания.

Плоскость сечения проходит через прямую $A_1B_1$ и точку $M$. Она пересекает боковые грани $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$, а также часть рёбер.

Через $A_1$ и $M$ — отрезок в грани $ACC_1A_1$ (от $A_1$ через $M$ до пересечения с другим ребром). Поскольку $M$ — середина $AC$, прямая $A_1M$ пересекает $CC_1$ в точке $N_1$ (можно посчитать).

Аналогично $B_1M$ пересекает $CC_1$ — но это та же точка $N_1$ (плоскость одна).

Сечение — четырёхугольник $A_1B_1$ ... $N_1 M$... — точная конфигурация требует тщательного построения. В типичном случае получается трапеция $A_1B_1$ ... $N_1M$ или треугольник $A_1B_1N_1$ с дополнительной точкой $M$ (если $M$ лежит на ребре $A_1B_1$, $N_1$).

Подробное построение — в полном решении задачи 14. Площадь считается через формулу площади трапеции или треугольника.

Площадь сечения через косинус угла

Полезный приём: если сечение — это «отрезок проекции», и известен угол между секущей плоскостью и плоскостью грани, то

То есть площадь проекции сечения на грань = площадь сечения умножить на $\cos \alpha$.

Это позволяет считать площадь сечения через известную проекцию (часто проще считать).

Алгоритм решения

1. Определи многогранник и данные точки.
2. Найди две точки на одной грани → проведи отрезок-сторону сечения.
3. Если все три точки на разных гранях — используй метод следов: продли стороны до пересечения с опорной плоскостью.
4. После построения определи форму сечения (треугольник, четырёхугольник, шестиугольник).
5. Считай площадь по обычным формулам или через косинус угла.

Частые ошибки

Ошибка 1: соединяют точки, не лежащие на одной грани. Прямая между точками проходит через тело многогранника, не по грани. Это нарушение определения сечения.

Ошибка 2: забывают, что параллельные плоскости пересекаются параллельными прямыми. Если сечение пересекает две противоположные грани, эти стороны сечения параллельны.

Ошибка 3: считают площадь сечения как сумму площадей проекций. Это неверно. Проекция меньше сечения (с коэффициентом $\cos \alpha$).

Ошибка 4: пытаются построить сечение, которое не может существовать. Если три точки не задают однозначную плоскость или не пересекают тело — сечения нет.

Когда в ЕГЭ

В задании 14 ЕГЭ профиль построение сечений и нахождение их площадей — одна из стандартных задач:

• Сечение куба плоскостью, заданной тремя точками.
• Сечение пирамиды через ребро и точку.
• Сечение призмы плоскостью, параллельной/перпендикулярной чему-либо.

Без уверенного владения методом следов задача на сечение — самая сложная в стереометрии. С отработкой — становится механической.

Что запомнить

• Сечение — многоугольник на пересечении секущей плоскости с многогранником.
• Стороны сечения — отрезки в гранях.
• Метод следов: продли сторону до пересечения с опорной плоскостью, получи след, строй дальше.
• В кубе: 3 ≤ число сторон сечения ≤ 6. Шестиугольное сечение — правильное при определённом положении плоскости.
• Площадь — по формулам для известных фигур или через косинус угла с гранью.
• Параллельные грани → параллельные стороны сечения.