Что утверждает теорема о трёх перпендикулярах?

Прямая в плоскости, перпендикулярная **проекции** наклонной, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: прямая в плоскости, перпендикулярная **наклонной**, перпендикулярна и её проекции.

Зачем эта теорема нужна?

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между скрещивающимися прямыми. Это рабочий инструмент задачи 14.

Как применить теорему в задаче?

Опускаешь перпендикуляр из точки $A$ на плоскость в точку $B$ (нога перпендикуляра). Из $B$ опускаешь перпендикуляр в плоскости на интересующую прямую — получаешь точку $C$. Тогда $AC$ перпендикулярна этой прямой по обратной теореме.

В чём разница между перпендикуляром и наклонной?

Перпендикуляр — отрезок, образующий с плоскостью прямой угол ($90°$). Наклонная — отрезок из точки вне плоскости, не перпендикулярный ей. У наклонной есть проекция — отрезок от ноги перпендикуляра до конца наклонной в плоскости.

Как найти длину наклонной через перпендикуляр и проекцию?

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + p^2$, где $l$ — наклонная, $h$ — перпендикуляр, $p$ — проекция. Это треугольник «перпендикуляр — проекция — наклонная», прямоугольный в ноге перпендикуляра.

Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение

Q: Чему равен угол между наклонной и плоскостью?

Углу между наклонной и её проекцией. В прямоугольном треугольнике (перпендикуляр–проекция–наклонная): $\sin \alpha = h / l$, $\cos \alpha = p / l$.

В задании 14 ЕГЭ профиль теорема о трёх перпендикулярах появляется почти в каждой второй задаче. Без неё расстояние от точки до прямой в пространстве найти сложно — придётся искать общий перпендикуляр в координатах. С теоремой задача решается одним коротким рассуждением. Разберём формулировку, обратную теорему и типичные приёмы.

Формулировка (прямая теорема)

Если из точки вне плоскости опущен перпендикуляр на плоскость, и из его ноги опущен перпендикуляр на прямую в этой плоскости, то наклонная (соединяющая исходную точку с ногой второго перпендикуляра) перпендикулярна этой прямой.

Звучит длинно, но смысл простой. Разберём по шагам.

Дано:

Точка $A$ вне плоскости $\alpha$ .
$AB$ — перпендикуляр из $A$ к $\alpha$ ( $B$ — нога перпендикуляра, $B \in \alpha$ ).
$m$ — прямая в плоскости $\alpha$ .
$BC$ — перпендикуляр в плоскости $\alpha$ из $B$ к прямой $m$ ( $C$ — основание этого перпендикуляра, $C \in m$ ).
$AC$ — отрезок (наклонная из $A$ к $C$ ).

Утверждение: $AC \perp m$ .

Обратная теорема

Меняем направление:

Если из точки вне плоскости опущен перпендикуляр на плоскость, а наклонная из этой же точки в плоскость перпендикулярна некоторой прямой в плоскости, то проекция наклонной (отрезок от ноги перпендикуляра до конца наклонной в плоскости) перпендикулярна этой же прямой.

Дано: $AB \perp \alpha$ , $m \subset \alpha$ , $AC \perp m$ . Тогда $BC \perp m$ .

Доказательство (короткое)

Возьмём прямую $m$ в плоскости $\alpha$ . Из $A$ опустим перпендикуляр $AB$ на $\alpha$ , из $B$ — перпендикуляр $BC$ на $m$ в плоскости.

$AB \perp \alpha$ , значит $AB \perp m$ (потому что $AB$ перпендикулярна любой прямой в $\alpha$ , проходящей через $B$ , в том числе параллельной $m$ — и значит $AB$ перпендикулярна и самой $m$ ).

Тогда прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ . По признаку перпендикулярности, $m$ перпендикулярна плоскости $ABC$ .

Значит, $m$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $ABC$ , в том числе $AC$ . То есть $AC \perp m$ . ∎

Зачем теорема нужна

В задаче 14 теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент:

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Опускаешь перпендикуляр в плоскость, потом перпендикуляр на прямую — расстояние = длина наклонной.
Угол между прямой и плоскостью. Это угол между прямой и её проекцией. Теорема помогает построить эту проекцию.
Угол между скрещивающимися прямыми. Часто решается через построение перпендикуляров и теорему о трёх перпендикулярах.

Пример 1: расстояние от вершины пирамиды до ребра основания

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ : сторона основания 6, высота $SO = 8$ . Найти расстояние от вершины $S$ до ребра $AB$ основания.

Решение. Рассмотрим точку $S$ и прямую $AB$ в плоскости основания.

Опустим перпендикуляр $SO$ на плоскость основания (известно: $SO = 8$ , $O$ — центр квадрата).

Из $O$ опустим перпендикуляр в плоскости основания на прямую $AB$ . Это $OM$ , где $M$ — середина $AB$ (ведь $O$ — центр квадрата, $OM$ перпендикулярна стороне квадрата). $OM = 3$ (половина стороны).

По обратной теореме о трёх перпендикулярах: $SM \perp AB$ . То есть $SM$ — расстояние от $S$ до прямой $AB$ .

В прямоугольном $\triangle SOM$ :

SM^2 = SO^2 + OM^2 = 64 + 9 = 73 \Rightarrow SM = \sqrt{73}

Ответ: $\sqrt{73}$ .

Это типичный приём: опустил перпендикуляр в плоскость, потом перпендикуляр на прямую, апофема — это и есть нужное расстояние.

Пример 2: угол наклона ребра

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ боковое ребро $SA$ образует с плоскостью основания угол $\alpha$ . Высота пирамиды $h$ . Найти длину ребра.

Решение. Угол между $SA$ и плоскостью основания — это угол $\angle SAO$ , где $O$ — нога перпендикуляра $S$ на плоскость (центр квадрата). $AO$ — проекция ребра $SA$ на плоскость.

В прямоугольном $\triangle SOA$ (прямой угол в $O$ ):

\sin \alpha = \frac{SO}{SA} = \frac{h}{SA} \Rightarrow SA = \frac{h}{\sin \alpha}

Ответ: $SA = \dfrac{h}{\sin \alpha}$ .

Пример 3: расстояние между скрещивающимися рёбрами

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 найти расстояние между диагональю основания $AC$ и противоположным ребром $A_1B_1$ .

Решение. Это типичная задача 14 на скрещивающиеся прямые. Решается через теорему о трёх перпендикулярах.

Опустим перпендикуляр из точки $A_1$ к плоскости основания. Это $A_1A$ длиной 1.

В плоскости основания нужно найти расстояние от $A$ до прямой ... но здесь скрещивающиеся, требуется поиск общего перпендикуляра. Это сложнее, обычно решается через координаты — выходит за рамки одной формулы.

В простой постановке (когда расстояние от вершины до плоскости противоположной грани) теорема о трёх перпендикулярах работает напрямую: расстояние от $A_1$ до плоскости $ABCD$ — это длина перпендикуляра $A_1A = 1$ .

Пример 4: апофема как наклонная

Условие. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $a$ , боковое ребро $b$ . Найти апофему боковой грани $SAB$ .

Решение. Апофема — высота равнобедренного треугольника $SAB$ , опущенная из $S$ на $AB$ . Пусть $M$ — середина $AB$ .

$SM$ — это апофема боковой грани, то есть наклонная из $S$ в плоскость основания, попадающая в $M$ .

В $\triangle SAM$ (прямоугольный, ведь $\triangle SAB$ равнобедренный, $SM \perp AB$ ):

SM^2 = SA^2 - AM^2 = b^2 - (a/2)^2 = b^2 - \frac{a^2}{4}

SM = \sqrt{b^2 - a^2/4}

Ответ: $\sqrt{b^2 - a^2/4}$ .

Здесь применена не сама теорема, а её следствие — апофема считается через теорему Пифагора в боковой грани.

Пример 5: проекция диагонали на грань

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ найти угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью основания $ABCD$ .

Решение. Опустим перпендикуляр из $A_1$ на основание — это $A_1A$ . Проекция $A_1C$ на основание — это $AC$ (диагональ квадрата основания).

Угол между $A_1C$ и плоскостью основания — это угол $\angle A_1CA$ .

В $\triangle A_1AC$ (прямоугольный в $A$ ):

$A_1A = a$ (ребро куба).
$AC = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата).

\tan(\angle A_1CA) = \frac{A_1A}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\angle A_1CA = \arctan \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35{,}26°

Ответ: $\arctan(1/\sqrt{2})$ .

Пример 6: построение «перпендикуляр-наклонная-проекция»

Условие. Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 6. Наклонная из той же точки в плоскость составляет угол $30°$ с плоскостью. Найти длину наклонной и её проекции.

Решение. В прямоугольном треугольнике (перпендикуляр–проекция–наклонная):

Угол между наклонной и проекцией = $30°$ .
Перпендикуляр (катет напротив угла) = 6.

$\sin 30° = 1/2 =$ перпендикуляр / наклонная. Значит наклонная = $6 / (1/2) = 12$ .

Проекция (катет, прилежащий к углу) = $\text{наклонная} \cdot \cos 30° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .

Проверка: $6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2$ . ✓

Ответы: наклонная = $12$ , проекция = $6\sqrt{3}$ .

Алгоритм применения

Опусти перпендикуляр $h$ из точки $A$ на плоскость в точку $B$ .
В плоскости опусти перпендикуляр $p$ из $B$ на интересующую прямую $m$ — получаешь точку $C$ .
Тогда $AC$ — это наклонная, перпендикулярная $m$ (по обратной теореме).
Длина $AC = \sqrt{h^2 + p^2}$ (теорема Пифагора).

В задаче 14 чаще всего нужно расстояние от точки до прямой — это и есть $AC$ .

Соотношения в треугольнике «перпендикуляр-проекция-наклонная»

Перпендикуляр $h$ — катет.
Проекция $p$ — другой катет.
Наклонная $l$ — гипотенуза.
Угол между наклонной и проекцией — $\alpha$ (это угол наклонной с плоскостью).

l = \sqrt{h^2 + p^2}, \quad \sin \alpha = \frac{h}{l}, \quad \cos \alpha = \frac{p}{l}, \quad \tan \alpha = \frac{h}{p}

Частые ошибки

Ошибка 1: опускают перпендикуляр в плоскости не в нужную точку. В задаче нужно опустить перпендикуляр из ноги (точки $B$ ), а не из произвольной точки.

Ошибка 2: путают перпендикуляр на плоскость и перпендикуляр на прямую. Это разные вещи. Сначала на плоскость, потом из ноги — на прямую.

Ошибка 3: применяют прямую теорему, когда нужна обратная. Прямая: « $BC \perp m \Rightarrow AC \perp m$ ». Обратная: « $AC \perp m \Rightarrow BC \perp m$ ». В задаче на расстояние обычно нужна обратная.

Ошибка 4: считают расстояние как сумму $h + p$ . Расстояние — это гипотенуза $\sqrt{h^2 + p^2}$ , не сумма катетов.

Когда теорема в ЕГЭ

Задание 14 ЕГЭ профиль почти всегда содержит хотя бы одну ссылку на теорему о трёх перпендикулярах:

Расстояние от вершины пирамиды/куба до ребра.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние между параллельными прямыми в разных плоскостях.

Без уверенного владения теоремой задача 14 превращается в сложную тригонометрию в координатах. С теоремой — в простой шаг.

Прокачай задание 14 ЕГЭ — стереометрия с пошаговым разбором по 7 принципам решения. Теорема о трёх перпендикулярах в действии.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Прямая теорема: $BC \perp m \Rightarrow AC \perp m$ (где $A$ — точка вне плоскости, $B$ — нога перпендикуляра, $C$ — нога перпендикуляра в плоскости на $m$ ).
Обратная: $AC \perp m \Rightarrow BC \perp m$ .
Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина наклонной $\sqrt{h^2 + p^2}$ .
Угол наклонной с плоскостью = угол между наклонной и её проекцией.
Алгоритм: опустил перпендикуляр на плоскость → из ноги перпендикуляр в плоскости на прямую → наклонная даёт ответ.
Не путать перпендикуляр и наклонную: перпендикуляр перпендикулярен плоскости, наклонная — нет.

Теорема о трёх перпендикулярах