Что утверждает теорема о трёх перпендикулярах?

Прямая в плоскости, перпендикулярная **проекции** наклонной, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: прямая в плоскости, перпендикулярная **наклонной**, перпендикулярна и её проекции.

Зачем эта теорема нужна?

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между скрещивающимися прямыми. Это рабочий инструмент задачи 14.

Как применить теорему в задаче?

Опускаешь перпендикуляр из точки $A$ на плоскость в точку $B$ (нога перпендикуляра). Из $B$ опускаешь перпендикуляр в плоскости на интересующую прямую — получаешь точку $C$. Тогда $AC$ перпендикулярна этой прямой по обратной теореме.

В чём разница между перпендикуляром и наклонной?

Перпендикуляр — отрезок, образующий с плоскостью прямой угол ($90°$). Наклонная — отрезок из точки вне плоскости, не перпендикулярный ей. У наклонной есть проекция — отрезок от ноги перпендикуляра до конца наклонной в плоскости.

Как найти длину наклонной через перпендикуляр и проекцию?

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + p^2$, где $l$ — наклонная, $h$ — перпендикуляр, $p$ — проекция. Это треугольник «перпендикуляр — проекция — наклонная», прямоугольный в ноге перпендикуляра.

Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение

Q: Чему равен угол между наклонной и плоскостью?

Углу между наклонной и её проекцией. В прямоугольном треугольнике (перпендикуляр–проекция–наклонная): $\sin \alpha = h / l$, $\cos \alpha = p / l$.

В задании 14 ЕГЭ профиль теорема о трёх перпендикулярах появляется почти в каждой второй задаче. Без неё расстояние от точки до прямой в пространстве найти сложно — придётся искать общий перпендикуляр в координатах. С теоремой задача решается одним коротким рассуждением. Разберём формулировку, обратную теорему и типичные приёмы.

Формулировка (прямая теорема)

Если из точки вне плоскости опущен перпендикуляр на плоскость, и из его ноги опущен перпендикуляр на прямую в этой плоскости, то наклонная (соединяющая исходную точку с ногой второго перпендикуляра) перпендикулярна этой прямой.

Звучит длинно, но смысл простой. Разберём по шагам.

Дано:

Точка $A$ вне плоскости $α$ .
$A B$ — перпендикуляр из $A$ к $α$ ( $B$ — нога перпендикуляра, $B \in α$ ).
$m$ — прямая в плоскости $α$ .
$B C$ — перпендикуляр в плоскости $α$ из $B$ к прямой $m$ ( $C$ — основание этого перпендикуляра, $C \in m$ ).
$A C$ — отрезок (наклонная из $A$ к $C$ ).

Утверждение: $A C ⊥ m$ .

Обратная теорема

Меняем направление:

Если из точки вне плоскости опущен перпендикуляр на плоскость, а наклонная из этой же точки в плоскость перпендикулярна некоторой прямой в плоскости, то проекция наклонной (отрезок от ноги перпендикуляра до конца наклонной в плоскости) перпендикулярна этой же прямой.

Дано: $A B ⊥ α$ , $m \subset α$ , $A C ⊥ m$ . Тогда $B C ⊥ m$ .

Доказательство (короткое)

Возьмём прямую $m$ в плоскости $α$ . Из $A$ опустим перпендикуляр $A B$ на $α$ , из $B$ — перпендикуляр $B C$ на $m$ в плоскости.

$A B ⊥ α$ , значит $A B ⊥ m$ (потому что $A B$ перпендикулярна любой прямой в $α$ , проходящей через $B$ , в том числе параллельной $m$ — и значит $A B$ перпендикулярна и самой $m$ ).

Тогда прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A B$ и $B C$ . По признаку перпендикулярности, $m$ перпендикулярна плоскости $A B C$ .

Значит, $m$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $A B C$ , в том числе $A C$ . То есть $A C ⊥ m$ . ∎

Зачем теорема нужна

В задаче 14 теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент:

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Опускаешь перпендикуляр в плоскость, потом перпендикуляр на прямую — расстояние = длина наклонной.
Угол между прямой и плоскостью. Это угол между прямой и её проекцией. Теорема помогает построить эту проекцию.
Угол между скрещивающимися прямыми. Часто решается через построение перпендикуляров и теорему о трёх перпендикулярах.

Пример 1: расстояние от вершины пирамиды до ребра основания

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида $S A B C D$ : сторона основания 6, высота $S O = 8$ . Найти расстояние от вершины $S$ до ребра $A B$ основания.

Решение. Рассмотрим точку $S$ и прямую $A B$ в плоскости основания.

Опустим перпендикуляр $S O$ на плоскость основания (известно: $S O = 8$ , $O$ — центр квадрата).

Из $O$ опустим перпендикуляр в плоскости основания на прямую $A B$ . Это $O M$ , где $M$ — середина $A B$ (ведь $O$ — центр квадрата, $O M$ перпендикулярна стороне квадрата). $O M = 3$ (половина стороны).

По обратной теореме о трёх перпендикулярах: $S M ⊥ A B$ . То есть $S M$ — расстояние от $S$ до прямой $A B$ .

В прямоугольном $△ S O M$ :

S M^{2} = S O^{2} + O M^{2} = 64 + 9 = 73 \Rightarrow S M = 73

Ответ: $73$ .

Это типичный приём: опустил перпендикуляр в плоскость, потом перпендикуляр на прямую, апофема — это и есть нужное расстояние.

Пример 2: угол наклона ребра

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ боковое ребро $S A$ образует с плоскостью основания угол $α$ . Высота пирамиды $h$ . Найти длину ребра.

Решение. Угол между $S A$ и плоскостью основания — это угол $∠ S A O$ , где $O$ — нога перпендикуляра $S$ на плоскость (центр квадрата). $A O$ — проекция ребра $S A$ на плоскость.

В прямоугольном $△ S O A$ (прямой угол в $O$ ):

sin α = \frac{S O}{S A} = \frac{h}{S A} \Rightarrow S A = \frac{h}{sin α}

Ответ: $S A = \frac{h}{sin α}$ .

Пример 3: расстояние между скрещивающимися рёбрами

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром 1 найти расстояние между диагональю основания $A C$ и противоположным ребром $A_{1} B_{1}$ .

Решение. Это типичная задача 14 на скрещивающиеся прямые. Решается через теорему о трёх перпендикулярах.

Опустим перпендикуляр из точки $A_{1}$ к плоскости основания. Это $A_{1} A$ длиной 1.

В плоскости основания нужно найти расстояние от $A$ до прямой ... но здесь скрещивающиеся, требуется поиск общего перпендикуляра. Это сложнее, обычно решается через координаты — выходит за рамки одной формулы.

В простой постановке (когда расстояние от вершины до плоскости противоположной грани) теорема о трёх перпендикулярах работает напрямую: расстояние от $A_{1}$ до плоскости $A B C D$ — это длина перпендикуляра $A_{1} A = 1$ .

Пример 4: апофема как наклонная

Условие. В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $a$ , боковое ребро $b$ . Найти апофему боковой грани $S A B$ .

Решение. Апофема — высота равнобедренного треугольника $S A B$ , опущенная из $S$ на $A B$ . Пусть $M$ — середина $A B$ .

$S M$ — это апофема боковой грани, то есть наклонная из $S$ в плоскость основания, попадающая в $M$ .

В $△ S A M$ (прямоугольный, ведь $△ S A B$ равнобедренный, $S M ⊥ A B$ ):

S M^{2} = S A^{2} - A M^{2} = b^{2} - (a /2)^{2} = b^{2} - \frac{a ^{2}}{4}

S M = b^{2} - a^{2} /4

Ответ: $b^{2} - a^{2} /4$ .

Здесь применена не сама теорема, а её следствие — апофема считается через теорему Пифагора в боковой грани.

Пример 5: проекция диагонали на грань

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $a$ найти угол между диагональю $A_{1} C$ и плоскостью основания $A B C D$ .

Решение. Опустим перпендикуляр из $A_{1}$ на основание — это $A_{1} A$ . Проекция $A_{1} C$ на основание — это $A C$ (диагональ квадрата основания).

Угол между $A_{1} C$ и плоскостью основания — это угол $∠ A_{1} C A$ .

В $△ A_{1} A C$ (прямоугольный в $A$ ):

$A_{1} A = a$ (ребро куба).
$A C = a 2$ (диагональ квадрата).

tan (∠ A_{1} C A) = \frac{A _{1} A}{A C} = \frac{a}{a 2} = \frac{1}{2}

∠ A_{1} C A = arctan \frac{1}{2} \approx 35, 26°

Ответ: $arctan (1/ 2)$ .

Пример 6: построение «перпендикуляр-наклонная-проекция»

Условие. Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 6. Наклонная из той же точки в плоскость составляет угол $30°$ с плоскостью. Найти длину наклонной и её проекции.

Решение. В прямоугольном треугольнике (перпендикуляр–проекция–наклонная):

Угол между наклонной и проекцией = $30°$ .
Перпендикуляр (катет напротив угла) = 6.

$sin 30° = 1/2 =$ перпендикуляр / наклонная. Значит наклонная = $6/ (1/2) = 12$ .

Проекция (катет, прилежащий к углу) = $наклонная \cdot cos 30° = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ .

Проверка: $6^{2} + (63)^{2} = 36 + 108 = 144 = 1 2^{2}$ . ✓

Ответы: наклонная = $12$ , проекция = $63$ .

Алгоритм применения

Опусти перпендикуляр $h$ из точки $A$ на плоскость в точку $B$ .
В плоскости опусти перпендикуляр $p$ из $B$ на интересующую прямую $m$ — получаешь точку $C$ .
Тогда $A C$ — это наклонная, перпендикулярная $m$ (по обратной теореме).
Длина $A C = h^{2} + p^{2}$ (теорема Пифагора).

В задаче 14 чаще всего нужно расстояние от точки до прямой — это и есть $A C$ .

Соотношения в треугольнике «перпендикуляр-проекция-наклонная»

Перпендикуляр $h$ — катет.
Проекция $p$ — другой катет.
Наклонная $l$ — гипотенуза.
Угол между наклонной и проекцией — $α$ (это угол наклонной с плоскостью).

l = h^{2} + p^{2}, sin α = \frac{h}{l}, cos α = \frac{p}{l}, tan α = \frac{h}{p}

Частые ошибки

Ошибка 1: опускают перпендикуляр в плоскости не в нужную точку. В задаче нужно опустить перпендикуляр из ноги (точки $B$ ), а не из произвольной точки.

Ошибка 2: путают перпендикуляр на плоскость и перпендикуляр на прямую. Это разные вещи. Сначала на плоскость, потом из ноги — на прямую.

Ошибка 3: применяют прямую теорему, когда нужна обратная. Прямая: « $B C ⊥ m \Rightarrow A C ⊥ m$ ». Обратная: « $A C ⊥ m \Rightarrow B C ⊥ m$ ». В задаче на расстояние обычно нужна обратная.

Ошибка 4: считают расстояние как сумму $h + p$ . Расстояние — это гипотенуза $h^{2} + p^{2}$ , не сумма катетов.

Когда теорема в ЕГЭ

Задание 14 ЕГЭ профиль почти всегда содержит хотя бы одну ссылку на теорему о трёх перпендикулярах:

Расстояние от вершины пирамиды/куба до ребра.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние между параллельными прямыми в разных плоскостях.

Без уверенного владения теоремой задача 14 превращается в сложную тригонометрию в координатах. С теоремой — в простой шаг.

Прокачай задание 14 ЕГЭ — стереометрия с пошаговым разбором по 7 принципам решения. Теорема о трёх перпендикулярах в действии.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Прямая теорема: $B C ⊥ m \Rightarrow A C ⊥ m$ (где $A$ — точка вне плоскости, $B$ — нога перпендикуляра, $C$ — нога перпендикуляра в плоскости на $m$ ).
Обратная: $A C ⊥ m \Rightarrow B C ⊥ m$ .
Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина наклонной $h^{2} + p^{2}$ .
Угол наклонной с плоскостью = угол между наклонной и её проекцией.
Алгоритм: опустил перпендикуляр на плоскость → из ноги перпендикуляр в плоскости на прямую → наклонная даёт ответ.
Не путать перпендикуляр и наклонную: перпендикуляр перпендикулярен плоскости, наклонная — нет.

Теорема о трёх перпендикулярах