Что такое осевое сечение конуса?

Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось (то есть через высоту, опущенную из вершины в центр основания). Для прямого кругового конуса это равнобедренный треугольник: основание — диаметр, боковые стороны — образующие конуса.

Что такое осевое сечение цилиндра?

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось. Для прямого кругового цилиндра это прямоугольник: одна сторона — высота, другая — диаметр основания.

Какова площадь осевого сечения конуса?

Это площадь равнобедренного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Какова площадь осевого сечения цилиндра?

Это площадь прямоугольника: $S = 2R \cdot h$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Когда осевое сечение конуса — равносторонний треугольник?

Когда образующая равна диаметру основания: $l = 2R$. Тогда у равнобедренного треугольника все стороны равны, он правильный.

Что такое образующая конуса?

Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все образующие прямого кругового конуса равны. Связь с радиусом и высотой: $l^2 = h^2 + R^2$.

Осевое сечение конуса и цилиндра

В задании 3 ЕГЭ часто встречаются задачи про конусы и цилиндры. Один из быстрых способов «увидеть» геометрию — рассмотреть осевое сечение. Для цилиндра это прямоугольник, для конуса — равнобедренный треугольник. Через осевое сечение легко находить площади, объёмы, углы.

Цилиндр: осевое сечение

Прямой круговой цилиндр имеет круглые основания радиуса $R$ и высоту $h$ . Ось — отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярный к ним.

Осевое сечение — это сечение плоскостью, содержащей ось. Эта плоскость пересекает каждое основание по диаметру и боковую поверхность по двум противоположным образующим.

Получается прямоугольник:

Длина $= 2R$ (диаметр основания).
Ширина $= h$ (высота цилиндра).

Площадь осевого сечения цилиндра:

S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h

Конус: осевое сечение

Прямой круговой конус имеет круглое основание радиуса $R$ , вершину $S$ и высоту $h$ . Образующая $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ — расстояние от вершины до точки на окружности основания.

Осевое сечение — сечение плоскостью, содержащей ось. Получается равнобедренный треугольник:

Основание $AB = 2R$ (диаметр).
Боковые стороны $SA = SB = l$ (образующие).
Высота из вершины $SO = h$ (высота конуса).

Площадь осевого сечения конуса:

S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h

Когда сечение особое

Равносторонний треугольник для конуса

Если $l = 2R$ (образующая равна диаметру), то все стороны равнобедренного треугольника равны: $AB = SA = SB = 2R$ . Получается равносторонний треугольник.

В этом случае конус называют равносторонним (термин из школьной геометрии). Связь между $h$ , $R$ , $l$ : $l^2 = h^2 + R^2 \Rightarrow (2R)^2 = h^2 + R^2 \Rightarrow h = R\sqrt{3}$ .

Квадрат для цилиндра

Если высота цилиндра равна диаметру ( $h = 2R$ ), осевое сечение — квадрат со стороной $2R$ . Такой цилиндр называют равносторонним.

Пример 1: площадь сечения цилиндра

Условие. Цилиндр имеет радиус 3 и высоту 7. Найди площадь осевого сечения.

Решение. $S = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .

Ответ: $42$ .

Пример 2: площадь сечения конуса

Условие. Конус имеет радиус основания 5 и высоту 12. Найди площадь осевого сечения.

Решение. $S = R \cdot h = 5 \cdot 12 = 60$ .

Ответ: $60$ .

Можно проверить через образующую: $l = \sqrt{144 + 25} = 13$ . Площадь равнобедренного треугольника со сторонами $13, 13, 10$ : высота из вершины = $\sqrt{169 - 25} = 12$ . $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ . ✓

Пример 3: восстановить размеры через сечение

Условие. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 6. Найди радиус, высоту и образующую конуса.

Решение. Равносторонний треугольник со стороной 6: основание $AB = 6 \Rightarrow 2R = 6 \Rightarrow R = 3$ . Боковая сторона = 6 = образующая, $l = 6$ .

Высота треугольника = высота конуса: $h = \dfrac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .

Ответ: $R = 3$ , $h = 3\sqrt{3}$ , $l = 6$ .

Пример 4: объём через осевое сечение

Условие. Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью 16. Найди объём цилиндра.

Решение. Квадрат со стороной 4 ( $S = 16$ ). Высота цилиндра $h = 4$ , диаметр $= 4 \Rightarrow R = 2$ .

Объём: $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$ .

Ответ: $V = 16\pi$ .

Пример 5: угол при вершине осевого сечения

Условие. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найти угол при вершине конуса (угол, образованный двумя противоположными образующими в осевом сечении).

Решение. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$ . Угол при вершине = $60°$ .

Ответ: $60°$ .

Пример 6: угол образующей и высоты конуса

Условие. Конус с радиусом 4 и высотой 3. Найди угол между образующей и высотой конуса.

Решение. В осевом сечении (равнобедренный треугольник): высота $h = 3$ , половина основания $R = 4$ , образующая $l = 5$ .

Угол $\alpha$ между образующей $SA$ и высотой $SO$ — это угол в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ (прямой угол в $O$ ):

\sin \alpha = \frac{R}{l} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha = \arcsin \frac{4}{5}

Или эквивалентно: $\tan \alpha = \dfrac{R}{h} = \dfrac{4}{3}$ .

Ответ: $\arcsin(4/5) \approx 53{,}13°$ .

Полезные формулы для конуса

В осевом сечении (треугольник $SAB$ с $SO$ — высотой):

$l^2 = h^2 + R^2$ (теорема Пифагора в $\triangle SOA$ ).
Площадь сечения: $R \cdot h$ .
Угол наклона образующей к плоскости основания: $\angle SAO$ , $\sin = h/l$ , $\cos = R/l$ , $\tan = h/R$ .
Угол при вершине конуса: $2 \arctan(R/h)$ .

Как используется в задачах

Объём цилиндра: $V = \pi R^2 h$ . Через осевое сечение: $V = \pi R \cdot S_{\text{сеч}}$ .

Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ . Через осевое сечение: $V = \dfrac{\pi R}{3} \cdot S_{\text{сеч}}$ .

Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$ . Это «развёрнутый» прямоугольник, такой же ширины $h$ , но длиной = окружность основания $2\pi R$ .

Боковая поверхность конуса: $S_{\text{бок}} = \pi R l$ . Это сектор с радиусом $l$ и длиной дуги $2\pi R$ .

Алгоритм решения

Запиши тип тела (цилиндр / конус) и его параметры ( $R, h$ , иногда $l$ ).
Если нужно найти площадь сечения — подставь в $S = 2R \cdot h$ (цилиндр) или $S = R \cdot h$ (конус).
Если задано сечение — восстанови параметры тела (для конуса: высота треугольника = $h$ , основание = $2R$ ).
Используй $l^2 = h^2 + R^2$ для перехода между $h$ , $R$ , $l$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: для конуса считают $S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h$ (как для цилиндра). Нет — для конуса это треугольник, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h$ .

Ошибка 2: путают высоту с образующей. Высота — перпендикуляр от вершины до плоскости основания. Образующая — наклонный отрезок до точки на окружности. $h \le l$ .

Ошибка 3: для радиуса берут диаметр. В сечении основание = $2R$ (диаметр), но в формулах объёма и поверхности используется $R$ .

Ошибка 4: для «равностороннего» цилиндра считают квадрат со стороной $R$ . Сторона квадрата — это и высота, и диаметр, то есть $h = 2R$ , не $h = R$ .

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

Задание 3: «Найти объём конуса / цилиндра» — часто через данные осевого сечения.
Задание 14: «Угол между образующей и высотой / основанием» — через осевое сечение легко.
«Сечение конуса плоскостью» — может быть осевым (равнобедренный треугольник) или произвольным (другая фигура).

Осевое сечение — самый удобный способ перевести трёхмерную задачу в двухмерную.

Прокачай задание 3 ЕГЭ — объёмы цилиндра и конуса. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам решения.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник $2R \times h$ . Площадь: $S = 2R h$ .
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $h$ . Площадь: $S = R h$ .
Образующая конуса: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ .
Равносторонний конус: $l = 2R$ , $h = R\sqrt{3}$ , осевое сечение — равносторонний треугольник.
Равносторонний цилиндр: $h = 2R$ , осевое сечение — квадрат.
Через осевое сечение легко найти $R$ , $h$ , $l$ и углы.