Что такое осевое сечение конуса?

Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось (то есть через высоту, опущенную из вершины в центр основания). Для прямого кругового конуса это равнобедренный треугольник: основание — диаметр, боковые стороны — образующие конуса.

Что такое осевое сечение цилиндра?

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось. Для прямого кругового цилиндра это прямоугольник: одна сторона — высота, другая — диаметр основания.

Какова площадь осевого сечения конуса?

Это площадь равнобедренного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Какова площадь осевого сечения цилиндра?

Это площадь прямоугольника: $S = 2R \cdot h$, где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Когда осевое сечение конуса — равносторонний треугольник?

Когда образующая равна диаметру основания: $l = 2R$. Тогда у равнобедренного треугольника все стороны равны, он правильный.

Что такое образующая конуса?

Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все образующие прямого кругового конуса равны. Связь с радиусом и высотой: $l^2 = h^2 + R^2$.

Осевое сечение конуса и цилиндра

Задачи про конусы и цилиндры встречаются в стереометрии части 1 (№3) и части 2 (№15; в 2026 году это №14). Чтобы «увидеть» геометрию, рассмотри осевое сечение: для цилиндра это прямоугольник, для конуса — равнобедренный треугольник. Через него находят площади, объёмы и углы. Подробно о телах: цилиндр и конус.

Цилиндр с осевым сечением: прямоугольник со сторонами 2R и h, ось OO1 проходит через центры оснований — Осевое сечение цилиндра — прямоугольник 2R на h.

Конус с осевым сечением: равнобедренный треугольник SAB с основанием AB = 2R, высотой SO = h и образующими SA = SB = l — Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник SAB.

Цилиндр: осевое сечение

Прямой круговой цилиндр имеет круглые основания радиуса $R$ и высоту $h$ . Ось — отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярный к ним.

Осевое сечение — это сечение плоскостью, содержащей ось. Эта плоскость пересекает каждое основание по диаметру и боковую поверхность по двум противоположным образующим.

Получается прямоугольник:

Длина $= 2 R$ (диаметр основания).
Ширина $= h$ (высота цилиндра).

Площадь осевого сечения цилиндра:

S_{сеч} = 2 R \cdot h

Конус: осевое сечение

Прямой круговой конус имеет круглое основание радиуса $R$ , вершину $S$ и высоту $h$ . Образующая $l = h^{2} + R^{2}$ — расстояние от вершины до точки на окружности основания.

Осевое сечение — сечение плоскостью, содержащей ось. Получается равнобедренный треугольник:

Основание $A B = 2 R$ (диаметр).
Боковые стороны $S A = S B = l$ (образующие).
Высота из вершины $S O = h$ (высота конуса).

Площадь осевого сечения конуса:

S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2 R \cdot h = R \cdot h

Когда сечение особое

Равносторонний треугольник для конуса

Если $l = 2 R$ (образующая равна диаметру), то все стороны равнобедренного треугольника равны: $A B = S A = S B = 2 R$ . Получается равносторонний треугольник.

В этом случае конус называют равносторонним (термин из школьной геометрии). Связь между $h$ , $R$ , $l$ : $l^{2} = h^{2} + R^{2} \Rightarrow (2 R)^{2} = h^{2} + R^{2} \Rightarrow h = R 3$ .

Квадрат для цилиндра

Если высота цилиндра равна диаметру ( $h = 2 R$ ), осевое сечение — квадрат со стороной $2 R$ . Такой цилиндр называют равносторонним.

Пример 1: площадь сечения цилиндра

Условие. Цилиндр имеет радиус 3 и высоту 7. Найди площадь осевого сечения.

Решение. $S = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .

Ответ: $42$ .

Пример 2: площадь сечения конуса

Условие. Конус имеет радиус основания 5 и высоту 12. Найди площадь осевого сечения.

Решение. $S = R \cdot h = 5 \cdot 12 = 60$ .

Ответ: $60$ .

Можно проверить через образующую: $l = 144 + 25 = 13$ . Площадь равнобедренного треугольника со сторонами $13, 13, 10$ : высота из вершины $169 - 25 = 12$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ . Результат совпал.

Пример 3: восстановить размеры через сечение

Условие. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 6. Найди радиус, высоту и образующую конуса.

Решение. Равносторонний треугольник со стороной 6: основание $A B = 6 \Rightarrow 2 R = 6 \Rightarrow R = 3$ . Боковая сторона = 6 = образующая, $l = 6$ .

Высота треугольника = высота конуса: $h = \frac{6 3}{2} = 33$ .

Ответ: $R = 3$ , $h = 33$ , $l = 6$ .

Пример 4: объём через осевое сечение

Условие. Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью 16. Найди объём цилиндра.

Решение. Квадрат со стороной 4 ( $S = 16$ ). Высота цилиндра $h = 4$ , диаметр $= 4 \Rightarrow R = 2$ .

Объём: $V = π R^{2} h = π \cdot 4 \cdot 4 = 16 π$ .

Ответ: $V = 16 π$ .

Пример 5: угол при вершине осевого сечения

Условие. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найти угол при вершине конуса (угол, образованный двумя противоположными образующими в осевом сечении).

Решение. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$ . Угол при вершине = $60°$ .

Ответ: $60°$ .

Пример 6: угол образующей и высоты конуса

Условие. Конус с радиусом 4 и высотой 3. Найди угол между образующей и высотой конуса.

Решение. В осевом сечении (равнобедренный треугольник): высота $h = 3$ , половина основания $R = 4$ , образующая $l = 5$ .

Угол $α$ между образующей $S A$ и высотой $S O$ — это угол в прямоугольном треугольнике $△ S O A$ (прямой угол в $O$ ):

sin α = \frac{R}{l} = \frac{4}{5} \Rightarrow α = arcsin \frac{4}{5}

Или эквивалентно: $tan α = \frac{R}{h} = \frac{4}{3}$ .

Ответ: $arcsin (4/5) \approx 53, 13°$ .

Полезные формулы для конуса

В осевом сечении (треугольник $S A B$ с $S O$ — высотой):

$l^{2} = h^{2} + R^{2}$ (теорема Пифагора в $△ S O A$ ).
Площадь сечения: $R \cdot h$ .
Угол наклона образующей к плоскости основания: $∠ S A O$ , $sin = h / l$ , $cos = R / l$ , $tan = h / R$ .
Угол при вершине конуса: $2 arctan (R / h)$ .

Как используется в задачах

Объём цилиндра: $V = π R^{2} h$ . Через осевое сечение: $V = \frac{π R}{2} \cdot S_{сеч}$ , потому что $S_{сеч} = 2 R h$ . Для квадрата из примера 4: $S_{сеч} = 16$ , $R = 2$ , $V = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot 16 = 16 π$ .

Объём конуса: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ . Через осевое сечение: $V = \frac{π R}{3} \cdot S_{сеч}$ .

Боковая поверхность цилиндра: $S_{бок} = 2 π R h$ . Это «развёрнутый» прямоугольник, такой же ширины $h$ , но длиной = окружность основания $2 π R$ .

Боковая поверхность конуса: $S_{бок} = π R l$ . Это сектор с радиусом $l$ и длиной дуги $2 π R$ .

Алгоритм решения

Запиши тип тела (цилиндр / конус) и его параметры ( $R, h$ , иногда $l$ ).
Если нужно найти площадь сечения — подставь в $S = 2 R \cdot h$ (цилиндр) или $S = R \cdot h$ (конус).
Если задано сечение — восстанови параметры тела (для конуса: высота треугольника = $h$ , основание = $2 R$ ).
Используй $l^{2} = h^{2} + R^{2}$ для перехода между $h$ , $R$ , $l$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: для конуса считают $S_{сеч} = 2 R \cdot h$ (как для цилиндра). Нет — для конуса это треугольник, $S = \frac{1}{2} \cdot 2 R \cdot h = R \cdot h$ .

Ошибка 2: путают высоту с образующей. Высота — перпендикуляр от вершины до плоскости основания. Образующая — наклонный отрезок до точки на окружности. $h \leq l$ .

Ошибка 3: для радиуса берут диаметр. В сечении основание = $2 R$ (диаметр), но в формулах объёма и поверхности используется $R$ .

Ошибка 4: для «равностороннего» цилиндра считают квадрат со стороной $R$ . Сторона квадрата — это и высота, и диаметр, то есть $h = 2 R$ , не $h = R$ .

Где это пригодится в ЕГЭ

Задание 3 (часть 1): объём цилиндра или конуса, когда в условии дано осевое сечение: по нему находят $R$ и $h$ .
Задание 15 (часть 2; в 2026 году №14): угол между образующей и высотой или плоскостью основания находят в треугольнике осевого сечения.
Сечение конуса плоскостью может быть осевым (равнобедренный треугольник) или произвольным (другая фигура).

Осевое сечение переводит пространственную задачу в плоскую. Номера заданий взяты из канона ЕГЭ-2027 (проект документов ФИПИ), для 2026 года указан прежний номер.

Прокачай объёмы цилиндра и конуса: разбор каждой задачи в Сотах.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник $2 R \times h$ . Площадь: $S = 2 R h$ .
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2 R$ и высотой $h$ . Площадь: $S = R h$ .
Образующая конуса: $l = h^{2} + R^{2}$ .
Равносторонний конус: $l = 2 R$ , $h = R 3$ , осевое сечение — равносторонний треугольник.
Равносторонний цилиндр: $h = 2 R$ , осевое сечение — квадрат.
Через осевое сечение легко найти $R$ , $h$ , $l$ и углы.

Проверено: 2026-10-08.