Объём пирамиды: формула и разборы для ЕГЭ

Объём пирамиды нужен в задании 3 ЕГЭ (стереометрия, часть 1) и в вычислительной части задания 15 (стереометрия, часть 2). Сама формула простая:

$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота. Сложность задач не в формуле, а в правильном нахождении $S_{\text{осн}}$ и $h$, особенно для наклонных пирамид и нестандартных оснований.

Базовая формула

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h$

Высота пирамиды — длина перпендикуляра из вершины на плоскость основания.

Площадь основания считается по формулам для соответствующего многоугольника (треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.).

Случай 1: правильная четырёхугольная пирамида

Что дано: сторона квадратного основания $a$, высота пирамиды $h$.

Решение:

$S_{\text{осн}}=a^2,V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$

Пример. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, высота равна 8. Найти объём.

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 8=96$.

Ответ: 96.

Случай 2: правильная треугольная пирамида

Что дано: сторона основания $a$, высота $h$. Если ещё и боковые рёбра равны $a$, получится правильный тетраэдр, но формула ниже работает для любой высоты.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$:

$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Объём:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12}$

Пример. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, высота 6. Найти объём.

$V=\frac{16\cdot 6\cdot \sqrt{3}}{12}=8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\sqrt{3}$.

Случай 3: правильная шестиугольная пирамида

Что дано: сторона основания $a$, высота $h$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ — это 6 равносторонних треугольников:

$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Объём:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{2}$

Пример. Сторона основания 2, высота 5. Объём $=\frac{4\cdot 5\cdot \sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

Случай 4: наклонная пирамида (основание — прямоугольник)

Что дано: прямоугольное основание $a\times b$, высота $h$ (перпендикуляр из вершины на плоскость основания).

$V=\frac{1}{3}ab\cdot h$

Высота может попадать ВНЕ прямоугольника (наклонная пирамида), но формула та же. Важно: высота — это именно перпендикуляр на плоскость, не боковое ребро.

Пример. Основание пирамиды $SABCD$ — прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5$ и $AD=3$. Боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, а противоположное ему боковое ребро $SC$ равно 7. Найти объём.

Решение. Ребро $SA$ перпендикулярно основанию, значит, оно и есть высота пирамиды: вершина проецируется в угол $A$ прямоугольника. Треугольник $SAC$ прямоугольный с прямым углом при $A$, его гипотенуза — ребро $SC=7$.

Диагональ основания: $AC=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.

Высота: $h=SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{49-34}=\sqrt{15}$.

Объём: $V=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot 3\cdot \sqrt{15}=5\sqrt{15}$.

Ответ: $5\sqrt{15}$.

Нахождение высоты, когда её нет

Часто в задачах вместо высоты дают апофему (для правильной пирамиды — высоту боковой грани) или боковое ребро. Тогда высоту нужно найти.

Через апофему (правильная пирамида)

Апофема $a_{\text{бок}}$ — высота равнобедренного треугольника-боковой грани, опущенная на сторону основания.

Связь: апофема, высота пирамиды и расстояние от центра основания до середины стороны образуют прямоугольный треугольник.

Для правильной четырёхугольной пирамиды: расстояние от центра квадрата до середины стороны = $a/2$. Тогда:

$a_{\text{бок}}^2=h^2+(a/2{)}^2$

Если знаешь апофему и сторону, $h=\sqrt{a_{\text{бок}}^2-a^2/4}$.

Через боковое ребро (правильная пирамида)

Боковое ребро $l$, расстояние от центра основания до вершины основания = радиус описанной окружности $R$.

Для квадрата: $R=a\sqrt{2}/2$. Для равностороннего треугольника: $R=a/\sqrt{3}$. Для правильного шестиугольника: $R=a$.

Тогда: $l^2=h^2+R^2$, откуда $h=\sqrt{l^2-R^2}$.

Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 9. Найти объём.

$R=6\sqrt{2}/2=3\sqrt{2}$. $h=\sqrt{81-18}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$. $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3\sqrt{7}=36\sqrt{7}$.

Ответ: $36\sqrt{7}$.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 3 (стереометрия, часть 1, 1 балл)

Прямое применение формулы: даны сторона основания и высота, нужно вычислить объём.

Пример. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой 4, а высота 9.

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 9=48$.

Ответ: 48.

Задание 15 (стереометрия, часть 2, 3 балла)

В проекте спецификации ЕГЭ-2027 задание 15 включает построение сечения, доказательство и вычисление. Объём пирамиды или её части может понадобиться в вычислительном пункте. Порядок тот же: найти основание, найти высоту, применить формулу. Если плоскость отсекает от пирамиды меньшую пирамиду, формулу применяют к ней.

Распространённые ошибки

1. Забыть множитель 1/3. Типичная ошибка в задании 3. Если ответ кажется большим, проверь, не написал ли $V=S\cdot h$ без 1/3.

2. Использовать боковое ребро как высоту. Высота — это перпендикуляр из вершины на плоскость основания. Боковое ребро — это отрезок от вершины пирамиды к вершине основания, в общем случае он НЕ перпендикулярен основанию. Исключение — ребро, которое само является высотой, как в примере с наклонной пирамидой выше.

3. Перепутать тип основания. Если в задаче «правильная треугольная пирамида», основание — равносторонний треугольник, не равнобедренный и не любой.

4. Не различать пирамиду и усечённую пирамиду. Усечённая пирамида (когда верх обрезан плоскостью, параллельной основанию) имеет другую формулу объёма: $V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$.

5. Перепутать апофему пирамиды (высота грани) и апофему многоугольника (расстояние от центра до стороны). Это разные понятия, хотя слово одно.

Связь с другими темами

• Пирамида — общая страница про пирамиду со всеми типами и теорией.
• Объём конуса — родственная формула с тем же коэффициентом 1/3.
• Сечение многогранника — плоскость, отсекающая от пирамиды меньшую пирамиду, встречается в заданиях части 2.
• Диагональ параллелепипеда — рёбра и диагонали параллелепипеда нужны, когда пирамида построена на его вершинах.
• Площадь треугольника — для нахождения площади основания в треугольных пирамидах.

Что запомнить

Формула:

$V_{\text{пирамиды}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h$

Главное:

• $S_{\text{осн}}$ — по формулам соответствующего многоугольника.
• $h$ — перпендикуляр на плоскость основания (не боковое ребро!).
• Коэффициент 1/3 обязателен.

Алгоритм для задания 3: определи тип основания → найди его площадь → найди высоту → подставь в формулу.

Проверено: 2026-10-08.