Объём пирамиды: формула и разборы для ЕГЭ

Объём пирамиды — самая частая формула в задании 3 ЕГЭ (стереометрия базовая) и одна из ключевых в задании 14 (стереометрия повышенная). Сама формула простая:

$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота. Сложность задач не в формуле, а в правильном нахождении $S_{\text{осн}}$ и $h$, особенно для наклонных пирамид и нестандартных оснований.

Базовая формула

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

Высота пирамиды — длина перпендикуляра из вершины на плоскость основания.

Площадь основания считается по формулам для соответствующего многоугольника (треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.).

Случай 1: правильная четырёхугольная пирамида

Что дано: сторона квадратного основания $a$, высота пирамиды $h$.

Решение:

$S_{\text{осн}} = a^2, \quad V = \frac{1}{3} a^2 h$

Пример. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, высота равна 8. Найти объём.

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$.

Ответ: 96.

Случай 2: правильная треугольная пирамида (тетраэдр)

Что дано: сторона основания $a$, высота $h$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$:

$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Объём:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{12}$

Пример. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, высота 6. Найти объём.

$V = \frac{16 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{12} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\sqrt{3}$.

Случай 3: правильная шестиугольная пирамида

Что дано: сторона основания $a$, высота $h$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ — это 6 равносторонних треугольников:

$S_{\text{осн}} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$

Объём:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{2}$

Пример. Сторона основания 2, высота 5. Объём $= \frac{4 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Случай 4: наклонная пирамида (основание — прямоугольник)

Что дано: прямоугольное основание $a \times b$, высота $h$ (перпендикуляр из вершины на плоскость основания).

$V = \frac{1}{3} ab \cdot h$

Высота может попадать ВНЕ прямоугольника (наклонная пирамида), но формула та же. Важно: высота — это именно перпендикуляр на плоскость, не боковое ребро.

Пример. Основание прямоугольной пирамиды — прямоугольник со сторонами 5 и 3. Боковое ребро равно 7. Высота пирамиды попадает в один из углов основания. Найти объём.

Решение. Если высота попадает в угол, то она перпендикулярна обоим сторонам основания, выходящим из этого угла. Тогда высота — это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой = боковому ребру.

Однако в этом случае нам нужно знать, в какой угол идёт высота. Если в угол, к которому прилегают стороны 5 и 3, и диагональ основания — гипотенуза прямоугольного треугольника «высота — диагональ — ребро», то:

Диагональ основания: $\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$.

Высота: $h = \sqrt{7^2 - 34} = \sqrt{49 - 34} = \sqrt{15}$.

Объём: $V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{15} = 5\sqrt{15}$.

Ответ: $5\sqrt{15}$.

Нахождение высоты, когда её нет

Часто в задачах вместо высоты дают апофему (для правильной пирамиды — высоту боковой грани) или боковое ребро. Тогда высоту нужно найти.

Через апофему (правильная пирамида)

Апофема $a_{\text{бок}}$ — высота равнобедренного треугольника-боковой грани, опущенная на сторону основания.

Связь: апофема, высота пирамиды и расстояние от центра основания до середины стороны образуют прямоугольный треугольник.

Для правильной четырёхугольной пирамиды: расстояние от центра квадрата до середины стороны = $a/2$. Тогда:

$a_{\text{бок}}^2 = h^2 + (a/2)^2$

Если знаешь апофему и сторону, $h = \sqrt{a_{\text{бок}}^2 - a^2/4}$.

Через боковое ребро (правильная пирамида)

Боковое ребро $l$, расстояние от центра основания до вершины основания = радиус описанной окружности $R$.

Для квадрата: $R = a\sqrt{2}/2$. Для равностороннего треугольника: $R = a/\sqrt{3}$. Для правильного шестиугольника: $R = a$.

Тогда: $l^2 = h^2 + R^2$, откуда $h = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Пример. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 9. Найти объём.

$R = 6\sqrt{2}/2 = 3\sqrt{2}$. $h = \sqrt{81 - 18} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$.

Ответ: $36\sqrt{7}$.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 3 (стереометрия базовая, 1 балл)

Прямое применение формулы. Часто даны сторона основания и высота, нужно вычислить объём.

Пример. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой 4, а высота 9.

$V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 9 = 48$.

Ответ: 48.

Задание 14 (стереометрия повышенная, 3 балла)

Часть задач 14 требует найти объём пирамиды как часть более сложной конструкции. Нужно последовательно: найти основание, найти высоту, применить формулу.

Стандартный сюжет: даны пирамида и точка/прямая в ней, нужно найти объём части пирамиды, отсечённой плоскостью. Это уже не базовая формула, а её применение к подпирамиде.

Распространённые ошибки

1. Забыть множитель 1/3. Самая частая ошибка для задания 3. Если ответ кажется большим, проверь, не написал ли $V = S \cdot h$ без 1/3.

2. Использовать боковое ребро как высоту. Высота — это перпендикуляр из вершины на плоскость основания. Боковое ребро — это отрезок от вершины пирамиды к вершине основания, он НЕ перпендикулярен основанию (если только пирамида не «вертикальная» с одним из углов основания под вершиной).

3. Перепутать тип основания. Если в задаче «правильная треугольная пирамида», основание — равносторонний треугольник, не равнобедренный и не любой.

4. Не различать пирамиду и усечённую пирамиду. Усечённая пирамида (когда верх обрезан плоскостью, параллельной основанию) имеет другую формулу объёма: $V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

5. Перепутать апофему пирамиды (высота грани) и апофему многоугольника (расстояние от центра до стороны). Это разные понятия, хотя слово одно.

Связь с другими темами

• Пирамида — общая страница про пирамиду со всеми типами и теорией.
• Объём конуса — родственная формула с тем же коэффициентом 1/3.
• Призма: объём и площадь поверхности — призма с тем же основанием имеет объём в 3 раза больше пирамиды.
• Площадь треугольника — для нахождения площади основания в треугольных пирамидах.

Что запомнить

Формула:

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

Главное:

• $S_{\text{осн}}$ — по формулам соответствующего многоугольника.
• $h$ — перпендикуляр на плоскость основания (не боковое ребро!).
• Коэффициент 1/3 обязателен.

Алгоритм для задания 3: определи тип основания → найди его площадь → найди высоту → подставь в формулу.