Объём шара и площадь сферы: формулы и задачи

Шар — одно из трёх тел вращения вместе с цилиндром и конусом, которые напрямую проверяются в ЕГЭ. Задание 3 части 1 требует применить формулу объёма или площади почти без подготовки, а задание 14 части 2 устроено хитрее: там шар обычно вписан в многогранник или описан вокруг него, и сначала нужно через геометрию найти радиус, а уже потом подставить его в формулу. В этой статье разберём обе ситуации и потренируемся на четырёх примерах нарастающей сложности.

Основные формулы

Пусть $R$ — радиус шара (или сферы). Тогда объём тела и площадь ограничивающей его поверхности считаются так:

$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$

$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$

Эти две формулы нужно знать наизусть. В справочных материалах ЕГЭ их обычно нет, поэтому на самостоятельность памяти тут полагаться придётся. Хорошая новость: формулы короткие и связаны между собой. Обе начинаются с «четыре пи», а отличаются степенью радиуса: у объёма куб, у площади квадрат. Объём «больше по размерности», поэтому у него и степень выше, и дополнительный множитель одна треть.

Важно с самого начала чётко различать слова «шар» и «сфера». Сфера — это поверхность, тонкая оболочка, у неё есть площадь, но нет объёма. Шар — это тело, заполненное «изнутри», у него есть объём. На ЕГЭ слово «шар» всегда означает тело, а «сфера» — поверхность. Если в условии спрашивают площадь, речь идёт о сфере; если объём — о шаре. Эта пара понятий путается чаще всего, поэтому возьми за правило подчёркивать в условии, что именно нужно найти, прежде чем браться за формулу.

Откуда вообще берётся коэффициент «четыре трети»? Строго его выводят через интеграл, но есть наглядное объяснение через тот самый цилиндр Архимеда. Если взять цилиндр, в который шар вписан вплотную, то объём шара составляет ровно две трети объёма этого цилиндра. Объём цилиндра — это площадь основания на высоту, и при подстановке именно из этого соотношения и вырастает множитель четыре трети. Понимать происхождение формулы полезно: если на экзамене ты вдруг засомневался, какой коэффициент правильный, можно восстановить его из «правила двух третей» и не угадывать.

Связь между формулами: обратный ход

В задачах радиус дают не всегда. Иногда известен объём, иногда площадь поверхности, и радиус приходится восстанавливать. Это обратный ход по тем же формулам.

Если дан объём, выражаем радиус через кубический корень:

$R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Если дана площадь поверхности, радиус находим через обычный квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

В задании 14 порядок действий почти всегда такой: сначала через геометрию фигуры находим радиус вписанного или описанного шара, а потом по найденному радиусу считаем объём или площадь. Поэтому уметь работать в обе стороны — обязательный навык. Если ты застрял, спроси себя: «что мне дано и что нужно?» — и выбери ту из четырёх формул, которая связывает именно эти величины.

Маленькая, но важная деталь: когда выражаешь радиус из объёма, появляется кубический корень, а из площади — обычный квадратный. Кубический корень многих пугает, но на ЕГЭ числа подбирают так, чтобы он извлекался красиво. Если под кубическим корнем получилось не точное число, скорее всего, где-то закралась арифметическая ошибка — стоит перепроверить вычисления, а не пытаться извлекать корень приближённо. Это хороший индикатор: некрасивый корень почти всегда означает описку выше по решению.

Шар вписан в тело или описан вокруг тела

Самое интересное начинается, когда шар связан с другой фигурой. Тут всё решает геометрия: нужно понять, чего именно касается шар, и из этого вытащить радиус. Разберём ключевую идею, которая работает во всех таких задачах. Вписанный шар касается граней или поверхностей фигуры изнутри, поэтому его центр одинаково удалён от этих граней, а радиус — это расстояние от центра до ближайшей касающейся поверхности. Описанный шар, наоборот, проходит через вершины фигуры, поэтому его центр одинаково удалён от всех вершин, а радиус — это расстояние от центра до любой вершины. Запомни это различие: вписанный «касается граней», описанный «проходит через вершины». Перепутаешь — получишь не тот радиус и не тот ответ.

Шар вписан в куб

Вписанный шар касается всех шести граней куба изнутри. Его диаметр равен ребру куба, поэтому радиус — половина ребра:

$R = \frac{a}{2}$

где $a$ — ребро куба. Логика простая: шар «зажат» между противоположными гранями, расстояние между которыми равно ребру, значит, диаметр шара тоже равен ребру.

Шар описан вокруг куба

Описанный шар проходит через все восемь вершин куба. Его диаметр равен пространственной диагонали куба, а она равна ребру, умноженному на корень из трёх. Поэтому радиус — половина диагонали:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Сравни два случая: у вписанного шара радиус меньше, у описанного — больше. Это естественно: вписанный шар целиком сидит внутри куба, а описанный охватывает его снаружи.

Шар вписан в цилиндр

Если шар вписан в цилиндр, он касается обоих оснований и боковой поверхности. Тогда высота цилиндра равна диаметру шара, то есть $h = 2R$, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара. Объём такого цилиндра:

$V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$

Отношение объёма шара к объёму описанного цилиндра — знаменитый факт, открытый ещё Архимедом:

$\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цил}}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$

Архимед так гордился этим результатом, что просил высечь шар, вписанный в цилиндр, на своём надгробии. Для нас это удобная проверка: объём шара всегда составляет ровно две трети объёма описанного цилиндра. Если в задаче рядом фигурируют и шар, и описанный вокруг него цилиндр, это соотношение часто сокращает решение на несколько шагов — вместо отдельного вычисления объёма шара можно взять две трети от уже найденного объёма цилиндра.

Шар вписан в конус

Для конуса с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ радиус вписанного шара находят по формуле:

$R = \frac{r \cdot h}{r + l}$

Эта формула выводится из равенства площадей в осевом сечении, но запоминать её удобнее как готовый инструмент. В осевом сечении конус превращается в равнобедренный треугольник, а вписанный шар — в окружность, вписанную в этот треугольник. Тогда радиус шара — это просто радиус вписанной окружности треугольника, и формула становится понятной геометрически. Разберём на числах.

Пример. Конус с $r = 3$, $h = 4$. Сначала находим образующую: $l = \sqrt{9+16} = 5$. Затем радиус вписанного шара:

$R = \frac{3 \cdot 4}{3 + 5} = \frac{12}{8} = 1{,}5$

Разбор примеров

Теперь пройдём четыре задачи. Они выстроены по нарастанию: от прямой подстановки в задании 3 до геометрии вписанных тел в задании 14. Старайся на каждом следующем примере брать на себя всё больше шагов самостоятельно.

Пример 1 (задание 3, уровень А). Радиус шара равен 6. Найди объём шара.

Это самый простой тип: радиус дан, формула известна, остаётся аккуратно возвести в куб и умножить.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$

Ответ: $288\pi$.

Пример 2 (задание 3, уровень Б). Площадь поверхности сферы равна $100\pi$. Найди объём шара.

Здесь радиус не дан, поэтому добавляется один шаг — восстановить его из площади. Из равенства $S = 4\pi R^2 = 100\pi$ сокращаем на $4\pi$ и получаем $R^2 = 25$, откуда $R = 5$. Теперь подставляем радиус в формулу объёма:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \cdot 125\pi = \frac{500\pi}{3}$

Ответ: $\dfrac{500\pi}{3}$.

Пример 3 (задание 14, уровень В). Шар вписан в куб с ребром $10$. Найди объём шара.

Это уже задание 14: сначала геометрия, потом формула. Шар вписан в куб, значит, его радиус равен половине ребра: $R = 10/2 = 5$. Дальше всё как в первом примере:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500\pi}{3}$

Ответ: $\dfrac{500\pi}{3}$.

Пример 4 (задание 14, уровень Г). Шар описан вокруг правильного тетраэдра с ребром $a$. Найди площадь сферы.

Тут самостоятельной работы больше: нужно вспомнить радиус описанной сферы правильного тетраэдра. Он равен:

$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Подставляем в формулу площади сферы и аккуратно упрощаем. При возведении в квадрат корень из шести превращается в шесть, а шестнадцать в знаменателе сокращается:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{6a^2}{16} = \frac{3\pi a^2}{2}$

Ответ: $\dfrac{3\pi a^2}{2}$.

Как шар появляется в реальных задачах ЕГЭ

В задании 3 шар почти всегда задан напрямую: дают радиус или диаметр, иногда площадь поверхности, и просят найти объём — или наоборот. Это один-два шага и аккуратная арифметика. Здесь главное не растеряться от степеней и не перепутать, что именно спрашивают. Если научишься за тридцать секунд переводить любую из четырёх величин (радиус, диаметр, объём, площадь) в любую другую, задание 3 на шар будет приносить балл стабильно.

В задании 14 шар играет роль связующего звена между многогранником и формулой. Типичная конструкция: «в правильную пирамиду вписан шар» или «вокруг призмы описана сфера». Тут весь интерес — в нахождении радиуса. Для вписанного шара часто используют связь радиуса с объёмом и полной поверхностью фигуры: радиус вписанного шара равен утроенному объёму, делённому на полную поверхность. Эта формула универсальна для любого многогранника, в который вписан шар, и её стоит держать в голове как запасной инструмент, когда геометрия фигуры сложная.

Отдельный класс задач — шар, вписанный в тело вращения или описанный вокруг него. Цилиндр, конус и их комбинации с шаром встречаются регулярно. Здесь помогает рисунок осевого сечения: трёхмерная картинка превращается в плоскую, и касания шара становятся видны как касания окружности и прямых. Многие «страшные» задачи на шар решаются именно через переход к осевому сечению, где работает обычная планиметрия.

Частые ошибки

Первая ошибка — перепутать радиус и диаметр. Если в условии дан диаметр, не забудь поделить его на два, прежде чем подставлять в формулу. Радиус входит в куб, поэтому ошибка в два раза превращается в ошибку в восемь раз по объёму.

Вторая ошибка — потерять дробный коэффициент. Объём — это четыре трети пи эр в кубе, а не четыре пи эр в кубе. Разница в три раза, и она стоит всего балла.

Третья ошибка — спутать степени в формулах объёма и площади. Объём всегда в кубе, площадь всегда в квадрате. Если запутался, вспомни про размерность: объём измеряется в кубических единицах, площадь — в квадратных.

Четвёртая ошибка — в задании 14 сразу хвататься за формулу, не найдя радиус. Сначала геометрия: пойми, как шар касается фигуры, и вычисли радиус. Только потом — формула объёма или площади. Спешка тут наказывается особенно жёстко: без правильного радиуса все дальнейшие выкладки бессмысленны, сколько бы аккуратной ни была арифметика.

Пятая ошибка — приближённо считать там, где ответ должен остаться точным. На ЕГЭ ответы с шаром почти всегда записывают через число пи, а не в виде десятичной дроби. Если ты заменишь пи на 3,14 и округлишь, потеряешь точность и, скорее всего, балл. Оставляй пи в ответе как символ.

Связь с другими темами

• Сфера и шар — базовые свойства и взаимное расположение шара с другими телами.
• Цилиндр — объём цилиндра, вписание шара.
• Конус — объём конуса, вписание шара.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — прямой расчёт объёма или площади поверхности по заданному радиусу или диаметру.
• Задание 14 — стереометрия части 2, шар вписан в многогранник или описан вокруг него; сначала геометрия, потом формула.