Объём шара и площадь сферы: формулы и задачи

Шар — одно из трёх тел вращения (вместе с цилиндром и конусом), которые напрямую проверяются в ЕГЭ. Задание 3 требует применить формулу напрямую, задание 14 — сначала найти радиус через геометрию вписанного или описанного шара.

Основные формулы

Пусть $R$ — радиус шара (или сферы):

$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$

$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$

Эти формулы нужно знать наизусть — на ЕГЭ их не дают в справочном листе (в отличие от некоторых других формул).

Связь между формулами

Если знаешь $R$, вычисляешь $V$ и $S$ напрямую.

Если дан объём → находишь $R$:

$R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Если дана площадь поверхности → находишь $R$:

$R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$

Часто в задании 14 сначала находишь радиус через геометрию, а потом подставляешь в формулу объёма.

Шар вписан в тело или описан вокруг тела

Шар вписан в куб

Вписанный шар касается всех 6 граней куба. Радиус:

$R = \frac{a}{2}$

где $a$ — ребро куба.

Шар описан вокруг куба

Описанный шар проходит через все 8 вершин. Радиус равен половине пространственной диагонали:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Шар вписан в цилиндр

Если шар вписан в цилиндр (касается обоих оснований и боковой поверхности), то высота цилиндра $h = 2R$ и радиус основания равен $R$.

Объём цилиндра в этом случае: $V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$.

Отношение: $V_{\text{шара}}/V_{\text{цил}} = \dfrac{4/3}{2} = \dfrac{2}{3}$ — классический факт (Архимед!).

Шар вписан в конус

Для конуса с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l = \sqrt{r^2 + h^2}$:

$R = \frac{r \cdot h}{r + l}$

Пример. Конус: $r = 3$, $h = 4$, $l = \sqrt{9+16} = 5$. $R = \frac{3 \cdot 4}{3 + 5} = \frac{12}{8} = 1{,}5$

На ЕГЭ чаще используют формулу через площадь боковой поверхности: $R = \dfrac{V_{\text{конуса}}}{S_{\text{полн}}} \cdot 3$.

Разбор примеров

Пример 1 (задание 3, уровень А). Радиус шара равен 6. Найди объём шара.

Решение.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$

Ответ: $288\pi$.

Пример 2 (задание 3, уровень Б). Площадь поверхности сферы равна $100\pi$. Найди объём шара.

Решение.

Из $S = 4\pi R^2 = 100\pi$ находим $R^2 = 25$, $R = 5$.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \cdot 125\pi = \frac{500\pi}{3}$

Ответ: $\dfrac{500\pi}{3}$.

Пример 3 (задание 14, уровень В). Шар вписан в прямоугольный параллелепипед с измерениями $10 \times 10 \times 10$ (куб). Найди объём шара.

Решение.

Шар вписан в куб, значит $R = a/2 = 5$.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$

Ответ: $\dfrac{500\pi}{3}$.

Пример 4 (задание 14, уровень Г). Шар описан вокруг правильного тетраэдра с ребром $a$. Найди площадь сферы.

Решение.

Радиус описанной сферы правильного тетраэдра: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{6a^2}{16} = \frac{3\pi a^2}{2}$

Ответ: $\dfrac{3\pi a^2}{2}$.

Частые ошибки

1. Перепутать R и D. Если дан диаметр — делишь на 2, потом подставляешь в формулу.
2. Забыть дробный коэффициент. $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, а не $4\pi R^3$. Разница — в 3 раза.
3. Спутать формулы V и S по степени. Объём — куб ($R^3$), площадь — квадрат ($R^2$).
4. Не найти R перед применением формулы. В задании 14 сначала нужна геометрия (вписание/описание), только потом формула.

Связь с другими темами

• Сфера и шар — базовые свойства и взаимное расположение шара с другими телами.
• Цилиндр — объём цилиндра, вписание шара.
• Конус — объём конуса, вписание шара.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — прямой расчёт объёма или площади поверхности по заданному радиусу или диаметру.
• Задание 14 — стереометрия части 2, шар вписан в многогранник или описан вокруг него; сначала геометрия, потом формула.