Площадь криволинейной трапеции через определённый интеграл

Задание 12 ЕГЭ профиль — это вычисление площади фигуры. В большинстве случаев речь идёт о площади криволинейной трапеции, то есть фигуры, расположенной под графиком функции. Ниже разберём определение, формулу, пошаговый алгоритм и три типичных варианта задач с полными решениями.

Определение и формула

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная:

• снизу — осью $Ox$
• сверху — графиком $y = f(x)$
• по бокам — прямыми $x = a$ и $x = b$

Площадь такой фигуры, если $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$:

$S = \int_a^b f(x)\, dx$

Для вычисления используется формула Ньютона-Лейбница:

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная $f(x)$.

Обозначение: $F(b) - F(a)$ часто записывают как $[F(x)]_a^b$ или $F(x)\Big|_a^b$.

Алгоритм решения задачи 12

1. Найди первообразную $F(x)$ функции $f(x)$ по таблице (или с помощью правил)
2. Подставь пределы: $F(b) - F(a)$
3. Проверь, не меняет ли $f(x)$ знак на $[a, b]$. Если меняет — разбей на части
4. Запиши ответ с единицами (кв. ед. или просто число)

Когда функция меняет знак

Если $f(x)$ принимает отрицательные значения на части отрезка, интеграл считает ту часть со знаком минус. Для площади (которая всегда положительна) нужно брать модуль.

Алгоритм при смене знака:

1. Найди нули $f(x)$ на $[a, b]$ — точки $c_1, c_2, \ldots$
2. Разбей $[a, b]$ на подотрезки по этим нулям
3. На каждом подотрезке вычисли интеграл
4. Возьми модуль от отрицательных частей
5. Сложи все площади

$S = \left|\int_a^{c_1} f(x)\,dx\right| + \left|\int_{c_1}^{c_2} f(x)\,dx\right| + \ldots$

Разбор задачи 1

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$, $x = 3$.

Решение.

Шаг 1. Найди нули $f(x) = x^2 - 4$: $x^2 = 4$, $x = \pm 2$. На отрезке $[0, 3]$ нуль в точке $x = 2$.

Шаг 2. Определи знак на подотрезках:

• $[0, 2]$: $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ — функция отрицательна
• $[2, 3]$: $f(2.5) = 6.25 - 4 = 2.25 > 0$ — функция положительна

Шаг 3. Первообразная: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x$

Шаг 4. Вычисли интегралы:

$\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - 0 = -\frac{16}{3}$

$\int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3 = \left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Шаг 5. Площадь:

$S = \left|-\frac{16}{3}\right| + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 \text{ кв. ед.}$

Разбор задачи 2

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной $y = \sin x$ и осью $Ox$ на $[0, \pi]$.

Решение. На $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, знак не меняется.

$S = \int_0^{\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$

Разбор задачи 3 (между двумя кривыми)

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Решение.

Шаг 1. Найди точки пересечения: $x^2 = x + 2$, $x^2 - x - 2 = 0$, $(x-2)(x+1) = 0$. Точки: $x = -1$ и $x = 2$.

Шаг 2. На $[-1, 2]$: $x + 2 \ge x^2$ (парабола снизу, прямая сверху).

Шаг 3. Интегрируй разность (верхняя минус нижняя):

$S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$

$= \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right)$

$= \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ кв. ед.}$

Какие виды задач на площадь бывают

В задании на площадь встречается несколько узнаваемых типов, и полезно различать их с первого взгляда. Самый простой тип — площадь под графиком одной функции на заданном отрезке, причём функция на всём отрезке неотрицательна. Здесь работаешь напрямую: находишь первообразную, подставляешь пределы, получаешь ответ. Никаких разбиений и модулей не требуется, потому что вся фигура лежит над осью.

Второй тип сложнее: функция на отрезке меняет знак, то есть часть фигуры лежит над осью, а часть под ней. Тогда нужно найти нули функции, разбить отрезок на участки и на отрицательных участках взять интеграл по модулю. Этот тип проверяет, помнишь ли ты, что площадь всегда положительна, тогда как интеграл может быть отрицательным. Пропуск проверки знака здесь — самая частая причина неверного ответа.

Третий тип — площадь фигуры, заключённой между двумя кривыми. Здесь фигура ограничена не осью, а двумя графиками: одним сверху и другим снизу. Сначала находят точки пересечения кривых — они задают пределы интегрирования. Затем определяют, какая функция верхняя, и интегрируют разность верхней и нижней функций. Иногда пределы интегрирования в условии не даны вовсе, и их приходится находить именно как точки пересечения. Этот тип объединяет навыки решения уравнений и интегрирования, поэтому считается самым комплексным.

Удобно, что в задаче на площадь между кривыми не нужно отдельно следить за тем, выше или ниже оси проходят сами графики. Важно лишь, какой из них выше другого. Даже если обе функции на отрезке отрицательны, разность верхней и нижней всё равно даёт высоту фигуры, а значит, и правильную площадь. Это упрощает решение: достаточно один раз определить верхнюю функцию в пробной точке и спокойно интегрировать разность, не отвлекаясь на положение фигуры относительно оси. Поэтому метод разности верхней и нижней функций считается универсальным для задач на площадь между двумя графиками.

Почему площадь — это интеграл

Связь площади и интеграла не случайна, и понимание этой связи помогает не запоминать формулу механически. Представь, что фигуру под графиком разбили на множество очень узких вертикальных столбиков. Каждый столбик почти прямоугольный: его ширина — это маленький шаг по оси икс, а высота — значение функции в этой точке. Площадь одного столбика — это высота на ширину, то есть значение функции, умноженное на маленький шаг. Чтобы получить площадь всей фигуры, нужно сложить площади всех столбиков.

Когда столбики становятся бесконечно узкими, а их число бесконечно большим, эта сумма превращается в определённый интеграл. Именно поэтому интеграл от функции по отрезку равен площади криволинейной трапеции под её графиком. Определённый интеграл по своей сути — это и есть «бесконечная сумма» площадей тонких столбиков. Зная это, ты понимаешь, почему площадь вычисляется именно через интеграл, а не через какую-то другую операцию, и почему так важен знак функции: столбик под осью даёт отрицательный вклад в интеграл, хотя его геометрическая площадь положительна.

Эта же картинка объясняет, как считать площадь между двумя кривыми. Если фигура зажата между верхним и нижним графиками, высота каждого тонкого столбика — это разность значений верхней и нижней функций. Складывая площади таких столбиков, получаешь интеграл от разности функций. Поэтому площадь между кривыми — это интеграл от верхней функции минус нижняя. Главное — правильно определить, какая функция сверху, иначе разность получится отрицательной, и площадь выйдет со знаком минус.

Почему важен знак функции

Самая частая ошибка в задании на площадь — забыть, что определённый интеграл учитывает знак функции. Над осью функция даёт положительный вклад в интеграл, под осью — отрицательный. Поэтому, если просто взять интеграл по всему отрезку, не глядя на знак, можно получить заниженную площадь, а иногда даже отрицательное число, что для площади бессмысленно. Интеграл в этом случае вычисляет не площадь, а разность площадей над осью и под осью.

Чтобы получить именно площадь, нужно сначала проверить, не меняет ли функция знак на отрезке. Для этого находят нули функции внутри отрезка — точки, где график пересекает ось. Эти точки разбивают отрезок на участки, на каждом из которых функция уже не меняет знак. На участках, где функция положительна, интеграл сразу даёт площадь. На участках, где функция отрицательна, интеграл получается отрицательным, поэтому его берут по модулю. Затем все площади складывают. Именно так была устроена первая задача с параболой, которая на части отрезка уходила под ось.

Привычка проверять знак должна стать автоматической. Перед любым вычислением площади задай себе вопрос: пересекает ли график ось внутри отрезка? Если да — разбивай отрезок по нулям и следи за знаком на каждом куске. Если нет, и функция на всём отрезке одного знака, можно считать интеграл сразу, а при отрицательной функции просто взять результат по модулю. Эта простая проверка спасает от самой обидной потери баллов в задании 12.

Полезно также уметь быстро прикинуть знак функции, не вычисляя ничего точно. Достаточно подставить в функцию одну удобную пробную точку из подотрезка и посмотреть на знак результата. Знак функции на всём подотрезке будет таким же, потому что между соседними нулями функция знак не меняет. Этот приём с пробной точкой ускоряет решение и снижает вероятность ошибки. Например, для параболы, ветви которой направлены вверх, между корнями функция отрицательна, а вне корней положительна — это можно знать заранее, не подставляя числа, если помнишь поведение параболы.

Разбор для самопроверки

Закрепи алгоритм на одной задаче без подсказок.

Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9 - x^2$ и осью $Ox$.

Опорные шаги: найди нули функции — это пределы интегрирования. Проверь знак функции между ними. Найди первообразную, подставь пределы по формуле Ньютона-Лейбница и при необходимости возьми модуль.

Что запомнить

Площадь криволинейной трапеции под графиком неотрицательной функции равна определённому интегралу от этой функции по отрезку. Интеграл вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница: находят первообразную и берут разность её значений на верхнем и нижнем пределах.

Главное правило — следить за знаком функции. Если функция на отрезке меняет знак, разбей отрезок по нулям функции и на отрицательных участках бери интеграл по модулю, иначе получишь не площадь, а разность площадей. Перед вычислением всегда проверяй, пересекает ли график ось внутри отрезка.

Для площади между двумя кривыми найди точки их пересечения, определи, какая функция верхняя, и интегрируй разность «верхняя минус нижняя» по отрезку между точками пересечения. Тогда подынтегральное выражение будет положительным, и площадь получится правильной.

Типичные ошибки

Первая и самая частая ошибка — забыть про знак функции и взять интеграл по всему отрезку, не разбивая его. Если функция где-то отрицательна, такой интеграл даст не площадь, а разность площадей, и ответ окажется заниженным. Всегда проверяй, пересекает ли график ось внутри отрезка.

Вторая ошибка возникает в задачах на площадь между кривыми — путают, какая функция верхняя, а какая нижняя. Если вычесть из нижней функции верхнюю, разность получится отрицательной, и площадь выйдет со знаком минус. Чтобы этого избежать, всегда проверяй положение функций в пробной точке между точками пересечения.

Третья ошибка — арифметическая, при подстановке пределов в первообразную. В формуле Ньютона-Лейбница из значения первообразной на верхнем пределе вычитают значение на нижнем, и здесь легко перепутать порядок или ошибиться в знаке при работе с отрицательными пределами. Особенно осторожно нужно подставлять отрицательные числа в нечётные степени. Привычка аккуратно выписывать каждое значение и только потом вычитать сильно снижает риск такой ошибки.

Четвёртая ошибка — потеря или лишнее добавление постоянной интегрирования. В определённом интеграле, который и считает площадь, постоянная не нужна: при вычитании значений первообразной она сокращается. Поэтому при вычислении площади постоянную писать не надо. А вот первообразную нужно найти правильно, без ошибок в формулах из таблицы.

Пятая ошибка встречается в задачах, где пределы интегрирования не даны явно. Школьник иногда берёт первые попавшиеся числа за пределы или забывает, что их нужно найти как точки пересечения графиков либо как нули функции. В результате интегрирование идёт по неправильному отрезку, и площадь получается совсем другой. Поэтому, прежде чем интегрировать, всегда чётко определи пределы: если фигура ограничена осью, это нули функции, а если двумя кривыми — точки их пересечения. Только убедившись, что пределы найдены верно, переходи к вычислению интеграла — это сэкономит время и убережёт от грубых ошибок.

Связь с другими темами

• Формула Ньютона-Лейбница — как вычислять определённый интеграл через первообразную.
• Свойства интеграла — аддитивность нужна при разбиении отрезка.
• Таблица первообразных — формулы для нахождения первообразной.
• Неопределённый интеграл — что такое интеграл и первообразная.