Площадь криволинейной трапеции через определённый интеграл

Задание 12 ЕГЭ профиль — вычисление площади. В большинстве случаев это площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры под графиком функции. Разберём формулу, алгоритм и три типичных варианта задач.

Определение и формула

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная:

• снизу — осью $Ox$
• сверху — графиком $y = f(x)$
• по бокам — прямыми $x = a$ и $x = b$

Площадь такой фигуры, если $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$:

$S = \int_a^b f(x)\, dx$

Для вычисления используется формула Ньютона-Лейбница:

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная $f(x)$.

Обозначение: $F(b) - F(a)$ часто записывают как $[F(x)]_a^b$ или $F(x)\Big|_a^b$.

Алгоритм решения задачи 12

1. Найди первообразную $F(x)$ функции $f(x)$ по таблице (или с помощью правил)
2. Подставь пределы: $F(b) - F(a)$
3. Проверь, не меняет ли $f(x)$ знак на $[a, b]$. Если меняет — разбей на части
4. Запиши ответ с единицами (кв. ед. или просто число)

Когда функция меняет знак

Если $f(x)$ принимает отрицательные значения на части отрезка, интеграл считает ту часть со знаком минус. Для площади (которая всегда положительна) нужно брать модуль.

Алгоритм при смене знака:

1. Найди нули $f(x)$ на $[a, b]$ — точки $c_1, c_2, \ldots$
2. Разбей $[a, b]$ на подотрезки по этим нулям
3. На каждом подотрезке вычисли интеграл
4. Возьми модуль от отрицательных частей
5. Сложи все площади

$S = \left|\int_a^{c_1} f(x)\,dx\right| + \left|\int_{c_1}^{c_2} f(x)\,dx\right| + \ldots$

Разбор задачи 1

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$, $x = 3$.

Решение.

Шаг 1. Найди нули $f(x) = x^2 - 4$: $x^2 = 4$, $x = \pm 2$. На отрезке $[0, 3]$ нуль в точке $x = 2$.

Шаг 2. Определи знак на подотрезках:

• $[0, 2]$: $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ — функция отрицательна
• $[2, 3]$: $f(2.5) = 6.25 - 4 = 2.25 > 0$ — функция положительна

Шаг 3. Первообразная: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x$

Шаг 4. Вычисли интегралы:

$\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - 0 = -\frac{16}{3}$

$\int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3 = \left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Шаг 5. Площадь:

$S = \left|-\frac{16}{3}\right| + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 \text{ кв. ед.}$

Разбор задачи 2

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной $y = \sin x$ и осью $Ox$ на $[0, \pi]$.

Решение. На $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, знак не меняется.

$S = \int_0^{\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$

Разбор задачи 3 (между двумя кривыми)

Условие. Найди площадь фигуры, ограниченной $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Решение.

Шаг 1. Найди точки пересечения: $x^2 = x + 2$, $x^2 - x - 2 = 0$, $(x-2)(x+1) = 0$. Точки: $x = -1$ и $x = 2$.

Шаг 2. На $[-1, 2]$: $x + 2 \ge x^2$ (парабола снизу, прямая сверху).

Шаг 3. Интегрируй разность (верхняя минус нижняя):

$S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$

$= \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right)$

$= \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ кв. ед.}$