Свойства интеграла: линейность и аддитивность

Два ключевых свойства интеграла — линейность и аддитивность — позволяют решать большинство задач ЕГЭ на интегрирование, не прибегая к сложным методам.

Линейность неопределённого интеграла

Линейность складывается из двух правил.

Правило 1. Интеграл суммы:

$\int (f(x) + g(x))\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Константу C пишешь один раз в конце.

Правило 2. Вынос константы:

$\int k \cdot f(x)\, dx = k \cdot \int f(x)\, dx$

Числовой множитель выносится за знак интеграла.

Пример применения линейности:

$\int (4x^3 - 6\sin x + \tfrac{5}{x})\, dx$

Разбиваем: $= 4\int x^3\, dx - 6\int \sin x\, dx + 5\int \frac{1}{x}\, dx$

$= 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot (-\cos x) + 5\ln|x| + C$

$= x^4 + 6\cos x + 5\ln|x| + C$

Аддитивность (для определённого интеграла)

Аддитивность — свойство определённого интеграла. Для любой точки $c \in [a, b]$:

$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$

Это означает: можно разрезать отрезок интегрирования на части и брать интеграл по частям.

Зачем это нужно: если функция $f(x)$ меняет знак на $[a, b]$, то для вычисления площади (а не алгебраической суммы) нужно разбить на участки, где функция положительна и где отрицательна.

Пример. Площадь фигуры между $y = x(x-2)$ и осью $Ox$ на $[0, 3]$.

Функция $f(x) = x^2 - 2x$: нули при $x = 0$ и $x = 2$.

• На $[0, 2]$: $f(x) \le 0$
• На $[2, 3]$: $f(x) \ge 0$

$S = \left|\int_0^2 (x^2 - 2x)\, dx\right| + \int_2^3 (x^2 - 2x)\, dx$

$= \left|\left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^2\right| + \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_2^3$

$= \left|\left(\frac{8}{3} - 4\right) - 0\right| + \left(\frac{27}{3} - 9\right) - \left(\frac{8}{3} - 4\right)$

$= \left|-\frac{4}{3}\right| + \left(0 - \left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Замена переменной для ЕГЭ (упрощённый вид)

Полная замена переменной — тема вузовского курса. На ЕГЭ встречается частный случай: функция от линейного аргумента $kx + b$.

Правило: если $F(x)$ — первообразная $f(x)$, то:

$\int f(kx + b)\, dx = \frac{1}{k} F(kx + b) + C$

Объяснение: при дифференцировании $\tfrac{1}{k}F(kx+b)$ по цепному правилу появляется множитель $k$, который сокращается с $\tfrac{1}{k}$.

Примеры:

$\int \sin(3x)\, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C$

Проверка: $\left(-\dfrac{\cos 3x}{3}\right)' = \dfrac{\sin 3x \cdot 3}{3} = \sin 3x$ — верно.

$\int e^{2x+1}\, dx = \frac{e^{2x+1}}{2} + C$

$\int (5x - 1)^4\, dx = \frac{(5x-1)^5}{5 \cdot 5} + C = \frac{(5x-1)^5}{25} + C$

Разбор задачи 1

Условие. Найди $\displaystyle\int \left(3e^{2x} - \frac{4}{\cos^2(5x)}\right)dx$.

Решение. Применяем линейность и правило замены:

$3 \cdot \frac{e^{2x}}{2} - 4 \cdot \frac{\tg(5x)}{5} + C = \frac{3e^{2x}}{2} - \frac{4\tg(5x)}{5} + C$

Проверка: $\left(\frac{3e^{2x}}{2}\right)' = \frac{3 \cdot 2e^{2x}}{2} = 3e^{2x}$ $\left(-\frac{4\tg(5x)}{5}\right)' = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\cos^2(5x)} = -\frac{4}{\cos^2(5x)}$

Оба совпадают — ответ верный.

Разбор задачи 2

Условие. Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi} |\sin x|\, dx$.

Решение. На $[0, \pi]$ функция $\sin x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$.

$\int_0^{\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$