Монотонность функции — промежутки возрастания и убывания

Связь производной и монотонности

Теорема о монотонности:

Если $f'(x) > 0$ на интервале $(a;\ b)$, то $f$ строго возрастает на $[a;\ b]$.

Если $f'(x) < 0$ на интервале $(a;\ b)$, то $f$ строго убывает на $[a;\ b]$.

Если $f'(x) = 0$ на всём $(a;\ b)$, то $f$ постоянна (константа).

Алгоритм нахождения промежутков монотонности

1. Найди $f'(x)$.
2. Найди нули $f'(x) = 0$ и точки, где $f'$ не определена (например, знаменатель = 0).
3. Отметь эти точки на числовой оси — они делят ось на промежутки.
4. Определи знак $f'$ на каждом промежутке (подстановкой пробной точки).
5. Запиши: $f' > 0$ → возрастание, $f' < 0$ → убывание.

Пример 1

Найти промежутки монотонности $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$.

Шаг 1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.

Шаг 2. Нули: $x = 1$ и $x = 3$.

Шаг 3. Промежутки: $(-\infty;\ 1)$, $(1;\ 3)$, $(3;\ +\infty)$.

Шаг 4. Знаки:

• При $x = 0$: $f'(0) = 9 > 0$.
• При $x = 2$: $f'(2) = 3(1)(-1) = -3 < 0$.
• При $x = 4$: $f'(4) = 3(3)(1) = 9 > 0$.

Шаг 5. Ответ:

• Возрастает на $(-\infty;\ 1]$ и $[3;\ +\infty)$.
• Убывает на $[1;\ 3]$.

Точки экстремума: $x = 1$ (максимум), $x = 3$ (минимум).

Пример 2: дробная функция

Найти промежутки монотонности $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 2}$.

$f'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

Нули $f'$: $x = 0$ и $x = 4$. Не определена: $x = 2$ (точка разрыва функции).

Промежутки: $(-\infty;\ 0)$, $(0;\ 2)$, $(2;\ 4)$, $(4;\ +\infty)$.

Знаки $f'$:

• $x = -1$: $\frac{(-1)(-5)}{9} = \frac{5}{9} > 0$ → возрастание.
• $x = 1$: $\frac{1(-3)}{1} = -3 < 0$ → убывание.
• $x = 3$: $\frac{3(-1)}{1} = -3 < 0$ → убывание.
• $x = 5$: $\frac{5 \cdot 1}{9} > 0$ → возрастание.

Ответ:

• Возрастает на $(-\infty;\ 0]$ и $[4;\ +\infty)$.
• Убывает на $[0;\ 2)$ и $(2;\ 4]$.

Пример 3 — по графику производной

По графику $f'(x)$ нужно определить промежутки убывания самой функции $f(x)$. Это типичный сюжет задания на чтение графика производной.

Алгоритм чтения:

• Найди участки, где график $f'$ лежит ниже оси $Ox$ (то есть $f' < 0$).
• Эти участки и есть промежутки убывания $f$.
• Где график $f'$ выше оси — там $f$ возрастает.
• Точки, где график $f'$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз, — точки максимума $f$; снизу вверх — точки минимума.

Третий разбор для самостоятельной работы

Чтобы потренироваться без подсказок, разбери функцию сам и сверься.

Найди промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x$.

Опорные шаги: найди производную (это квадратный трёхчлен), реши уравнение «производная равна нулю», расставь знаки методом интервалов и выпиши промежутки, где производная положительна.

Почему знак производной управляет монотонностью

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть мера того, как круто график идёт вверх или вниз. Если касательная наклонена вверх (положительный коэффициент), значит в этой точке функция мгновенно растёт. Когда такая ситуация сохраняется на всём промежутке, рост накапливается, и функция возрастает целиком. Если касательная всюду наклонена вниз, функция убывает. Поэтому исследование монотонности сводится к одному вопросу: где производная положительна, а где отрицательна. Сама формула функции при этом уже не важна — важен только знак её производной.

Из этого следует важный практический вывод. Чтобы понять, растёт или падает сложная функция, не нужно строить её график по точкам. Достаточно найти производную, определить её нули и точки разрыва, а затем расставить знаки на числовой оси. Знаки производной — это «карта поведения» функции: каждый плюс означает участок подъёма, каждый минус — участок спуска. Именно поэтому метод так ценят на экзамене: он превращает громоздкое исследование в короткую последовательность механических шагов.

Как аккуратно расставить знаки производной

Расстановка знаков — место, где теряют больше всего баллов, поэтому разберём её отдельно. Сначала находишь производную и приводишь её к удобному для анализа виду: чаще всего раскладываешь на множители или представляешь дробью. Затем отмечаешь на числовой оси все точки, где производная обращается в ноль, и все точки, где она не существует, — например, где знаменатель равен нулю. Эти точки делят ось на промежутки, и внутри каждого промежутка знак производной не меняется. Значит, достаточно подставить одно удобное число из промежутка и посмотреть на знак результата.

Важная тонкость касается чётности множителей. Если множитель входит в производную в чётной степени, например, стоит в квадрате в знаменателе, он всегда неотрицателен и сам по себе знак не меняет. Тогда переход через соответствующую точку не переворачивает общий знак производной. Это объясняет, почему в дробной функции из второго примера знаменатель в квадрате не влияет на чередование знаков, а влияет только числитель. Если не учитывать чётность, можно нарисовать чередование плюсов и минусов «через одну точку» и получить неверный ответ.

Последний шаг — перевод знаков в промежутки монотонности. Там, где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает. Концы промежутков включаешь, если в них функция непрерывна, и исключаешь в точках разрыва. Эта аккуратность с квадратными и круглыми скобками кажется мелочью, но на экзамене за неё снимают баллы, поэтому относись к ней серьёзно.

Разбор с функцией, содержащей логарифм

Многочлены и дроби разобрали — теперь посмотрим, как работает тот же алгоритм с логарифмической функцией. Здесь добавляется один обязательный шаг: проверка области определения, потому что логарифм существует не от всех чисел.

Найди промежутки монотонности функции $f(x) = x - \ln x$.

Сначала область определения. Под логарифмом стоит икс, значит требуется, чтобы икс был строго положителен. Вся работа дальше идёт только на положительной полуоси, и это сразу отсекает половину числовой прямой. Если забыть про это условие, можно ошибочно включить в ответ промежутки с отрицательными иксами, которых у функции вообще нет.

Теперь производная. Производная разности — разность производных: производная икса равна единице, производная натурального логарифма равна единице, делённой на икс. Получается, что производная этой функции — это единица минус дробь «единица на икс». Приведя к общему знаменателю, видим дробь, у которой в числителе стоит «икс минус единица», а в знаменателе — сам икс. Поскольку весь анализ идёт на положительной полуоси, знаменатель всегда положителен и на знак не влияет. Значит, поведение производной полностью определяется числителем.

Числитель обращается в ноль в точке, где икс равен единице. Левее этой точки, но правее нуля, числитель отрицателен — производная отрицательна, функция убывает. Правее единицы числитель положителен — производная положительна, функция возрастает. Итог: функция убывает на промежутке от нуля до единицы и возрастает от единицы и дальше. Точка, где икс равен единице, — точка минимума. Обрати внимание, что левый конец, ноль, в промежуток не включается, потому что в нуле функция не определена.

Этот пример показывает общий принцип: алгоритм не меняется от типа функции. Меняется только аккуратность в двух местах — в нахождении производной и в учёте области определения. Всё остальное — те же нули, те же знаки, те же скобки.

Что спрашивают на практике

Школьники часто задают один и тот же набор вопросов, когда впервые осваивают эту тему. Соберём ответы в одном месте.

Можно ли определить монотонность без производной? В простых случаях — да, по виду функции. Линейная функция с положительным коэффициентом возрастает всюду, парабола ветвями вверх убывает до вершины и возрастает после. Но для сложных функций — дробных, с логарифмами, с произведениями — глаз уже не справляется, и производная становится единственным надёжным инструментом. На экзамене лучше всегда опираться на производную, чтобы не ошибиться.

Что считать «строгим» возрастанием? Строгое возрастание означает, что при движении вправо значение функции обязательно увеличивается, без участков, где оно стоит на месте. Именно строгое возрастание гарантирует положительная производная на промежутке. Если же производная где-то обращается в ноль в отдельной точке, но знак не меняет, возрастание остаётся строгим — функция просто на мгновение «замедляется», но не останавливается.

Влияет ли знак самой функции на монотонность? Нет, это совершенно независимые вещи. Функция может принимать отрицательные значения и при этом возрастать, а может быть положительной и убывать. Монотонность определяется только знаком производной, а не знаком функции. Эту путаницу полезно проговорить себе отдельно, потому что она встречается особенно часто.

Нужно ли строить таблицу знаков обязательно? Формально нет, но на практике таблица или рисунок числовой оси со стрелками очень помогает не запутаться. Когда промежутков становится четыре и больше, держать чередование знаков в голове рискованно: легко перескочить через точку или потерять знак. Поэтому даже опытные ученики выписывают ось, отмечают на ней особые точки и под каждым промежутком ставят плюс или минус. Это занимает несколько секунд, но почти полностью исключает арифметические срывы в записи ответа.

Точки, где производная не существует

Нули производной — не единственные «особые» точки на числовой оси. Производная может не существовать там, где сама функция терпит разрыв или имеет излом. Например, у дробной функции в точке, где знаменатель обращается в ноль, нет ни значения функции, ни производной — это вертикальная асимптота. Такую точку обязательно отмечают на числовой оси наравне с нулями производной, потому что в ней знак производной тоже может смениться. Если её пропустить, два соседних промежутка ошибочно склеятся в один, и ответ окажется неверным.

Бывает и другой случай: функция определена и непрерывна, но в некоторой точке у неё острый угол — излом. В такой точке касательную провести нельзя, производная не существует, хотя слева и справа от неё всё в порядке. Классический пример — функция модуля: в нуле у неё угол, и производная там не определена, хотя слева функция убывает, а справа возрастает. Поэтому правило простое: на числовую ось выносим и нули производной, и все точки, где производной нет, — и только потом расставляем знаки на получившихся промежутках.

Связь монотонности с заданием 12 профиля

В задании 12 профиля просят найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Это прямое продолжение исследования на монотонность. Сначала ты находишь промежутки возрастания и убывания, затем определяешь, в каких точках функция меняет поведение, — это кандидаты на экстремум. На отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в точках экстремума внутри отрезка, либо на его концах. Поэтому навык быстро и без ошибок определять знак производной напрямую конвертируется в баллы за задание 12. Без него ты не сможешь понять, где функция достигает максимума, а где минимума.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. $f' > 0$ → $f$ возрастает; $f' < 0$ → $f$ убывает.
2. Алгоритм: найти $f'$, найти нули и точки разрыва, расставить знаки методом интервалов, записать промежутки.
3. Точки экстремума — на границах промежутков монотонности (смена знака $f'$).
4. Концы включай, если функция в них непрерывна; в точках разрыва — исключай.
5. Множитель в чётной степени знак производной не меняет — учитывай это при расстановке знаков.
6. Знак производной — это «карта поведения» функции: плюс — подъём, минус — спуск.

Связь с другими темами

• Экстремумы функции — точки, где монотонность меняется.
• Производная — что такое производная и как её считать.
• Правила дифференцирования — как находить $f'$ для суммы, произведения, частного.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — прямое применение монотонности в задании 12.