Монотонность функции — промежутки возрастания и убывания

Связь производной и монотонности

Теорема о монотонности:

Если $f'(x) > 0$ на интервале $(a;\ b)$, то $f$ строго возрастает на $[a;\ b]$.

Если $f'(x) < 0$ на интервале $(a;\ b)$, то $f$ строго убывает на $[a;\ b]$.

Если $f'(x) = 0$ на всём $(a;\ b)$, то $f$ постоянна (константа).

Алгоритм нахождения промежутков монотонности

1. Найди $f'(x)$.
2. Найди нули $f'(x) = 0$ и точки, где $f'$ не определена (например, знаменатель = 0).
3. Отметь эти точки на числовой оси — они делят ось на промежутки.
4. Определи знак $f'$ на каждом промежутке (подстановкой пробной точки).
5. Запиши: $f' > 0$ → возрастание, $f' < 0$ → убывание.

Пример 1

Найти промежутки монотонности $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$.

Шаг 1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.

Шаг 2. Нули: $x = 1$ и $x = 3$.

Шаг 3. Промежутки: $(-\infty;\ 1)$, $(1;\ 3)$, $(3;\ +\infty)$.

Шаг 4. Знаки:

• При $x = 0$: $f'(0) = 9 > 0$.
• При $x = 2$: $f'(2) = 3(1)(-1) = -3 < 0$.
• При $x = 4$: $f'(4) = 3(3)(1) = 9 > 0$.

Шаг 5. Ответ:

• Возрастает на $(-\infty;\ 1]$ и $[3;\ +\infty)$.
• Убывает на $[1;\ 3]$.

Точки экстремума: $x = 1$ (максимум), $x = 3$ (минимум).

Пример 2: дробная функция

Найти промежутки монотонности $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 2}$.

$f'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

Нули $f'$: $x = 0$ и $x = 4$. Не определена: $x = 2$ (точка разрыва функции).

Промежутки: $(-\infty;\ 0)$, $(0;\ 2)$, $(2;\ 4)$, $(4;\ +\infty)$.

Знаки $f'$:

• $x = -1$: $\frac{(-1)(-5)}{9} = \frac{5}{9} > 0$ → возрастание.
• $x = 1$: $\frac{1(-3)}{1} = -3 < 0$ → убывание.
• $x = 3$: $\frac{3(-1)}{1} = -3 < 0$ → убывание.
• $x = 5$: $\frac{5 \cdot 1}{9} > 0$ → возрастание.

Ответ:

• Возрастает на $(-\infty;\ 0]$ и $[4;\ +\infty)$.
• Убывает на $[0;\ 2)$ и $(2;\ 4]$.

Пример 3: задание 7

Задание 7 ЕГЭ. По графику $f'(x)$ определить промежутки убывания $f(x)$.

Алгоритм чтения:

• Найди участки, где график $f'$ ниже оси $Ox$ (то есть $f' < 0$).
• Это и есть промежутки убывания $f$.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. $f' > 0$ → $f$ возрастает; $f' < 0$ → $f$ убывает.
2. Алгоритм: найти $f'$, найти нули, расставить знаки, записать промежутки.
3. Точки экстремума — на границах промежутков монотонности (смена знака $f'$).