Полное исследование функции: пошаговый алгоритм

Полное исследование функции — это системный анализ, который позволяет понять поведение функции и построить качественный эскиз графика. Задания 11 и 12 ЕГЭ профиль часто требуют именно этого. Разбираем алгоритм и сразу применяем его к примеру.

Алгоритм: 7 шагов

Шаг 1. Область определения

Найди все $x$, при которых функция определена. Типичные ограничения:

• знаменатель $\ne 0$
• подкоренное выражение $\geq 0$
• аргумент логарифма $> 0$

Шаг 2. Чётность / нечётность

Проверь, является ли функция чётной ($f(-x) = f(x)$) или нечётной ($f(-x) = -f(x)$). Это позволяет строить половину графика, а вторую получать симметрично.

Шаг 3. Точки пересечения с осями

• Ось $Oy$: $f(0)$ (если $0$ в области определения).
• Ось $Ox$: реши уравнение $f(x) = 0$.

Шаг 4. Асимптоты

Найди вертикальные (в точках разрыва), горизонтальные и наклонные асимптоты. Подробнее — в разделе «Асимптоты функции».

Шаг 5. Монотонность и экстремумы (через $f'$)

1. Найди $f'(x)$.
2. Реши $f'(x) = 0$ — получи критические точки.
3. Расставь знаки $f'(x)$ между критическими точками.
4. Определи: где $f' > 0$ — функция возрастает, где $f' < 0$ — убывает.
5. Если знак $f'$ меняется с $+$ на $-$ — максимум; с $-$ на $+$ — минимум.

Шаг 6. Выпуклость и точки перегиба (через $f''$)

1. Найди $f''(x)$.
2. Реши $f''(x) = 0$ — кандидаты на точки перегиба.
3. Расставь знаки $f''$: где $f'' > 0$ — выпуклая вниз, где $f'' < 0$ — выпуклая вверх.
4. Если знак $f''$ меняется при переходе через точку — это точка перегиба.

Шаг 7. Эскиз графика

Отметь на осях: точки пересечения, экстремумы, точки перегиба, асимптоты. Нарисуй гладкую кривую через найденные точки, учитывая направление монотонности и выпуклость.

Разобранный пример: $f(x) = x^3 - 3x$

Шаг 1. Область определения

$f(x) = x^3 - 3x$ — многочлен, определён на всей числовой прямой: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2. Чётность / нечётность

$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.

Функция нечётная — график симметричен относительно начала координат.

Шаг 3. Точки пересечения с осями

Ось $Oy$: $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

Ось $Ox$: $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = \pm\sqrt{3}$.

Три точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$.

Шаг 4. Асимптоты

Многочлен непрерывен везде — вертикальных асимптот нет. При $x \to \pm\infty$ функция уходит в бесконечность — горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.

Шаг 5. Монотонность и экстремумы

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ и $x = 1$.

Из таблицы:

• На $(-\infty; -1)$: $f' > 0$ — возрастает.
• На $(-1; 1)$: $f' < 0$ — убывает.
• На $(1; +\infty)$: $f' > 0$ — возрастает.

Максимум в $x = -1$: $f(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка $(-1; 2)$.

Минимум в $x = 1$: $f(1) = 1 - 3 = -2$. Точка $(1; -2)$.

Шаг 6. Выпуклость и точки перегиба

$f''(x) = 6x$

$f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0$.

При $x < 0$: $f'' < 0$ — выпуклая вверх (вогнутая сверху). При $x > 0$: $f'' > 0$ — выпуклая вниз (вогнутая снизу).

Знак меняется — точка перегиба при $x = 0$: $f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

Шаг 7. Эскиз графика

Особенности для рациональных функций

Если исследуешь рациональную функцию $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, добавь в алгоритм:

• Шаг 1: ОДЗ — нули $q(x)$ исключаются.
• Шаг 4: обязательно ищи вертикальные асимптоты в нулях $q(x)$, горизонтальные — через пределы при $x \to \pm\infty$.

Пример. $g(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$

ОДЗ: $x \ne \pm 1$.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$ и $x = -1$ (проверь пределы — оба бесконечны).

Горизонтальная: $\lim_{x\to\infty} \dfrac{x}{x^2-1} = 0$. Асимптота $y = 0$.

$g'(x) = \dfrac{(x^2-1) - x \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \dfrac{-x^2 - 1}{(x^2-1)^2}$

Числитель $-x^2 - 1 < 0$ для всех $x$ — $g' < 0$ везде в ОДЗ. Функция монотонно убывает на каждом из трёх промежутков своей ОДЗ. Экстремумов нет.