Предел последовательности: определение, сходимость, число e

Предел последовательности — понятие, на котором строятся непрерывность, производная и интеграл. В ЕГЭ в явном виде встречается редко, но понимание помогает в задании 11 (исследование функций) и при работе с числом $e$.

Определение предела

Последовательность $\{a_n\}$ — функция на натуральных числах: $a_1, a_2, a_3, \ldots$

Предел последовательности:

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

означает: для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ такое, что при всех $n > N$: $|a_n - L| < \varepsilon$.

Неформально: при $n \to \infty$ члены $a_n$ становятся как угодно близки к $L$.

Сходимость: если предел существует и конечен, последовательность сходится.

Расходимость: если предела нет (бесконечность или «прыжки»), последовательность расходится.

Основные пределы

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k > 0)$

$\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n} = 0 \quad \text{(любая константа делённая на } n\text{)}$

$\lim_{n \to \infty} c = c \quad \text{(константа — предел сам)}$

$\lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0, & |q| < 1 \\ 1, & q = 1 \\ \text{не существует}, & q = -1 \text{ или } |q| > 1 \end{cases}$

Арифметика пределов

Если $\lim a_n = A$ и $\lim b_n = B$, то:

$\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$ $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$ $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$ $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$

Нахождение предела рациональной последовательности

Для $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ (где $P$ и $Q$ — многочлены), делим числитель и знаменатель на $n^{\deg Q}$ (наибольшую степень знаменателя):

Случай 1: $\deg P < \deg Q$. Предел $= 0$.

Случай 2: $\deg P = \deg Q$. Предел $=$ отношение старших коэффициентов.

Случай 3: $\deg P > \deg Q$. Предел $= \pm\infty$ (расходится).

Пример 1. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 5n - 1}{7n^2 - 2n + 4}$.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (2). Делим на $n^2$:

$\lim_{n\to\infty} \frac{3 + 5/n - 1/n^2}{7 - 2/n + 4/n^2} = \frac{3 + 0 - 0}{7 - 0 + 0} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\dfrac{3}{7}$.

Пример 2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 - 2}{5n^2 + 1}$.

$\deg P = 3 > \deg Q = 2$ → предел бесконечность. Делим на $n^2$:

$\lim_{n\to\infty} \frac{n - 2/n^2}{5 + 1/n^2} = \frac{\infty}{5} = +\infty$

Последовательность расходится.

Пример 3. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2 + 3n}$.

$\deg P = 0 < \deg Q = 2$ → предел $= 0$.

Число e

Число $e$ — основание натурального логарифма — определяется через предел:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots$

Обобщения: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{kn} = e^k$

Пример 4. Найти $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n$.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2$.

Ответ: $e^2$.

Бесконечно малые и бесконечно большие

Бесконечно малая: $a_n \to 0$ при $n \to \infty$.

Бесконечно большая: $|a_n| \to +\infty$ при $n \to \infty$.

Если $a_n$ — бесконечно большая, то $\dfrac{1}{a_n}$ — бесконечно малая (и наоборот).

Предел и непрерывность функции

Понятие предела последовательности лежит в основе непрерывности:

$f$ непрерывна в точке $x_0$ ↔ для любой последовательности $x_n \to x_0$ выполняется $f(x_n) \to f(x_0)$.

Это объясняет почему производная — это тоже предел: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 11 — косвенно через понятие производной и поведения функции при $x \to \pm\infty$.

Связь с другими темами

• Производная — производная как предел разностного отношения.
• Определённый интеграл — интеграл как предел интегральных сумм.