Непрерывность функции: определение и точки разрыва

Непрерывность — одно из ключевых свойств функции, которое проверяется в задании 11 ЕГЭ профиль. Нужно уметь объяснить, что значит «функция непрерывна», найти точки разрыва и понять, какого они типа. Начнём с интуиции, а потом перейдём к конкретным примерам.

Интуитивное определение непрерывности

Представь, что рисуешь график функции, не отрывая ручку от бумаги. Если это получается — функция непрерывна. Если в какой-то точке приходится оторвать ручку или перепрыгнуть — там точка разрыва.

Формально функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если выполнены три условия:

1. Функция определена в точке: $f(x_0)$ существует.
2. Существует предел: $\lim_{x \to x_0} f(x)$ конечен.
3. Предел равен значению: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Если хоть одно из трёх нарушено — $x_0$ является точкой разрыва.

Три типа точек разрыва

Различают три основных вида разрывов. Смотри на иллюстрацию — все три на одном рисунке:

Устранимый разрыв

Предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$ существует и конечен, но:

• функция в точке $x_0$ не определена, или
• значение $f(x_0)$ не совпадает с пределом.

Называется «устранимым», потому что можно доопределить функцию в этой точке — и разрыв исчезнет.

Пример: $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$

При $x = 0$ функция не определена (деление на ноль). Но предел $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ существует. Если доопределить $f(0) = 1$, разрыв устраняется.

Разрыв первого рода (скачок)

Существуют оба односторонних предела — левый $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ и правый $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ — оба конечны, но не равны друг другу.

Разность правого и левого предела называется скачком функции в точке $x_0$.

Пример: $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$

$f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

При $x \to 0^-$: предел равен $-1$. При $x \to 0^+$: предел равен $1$. Скачок равен $1 - (-1) = 2$. Функция в нуле не определена.

Разрыв второго рода

Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует вовсе.

Пример 1: $f(x) = \dfrac{1}{x}$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

Оба предела бесконечны — разрыв второго рода в точке $x = 0$.

Пример 2: $f(x) = \sin\!\dfrac{1}{x}$

При $x \to 0$ функция колеблется между $-1$ и $1$ бесконечно часто — предела не существует вовсе. Это тоже разрыв второго рода.

Как искать точки разрыва: алгоритм

1. Найди область определения — где функция не определена? Это кандидаты на точки разрыва (нули знаменателя, отрицательные подкоренные выражения и т.д.).
2. Вычисли односторонние пределы в каждой подозрительной точке.
3. Классифицируй по таблице:

Задачи ЕГЭ

Задача 1

Найди точки разрыва функции $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ и определи их тип.

Решение.

Функция не определена при $x = 2$ (знаменатель обнуляется).

Разложим числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

При $x \ne 2$: $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$.

Предел: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$ — существует и конечен.

В точке $x = 2$ функция не определена. Значит, $x = 2$ — устранимый разрыв. Если доопределить $f(2) = 4$, функция станет непрерывной.

Задача 2

Найди точки разрыва и их тип для функции: $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0 \\ x^2 + 2, & x > 0 \end{cases}$

Решение.

Подозрительная точка: $x = 0$ (место склейки двух формул).

Левый предел: $\lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.

Правый предел: $\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2) = 0 + 2 = 2$.

Оба предела конечны, но $1 \ne 2$. Скачок равен $2 - 1 = 1$.

Функция определена в нуле: $f(0) = 0 + 1 = 1$.

Вывод: $x = 0$ — разрыв первого рода (скачок).

Задача 3 (ЕГЭ-формат)

При каком значении параметра $a$ функция

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}, & x \ne 3 \\ a, & x = 3 \end{cases}$

непрерывна на всей числовой прямой?

Решение.

Для непрерывности в точке $x = 3$ нужно: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = a$.

Вычислим предел: $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$.

Значит, $a = 6$.

Ответ: при $a = 6$ функция непрерывна.