Асимптоты функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная

Асимптоты — это прямые, к которым «стремится» график функции. Они описывают поведение функции в двух ситуациях: вблизи точек разрыва и при уходе $x$ в бесконечность. В задании 11 ЕГЭ профиль нужно уметь находить уравнения асимптот.

Вертикальная асимптота

Прямая $x = a$ — вертикальная асимптота, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{или} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Где искать: в точках, где функция не определена — обычно это нули знаменателя.

Пример. Найди вертикальные асимптоты $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$.

Функция не определена при $x = 3$.

$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 3} = +\infty, \quad \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x - 3} = -\infty$

Оба предела бесконечны. Вертикальная асимптота: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота

Прямая $y = b$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \quad (\text{или} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b)$

Горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной с угловым коэффициентом $k = 0$.

На иллюстрации: функция $y = \dfrac{1}{x}$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ и вертикальную $x = 0$.

Пример. Найди горизонтальные асимптоты $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + 1/x}{1 - 1/x} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (при $x \to \pm\infty$ предел тот же).

Наклонная асимптота

Прямая $y = kx + b$ — наклонная асимптота при $x \to +\infty$, если:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to +\infty} \bigl(f(x) - kx\bigr)$

Оба предела должны существовать и быть конечными. При $k = 0$ получаем горизонтальную асимптоту.

Пример. Найди наклонную асимптоту $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$.

Шаг 1. Находим $k$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1/x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = 1$

Шаг 2. Находим $b$: $b = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

Наклонная асимптота: $y = x$. График приближается к прямой $y = x$ при $x \to \pm\infty$.

Таблица: алгоритм поиска асимптот

Задачи ЕГЭ

Задача 1

Найди все асимптоты функции $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$.

Решение.

Вертикальная: знаменатель равен нулю при $x = 0$. $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x^2+1}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{x^2+1}{x} = -\infty$. Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Наклонная (при $x \to +\infty$):

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x \cdot x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1$

$b = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2 + 1}{x} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

Наклонная асимптота: $y = x$.

Горизонтальной нет (предел при $x \to \infty$ бесконечен).

Задача 2

Найди горизонтальные асимптоты функции $f(x) = \dfrac{3x^2 - 2}{x^2 + 5}$.

Решение.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - 2/x^2}{1 + 5/x^2} = \frac{3}{1} = 3$

Аналогично при $x \to -\infty$ получаем $3$.

Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Задача 3

Сколько вертикальных асимптот имеет функция $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}$?

Решение.

Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Нули: $x = 2$ и $x = 3$.

При $x = 2$: числитель тоже равен нулю. Сокращаем: $f(x) = \frac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} \quad (x \ne 2)$

При $x = 2$ предел равен $\dfrac{1}{2 - 3} = -1$ — конечен. Значит, $x = 2$ — устранимый разрыв, не асимптота.

При $x = 3$: предел бесконечен. $x = 3$ — вертикальная асимптота.

Ответ: одна вертикальная асимптота, $x = 3$.