Чему равно отношение, в котором биссектриса делит сторону?

Отношению прилежащих сторон. Если из вершины A проведена биссектриса к стороне BC, то $BD:DC = AB:AC$ (где D — точка пересечения биссектрисы со стороной BC).

Можно ли использовать теорему биссектрисы для нахождения сторон?

Да. Если известно, в каком отношении биссектриса делит сторону, и известна часть одной из прилежащих сторон, можно найти неизвестные. Это часто используется в задании 16 для треугольников с биссектрисой.

Где пересекаются три биссектрисы треугольника?

Все три биссектрисы пересекаются в одной точке — инцентре. Это центр вписанной окружности треугольника (окружность, касающаяся всех трёх сторон). Расстояние от инцентра до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности.

Какова формула длины биссектрисы?

$l_a = \frac{2bc \cos(\alpha/2)}{b+c}$, где $a$ — сторона, противоположная вершине $A$, $b, c$ — прилежащие стороны, $\alpha$ — угол при $A$. Альтернативно через стороны без угла: $l_a^2 = bc - mn$, где $m, n$ — части стороны $a$ (формула из теоремы Стюарта).

Свойства биссектрисы треугольника — теорема и формулы для ЕГЭ

Биссектриса — это отрезок от вершины треугольника к точке на противоположной стороне, делящий угол при вершине пополам. У биссектрисы три ключевых свойства, которые часто нужны в заданиях 1 и 16 ЕГЭ: теорема о делении противоположной стороны, формула длины, и факт пересечения трёх биссектрис в центре вписанной окружности.

Определение

В треугольнике $A B C$ биссектриса, проведённая из вершины $A$ — это отрезок $A D$ , где $D$ лежит на стороне $B C$ , такой что $∠ B A D = ∠ D A C$ .

Треугольник ABC с биссектрисой AD из вершины A: BD:DC = AB:AC, равные углы BAD и DAC

Каждый треугольник имеет три биссектрисы — по одной из каждой вершины.

Свойство 1: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:

$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

В обозначениях $c = A B$ , $b = A C$ , биссектриса делит $B C$ в отношении $c : b$ .

Доказательство (через подобие). Проведём через точку $C$ прямую, параллельную $A D$ . Пусть она пересекает продолжение $A B$ в точке $E$ .

Углы $∠ B A D = ∠ B E C$ (соответственные при параллельных $A D$ и $E C$ ). Углы $∠ D A C = ∠ A C E$ (накрест лежащие).

По определению биссектрисы $∠ B A D = ∠ D A C$ . Значит $∠ B E C = ∠ A C E$ , то есть треугольник $A C E$ равнобедренный, $A E = A C = b$ .

Из подобия треугольников $A B D$ и $E B C$ (общий угол $B$ , параллельность сторон):

$\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{B E} = \frac{c}{c + b}$

Аналогично $\frac{D C}{B C} = \frac{b}{c + b}$ . Поделив:

$\frac{B D}{D C} = \frac{c}{b}$

Применение свойства 1

Пример. В треугольнике $A B C$ известно: $A B = 6$ , $A C = 9$ , $B C = 10$ . Биссектриса из $A$ делит $B C$ на отрезки. Найди длины этих отрезков.

Решение. $B D : D C = 6 : 9 = 2 : 3$ . Сумма: $B D + D C = 10$ , так что $B D = 4$ , $D C = 6$ .

Ответ: $B D = 4$ , $D C = 6$ .

Свойство 2: формула длины биссектрисы

Формула 1 (через угол):

$l_{a} = \frac{2 b c c o s ( α /2 )}{b + c}$

где $l_{a}$ — длина биссектрисы из вершины $A$ , $α$ — угол при $A$ , $b = A C$ , $c = A B$ .

Формула 2 (через стороны, из теоремы Стюарта):

$l_{a}^{2} = b c - mn$

где $m = B D$ , $n = D C$ — части, на которые биссектриса делит противоположную сторону. Из свойства 1: $m = \frac{a c}{b + c}$ , $n = \frac{ab}{b + c}$ . Тогда:

$l_{a}^{2} = b c - \frac{a ^{2} b c}{( b + c ) ^{2}} = b c [1 - \frac{a ^{2}}{( b + c ) ^{2}}]$

Применение формулы

Пример. В треугольнике $A B C$ : $A B = 5$ , $A C = 7$ , $∠ B A C = 60°$ . Найти длину биссектрисы из $A$ .

Решение. По формуле 1:

$l_{a} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 5 c o s 30°}{7 + 5} = \frac{70 \cdot \frac{3}{2}}{12} = \frac{35 3}{12}$

Ответ: $\frac{35 3}{12}$ .

Свойство 3: точка пересечения биссектрис — инцентр

Теорема. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентр (от лат. «центр вписанной»).

Свойство инцентра: он равноудалён от всех трёх сторон треугольника. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Формула радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = (a + b + c) /2$ — полупериметр.

Координаты инцентра (если вершины $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ и противоположные стороны $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ):

$I_{x} = \frac{a _{1} x _{1} + a _{2} x _{2} + a _{3} x _{3}}{a _{1} + a _{2} + a _{3}}, I_{y} = \frac{a _{1} y _{1} + a _{2} y _{2} + a _{3} y _{3}}{a _{1} + a _{2} + a _{3}}$

В задании 16 ЕГЭ инцентр упоминается чаще как «центр вписанной окружности», и его свойство — равноудалённость от сторон — используется для нахождения радиуса.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 1 (планиметрия базовая, 1 балл)

Часто простое применение свойства 1 или формулы 2.

Пример. Биссектриса прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равна $1$ . Найти катеты.

Решение. Катеты обозначим $a = b$ , гипотенуза $c = a 2$ . Биссектриса из вершины прямого угла делит гипотенузу в отношении $a : a = 1 : 1$ (пополам), длина по формуле 1: $l = \frac{2 a ^{2} c o s 45°}{a + a} = \frac{2 a ^{2} \cdot \frac{2}{2}}{2 a} = \frac{a 2}{2}$ .

$\frac{a 2}{2} = 1$ , $a = 2$ .

Ответ: $2$ .

Задание 16 (планиметрия повышенная, 3 балла)

Более сложные конструкции, где биссектриса — один из элементов цепи доказательств. Часто нужно сочетать свойство 1 с теоремой косинусов или с подобием треугольников.

Распространённые ошибки

1. Перепутать «отношение в каком порядке». $B D : D C = A B : A C$ , то есть «ближе к B — отношение AB к AC». Перепутать порядок легко, особенно когда меняется обозначение треугольника.

2. Применять свойство 1 к не-биссектрисе. Если в задаче « $A D$ делит противоположную сторону в отношении $5 : 3$ » — это НЕ значит, что $A D$ — биссектриса. Проверь, что именно сказано про $A D$ .

3. Путать инцентр и центроид. Инцентр — пересечение биссектрис, центр вписанной. Центроид — пересечение медиан, центр тяжести. Не одно и то же.

4. Использовать формулу $l^{2} = b c - mn$ и забыть извлечь корень. Формула даёт квадрат длины, а не саму длину $l$ . Всегда делай последний шаг: $l = b c - mn$ .

Связь с другими темами

Свойство медианы — родственная тема.
Теорема Стюарта — обобщение, из которого выводится формула длины биссектрисы.
Вписанная и описанная окружность треугольника — инцентр = центр вписанной.
Подобие треугольников — для доказательства свойства 1.

Что запомнить

Три свойства биссектрисы:

Делит противоположную сторону в отношении прилежащих: $B D : D C = A B : A C$ .
Длина: $l_{a} = \frac{2 b c c o s ( α /2 )}{b + c}$ или $l_{a}^{2} = b c - mn$ .
Три биссектрисы пересекаются в инцентре — центре вписанной окружности; $r = S / p$ .

Главное в задании 16 с биссектрисой: первое свойство экономит шаги в 80% задач. Сначала ставь его, потом достраивай остальное.

Закрой задание 16 без потерь

15 минут диагностики покажут, какие конфигурации задания 16 ты решаешь и где есть пробелы. Дальше — точечная отработка.

Попробовать бесплатно

Свойства биссектрисы треугольника