Свойства биссектрисы треугольника

Биссектриса — это отрезок от вершины треугольника к точке на противоположной стороне, делящий угол при вершине пополам. У биссектрисы три ключевых свойства, которые часто нужны в заданиях 1 и 16 ЕГЭ: теорема о делении противоположной стороны, формула длины, и факт пересечения трёх биссектрис в центре вписанной окружности.

Определение

В треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая из вершины $A$ — это отрезок $AD$, где $D$ лежит на стороне $BC$, такой что $\angle BAD = \angle DAC$.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы — по одной из каждой вершины.

Свойство 1: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

В обозначениях $c = AB$, $b = AC$, биссектриса делит $BC$ в отношении $c : b$.

Доказательство (через подобие). Проведём через точку $C$ прямую, параллельную $AD$. Пусть она пересекает продолжение $AB$ в точке $E$.

Углы $\angle BAD = \angle BEC$ (соответственные при параллельных $AD$ и $EC$). Углы $\angle DAC = \angle ACE$ (накрест лежащие).

По определению биссектрисы $\angle BAD = \angle DAC$. Значит $\angle BEC = \angle ACE$, то есть треугольник $ACE$ равнобедренный, $AE = AC = b$.

Из подобия треугольников $ABD$ и $EBC$ (общий угол $B$, параллельность сторон):

$\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{BE} = \frac{c}{c + b}$

Аналогично $\frac{DC}{BC} = \frac{b}{c + b}$. Поделив:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Применение свойства 1

Пример. В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 6$, $AC = 9$, $BC = 10$. Биссектриса из $A$ делит $BC$ на отрезки. Найди длины этих отрезков.

Решение. $BD:DC = 6:9 = 2:3$. Сумма: $BD + DC = 10$, так что $BD = 4$, $DC = 6$.

Ответ: $BD = 4$, $DC = 6$.

Свойство 2: формула длины биссектрисы

Формула 1 (через угол):

$l_a = \frac{2 b c \cos(\alpha / 2)}{b + c}$

где $l_a$ — длина биссектрисы из вершины $A$, $\alpha$ — угол при $A$, $b = AC$, $c = AB$.

Формула 2 (через стороны, из теоремы Стюарта):

$l_a^2 = b c - m n$

где $m = BD$, $n = DC$ — части, на которые биссектриса делит противоположную сторону. Из свойства 1: $m = \frac{ac}{b+c}$, $n = \frac{ab}{b+c}$. Тогда:

$l_a^2 = bc - \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} = bc \left[ 1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right]$

Применение формулы

Пример. В треугольнике $ABC$: $AB = 5$, $AC = 7$, $\angle BAC = 60°$. Найти длину биссектрисы из $A$.

Решение. По формуле 1:

$l_a = \frac{2 \cdot 7 \cdot 5 \cos 30°}{7 + 5} = \frac{70 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12} = \frac{35\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $\frac{35\sqrt{3}}{12}$.

Свойство 3: точка пересечения биссектрис — инцентр

Теорема. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентр (от лат. «центр вписанной»).

Свойство инцентра: он равноудалён от всех трёх сторон треугольника. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Формула радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = (a + b + c)/2$ — полупериметр.

Координаты инцентра (если вершины $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ и противоположные стороны $a_1, a_2, a_3$):

$I_x = \frac{a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3}{a_1 + a_2 + a_3}, \quad I_y = \frac{a_1 y_1 + a_2 y_2 + a_3 y_3}{a_1 + a_2 + a_3}$

В задании 16 ЕГЭ инцентр упоминается чаще как «центр вписанной окружности», и его свойство — равноудалённость от сторон — используется для нахождения радиуса.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 1 (планиметрия базовая, 1 балл)

Часто простое применение свойства 1 или формулы 2.

Пример. Биссектриса прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равна $1$. Найти катеты.

Решение. Катеты обозначим $a = b$, гипотенуза $c = a\sqrt{2}$. Биссектриса из вершины прямого угла делит гипотенузу в отношении $a : a = 1 : 1$ (пополам), длина по формуле 1: $l = \frac{2 a^2 \cos 45°}{a + a} = \frac{2 a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2a} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 1$, $a = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Задание 16 (планиметрия повышенная, 3 балла)

Более сложные конструкции, где биссектриса — один из элементов цепи доказательств. Часто нужно сочетать свойство 1 с теоремой косинусов или с подобием треугольников.

Распространённые ошибки

1. Перепутать «отношение в каком порядке». $BD : DC = AB : AC$, то есть «ближе к B — отношение AB к AC». Перепутать порядок легко, особенно когда меняется обозначение треугольника.

2. Применять свойство 1 к не-биссектрисе. Если в задаче «$AD$ делит противоположную сторону в отношении $5:3$» — это НЕ значит, что $AD$ — биссектриса. Проверь, что именно сказано про $AD$.

3. Путать инцентр и центроид. Инцентр — пересечение биссектрис, центр вписанной. Центроид — пересечение медиан, центр тяжести. Не одно и то же.

4. Использовать формулу $l^2 = bc - mn$ и забыть извлечь корень. Формула даёт квадрат длины, а не саму длину $l$. Всегда делай последний шаг: $l = \sqrt{bc - mn}$.

Связь с другими темами

• Свойство медианы — родственная тема.
• Теорема Стюарта — обобщение, из которого выводится формула длины биссектрисы.
• Вписанная и описанная окружность треугольника — инцентр = центр вписанной.
• Подобие треугольников — для доказательства свойства 1.

Что запомнить

Три свойства биссектрисы:

1. Делит противоположную сторону в отношении прилежащих: $BD:DC = AB:AC$.
2. Длина: $l_a = \frac{2bc\cos(\alpha/2)}{b+c}$ или $l_a^2 = bc - mn$.
3. Три биссектрисы пересекаются в инцентре — центре вписанной окружности; $r = S/p$.

Главное в задании 16 с биссектрисой: первое свойство экономит шаги в 80% задач. Сначала ставь его, потом достраивай остальное.