Свойства окружности — все теоремы для ЕГЭ

Окружность — одна из двух самых важных фигур планиметрии (вторая — треугольник). На ЕГЭ профиль её свойства встречаются в задании 1 (углы, хорды) и в задании 16, где обычно комбинируются с треугольниками или четырёхугольниками. Соберём в одной странице семь ключевых свойств с доказательствами и приложениями.

Базовые объекты окружности

Окружность задаётся центром $O$ и радиусом $r$. Это множество всех точек плоскости, удалённых от $O$ на расстояние $r$.

Ключевые отрезки в окружности:

• Радиус — отрезок от центра до любой точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр. Длина диаметра $d = 2r$.
• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
• Касательная — прямая, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Диаметр — самая длинная хорда окружности. Если в задаче дана хорда длиннее диаметра, в условии ошибка или ты неверно читаешь чертёж.

Длина окружности через радиус: $C = 2\pi r$. Площадь круга, ограниченного окружностью: $S = \pi r^2$. Эти две формулы пригодятся в задании 1, особенно в задачах про сектор и сегмент.

Свойство 1: перпендикуляр из центра делит хорду пополам

Теорема. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

Доказательство (короткое). Соединим $O$ с концами хорды: $OA$ и $OB$. Это два радиуса, значит $OA = OB$. Треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины на основание, является и медианой. Значит $H$ — середина $AB$.

Обратное утверждение тоже верно: если $H$ — середина хорды $AB$, то $OH \perp AB$. Это часто используется в задаче 16, чтобы аккуратно «опустить» перпендикуляр и получить два прямоугольных треугольника.

Свойство 2: касательная перпендикулярна радиусу

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Это базовое свойство касательной. На нём строится большинство задач, где касательная встречается. Подробный разбор всех связанных конструкций — на странице Касательная к окружности.

Свойство 3: две касательные из одной точки равны

Теорема. Из точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные. Их длины (от точки до точек касания) равны.

Доказательство. Соединим $A$ с центром $O$ и с точками касания $T_1$ и $T_2$. По свойству 2: $OT_1 \perp AT_1$ и $OT_2 \perp AT_2$. Значит, треугольники $AOT_1$ и $AOT_2$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $AO$ и равные катеты $OT_1 = OT_2 = r$. По катету и гипотенузе они равны, значит $AT_1 = AT_2$.

Дополнительно из этого следует, что отрезок $AO$ является биссектрисой угла $T_1 A T_2$.

Свойство 4: угол между касательной и хордой

Теорема. Угол между касательной и хордой, проведёнными из одной точки окружности, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны.

Строго формально: если касательная проведена в точке $T$, и из $T$ проведена хорда $TA$, то угол между касательной и хордой равен любому вписанному углу $\angle TBA$, где $B$ лежит на дуге, не содержащей точки касания.

Эта теорема выглядит абстрактной, но в задаче 16 она часто экономит шаги: вместо того чтобы вычислять центральный угол и делить пополам, ты сразу приравниваешь два угла.

Свойство 5: теорема о вписанном угле

Теорема. Вписанный угол в окружности равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Формула: если $\angle AOB$ — центральный, а $\angle ACB$ — вписанный, опирающиеся на одну дугу, то

$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$

Из этой теоремы три полезных следствия:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Если переместить вершину $C$ в любую другую точку дуги, угол не изменится.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Потому что центральный угол на диаметр равен $180°$, а половина от него — $90°$.
3. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$. Потому что они опираются на дополнительные дуги, центральные углы которых в сумме дают $360°$, значит вписанные углы дают $180°$.

Подробный разбор всех конфигураций — на странице Вписанный угол.

Свойство 6: теорема о пересекающихся хордах

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются в точке $P$, то произведения длин отрезков, на которые $P$ делит каждую хорду, равны.

Формула: если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Доказательство (короткое). Рассмотрим треугольники $APC$ и $DPB$. Углы $APC$ и $DPB$ равны (вертикальные). Углы $PAC$ и $PDB$ равны (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC$). Треугольники подобны по двум углам. Из подобия: $AP/DP = CP/BP$, откуда $AP \cdot BP = CP \cdot DP$.

Эта теорема в задаче 16 часто помогает, когда даны длины частей одной хорды и длина части другой, а нужно найти оставшуюся.

Свойство 7: теорема о касательной и секущей

Теорема. Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Формула: если касательная $AT$ и секущая $ABC$ (где $B$ ближе к $A$, $C$ дальше) проведены из точки $A$, то

$AT^2 = AB \cdot AC$

Доказательство (короткое). Рассмотрим треугольники $ATB$ и $ACT$. Угол $A$ общий. Угол $ATB$ (между касательной и хордой $TB$) равен углу $ACT$ (вписанный угол на ту же хорду $TB$, по свойству 4). Треугольники подобны по двум углам. Из подобия: $AT/AC = AB/AT$, откуда $AT^2 = AB \cdot AC$.

Это «продолжение» теоремы о пересекающихся хордах для случая, когда одна из «хорд» становится касательной.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 1 (планиметрия базовая, 1 балл). Здесь обычно одна-две теоремы про окружность дают прямой ответ: «найти угол $ABC$, если $\angle AOC = 80°$» — применяем теорему о вписанном угле, ответ $40°$. Или: «найти длину хорды, если радиус 5 и расстояние от центра до хорды 3» — применяем свойство 1 и теорему Пифагора, получаем $2\sqrt{5^2-3^2} = 8$.

Задание 16 (планиметрия повышенная, 3 балла). Здесь окружность взаимодействует с другими фигурами: вписана в треугольник или четырёхугольник, описана около них, касается каких-то сторон. Часто в одной задаче нужно последовательно применить три-четыре свойства из перечисленных.

Типичный сценарий задачи 16: дано взаимное расположение окружности и треугольника, нужно найти неизвестные длины или углы. Алгоритм: выпиши, что дано, сопоставь с одним из 7 свойств, примени, получи новое равенство, переходи к следующему свойству.

Площадь сектора и длина дуги

В заданиях 1 часто встречаются вычисления, связанные с частями окружности:

Длина дуги в радианах: $L = r \cdot \alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах.

Длина дуги в градусах: $L = \frac{\pi r \cdot \alpha}{180°}$.

Площадь сектора в радианах: $S_{\text{сект}} = \frac{1}{2} r^2 \alpha$.

Площадь сектора в градусах: $S_{\text{сект}} = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360°}$.

Где $\alpha$ — центральный угол сектора, $r$ — радиус окружности.

Запоминать обе версии не обязательно. Запомни одну (например, в градусах), вторая выводится через $\alpha$ радианах = $\alpha$ градусах × $\pi/180$.

Распространённые ошибки

1. Применять теорему о вписанном угле к не-вписанным углам. Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами. Если вершина внутри или вне окружности, теорема не работает напрямую: нужно привлечь свойства 6 или 7.

2. Путать центральный и вписанный угол. Центральный — вершина в центре, стороны — радиусы. Вписанный — вершина на окружности. Если перепутаешь в задании 1, ответ будет в 2 раза больше или в 2 раза меньше нужного.

3. Не использовать свойство «диаметр виден под прямым углом». Если в задаче есть прямой угол, опирающийся на хорду, эта хорда — диаметр. Часто это самая короткая дорога к ответу в задании 16.

4. Применять теорему Пифагора к неправильному треугольнику. В задачах с окружностью прямоугольный треугольник часто не очевиден. Сначала строй прямоугольный треугольник (через свойство 1, свойство 2 или вписанный угол на диаметр), потом уже Пифагор.

5. Перепутать порядок отрезков в теореме о касательной и секущей. В формуле $AT^2 = AB \cdot AC$ обязательно $B$ — ближняя точка пересечения секущей с окружностью, $C$ — дальняя. Если перепутаешь, получишь $AT^2 = AB \cdot BC$, что неверно.

Три типовых примера ЕГЭ

Пример 1 (задание 1)

Условие. Хорда $AB$ окружности равна $24$. Расстояние от центра окружности до хорды равно $5$. Найди радиус окружности.

Решение. По свойству 1 перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Соединим центр $O$ с одним из концов хорды, получим радиус $OA$. Получился прямоугольный треугольник $OHA$, где:

• $OH = 5$ (расстояние от центра до хорды),
• $HA = 12$ (половина хорды $AB$),
• $OA = r$ (радиус, гипотенуза).

По теореме Пифагора:

$r^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $r = 13$

Ответ. $13$.

Это типовой паттерн: свойство 1 + теорема Пифагора в одну строчку. Если ты узнаёшь его на чертеже, задача решается за минуту.

Пример 2 (задание 1)

Условие. Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A$, $B$, $C$. Известно, что $\angle AOB = 110°$. Найди градусную меру угла $\angle ACB$, если точка $C$ лежит на большей дуге $AB$.

Решение. Точка $C$ лежит на большей дуге, то есть на той, которая не содержится в центральном угле $110°$. Меньшая дуга $AB$ соответствует центральному углу $110°$, большая дуга — углу $360° - 110° = 250°$.

Вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на меньшую дугу, равен половине соответствующего центрального угла:

$\angle ACB = \frac{110°}{2} = 55°$

Ответ. $55°$.

Типичная ошибка: если бы $C$ лежала на меньшей дуге, угол был бы вписан в большую дугу и равен $250°/2 = 125°$. Внимательно читай, на какой именно дуге расположена вершина.

Пример 3 (задание 16)

Условие. Из точки $A$, лежащей вне окружности, проведены секущая, проходящая через центр окружности и пересекающая её в точках $B$ и $C$ (так что $AB < AC$), и касательная $AT$. Известно, что $AB = 2$ и радиус окружности $R = 5$. Найди длину касательной $AT$.

Решение. Поскольку секущая проходит через центр, $BC = 2R = 10$. Тогда $AC = AB + BC = 2 + 10 = 12$.

По теореме о касательной и секущей (свойство 7):

$AT^2 = AB \cdot AC = 2 \cdot 12 = 24$ $AT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Ответ. $2\sqrt{6}$.

Здесь работают два свойства подряд: сначала тот факт, что секущая через центр содержит диаметр (и значит $BC = 2R$), потом свойство 7 для нахождения касательной. Такие двух-шаговые задачи — стандарт задания 16.

Что запомнить

Семь свойств окружности — это не семь разных теорем, а одна логическая цепочка:

1. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
2. Касательная перпендикулярна радиусу.
3. Две касательные из одной точки равны.
4. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу на ту же хорду.
5. Вписанный угол равен половине центрального.
6. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
7. Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Свойства 1, 2, 3 — про прямые отрезки и перпендикулярность. Свойства 4 и 5 — про углы. Свойства 6 и 7 — про равенства произведений. Сгруппируй так, и запомнить будет проще.

Связь с другими темами

• Вписанный угол — глубокий разбор теоремы о вписанном угле и всех её следствий.
• Касательная к окружности — полная страница о касательной с задачами повышенной сложности.
• Теорема Пифагора — нужна почти в каждой задаче с окружностью, потому что свойство 1 и свойство 2 обычно создают прямоугольные треугольники.
• Подобие треугольников — основа доказательств свойств 6 и 7.