Что такое вписанная окружность треугольника?

Окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр).

Что такое описанная окружность треугольника?

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров (circumcenter).

Как найти радиус вписанной окружности?

$r = S/p$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр ($p = (a+b+c)/2$).

Как найти радиус описанной окружности?

$R = \frac{abc}{4S}$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — площадь. Через теорему синусов: $R = \frac{a}{2\sin A}$.

Существует ли вписанная окружность для любого треугольника?

Да, для любого треугольника существует ровно одна вписанная окружность и ровно одна описанная.

Как связаны $r$ и $R$ для прямоугольного треугольника?

Для прямоугольного треугольника $R = c/2$ (где $c$ — гипотенуза), а $r = (a + b - c)/2$.

Где располагается центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике?

Вне треугольника — снаружи. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. В остроугольном — внутри треугольника.

Почему $r = S/p$?

Соединив центр вписанной окружности $I$ с вершинами, разбиваем треугольник на три меньших. Каждый маленький треугольник имеет основание — сторону $a$, $b$ или $c$ — и высоту $r$. Сумма их площадей равна $S$: $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot p$.

Вписанная и описанная окружность треугольника

Задание 16 ЕГЭ профиля — это планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружности. Вписанные и описанные окружности встречаются постоянно, и каждый раз в условии нужно либо найти радиус, либо выразить стороны через него. Разберём формулы, их происхождение и типичные схемы применения в задачах.

Вписанная окружность: определение и формула

Вписанная окружность треугольника — окружность, которая расположена внутри треугольника и касается каждой из трёх сторон. Центр вписанной окружности называется инцентром и лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

Откуда берётся формула. Соединяем инцентр $I$ с каждой вершиной. Треугольник разбивается на три маленьких: $△ I A B$ , $△ I B C$ , $△ I C A$ . Каждый из них имеет высоту $r$ (радиус — расстояние от $I$ до стороны). Площади:

$S_{△ I B C} = \frac{1}{2} a r, S_{△ I C A} = \frac{1}{2} b r, S_{△ I A B} = \frac{1}{2} cr$

Сумма равна площади всего треугольника:

$S = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r = p \cdot r$

Отсюда $r = S / p$ .

Описанная окружность: определение и формула

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины. Центр называется центром описанной окружности (circumcenter) и лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.

Радиус описанной окружности:

$R = \frac{ab c}{4 S}$

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, $S$ — площадь.

Альтернативная формула через теорему синусов:

$R = \frac{a}{2 s i n A} = \frac{b}{2 s i n B} = \frac{c}{2 s i n C}$

Здесь $A$ , $B$ , $C$ — углы, лежащие напротив соответствующих сторон.

Для прямоугольного треугольника (угол $C = 90°$ ): $sin C = 1$ , поэтому

$R = \frac{c}{2}$

Центр описанной окружности — середина гипотенузы. Это удобно использовать в задачах.

Свойства центров

Инцентр (центр вписанной) всегда лежит внутри треугольника. Расстояния от инцентра до всех трёх сторон равны $r$ .

Центр описанной окружности (circumcenter):

В остроугольном треугольнике — внутри.
В прямоугольном — на гипотенузе (в её середине).
В тупоугольном — снаружи треугольника.

Для правильного треугольника (со стороной $a$ ):

$r = \frac{a}{2 3}, R = \frac{a}{3}$

Отношение $R / r = 2$ для правильного треугольника.

Алгоритм решения задач

Шаг 1. Выписать все данные: стороны треугольника, углы, площадь — что известно.

Шаг 2. Если нужен $r$ : найти $S$ и $p$ , применить $r = S / p$ .

Шаг 3. Если нужен $R$ : найти $S$ и стороны, применить $R = ab c / (4 S)$ . Или использовать $R = a / (2 sin A)$ если известен угол.

Шаг 4. Для прямоугольного треугольника — упрощённые формулы: $R = c /2$ , $r = (a + b - c) /2$ .

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). В прямоугольном треугольнике катеты $a = 3$ и $b = 4$ . Найти радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение.

Гипотенуза: $c = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 5$ .

Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ .

Полупериметр: $p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$ .

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$

Проверка через формулу для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ . Совпало.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника:

$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $r = 1$ , $R = 2.5$ .

Типичная ошибка. В формуле $r = S / p$ использовать периметр вместо полупериметра. Полупериметр $p = (a + b + c) /2$ .

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). В треугольнике со сторонами $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ найди радиус описанной окружности.

Решение.

Находим площадь по формуле Герона: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .

$p = (5 + 7 + 8) /2 = 10$ .

$S = 10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 300 = 103$ .

Теперь найди $R$ самостоятельно по формуле $R = ab c / (4 S)$ . Ответ ниже.

Нахождение R

R = \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 10 3} = \frac{280}{40 3} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}

Типичная ошибка. Забыть рационализировать знаменатель при ответе вида $7/ 3$ . В ЕГЭ принято записывать $\frac{7 3}{3}$ .

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Вписанная окружность треугольника имеет радиус $r = 3$ . Полупериметр треугольника $p = 12$ . Найди радиус описанной окружности, если треугольник прямоугольный с катетами $a$ и $b$ .

Шаг 1: найди площадь треугольника и его стороны.

Шаг 1: ответ

S = r \cdot p = 3 \cdot 12 = 36

. Периметр

= 2 p = 24

, то есть

a + b + c = 24

. Для прямоугольного треугольника

r = (a + b - c) /2

, значит

a + b - c = 2 r = 6

. Из системы

a + b + c = 24

a + b - c = 6

c = 9

a + b = 15

. Кроме того,

S = ab /2 = 36

, значит

ab = 72

. По теореме Виета:

a

b

— корни

t^{2} - 15 t + 72 = 0

. Дискриминант:

225 - 288 = - 63 < 0

. Корней нет — данные противоречивы. Проверим формулу Пифагора:

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 225 - 144 = 81

c = 81 = 9

. Всё сходится!

Шаг 2: найди $R$ через гипотенузу.

Шаг 2: ответ

R = c /2 = 9/2 = 4.5

Типичная ошибка. Не использовать специальную формулу $r = (a + b - c) /2$ для прямоугольного треугольника, пытаясь решить через систему уравнений в лоб.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать инцентр (вписанная, биссектрисы) и центр описанной окружности (описанная, серединные перпендикуляры).

Ошибка 2. Применять $R = c /2$ не к гипотенузе, а к произвольной стороне прямоугольного треугольника.

Ошибка 3. Забывать, что в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Ошибка 4. В формуле $r = S / p$ вместо полупериметра $p$ использовать периметр $2 p$ .

Ошибка 5. При нахождении $R$ через теорему синусов использовать угол не напротив нужной стороны.

Связь с другими темами

Формулы с $r$ и $R$ тесно связаны с площадью треугольника: часто через площадь и выражается связь радиусов со сторонами.

Теорема синусов даёт альтернативную формулу для $R$ через угол и сторону — полезна, когда стороны не все известны.

Теорема Пифагора нужна для вычисления гипотенузы и применения $R = c /2$ в прямоугольном треугольнике.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 16 — планиметрия, часто с вписанными или описанными окружностями. В типичной задаче нужно либо найти $r$ или $R$ , либо использовать их для нахождения углов, сторон или площади. Задание бывает и многочастным (а, б), где окружности — часть более сложной конструкции.

Проверь, где у тебя пробелы

В Сотах адаптивная практика по твоему уровню: система подбирает задачи и показывает пробелы в знаниях.

Попробовать бесплатно