Вписанная и описанная окружность треугольника

Задание 16 ЕГЭ профиля — это планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружности. Вписанные и описанные окружности встречаются постоянно, и каждый раз в условии нужно либо найти радиус, либо выразить стороны через него. Разберём формулы, их происхождение и типичные схемы применения в задачах.

Вписанная окружность: определение и формула

Вписанная окружность треугольника — окружность, которая расположена внутри треугольника и касается каждой из трёх сторон. Центр вписанной окружности называется инцентром и лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

Откуда берётся формула. Соединяем инцентр $I$ с каждой вершиной. Треугольник разбивается на три маленьких: $\triangle IAB$, $\triangle IBC$, $\triangle ICA$. Каждый из них имеет высоту $r$ (радиус — расстояние от $I$ до стороны). Площади:

$S_{\triangle IBC} = \frac{1}{2} a r, \quad S_{\triangle ICA} = \frac{1}{2} b r, \quad S_{\triangle IAB} = \frac{1}{2} c r$

Сумма равна площади всего треугольника:

$S = \frac{1}{2}(a + b + c) \cdot r = p \cdot r$

Отсюда $r = S / p$.

Описанная окружность: определение и формула

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины. Центр называется центром описанной окружности (circumcenter) и лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.

Радиус описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — площадь.

Альтернативная формула через теорему синусов:

$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}$

Здесь $A$, $B$, $C$ — углы, лежащие напротив соответствующих сторон.

Для прямоугольного треугольника (угол $C = 90°$): $\sin C = 1$, поэтому

$R = \frac{c}{2}$

Центр описанной окружности — середина гипотенузы. Это удобно использовать в задачах.

Свойства центров

Инцентр (центр вписанной) всегда лежит внутри треугольника. Расстояния от инцентра до всех трёх сторон равны $r$.

Центр описанной окружности (circumcenter):

• В остроугольном треугольнике — внутри.
• В прямоугольном — на гипотенузе (в её середине).
• В тупоугольном — снаружи треугольника.

Для правильного треугольника (со стороной $a$):

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}, \qquad R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отношение $R/r = 2$ для правильного треугольника.

Алгоритм решения задач

Шаг 1. Выписать все данные: стороны треугольника, углы, площадь — что известно.

Шаг 2. Если нужен $r$: найти $S$ и $p$, применить $r = S/p$.

Шаг 3. Если нужен $R$: найти $S$ и стороны, применить $R = abc/(4S)$. Или использовать $R = a/(2\sin A)$ если известен угол.

Шаг 4. Для прямоугольного треугольника — упрощённые формулы: $R = c/2$, $r = (a + b - c)/2$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). В прямоугольном треугольнике катеты $a = 3$ и $b = 4$. Найти радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение.

Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

Полупериметр: $p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1$

Проверка через формулу для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$. Совпало.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника:

$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $r = 1$, $R = 2.5$.

Типичная ошибка. В формуле $r = S/p$ использовать периметр вместо полупериметра. Полупериметр $p = (a+b+c)/2$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). В треугольнике со сторонами $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$ найди радиус описанной окружности.

Решение.

Находим площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

$p = (5 + 7 + 8)/2 = 10$.

$S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

Теперь найди $R$ самостоятельно по формуле $R = abc/(4S)$. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Забыть рационализировать знаменатель при ответе вида $7/\sqrt{3}$. В ЕГЭ принято записывать $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Вписанная окружность треугольника имеет радиус $r = 3$. Полупериметр треугольника $p = 12$. Найди радиус описанной окружности, если треугольник прямоугольный с катетами $a$ и $b$.

Шаг 1: найди площадь треугольника и его стороны.

Шаг 2: найди $R$ через гипотенузу.

Типичная ошибка. Не использовать специальную формулу $r = (a+b-c)/2$ для прямоугольного треугольника, пытаясь решить через систему уравнений в лоб.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать инцентр (вписанная, биссектрисы) и центр описанной окружности (описанная, серединные перпендикуляры).

Ошибка 2. Применять $R = c/2$ не к гипотенузе, а к произвольной стороне прямоугольного треугольника.

Ошибка 3. Забывать, что в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Ошибка 4. В формуле $r = S/p$ вместо полупериметра $p$ использовать периметр $2p$.

Ошибка 5. При нахождении $R$ через теорему синусов использовать угол не напротив нужной стороны.

Связь с другими темами

Формулы с $r$ и $R$ тесно связаны с площадью треугольника: часто через площадь и выражается связь радиусов со сторонами.

Теорема синусов даёт альтернативную формулу для $R$ через угол и сторону — полезна, когда стороны не все известны.

Теорема Пифагора нужна для вычисления гипотенузы и применения $R = c/2$ в прямоугольном треугольнике.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 16 — планиметрия, часто с вписанными или описанными окружностями. В типичной задаче нужно либо найти $r$ или $R$, либо использовать их для нахождения углов, сторон или площади. Задание бывает и многочастным (а, б), где окружности — часть более сложной конструкции.

Часто задаваемые вопросы