Какие три признака равенства треугольников?

1) По двум сторонам и углу между ними (СУС). 2) По стороне и двум прилежащим углам (УСУ). 3) По трём сторонам (ССС). Этих трёх достаточно — все остальные признаки выводятся из них.

Что означает обозначение $\triangle ABC \cong \triangle DEF$?

Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны (или конгруэнтны). Знак $\cong$ — конгруэнтность. Порядок вершин важен: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. То есть $AB = DE$, $\angle A = \angle D$ и так далее.

Чем равенство отличается от подобия?

Равные треугольники одинаковы по всем размерам. Подобные — пропорциональны: соответствующие стороны связаны коэффициентом подобия, углы равны. Равенство — частный случай подобия с коэффициентом 1.

Зачем нужны признаки равенства?

Чтобы доказывать равенство сторон или углов в задачах планиметрии. Часто в задаче 16 ЕГЭ нужно показать, что два треугольника равны, и из этого вывести равенство нужных отрезков или углов.

Можно ли применить признак к двум сторонам и НЕ-смежному углу?

Нет. Это даёт неоднозначность: в общем случае два треугольника с двумя сторонами и углом против одной из них могут быть разными (известная проблема «двух треугольников»). Угол должен быть **между** сторонами.

Обозначения и признаки равенства треугольников

Q: Что значит «равные треугольники»?

Два треугольника равны, если у них совпадают все соответствующие стороны и углы. Геометрически — один можно совместить с другим путём наложения (поворота, сдвига, отражения). Обозначение: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

В планиметрии каждый раз, когда нужно доказать «эти два отрезка равны» или «эти углы равны», в основе решения лежат признаки равенства треугольников. Их всего три, и любой школьник 9 класса должен помнить их наизусть. Разберём каждый признак с примерами и научимся применять в задачах ЕГЭ.

Что значит «равные треугольники»

Два треугольника равны (конгруэнтны), если можно совместить один с другим наложением — поворотом, сдвигом, отражением. Все соответствующие стороны равны, все соответствующие углы равны.

Обозначение: $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ или $△ A B C ≅ △ D E F$ .

Порядок вершин важен. В записи $△ A B C = △ D E F$ значит:

$A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ .
$A B = D E$ , $B C = E F$ , $A C = D F$ .
$∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ E$ , $∠ C = ∠ F$ .

Три признака равенства

Признак 1: по двум сторонам и углу между ними (СУС)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

Формально: если $A B = A_{1} B_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ , то $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Важно: угол должен быть между двумя сторонами. Угол против одной из сторон не подходит — даёт неоднозначность.

Признак 2: по стороне и двум прилежащим углам (УСУ)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

Формально: если $A B = A_{1} B_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , то $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Третий угол однозначно определяется двумя другими (сумма $180°$ ). И из угла + угол + сторона строится единственный треугольник (при сторонной до отражения).

Признак 3: по трём сторонам (ССС)

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Формально: если $A B = A_{1} B_{1}$ , $B C = B_{1} C_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , то $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Три стороны однозначно задают треугольник (по неравенству треугольника — если стороны допустимы).

«Не-признак»: две стороны и угол против одной (СУС-against)

Это не признак равенства. Конструкция «две стороны и угол против одной из них» может давать два разных треугольника (так называемая «проблема двух треугольников»).

Исключение: если угол прямой или тупой — уже однозначно. Но в общем случае — нет.

Пример 1: применение признака СУС

Условие. В треугольниках $A B C$ и $D E F$ : $A B = D E = 5$ , $A C = D F = 7$ , $∠ A = ∠ D = 60°$ . Доказать равенство.

Решение. По признаку СУС: две стороны ( $A B, A C$ ) и угол между ними ( $∠ A$ ) одного треугольника равны соответствующим элементам другого. Значит $△ A B C = △ D E F$ .

Следствие: $B C = E F$ , $∠ B = ∠ E$ , $∠ C = ∠ F$ .

Пример 2: применение признака УСУ

Условие. В треугольниках $A B C$ и $D E F$ : $B C = E F = 4$ , $∠ B = ∠ E = 50°$ , $∠ C = ∠ F = 70°$ . Доказать равенство.

Решение. Угол $∠ B$ и $∠ C$ оба прилежат к стороне $B C$ (концы её — $B$ и $C$ ). Аналогично для $E F$ . По признаку УСУ: $△ A B C = △ D E F$ .

Следствие: $A B = D E$ , $A C = D F$ , $∠ A = ∠ D$ .

Пример 3: применение признака ССС

Условие. В треугольниках $A B C$ и $D E F$ : все стороны попарно равны: $A B = D E$ , $B C = E F$ , $A C = D F$ . Доказать равенство.

Решение. Прямое применение ССС: $△ A B C = △ D E F$ .

Пример 4: задача из планиметрии (16 ЕГЭ)

Условие. В треугольнике $A B C$ медиана $B M$ опущена из вершины $B$ к стороне $A C$ . На медиане отмечена точка $K$ так, что $B K = K M$ . Через $K$ проведены прямые, параллельные $A B$ и $B C$ — пересекают $A C$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Доказать, что $P Q = A C /4$ .

Решение. Это типичная задача №16. Применение признаков равенства — один из ходов.

Идея: по подобию или равенству треугольников показать определённые соотношения.

В $△ B M C$ прямая $K Q ∥ B C$ через середину $K$ медианы — по теореме Фалеса или подобию треугольников: $M Q = M C /2$ .

Аналогично в $△ A B M$ (но здесь $K$ — середина $B M$ , и $K P ∥ A B$ ): $M P = A M /2 = M C /2$ (потому что $M$ — середина $A C$ ).

Тогда $P Q = M Q + M P = M C /2 + M C /2 = M C = A C /2 \cdot коэффициент$ . Точные шаги — отдельная задача, цель примера — показать стиль рассуждений.

Пример 5: равенство в равнобедренном

Условие. В равнобедренном треугольнике $A B C$ ( $A B = B C$ ) проведена биссектриса $B D$ из вершины $B$ . Доказать, что $△ A B D = △ C B D$ .

Решение. В $△ A B D$ и $△ C B D$ :

$A B = B C$ (по условию равнобедренности).
$B D$ — общая сторона.
$∠ A B D = ∠ D B C$ (по определению биссектрисы).

По СУС: $△ A B D = △ C B D$ .

Следствия: $A D = D C$ ( $B D$ — медиана), $∠ A D B = ∠ B D C$ ( $B D$ — высота, так как смежные углы равны и их сумма $180°$ , значит каждый $90°$ ).

Это классическое доказательство свойства: «биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины при равных боковых, является и медианой, и высотой».

Пример 6: с обратной стороны (от равенства треугольников к доказательству)

Условие. В четырёхугольнике $A B C D$ диагональ $A C$ делит его на два равных треугольника: $△ A B C = △ A C D$ (вершины соответствуют буквенно). Что можно сказать о четырёхугольнике?

Решение. Из равенства следует:

$A B = A C$ (по соответствию первых сторон).
$B C = C D$ .
$A C = A D$ (но $A C$ — диагональ, $A D$ — сторона).

Получили $A C = A D$ и $A B = A C$ , значит $A B = A D$ , $B C = C D$ . Кроме того, $∠ B A C = ∠ C A D$ , $∠ A B C = ∠ A C D$ .

Это означает, что $A B C D$ — четырёхугольник с особой симметрией: «дельтоид» или особый ромб. В зависимости от деталей, это может быть ромб (если $A B = B C = C D = D A$ ).

Связь с подобием

Подобные треугольники — обобщение равных: соответствующие стороны пропорциональны (с одним коэффициентом $k$ ), углы равны.

Признаки подобия (формулируются аналогично):

По двум углам (АА).
По двум сторонам и углу между ними (пропорциональным).
По трём сторонам (пропорциональным).

Равенство — частный случай подобия с $k = 1$ .

Алгоритм поиска равных треугольников в задаче

Найди в фигуре два треугольника, у которых нужно доказать равенство.
Перечисли «общие» элементы (общая сторона, общий угол, общая высота).
Найди элементы, равные по условию (равнобедренность, биссектриса, медиана, перпендикулярность).
Проверь, складываются ли в один из трёх признаков СУС, УСУ, ССС.
Если складываются — выпиши равенство, выведи нужные следствия.

Частые ошибки

Ошибка 1: применяют «по двум сторонам и углу против одной» как признак. Это не признак, даёт неоднозначность.

Ошибка 2: путают порядок вершин в записи равенства. Если пишешь $△ A B C = △ E F G$ — это значит $A \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow F$ , $C \leftrightarrow G$ . Если на самом деле $A \leftrightarrow G$ , нужно переписать $△ A B C = △ GF E$ .

Ошибка 3: используют углы и стороны, не входящие в трио признака. Например, две высоты + угол. Высота — не сторона, нужны именно стороны треугольника.

Ошибка 4: думают что прямой угол + два катета — это специальный признак. Это частный случай СУС (катеты + угол $90°$ между ними) или ССС (если известна гипотенуза). Никаких новых признаков для прямоугольных нет — только удобные следствия.

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ:

Задание 1 (планиметрия базовая): редко требуется явное применение признаков, но базовое понимание равенства углов и сторон обязательно.
Задание 16 (планиметрия повышенная): прямое применение признаков для доказательства промежуточных равенств — почти в каждой задаче.

Без уверенного владения признаками задача 16 решается с большим трудом.

Прокачай задание 16 ЕГЭ — планиметрия с пошаговым разбором по 7 принципам решения. Признаки равенства треугольников — основа всех доказательств.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Три признака равенства треугольников: СУС (сторона-угол-сторона), УСУ (угол-сторона-угол), ССС (три стороны).
В СУС угол должен быть между сторонами. «Угол против стороны» — не признак.
Запись $△ A B C = △ D E F$ значит $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ — порядок важен.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих сторон и углов.
Подобие — обобщение равенства с коэффициентом $k$ . Равенство = подобие при $k = 1$ .
В задаче 16 признаки равенства — главный инструмент доказательства.

Признаки равенства треугольников и обозначения