Задание 18 ЕГЭ профиль: задача с параметром

Задание 18 — 4 балла и репутация «самого страшного». На самом деле, задача с параметром — это методическая, а не интуитивная задача. Разберём оба метода: графический и аналитический.

Что такое задача с параметром

В уравнении (неравенстве) присутствует параметр $a$ (или $k$, $m$) — буква, которая принимает числовые значения. Нужно:

• Найти все значения $a$, при которых выполняется условие (нет решений / ровно одно / два решения)
• Или: решить уравнение при всех значениях $a$

Метод 1: Графический

Идея: переписать уравнение так, чтобы параметр $a$ был справа (отдельно), а слева — известная функция. Потом строить график функции и «прямую параметра» — горизонтальную прямую $y = a$. Число пересечений = число решений.

Пример. При каких $a$ уравнение $x^2 - 2x = a$ имеет ровно 2 решения?

Решение (графический метод): Пишем: $y = x^2 - 2x$ — это парабола. Параметр $a$ — это горизонтальная прямая $y = a$.

Парабола $y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ имеет минимум $-1$ при $x = 1$.

Прямая $y = a$ пересекает параболу:

• Дважды: если $a > -1$
• Один раз: если $a = -1$ (в вершине) или $a \to +\infty$ (нет, одна точка только в вершине)
• Нет: если $a < -1$

Ответ: $a > -1$ (или: $a \in (-1; +\infty)$).

Метод 2: Аналитический

Идея: решить уравнение относительно $x$ при фиксированном $a$, потом анализировать дискриминант или условия существования.

Пример. При каких $a$ уравнение $x^2 - 2x - a = 0$ имеет ровно 2 различных вещественных корня?

Решение: Дискриминант: $D = 4 + 4a = 4(1 + a)$.

• $D > 0$: $a > -1$ — два корня
• $D = 0$: $a = -1$ — один корень
• $D < 0$: $a < -1$ — нет вещественных корней

Ответ: $a > -1$.

Тип 1: Уравнение с параметром (найти a для нужного числа решений)

Алгоритм:

1. Изолировать параметр: $f(x) = a$
2. Нарисовать $y = f(x)$
3. Найти, при каком $y = a$ прямая пересекает график нужное число раз

Вопросы бывают:

• Нет решений
• Ровно одно решение
• Ровно два решения
• Более двух решений

Тип 2: Неравенство с параметром

Пример. При каких $a$ неравенство $x^2 > a$ выполняется для всех $x \in [-1; 1]$?

Решение: Нужно, чтобы $\min_{x \in [-1; 1]} x^2 > a$.

$x^2$ на $[-1; 1]$ принимает минимум $0$ (при $x = 0$).

Значит, нужно $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

Тип 3: Система с параметром

Пример. При каких $a$ система $\begin{cases} y = x^2 \\ y = ax + 1 \end{cases}$ имеет ровно одно решение?

Решение: Подставим: $x^2 = ax + 1$, т.е. $x^2 - ax - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = a^2 + 4$.

$D > 0$ всегда (т.к. $a^2 \geq 0$). Значит, система всегда имеет 2 решения?

Нет — нужно проверить касание: $D = 0$ невозможно. Система имеет всегда 2 решения. Ответ: нет значений $a$.

Тип 4: Область значений параметра через дополнительные условия

Иногда условие: «найти $a$, при котором оба корня уравнения положительны» или «корни принадлежат промежутку».

Теорема Виета + условия: Для $x^2 + px + q = 0$:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Оба корня положительны: $D \geq 0$, $-p > 0$ (сумма > 0), $q > 0$ (произведение > 0).

Когда использовать графический vs аналитический метод

Типичные ошибки в задании 18

Ошибка 1. Не нарисовать график. Без рисунка в графическом методе легко ошибиться с числом пересечений.

Ошибка 2. Забыть про «граничные» значения $a$ (касание, вершина параболы).

Ошибка 3. При неравенстве «для всех $x$» искать не минимум/максимум функции, а что-то другое.

Ошибка 4. Перепутать $D \geq 0$ (есть решения) и $D = 0$ (одно решение).

Ошибка 5. Не проверить граничные случаи: $a$ — это строгое или нестрогое неравенство? Включается граница или нет?

Чек-лист по заданию 18

• Умею изолировать параметр и строить $y = f(x)$
• Знаю, как по графику определить число пересечений с $y = a$
• Умею находить минимум/максимум функции для задач «при всех $x$»
• Использую дискриминант для квадратных уравнений с параметром
• Проверяю граничные значения (включить/исключить)

Связанные темы

• Уравнения вида f(x) = g(x)
• Стандартные замены в уравнениях
• Квадратные уравнения

В Сотах задание 18 начинается с простейших (парабола и прямая), потом идут трансцендентные функции с параметром. Задача с параметром — одна из тех, где 2–3 разобранных типа дают понимание всего класса.