Задание 18 ЕГЭ профиль: задача с параметром

Задание 18 — это 4 балла и репутация «самого страшного». На самом деле задача с параметром — методическая, не интуитивная. Ты знаешь два метода (графический и аналитический), знаешь три-четыре конфигурации — и задание перестаёт быть страшным.

На этой странице: оба метода с подробным разбором, типовые конфигурации (окружность+прямая, модуль, расстояние между корнями через теорему Виета), стратегия частичных баллов и hub→spoke к опорным темам.

Что такое задача с параметром

В уравнении или неравенстве есть буква $a$ (иногда $k$ или $m$ ) — параметр. Параметр принимает числовые значения, и твоя задача — выяснить, при каких из них выполняется нужное условие.

Три стандартных вопроса, которые ставит ЕГЭ:

При каких $a$ уравнение имеет ровно $N$ решений?
При каких $a$ уравнение не имеет решений?
Решить уравнение при всех значениях параметра.

Подход к задаче с параметром всегда один: разобрать случаи. Каждый случай — это конкретный ответ: при $a \in (\dots)$ происходит то-то.

Метод 1: Графический

Идея. Переписываешь уравнение так, чтобы параметр $a$ стоял справа отдельно, а слева была функция от $x$ . Строишь график $y = f (x)$ и горизонтальную прямую $y = a$ . Количество пересечений прямой с графиком — это количество решений уравнения.

Когда использовать: параметр легко изолируется, функция стандартная (парабола, синус, модуль).

Полный разбор: парабола и горизонтальная прямая

Задача. При каких значениях $a$ уравнение $x^{2} - 2 x = a$ имеет ровно два решения?

Шаг 1. Изолируем параметр:

$y = x^{2} - 2 x, y = a$

Шаг 2. Исследуем функцию $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Выделим полный квадрат:

$f (x) = (x - 1)^{2} - 1$

Парабола с вершиной в точке $(1; - 1)$ , ветви вверх. Минимальное значение $f (x) = - 1$ достигается при $x = 1$ .

Шаг 3. Анализируем пересечения прямой $y = a$ с параболой:

При $a < - 1$ : прямая проходит ниже вершины параболы, пересечений нет — уравнение решений не имеет.
При $a = - 1$ : прямая проходит через вершину, одно пересечение — одно решение $x = 1$ .
При $a > - 1$ : прямая пересекает параболу в двух точках — два решения.

Ответ: $a > - 1$ , то есть $a \in (- 1; + \infty)$ .

Метод 2: Аналитический

Идея. Решаешь уравнение относительно $x$ при произвольном $a$ , получаешь выражение с параметром. Затем анализируешь, при каких $a$ выполняется нужное условие: дискриминант больше/равен/меньше нуля, корень принадлежит ОДЗ, и так далее.

Когда использовать: уравнение квадратное (дискриминант считается явно), нужны точные границы, функция сложная и строить график затруднительно.

Полный разбор: квадратное уравнение с параметром

Задача. При каких $a$ уравнение $x^{2} - 2 x - a = 0$ имеет ровно два различных вещественных корня?

Это то же уравнение, что в графическом разборе, — только записано иначе. Проверим, что ответ совпадёт.

Шаг 1. Вычислим дискриминант:

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- a) = 4 + 4 a = 4 (1 + a)$

Шаг 2. Разбираем случаи по знаку $D$ :

$D > 0$ , то есть $4 (1 + a) > 0$ , то есть $a > - 1$ : два различных корня.
$D = 0$ , то есть $a = - 1$ : один корень (кратный).
$D < 0$ , то есть $a < - 1$ : нет вещественных корней.

Ответ: $a > - 1$ .

Совпадает с графическим методом — это хорошая проверка.

Конфигурация: уравнение с модулем и параметр

Часто в задании 18 встречается модуль. Типичная конструкция: $∣ f (x) ∣ = a$ или $∣ x - c ∣ = a$ .

Разбор: уравнение $∣2 x - 4∣ = a$

Задача. При каких $a$ уравнение $∣2 x - 4∣ = a$ имеет ровно два решения?

Шаг 1. Модуль не может быть отрицательным, поэтому:

При $a < 0$ : уравнение не имеет решений.
При $a = 0$ : $∣2 x - 4∣ = 0$ , то есть $2 x - 4 = 0$ , одно решение $x = 2$ .
При $a > 0$ : уравнение распадается на два случая:

$2 x - 4 = a \Rightarrow x = \frac{a + 4}{2}$

$2 x - 4 = - a \Rightarrow x = \frac{- a + 4}{2}$

Оба корня различны при $a > 0$ (если $a = 0$ , корни совпадают).

Ответ: $a > 0$ .

Графически: функция $y = ∣2 x - 4∣$ — это «галочка» с вершиной в точке $(2; 0)$ . Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает её дважды при $a > 0$ , один раз при $a = 0$ , не пересекает при $a < 0$ .

Конфигурация: условия на корни через теорему Виета

Это мощная конфигурация в задании 18: нужно найти $a$ , при котором корни уравнения удовлетворяют дополнительному условию — оба положительны, оба в интервале, их разность не больше чего-то.

Инструмент: теорема Виета

Для уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ с корнями $x_{1}, x_{2}$ :

$x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$

Отсюда расстояние между корнями:

$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = p^{2} - 4 q$

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ = p^{2} - 4 q (при D = p^{2} - 4 q > 0)$

Разбор: оба корня положительны

Задача. При каких $a$ уравнение $x^{2} - (a + 2) x + a = 0$ имеет два положительных корня?

По теореме Виета:

$x_{1} + x_{2} = a + 2, x_{1} \cdot x_{2} = a$

Условия на оба положительных корня — три одновременных неравенства:

Условие 1. $D \geq 0$ :

$D = (a + 2)^{2} - 4 a = a^{2} + 4 a + 4 - 4 a = a^{2} + 4 > 0$

$D > 0$ при всех $a$ (дискриминант этого трёхчлена по $a$ равен $- 16 < 0$ , значит $a^{2} + 4$ всегда положителен). Первое условие выполнено автоматически.

Условие 2. Сумма корней положительна:

$x_{1} + x_{2} = a + 2 > 0 \Rightarrow a > - 2$

Условие 3. Произведение корней положительно:

$x_{1} \cdot x_{2} = a > 0 \Rightarrow a > 0$

Пересечение всех условий: $a > 0$ .

Ответ: $a > 0$ , то есть $a \in (0; + \infty)$ .

Разбор: расстояние между корнями

Задача. При каких $a$ расстояние между корнями уравнения $x^{2} - 4 x + a = 0$ равно $2$ ?

По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = 4$ , $x_{1} x_{2} = a$ .

Расстояние между корнями:

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 16 - 4 a$

Ставим равным $2$ :

$16 - 4 a = 2 \Rightarrow 16 - 4 a = 4 \Rightarrow a = 3$

Проверим, что при $a = 3$ корни действительно существуют: $D = 16 - 4 \cdot 3 = 4 > 0$ . Корни: $x = \frac{4 \pm 2}{2}$ , то есть $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ . Расстояние $∣3 - 1∣ = 2$ . Верно.

Ответ: $a = 3$ .

Конфигурация: окружность и прямая с параметром

В ЕГЭ встречается геометрическая конфигурация: система из уравнения окружности и уравнения прямой с параметром. Количество общих точек = количество решений системы.

Разбор: прямая, касающаяся окружности

Задача. При каких $a$ прямая $y = a x + 1$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 4$ ?

Метод через дискриминант. Подставим $y = a x + 1$ в уравнение окружности:

$x^{2} + (a x + 1)^{2} = 4$

$x^{2} + a^{2} x^{2} + 2 a x + 1 = 4$

$(1 + a^{2}) x^{2} + 2 a x - 3 = 0$

Поскольку $1 + a^{2} > 0$ при любом $a$ , это квадратное уравнение. Касание — это ровно одно решение, то есть $D = 0$ :

$D = (2 a)^{2} - 4 (1 + a^{2}) (- 3) = 4 a^{2} + 12 (1 + a^{2}) = 4 a^{2} + 12 + 12 a^{2} = 16 a^{2} + 12$

Ждём $D = 0$ : $16 a^{2} + 12 = 0$ . Но $16 a^{2} + 12 \geq 12 > 0$ при всех $a$ — дискриминант всегда положителен!

Значит, система всегда имеет два решения, то есть прямая $y = a x + 1$ пересекает окружность $x^{2} + y^{2} = 4$ при любом $a$ .

Проверим геометрически: прямая проходит через точку $(0; 1)$ , которая лежит внутри окружности радиуса $2$ (расстояние от центра $(0; 0)$ до точки $(0; 1)$ равно $1 < 2$ ). Прямая через внутреннюю точку всегда пересекает окружность в двух точках.

Ответ: нет значений $a$ , при которых прямая касается окружности.

Разбор: семейство прямых, касающихся окружности

Задача. При каких $a$ прямая $y = x + a$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 2$ ?

Прямую перепишем в стандартный вид: $x - y + a = 0$ .

Расстояние от центра $(0; 0)$ до прямой:

$d = \frac{∣1 \cdot 0 + ( - 1 ) \cdot 0 + a ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{2}$

Условие касания $d = r = 2$ :

$\frac{∣ a ∣}{2} = 2 \Rightarrow ∣ a ∣ = 2 \Rightarrow a = 2 или a = - 2$

Ответ: $a = 2$ или $a = - 2$ .

Когда использовать графический vs аналитический метод

Оба метода дают один ответ — разница в скорости и наглядности.

Ситуация	Рекомендация
Параметр легко изолируется ( $f (x) = a$ )	Графический
Функция стандартная (парабола, галочка модуля, синус)	Графический
Уравнение квадратное с явным дискриминантом	Аналитический
Нужны точные значения $a$	Аналитический
Условия на знак корней (оба положительны и т.д.)	Аналитический + теорема Виета
Окружность + прямая, центр задан явно	Расстояние от точки до прямой
Сложная трансцендентная функция	Сначала графический для оценки, потом аналитический

Типичные ошибки в задании 18

Ошибка 1. Не рисовать график в графическом методе. Без рисунка легко ошибиться с числом пересечений, особенно в граничных случаях.

Ошибка 2. Пропустить граничное значение. «Ровно два решения» и «хотя бы два решения» — разные условия. В первом случае граница $(a = - 1$ в примере с параболой) не входит.

Ошибка 3. Забыть условие $D \geq 0$ при поиске корней с дополнительными условиями. Без него ты ищешь $a$ по теореме Виета, но корней может не быть вообще.

Ошибка 4. Перепутать знаки в теореме Виета. Для $x^{2} + p x + q = 0$ : сумма корней $= - p$ , а не $+ p$ . Проверяй по конкретному примеру — подставь $a = 1$ и найди корни напрямую.

Ошибка 5. При уравнении с модулем считать, что $∣ f (x) ∣ = a$ имеет два решения при $a > 0$ без проверки, что оба решения существуют (нет дополнительных ограничений, например ОДЗ).

Ошибка 6. При задаче «окружность + прямая» подставлять уравнение прямой, получать дискриминант и не задумываться о геометрическом смысле. Если центр окружности — в точке на прямой, прямая через эту точку всегда пересекает окружность.

Стратегия частичных баллов в задании 18

Задание 18 оценивается по критериям: 0, 1, 2, 3 или 4 балла в зависимости от полноты решения. Критерии проверяет эксперт вручную.

Как получить 2 балла из 4, если не знаешь полного решения:

Запиши условие задачи и что именно ищешь.
Нарисуй правильный эскиз графика (для графического метода). Эскиз без числовых подписей — уже частичный балл.
Разбери хотя бы один случай правильно и полно: например, только «при $a > - 1$ » — два решения. Один правильный случай из трёх — это уже балл.
Для квадратного уравнения — правильно вычисли дискриминант и запиши условие $D > 0$ . Даже без финального ответа на $a$ это показывает правильный метод.

Чего точно не делать: писать «ответ: $a \in R$ » (параметр принимает все значения) без разбора — это 0 баллов, даже если случайно верно.

Подробнее про критерии — в статье Критерии оценивания ЕГЭ профиль.

Алгоритм решения задания 18

Используй этот порядок действий для любой задачи с параметром:

Шаг 1. Определи тип: уравнение, неравенство или система?

Шаг 2. Выбери метод: можно изолировать $a$ в одну сторону? Если да — графический. Если уравнение квадратное — аналитический (дискриминант). Если есть условие на знак/принадлежность корней — теорема Виета.

Шаг 3. Примени метод. Не пропускай вычисления: дискриминант, сумму, произведение корней — всё записывай.

Шаг 4. Разбери случаи: что происходит при разных знаках или значениях $a$ . Перечисли все случаи: «нет решений», «одно решение», «два решения».

Шаг 5. Запиши ответ с указанием типа промежутка: строгое или нестрогое неравенство? Включается граница или нет?

Шаг 6. Проверь подстановкой хотя бы одного конкретного значения $a$ из ответа и одного из области вне ответа.

Темы, которые нужно знать для задания 18

Задание 18 — это не отдельная тема, это сборник. Ниже опорные страницы — каждая даёт конкретный инструмент:

К базе:

Квадратные уравнения — здесь живёт дискриминант и корневая формула: без них аналитический метод не работает.
Теорема Виета — условия на знак и величину корней через сумму и произведение: главный инструмент для конфигурации «оба корня положительны».
Квадратичная функция: график — чтобы правильно нарисовать параболу, найти вершину и понять, где прямая $y = a$ пересекает график нужное число раз.
Метод интервалов — когда задача требует разобрать знак выражения при разных $a$ : метод интервалов переносится на параметр так же, как на переменную.
Уравнения с модулем — конфигурация $∣ f (x) ∣ = a$ встречается в каждом третьем варианте задания 18: нужно уметь раскрывать модуль и отслеживать случаи по знаку правой части.

К заданиям и критериям:

Все задания ЕГЭ профиль — где задание 18 стоит в структуре КИМ, сколько времени закладывать, связь с другими заданиями части 2.
Критерии оценивания ЕГЭ профиль — как выставляются частичные баллы за задание 18: один разобранный случай уже не ноль.

Потренируйся на реальных задачах с параметром

В Сотах задание 18 начинается с простейших (парабола и прямая) и постепенно усложняется до трансцендентных функций. Каждая ошибка — с разбором.

Попробовать бесплатно