Задание 18 ЕГЭ профиль: задача с параметром

Задание 18 — это 4 балла и репутация «самого страшного». На самом деле задача с параметром — методическая, не интуитивная. Ты знаешь два метода (графический и аналитический), знаешь три-четыре конфигурации — и задание перестаёт быть страшным.

На этой странице: оба метода с подробным разбором, типовые конфигурации (окружность+прямая, модуль, расстояние между корнями через теорему Виета), стратегия частичных баллов и hub→spoke к опорным темам.

Что такое задача с параметром

В уравнении или неравенстве есть буква $a$ (иногда $k$ или $m$) — параметр. Параметр принимает числовые значения, и твоя задача — выяснить, при каких из них выполняется нужное условие.

Три стандартных вопроса, которые ставит ЕГЭ:

• При каких $a$ уравнение имеет ровно $N$ решений?
• При каких $a$ уравнение не имеет решений?
• Решить уравнение при всех значениях параметра.

Подход к задаче с параметром всегда один: разобрать случаи. Каждый случай — это конкретный ответ: при $a \in (\ldots)$ происходит то-то.

Метод 1: Графический

Идея. Переписываешь уравнение так, чтобы параметр $a$ стоял справа отдельно, а слева была функция от $x$. Строишь график $y = f(x)$ и горизонтальную прямую $y = a$. Количество пересечений прямой с графиком — это количество решений уравнения.

Когда использовать: параметр легко изолируется, функция стандартная (парабола, синус, модуль).

Полный разбор: парабола и горизонтальная прямая

Задача. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - 2x = a$ имеет ровно два решения?

Шаг 1. Изолируем параметр:

$y = x^2 - 2x, \quad y = a$

Шаг 2. Исследуем функцию $f(x) = x^2 - 2x$. Выделим полный квадрат:

$f(x) = (x - 1)^2 - 1$

Парабола с вершиной в точке $(1; -1)$, ветви вверх. Минимальное значение $f(x) = -1$ достигается при $x = 1$.

Шаг 3. Анализируем пересечения прямой $y = a$ с параболой:

• При $a < -1$: прямая проходит ниже вершины параболы, пересечений нет — уравнение решений не имеет.
• При $a = -1$: прямая проходит через вершину, одно пересечение — одно решение $x = 1$.
• При $a > -1$: прямая пересекает параболу в двух точках — два решения.

Ответ: $a > -1$, то есть $a \in (-1; +\infty)$.

Метод 2: Аналитический

Идея. Решаешь уравнение относительно $x$ при произвольном $a$, получаешь выражение с параметром. Затем анализируешь, при каких $a$ выполняется нужное условие: дискриминант больше/равен/меньше нуля, корень принадлежит ОДЗ, и так далее.

Когда использовать: уравнение квадратное (дискриминант считается явно), нужны точные границы, функция сложная и строить график затруднительно.

Полный разбор: квадратное уравнение с параметром

Задача. При каких $a$ уравнение $x^2 - 2x - a = 0$ имеет ровно два различных вещественных корня?

Это то же уравнение, что в графическом разборе, — только записано иначе. Проверим, что ответ совпадёт.

Шаг 1. Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a = 4(1 + a)$

Шаг 2. Разбираем случаи по знаку $D$:

• $D > 0$, то есть $4(1 + a) > 0$, то есть $a > -1$: два различных корня.
• $D = 0$, то есть $a = -1$: один корень (кратный).
• $D < 0$, то есть $a < -1$: нет вещественных корней.

Ответ: $a > -1$.

Совпадает с графическим методом — это хорошая проверка.

Конфигурация: уравнение с модулем и параметр

Часто в задании 18 встречается модуль. Типичная конструкция: $|f(x)| = a$ или $|x - c| = a$.

Разбор: уравнение $|2x - 4| = a$

Задача. При каких $a$ уравнение $|2x - 4| = a$ имеет ровно два решения?

Шаг 1. Модуль не может быть отрицательным, поэтому:

• При $a < 0$: уравнение не имеет решений.
• При $a = 0$: $|2x - 4| = 0$, то есть $2x - 4 = 0$, одно решение $x = 2$.
• При $a > 0$: уравнение распадается на два случая:

$2x - 4 = a \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a + 4}{2}$

$2x - 4 = -a \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-a + 4}{2}$

Оба корня различны при $a > 0$ (если $a = 0$, корни совпадают).

Ответ: $a > 0$.

Графически: функция $y = |2x - 4|$ — это «галочка» с вершиной в точке $(2; 0)$. Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает её дважды при $a > 0$, один раз при $a = 0$, не пересекает при $a < 0$.

Конфигурация: условия на корни через теорему Виета

Это мощная конфигурация в задании 18: нужно найти $a$, при котором корни уравнения удовлетворяют дополнительному условию — оба положительны, оба в интервале, их разность не больше чего-то.

Инструмент: теорема Виета

Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1, x_2$:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$

Отсюда расстояние между корнями:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2 = p^2 - 4q$

$|x_1 - x_2| = \sqrt{p^2 - 4q} \quad (\text{при } D = p^2 - 4q > 0)$

Разбор: оба корня положительны

Задача. При каких $a$ уравнение $x^2 - (a+2)x + a = 0$ имеет два положительных корня?

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = a + 2, \qquad x_1 \cdot x_2 = a$

Условия на оба положительных корня — три одновременных неравенства:

Условие 1. $D \geq 0$:

$D = (a+2)^2 - 4a = a^2 + 4a + 4 - 4a = a^2 + 4 > 0$

$D > 0$ при всех $a$ (дискриминант этого трёхчлена по $a$ равен $-16 < 0$, значит $a^2 + 4$ всегда положителен). Первое условие выполнено автоматически.

Условие 2. Сумма корней положительна:

$x_1 + x_2 = a + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -2$

Условие 3. Произведение корней положительно:

$x_1 \cdot x_2 = a > 0 \quad \Rightarrow \quad a > 0$

Пересечение всех условий: $a > 0$.

Ответ: $a > 0$, то есть $a \in (0; +\infty)$.

Разбор: расстояние между корнями

Задача. При каких $a$ расстояние между корнями уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равно $2$?

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 x_2 = a$.

Расстояние между корнями:

$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{16 - 4a}$

Ставим равным $2$:

$\sqrt{16 - 4a} = 2 \quad \Rightarrow \quad 16 - 4a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 3$

Проверим, что при $a = 3$ корни действительно существуют: $D = 16 - 4 \cdot 3 = 4 > 0$. Корни: $x = \frac{4 \pm 2}{2}$, то есть $x_1 = 3$, $x_2 = 1$. Расстояние $|3 - 1| = 2$. Верно.

Ответ: $a = 3$.

Конфигурация: окружность и прямая с параметром

В ЕГЭ встречается геометрическая конфигурация: система из уравнения окружности и уравнения прямой с параметром. Количество общих точек = количество решений системы.

Разбор: прямая, касающаяся окружности

Задача. При каких $a$ прямая $y = ax + 1$ касается окружности $x^2 + y^2 = 4$?

Метод через дискриминант. Подставим $y = ax + 1$ в уравнение окружности:

$x^2 + (ax + 1)^2 = 4$

$x^2 + a^2 x^2 + 2ax + 1 = 4$

$(1 + a^2)x^2 + 2ax - 3 = 0$

Поскольку $1 + a^2 > 0$ при любом $a$, это квадратное уравнение. Касание — это ровно одно решение, то есть $D = 0$:

$D = (2a)^2 - 4(1 + a^2)(-3) = 4a^2 + 12(1 + a^2) = 4a^2 + 12 + 12a^2 = 16a^2 + 12$

Ждём $D = 0$: $16a^2 + 12 = 0$. Но $16a^2 + 12 \geq 12 > 0$ при всех $a$ — дискриминант всегда положителен!

Значит, система всегда имеет два решения, то есть прямая $y = ax + 1$ пересекает окружность $x^2 + y^2 = 4$ при любом $a$.

Проверим геометрически: прямая проходит через точку $(0; 1)$, которая лежит внутри окружности радиуса $2$ (расстояние от центра $(0;0)$ до точки $(0;1)$ равно $1 < 2$). Прямая через внутреннюю точку всегда пересекает окружность в двух точках.

Ответ: нет значений $a$, при которых прямая касается окружности.

Разбор: семейство прямых, касающихся окружности

Задача. При каких $a$ прямая $y = x + a$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$?

Прямую перепишем в стандартный вид: $x - y + a = 0$.

Расстояние от центра $(0; 0)$ до прямой:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Условие касания $d = r = \sqrt{2}$:

$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad |a| = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \text{ или } a = -2$

Ответ: $a = 2$ или $a = -2$.

Когда использовать графический vs аналитический метод

Оба метода дают один ответ — разница в скорости и наглядности.

Типичные ошибки в задании 18

Ошибка 1. Не рисовать график в графическом методе. Без рисунка легко ошибиться с числом пересечений, особенно в граничных случаях.

Ошибка 2. Пропустить граничное значение. «Ровно два решения» и «хотя бы два решения» — разные условия. В первом случае граница $(a = -1$ в примере с параболой) не входит.

Ошибка 3. Забыть условие $D \geq 0$ при поиске корней с дополнительными условиями. Без него ты ищешь $a$ по теореме Виета, но корней может не быть вообще.

Ошибка 4. Перепутать знаки в теореме Виета. Для $x^2 + px + q = 0$: сумма корней $= -p$, а не $+p$. Проверяй по конкретному примеру — подставь $a = 1$ и найди корни напрямую.

Ошибка 5. При уравнении с модулем считать, что $|f(x)| = a$ имеет два решения при $a > 0$ без проверки, что оба решения существуют (нет дополнительных ограничений, например ОДЗ).

Ошибка 6. При задаче «окружность + прямая» подставлять уравнение прямой, получать дискриминант и не задумываться о геометрическом смысле. Если центр окружности — в точке на прямой, прямая через эту точку всегда пересекает окружность.

Стратегия частичных баллов в задании 18

Задание 18 оценивается по критериям: 0, 1, 2, 3 или 4 балла в зависимости от полноты решения. Критерии проверяет эксперт вручную.

Как получить 2 балла из 4, если не знаешь полного решения:

1. Запиши условие задачи и что именно ищешь.
2. Нарисуй правильный эскиз графика (для графического метода). Эскиз без числовых подписей — уже частичный балл.
3. Разбери хотя бы один случай правильно и полно: например, только «при $a > -1$» — два решения. Один правильный случай из трёх — это уже балл.
4. Для квадратного уравнения — правильно вычисли дискриминант и запиши условие $D > 0$. Даже без финального ответа на $a$ это показывает правильный метод.

Чего точно не делать: писать «ответ: $a \in \mathbb{R}$» (параметр принимает все значения) без разбора — это 0 баллов, даже если случайно верно.

Подробнее про критерии — в статье Критерии оценивания ЕГЭ профиль.

Алгоритм решения задания 18

Используй этот порядок действий для любой задачи с параметром:

Шаг 1. Определи тип: уравнение, неравенство или система?

Шаг 2. Выбери метод: можно изолировать $a$ в одну сторону? Если да — графический. Если уравнение квадратное — аналитический (дискриминант). Если есть условие на знак/принадлежность корней — теорема Виета.

Шаг 3. Примени метод. Не пропускай вычисления: дискриминант, сумму, произведение корней — всё записывай.

Шаг 4. Разбери случаи: что происходит при разных знаках или значениях $a$. Перечисли все случаи: «нет решений», «одно решение», «два решения».

Шаг 5. Запиши ответ с указанием типа промежутка: строгое или нестрогое неравенство? Включается граница или нет?

Шаг 6. Проверь подстановкой хотя бы одного конкретного значения $a$ из ответа и одного из области вне ответа.

Темы, которые нужно знать для задания 18

Задание 18 — это не отдельная тема, это сборник. Ниже опорные страницы — каждая даёт конкретный инструмент:

К базе:

• Квадратные уравнения — здесь живёт дискриминант и корневая формула: без них аналитический метод не работает.
• Теорема Виета — условия на знак и величину корней через сумму и произведение: главный инструмент для конфигурации «оба корня положительны».
• Квадратичная функция: график — чтобы правильно нарисовать параболу, найти вершину и понять, где прямая $y = a$ пересекает график нужное число раз.
• Метод интервалов — когда задача требует разобрать знак выражения при разных $a$: метод интервалов переносится на параметр так же, как на переменную.
• Уравнения с модулем — конфигурация $|f(x)| = a$ встречается в каждом третьем варианте задания 18: нужно уметь раскрывать модуль и отслеживать случаи по знаку правой части.

К заданиям и критериям:

• Все задания ЕГЭ профиль — где задание 18 стоит в структуре КИМ, сколько времени закладывать, связь с другими заданиями части 2.
• Критерии оценивания ЕГЭ профиль — как выставляются частичные баллы за задание 18: один разобранный случай уже не ноль.

Часто задаваемые вопросы