Что такое уравнение высшей степени?

Уравнение вида aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0, где n ≥ 3. На ЕГЭ обычно встречается n=3 или n=4.

Что говорит теорема Безу?

Если число x₀ — корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x - x₀) без остатка: P(x) = (x - x₀)·Q(x).

Как искать корень подбором?

Если уравнение имеет целые коэффициенты, целые корни — делители свободного члена. Подставляешь делители ±1, ±2, ±3, … и смотришь, какой даёт ноль.

Как разделить многочлен на (x - x₀)?

Длинным делением столбиком, как обычные числа. Или схемой Горнера — компактным способом записи деления.

Сколько корней может иметь уравнение n-й степени?

По основной теореме алгебры — ровно n корней (с учётом кратности и комплексных). Действительных корней — от 0 до n.

Уравнения высших степеней — разложение на множители, теорема Безу

Уравнения высших степеней — те, что выше квадратных. На ЕГЭ профиль (задание 12 или 18) обычно встречаются кубические и биквадратные. Главный приём — научиться раскладывать многочлен на простые множители.

Почему именно разложение на множители? Потому что для уравнений выше второй степени в школе нет готовой формулы корней (формула для кубического существует, но она громоздкая и на ЕГЭ не используется). Зато работает другая идея: если многочлен удаётся представить как произведение скобок, то уравнение «произведение равно нулю» распадается на несколько простых — каждая скобка по отдельности приравнивается к нулю. Поэтому вся стратегия сводится к одному: разложить многочлен на множители. Сделать это помогают три инструмента — теорема Безу (подбор корня и понижение степени), замена переменной (для биквадратных) и группировка. Разберём каждый по порядку.

Постановка задачи

Уравнение n-й степени имеет вид:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$

где $a_{n} \neq = 0$ , $n \geq 3$ (для n=2 — квадратное, отдельная тема).

Задача: найти все действительные корни. Комплексные корни в школьном курсе не рассматриваются, поэтому ответом считаются только действительные значения переменной — те, что лежат на числовой прямой и удовлетворяют уравнению.

В общем виде универсальной формулы нет (только для $n \leq 4$ и она громоздкая). Но на ЕГЭ обычно есть «удобный» путь — разложить на множители.

Это ключевое отличие от квадратных уравнений. Для квадратного есть формула дискриминанта, которая работает всегда. Для кубического и выше такой простой формулы в школе нет, поэтому задачи специально конструируют так, чтобы у них были «красивые» (обычно целые) корни. Это и даёт лазейку: если корень целый, его можно найти подбором среди делителей свободного члена, а затем понизить степень. Авторы заданий ЕГЭ всегда оставляют такой путь — иначе задача была бы нерешаемой школьными средствами. Поэтому, встретив уравнение третьей или четвёртой степени, первым делом ищи целый корень: он почти наверняка есть.

Теорема Безу — главный инструмент

Теорема Безу. Если $x_{0}$ — корень многочлена $P (x)$ , то $P (x)$ делится на $(x - x_{0})$ без остатка:

$P (x) = (x - x_{0}) \cdot Q (x)$

где $Q (x)$ — многочлен степени на $1$ ниже.

Использование на практике. Если найдёшь хотя бы один корень $x_{0}$ , можно понизить степень: $P (x) = (x - x_{0}) \cdot Q (x) = 0$ даёт либо $x = x_{0}$ , либо $Q (x) = 0$ . Дальше работаешь с $Q (x)$ .

В этом и состоит главная стратегия: каждый найденный корень понижает степень многочлена на единицу. Кубическое уравнение после одного корня превращается в квадратное, которое ты уже умеешь решать через дискриминант. Уравнение четвёртой степени после одного корня становится кубическим, после двух — квадратным. Поэтому достаточно «зацепиться» за один корень — и дальше степень падает каскадом до знакомого квадратного трёхчлена. Теорема Безу — это мост, который переводит «страшное» уравнение высокой степени в цепочку обычных квадратных и линейных.

Поиск целых корней

Если у уравнения целые коэффициенты, то целые корни — делители свободного члена $a_{0}$ . Это следствие теоремы о рациональных корнях. Почему именно делители свободного члена? Потому что если целое $x_{0}$ — корень, то в равенстве $a_{n} x_{0}^{n} + \dots + a_{1} x_{0} + a_{0} = 0$ все слагаемые, кроме $a_{0}$ , содержат множитель $x_{0}$ . Значит, $a_{0}$ тоже делится на $x_{0}$ — то есть $x_{0}$ обязан быть делителем свободного члена. Это резко сужает поиск: вместо бесконечного перебора у тебя всего несколько кандидатов. Для уравнения со свободным членом $6$ это $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ — восемь чисел, которые легко проверить подстановкой.

Алгоритм.

Выпиши делители $∣ a_{0} ∣$ .
Подставь каждый (с обоими знаками) в $P (x)$ .
Те, что дают $0$ , — целые корни.

Пример. $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ . Свободный член $- 6$ . Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

Подставим:

$P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ . ✓ Корень!
(Дальше можно искать или сразу делить.)

Деление многочлена на (x - x₀)

После нахождения $x_{0} = 1$ для нашего примера, делим $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ на $(x - 1)$ .

Длинное деление.

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 11 x - 5 x^{2} + 5 x 6 x - 6 6 x - 6 0 x - 1 x^{2} - 5 x + 6$

Получили $Q (x) = x^{2} - 5 x + 6$ . Длинное деление многочленов работает по той же логике, что и деление чисел столбиком: на каждом шаге делим старший член остатка на старший член делителя, умножаем и вычитаем. Здесь оно сошлось без остатка (последняя разность — ноль), что подтверждает: $x = 1$ действительно корень.

Теперь $P (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)$ . Решаем $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $D = 25 - 24 = 1$ , $x = (5 \pm 1) /2 = 3$ или $2$ .

Все корни: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = 3$ . Три действительных корня — максимум для кубического уравнения, и здесь он достигнут.

Схема Горнера

Удобная альтернатива длинному делению. Покажу на том же примере: $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ , делим на $(x - 1)$ , $x_{0} = 1$ .

Записываем коэффициенты $P$ в строку: $1, - 6, 11, - 6$ .

	$1$	$- 6$	$11$	$- 6$
$x_{0} = 1$	$1$	$- 6 + 1 \cdot 1 = - 5$	$11 + (- 5) \cdot 1 = 6$	$- 6 + 6 \cdot 1 = 0$

Нижняя строка: $1, - 5, 6, 0$ . Последнее $0$ — остаток (значит, делится). Остальные — коэффициенты $Q (x) = x^{2} - 5 x + 6$ . То же самое, что мы получили длинным делением, но компактнее.

Схема Горнера работает по простому правилу: первый коэффициент сносится вниз без изменений, а каждый следующий равен «текущий коэффициент плюс предыдущий результат, умноженный на $x_{0}$ ». Один проход по строке — и ты сразу видишь и остаток (проверка корня), и коэффициенты частного (понижение степени). По сравнению с длинным делением это экономит место и резко снижает риск ошибки в знаках. Поэтому на ЕГЭ рекомендуется освоить именно Горнера и довести его до автоматизма — длинное деление оставь как запасной вариант для случаев, когда делитель не линейный.

Биквадратное уравнение

Особый случай — биквадратное уравнение:

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

Решается заменой $t = x^{2}$ , $t \geq 0$ :

$a t^{2} + b t + c = 0$

Решается как квадратное. Получив $t_{1}$ , $t_{2}$ , для каждого положительного $t$ : $x = \pm t$ .

Пример. $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ . Замена $t = x^{2}$ : $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , $t_{1} = 4$ , $t_{2} = 1$ . $x = \pm 2$ или $x = \pm 1$ . Четыре корня: $- 2, - 1, 1, 2$ .

Биквадратное — частный случай уравнения четвёртой степени, в котором нет нечётных степеней (только $x^{4}$ , $x^{2}$ и свободный член). Замена $t = x^{2}$ превращает его в квадратное, и тут важны два момента. Первый: условие $t \geq 0$ обязательно, ведь $x^{2}$ не может быть отрицательным — отрицательные корни $t$ отбрасываются. Второй: каждый положительный корень $t$ даёт два корня по $x$ (плюс и минус корень), а нулевой $t$ — один корень $x = 0$ . Поэтому число корней биквадратного зависит от знаков $t_{1}, t_{2}$ и может быть от нуля до четырёх. Подробный разбор всех случаев — на отдельной странице про биквадратные уравнения.

Метод группировки

Иногда многочлен можно разложить группировкой — без поиска корней. Это альтернатива методу Безу, которая работает быстрее, когда коэффициенты «складываются удачно». Распознать такой случай помогает структура: если многочлен легко делится на пары с общими множителями, группировка сработает.

Пример. $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$ . Группируем: $(x^{3} + x^{2}) - (4 x + 4) = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ .

Корни: $- 1, - 2, 2$ . Заметь, как сработала группировка: из первой пары вынесли $x^{2}$ , из второй — $4$ , и в обеих появилась одинаковая скобка $(x + 1)$ . Её и вынесли за весь многочлен, а оставшийся множитель $x^{2} - 4$ доразложили по формуле разности квадратов. Без единого подбора корня уравнение полностью решено — в этом сила группировки, когда структура коэффициентов ей благоволит.

Группировка работает не всегда, но если получается — экономит время. Суть приёма: разбить слагаемые на группы так, чтобы в каждой выносился общий множитель, и после вынесения во всех группах появилась одинаковая скобка. Эту общую скобку выносят за весь многочлен. В примере выше группы $(x^{3} + x^{2})$ и $- (4 x + 4)$ после вынесения дали общую скобку $(x + 1)$ , что и позволило разложить многочлен. Группировка особенно удобна, когда подбор корня не очевиден, но в структуре коэффициентов видна симметрия. Минус метода — он не универсален: если удачной группировки нет, придётся вернуться к подбору корня через делители свободного члена.

Применение в задаче 12 ЕГЭ

Задание 12 — неравенство (часто рациональное или показательное), где после преобразований получается уравнение типа $P (x) = 0$ для многочлена 3-4 степени. Алгоритм: найти все корни → методом интервалов решить неравенство. То есть умение раскладывать многочлен на множители — это не отдельный навык «для красоты», а необходимый шаг во многих неравенствах: чтобы применить метод интервалов, сначала нужно найти все нули, а для многочлена выше второй степени это и есть разложение на множители через теорему Безу. Поэтому связка «подобрал корень → понизил степень → нашёл остальные корни → расставил знаки» работает в задании 12 постоянно.

Применение в задаче 18 ЕГЭ

Задание 18 (с параметром) часто требует исследования, при каких значениях параметра уравнение имеет нужное число корней. Многочлен 3-й степени всегда имеет хотя бы один действительный корень (по непрерывности). Это важный факт: график кубического многочлена при $x \to + \infty$ уходит в плюс-бесконечность, а при $x \to - \infty$ — в минус-бесконечность (или наоборот), поэтому он обязательно где-то пересекает ось $O x$ . Значит, кубическое уравнение всегда имеет минимум один действительный корень — двух или ни одного быть не может. А вот четвёртой степени может не иметь ни одного действительного корня (например, $x^{4} + 1 = 0$ ). В задачах с параметром такие соображения о числе корней через поведение графика и кратность — типичный ход рассуждения, и теорема Безу помогает выразить корни явно, чтобы исследовать их зависимость от параметра.

Распространённые ошибки

1. Не подставить «удачный» корень. Если ничего не получается, попробуй $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2$ , делители свободного члена. Часто кто-то из них — корень.

2. Запутаться в длинном делении. Один знак или одна арифметическая ошибка ломает всё. Лучше использовать схему Горнера — она компактнее и контролируется.

3. Считать, что уравнение n-й степени обязательно имеет n действительных корней. Не обязательно. Например, $x^{3} + x = x (x^{2} + 1) = 0$ имеет только один действительный корень $x = 0$ (потому что $x^{2} + 1 > 0$ всегда, и второй множитель не обнуляется ни при каком действительном $x$ ). Основная теорема алгебры гарантирует ровно $n$ корней лишь с учётом кратности и комплексных, а действительных может быть меньше. Поэтому после понижения степени всегда проверяй, есть ли у квадратного множителя действительные корни (по дискриминанту) — если $D < 0$ , он не даёт новых корней.

4. Забыть про «или» при разложении на множители. $(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0$ означает « $x = 1$ ИЛИ $x = 2$ ИЛИ $x = 3$ », не «И».

5. Брать $t = - t$ как два разных корня. В биквадратном при $t > 0$ значение $x = \pm t$ даёт два корня, не один. Если $t = 0$ , то $x = 0$ — один корень (двойной).

6. Не выписать все делители свободного члена. Часто перебирают только $\pm 1, \pm 2$ и сдаются. Нужно проверить все делители, включая большие ( $\pm 6$ , $\pm 10$ ) и отрицательные — корень может оказаться среди них.

7. Ошибиться со знаком $x_{0}$ в схеме Горнера. Деление на $(x - x_{0})$ использует именно $x_{0}$ (сам корень). Для делителя $(x + 2)$ это $x_{0} = - 2$ , а не $2$ . Перепутаешь знак — вся таблица Горнера выйдет неверной.

Разобранный пример

Условие. Решить уравнение $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

Решение.

Свободный член $10$ . Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ .

Подставляем $x = 1$ : $1 - 4 - 7 + 10 = 0$ . ✓ Корень.

Делим $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ на $(x - 1)$ схемой Горнера:

	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
$1$	$1$	$- 3$	$- 10$	$0$

Получили $Q (x) = x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . $D = 9 + 40 = 49$ , $x = (3 \pm 7) /2 = 5$ или $- 2$ .

Корни: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = 5$ .

Этот разбор показывает полный рабочий цикл: выписали делители свободного члена, подбором нашли первый корень $x = 1$ , схемой Горнера понизили степень до квадратного трёхчлена, добили его через дискриминант. Этот алгоритм — универсальный для кубических уравнений на ЕГЭ. Он почти механический: единственный «творческий» шаг — подбор первого корня, но и он сведён к перебору делителей свободного члена, а не к гаданию.

Что запомнить

Главный инструмент — теорема Безу: $P (x_{0}) = 0 \Rightarrow P = (x - x_{0}) Q$ .
Целые корни — среди делителей свободного члена.
Деление: длинное столбиком или схема Горнера.
Биквадратное — замена $t = x^{2}$ .
Группировка — иногда быстрее.

Связь с другими темами

Квадратные уравнения — последний шаг после разложения.
Теорема Виета — связь корней и коэффициентов.
Иррациональные уравнения — после возведения в степень часто дают многочлен высокой степени.
Биквадратные уравнения — важный частный случай четвёртой степени, решаемый заменой.

Прокачай задание 12

15 минут диагностики покажут пробелы в работе с многочленами. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно

Уравнения высших степеней: разложение на множители