Уравнения с модулем: подробный разбор метода по знаку

Уравнения с модулем требуют понимания одного ключевого принципа: модуль меняет знак выражения в зависимости от его значения. Это пошаговый разбор метода от простых случаев до задач с параметром.

Определение и свойства модуля

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Ключевые свойства:

• $|a| \geq 0$ всегда.
• $|a| = 0$ только если $a = 0$.
• $|{-a}| = |a|$.
• $|ab| = |a| \cdot |b|$.
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ (неравенство треугольника).

Метод раскрытия по знаку: пошаговый алгоритм

Алгоритм для одного модуля $|f(x)| = g(x)$:

1. Найди нуль $f(x) = 0$ — точку смены знака.
2. Раздели ось на два промежутка: $f(x) \geq 0$ и $f(x) < 0$.
3. На первом промежутке: $f(x) = g(x)$.
4. На втором промежутке: $-f(x) = g(x)$.
5. Реши оба уравнения.
6. Проверь принадлежность каждого корня своему промежутку.

Пример 1 (уровень А). Реши $|3x - 6| = 9$.

Нуль: $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Промежуток 1: $x \geq 2$. Тогда $3x - 6 \geq 0$, поэтому $3x - 6 = 9 \Rightarrow x = 5$. Проверка: $5 \geq 2$ ✓.

Промежуток 2: $x < 2$. Тогда $3x - 6 < 0$, поэтому $-(3x-6) = 9 \Rightarrow -3x + 6 = 9 \Rightarrow x = -1$. Проверка: $-1 < 2$ ✓.

Ответ: $x = 5$ или $x = -1$.

Уравнения с двумя модулями

При двух модулях — три промежутка (нулей два → три области).

Алгоритм для $|f(x)| + |g(x)| = h(x)$:

1. Найди нули: $f(x) = 0$ → $x = a$; $g(x) = 0$ → $x = b$ (пусть $a < b$).
2. Три промежутка: $(-\infty, a)$, $[a, b)$, $[b, +\infty)$.
3. На каждом промежутке раскрой оба модуля с нужным знаком.
4. Реши три уравнения, проверь принадлежность.

Пример 2 (уровень Б). Реши $|x - 1| + |x + 3| = 8$.

Нули: $x = 1$ и $x = -3$. Три промежутка: $x < -3$, $-3 \leq x < 1$, $x \geq 1$.

Промежуток 1: $x < -3$. Оба выражения отрицательны: $-(x-1) + (-(x+3)) = 8 \Rightarrow -2x - 2 = 8 \Rightarrow x = -5$. Проверка: $-5 < -3$ ✓.

Промежуток 2: $-3 \leq x < 1$. $(x-1) < 0$, $(x+3) \geq 0$: $-(x-1) + (x+3) = 8 \Rightarrow 4 = 8$. Нет решений.

Промежуток 3: $x \geq 1$. Оба неотрицательны: $(x-1) + (x+3) = 8 \Rightarrow 2x + 2 = 8 \Rightarrow x = 3$. Проверка: $3 \geq 1$ ✓.

Ответ: $x = -5$ или $x = 3$.

Пример 3 (уровень Б). Реши $|x^2 - 4| = 2x - 1$.

Условие существования: правая часть $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{1}{2}$ (модуль неотрицателен).

Нули $x^2 - 4 = 0$: $x = 2$ и $x = -2$. С учётом $x \geq \frac{1}{2}$ рассматриваем $[\frac{1}{2}, 2)$ и $[2, +\infty)$.

На $[\frac{1}{2}, 2)$: $x^2 - 4 < 0$, поэтому $-(x^2-4) = 2x-1 \Rightarrow -x^2 + 4 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 5 = 0$.

$x = -1 \pm \sqrt{6}$. Подходит $x = -1 + \sqrt{6} \approx 1{,}449$. Проверка: $\frac{1}{2} \leq 1{,}449 < 2$ ✓.

На $[2, +\infty)$: $x^2 - 4 \geq 0$, поэтому $x^2 - 4 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0$.

$x = 3$ или $x = -1$. Проверка: $x = 3 \geq 2$ ✓; $x = -1 < 2$ — не подходит.

Ответ: $x = -1 + \sqrt{6}$ и $x = 3$.

Уравнения с тремя модулями

При трёх модулях — четыре промежутка. Техника та же: найди три нуля, раздели ось на четыре части.

Пример 4 (уровень В). Реши $|x - 3| + |x| + |x + 2| = 7$.

Нули: $x = 3$, $x = 0$, $x = -2$. Четыре промежутка: $x < -2$, $-2 \leq x < 0$, $0 \leq x < 3$, $x \geq 3$.

Промежуток 1: $x < -2$: $-(x-3) + (-x) + (-(x+2)) = 7 \Rightarrow -3x + 1 = 7 \Rightarrow x = -2$. Не входит в $x < -2$.

Промежуток 2: $-2 \leq x < 0$: $-(x-3) + (-x) + (x+2) = 7 \Rightarrow -x + 5 = 7 \Rightarrow x = -2$. Проверка: $x = -2 \in [-2, 0)$ — граничная точка ✓.

Промежуток 3: $0 \leq x < 3$: $-(x-3) + x + (x+2) = 7 \Rightarrow x + 5 = 7 \Rightarrow x = 2$. Проверка: $0 \leq 2 < 3$ ✓.

Промежуток 4: $x \geq 3$: $(x-3) + x + (x+2) = 7 \Rightarrow 3x - 1 = 7 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$. Проверка: $\frac{8}{3} \approx 2{,}67 < 3$ — не входит.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

Применение квадратирования

Для $|f(x)| = g(x)$ при $g(x) \geq 0$: $|f(x)| = g(x) \iff f^2(x) = g^2(x)$

Подходит когда раскрытие по знаку громоздко (например, $g(x)$ — сложное выражение).

Важно: квадратирование не вносит посторонних корней только при $g(x) \geq 0$. Если $g(x)$ может быть отрицательным — сначала установи это условие.

Пример 5. Реши $|x - 2| = x^2 - 4$.

Условие: $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2$ или $x \geq 2$.

Возводим в квадрат: $(x-2)^2 = (x^2-4)^2 \Rightarrow (x-2)^2 = (x-2)^2(x+2)^2$.

$(x-2)^2[(x+2)^2 - 1] = 0$.

Случай 1: $x = 2$. Проверка: $|0| = 0$ ✓.

Случай 2: $(x+2)^2 = 1 \Rightarrow x + 2 = \pm 1 \Rightarrow x = -1$ или $x = -3$.

$x = -1$: не удовлетворяет условию ($-1 \in (-2, 2)$). $x = -3$: проверка $|-5| = 9-4 = 5$ ✓.

Ответ: $x = 2$ и $x = -3$.

Связь с параметрическими задачами (задание 18)

В задании 18 типична задача: при каких $a$ уравнение $|f(x)| = a$ имеет ровно $n$ решений.

Метод: строишь график $y = |f(x)|$, горизонтальная прямая $y = a$ — это уровень $a$. Считаешь пересечения.

Частые ошибки

1. Не проверять принадлежность промежутку. Найти корень — только полдела. Он должен лежать в промежутке, для которого составлено уравнение.
2. Пропускать промежуток при двух/трёх модулях. При $n$ нулях — $n+1$ промежуток. Не теряй промежутки.
3. Применять квадратирование без проверки знака правой части. $|f(x)| = g(x)$ при $g(x) < 0$ не имеет решений — модуль неотрицателен.
4. Не подставлять граничные точки. На граничных точках (где $f(x) = 0$) раскрытие особое — нулевое выражение не меняет знак.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем (базовый) — три основных метода.
• Неравенства с модулем — схожая техника для неравенств.
• Метод интервалов — используется для определения знака выражения.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 12 — уравнения повышенного уровня, включая уравнения с несколькими модулями.
• Задание 15 — уравнение с модулем как часть системы.