Уравнения с модулем: подробный разбор метода по знаку

Модуль меняет знак выражения в зависимости от его значения, и весь метод строится на этом. Подмодульное выражение обращается в ноль в некоторых точках; они делят числовую прямую на промежутки, на каждом из которых знаки всех подмодульных выражений постоянны, и модули раскрываются однозначно. Ниже: один, два и три модуля, возведение в квадрат и связь с параметром.

Базовый разбор трёх методов — на странице «Уравнения с модулем». Здесь только метод раскрытия по знаку: он работает при любом числе модулей.

Определение и свойства модуля

$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{если }a\ge 0\\ -a,& \text{если }a<0\end{array}$

Ключевые свойства:

• $|a|\ge 0$ всегда — модуль никогда не отрицателен.
• $|a|=0$ только если $a=0$.
• $|-a|=|a|$ — модуль не различает число и противоположное ему.
• $|ab|=|a|\cdot |b|$ — модуль произведения равен произведению модулей.
• $|a+b|\le |a|+|b|$ (неравенство треугольника).

Из неотрицательности модуля сразу следует важное правило: если модуль приравнен к выражению, это выражение обязано быть неотрицательным. Поэтому в уравнении $|f(x)|=g(x)$ всегда есть скрытое условие $g(x)\ge 0$ — его учитывают наряду с раскрытием по знаку.

Метод раскрытия по знаку: пошаговый алгоритм

Начнём с простейшего случая — одного модуля. Этот алгоритм — основа всего метода; для двух и трёх модулей он просто повторяется на большем числе промежутков.

Алгоритм для одного модуля $|f(x)|=g(x)$:

1. Найди нуль $f(x)=0$ — точку смены знака.
2. Раздели ось на два промежутка: $f(x)\ge 0$ и $f(x)<0$.
3. На первом промежутке: $f(x)=g(x)$.
4. На втором промежутке: $-f(x)=g(x)$.
5. Реши оба уравнения.
6. Проверь принадлежность каждого корня своему промежутку.

Пример 1 (уровень А, один модуль). Реши $|3x-6|=9$.

Нуль: $3x-6=0\Rightarrow x=2$.

Промежуток 1: $x\ge 2$. Тогда $3x-6\ge 0$, поэтому $3x-6=9\Rightarrow x=5$. Проверка: $5\ge 2$ ✓.

Промежуток 2: $x<2$. Тогда $3x-6<0$, поэтому $-(3x-6)=9\Rightarrow -3x+6=9\Rightarrow x=-1$. Проверка: $-1<2$ ✓.

Ответ: $x=5$ или $x=-1$.

Проверка принадлежности корня промежутку — обязательный шаг: если корень, найденный на промежутке, из него выпал, он посторонний.

Уравнения с двумя модулями

При двух модулях получается три промежутка: два нуля подмодульных выражений делят прямую на три области.

Алгоритм для суммы двух модулей $|f(x)|+|g(x)|=h(x)$:

1. Найди нули: $f(x)=0$ → $x=a$; $g(x)=0$ → $x=b$ (пусть $a<b$).
2. Три промежутка: $(-\infty ,a)$, $[a,b)$, $[b,+\infty )$.
3. На каждом промежутке раскрой оба модуля с нужным знаком.
4. Реши три уравнения, проверь принадлежность.

Пример 2 (уровень Б, два модуля). Реши $|x-1|+|x+3|=8$.

Нули: $x=1$ и $x=-3$. Три промежутка: $x<-3$, $-3\le x<1$, $x\ge 1$.

Промежуток 1: $x<-3$. Оба выражения отрицательны: $-(x-1)+(-(x+3))=8\Rightarrow -2x-2=8\Rightarrow x=-5$. Проверка: $-5<-3$ ✓.

Промежуток 2: $-3\le x<1$. $(x-1)<0$, $(x+3)\ge 0$: $-(x-1)+(x+3)=8\Rightarrow 4=8$. Нет решений.

Промежуток 3: $x\ge 1$. Оба неотрицательны: $(x-1)+(x+3)=8\Rightarrow 2x+2=8\Rightarrow x=3$. Проверка: $3\ge 1$ ✓.

Ответ: $x=-5$ или $x=3$.

На среднем промежутке ($-3\le x<1$) получилось ложное $4=8$. Так и должно быть: между нулями сумма $|x-1|+|x+3|$ равна расстоянию между точками $1$ и $-3$, то есть $4$, и $8$ она быть не может. Корни лежат снаружи, где сумма растёт.

Пример 3 (уровень Б, модуль равен выражению). Реши $|x^2-4|=2x-1$.

Условие существования: правая часть $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$ (модуль неотрицателен).

Нули $x^2-4=0$: $x=2$ и $x=-2$. С учётом $x\ge \frac{1}{2}$ рассматриваем $[\frac{1}{2},2)$ и $[2,+\infty )$.

На $[\frac{1}{2},2)$: $x^2-4<0$, поэтому $-(x^2-4)=2x-1\Rightarrow -x^2+4=2x-1\Rightarrow x^2+2x-5=0$.

$x=-1\pm \sqrt{6}$. Подходит $x=-1+\sqrt{6}\approx 1,449$. Проверка: $\frac{1}{2}\le 1,449<2$ ✓.

На $[2,+\infty )$: $x^2-4\ge 0$, поэтому $x^2-4=2x-1\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0$.

$x=3$ или $x=-1$. Проверка: $x=3\ge 2$ ✓; $x=-1<2$ — не подходит.

Ответ: $x=-1+\sqrt{6}$ и $x=3$.

Здесь работают два фильтра: условие $2x-1\ge 0$ и знак $x^2-4$ на промежутках. Корень $x=-1$ из второго уравнения не прошёл фильтр по промежутку. Корень $-1+\sqrt{6}$ оставляй в точной форме, десятичное приближение нужно только для проверки попадания в промежуток.

Уравнения с тремя модулями

При трёх модулях — четыре промежутка. Общее правило: $n$ различных нулей делят прямую на $n+1$ промежуток, на каждом из них знаки всех модулей фиксированы.

Пример 4 (уровень В, три модуля). Реши $|x-3|+|x|+|x+2|=7$ методом раскрытия по знаку.

Нули: $x=3$, $x=0$, $x=-2$. Четыре промежутка: $x<-2$, $-2\le x<0$, $0\le x<3$, $x\ge 3$.

Промежуток 1: $x<-2$: $-(x-3)+(-x)+(-(x+2))=7\Rightarrow -3x+1=7\Rightarrow x=-2$. Не входит в $x<-2$.

Промежуток 2: $-2\le x<0$: $-(x-3)+(-x)+(x+2)=7\Rightarrow -x+5=7\Rightarrow x=-2$. Проверка: $x=-2\in [-2,0)$ — граничная точка ✓.

Промежуток 3: $0\le x<3$: $-(x-3)+x+(x+2)=7\Rightarrow x+5=7\Rightarrow x=2$. Проверка: $0\le 2<3$ ✓.

Промежуток 4: $x\ge 3$: $(x-3)+x+(x+2)=7\Rightarrow 3x-1=7\Rightarrow x=\frac{8}{3}$. Проверка: $\frac{8}{3}\approx 2,67<3$ — не входит.

Ответ: $x=-2$ и $x=2$.

На первом и четвёртом промежутках корни вышли за границы ($x=-2$ не входит в $x<-2$; $x=\frac{8}{3}<3$), их отбросили. Корень $x=-2$ — граничная точка, он засчитан на втором промежутке $[-2;0)$.

Применение квадратирования

Для $|f(x)|=g(x)$ верна равносильность: $|f(x)|=g(x)⟺\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0,\\ f^2(x)=g^2(x).\end{array}$

Метод удобен, когда раскрытие по знаку громоздко, например при одном модуле и многочлене справа. Модуль исчезает, потому что $|f(x){|}^2=f^2(x)$.

Важно: возведение в квадрат само по себе даёт только следствие, оно может добавить посторонние корни. Чтобы переход стал равносильным, держи условие $g(x)\ge 0$ и отбирай корни по нему. Если условие не записано, проверяй каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Пример 5 (квадратирование). Реши $|x-2|=x^2-4$, где правая часть — квадратное выражение.

Условие: $x^2-4\ge 0\Rightarrow x\le -2$ или $x\ge 2$.

Возводим в квадрат: $(x-2{)}^2=(x^2-4{)}^2\Rightarrow (x-2{)}^2=(x-2{)}^2(x+2{)}^2$.

$(x-2{)}^2[(x+2{)}^2-1]=0$.

Случай 1: $x=2$. Проверка: $|0|=0$ ✓.

Случай 2: $(x+2{)}^2=1\Rightarrow x+2=\pm 1\Rightarrow x=-1$ или $x=-3$.

$x=-1$: не удовлетворяет условию ($-1\in (-2,2)$). $x=-3$: проверка $|-5|=9-4=5$ ✓.

Ответ: $x=2$ и $x=-3$.

После возведения в квадрат получилось уравнение четвёртой степени, которое разложилось на множители. Условие $x^2-4\ge 0$ отсекло корень $x=-1$: он решает возведённое в квадрат уравнение, но не исходное.

Связь с задачами с параметром

Модуль часто встречается в задачах с параметром. Типичная постановка: при каких значениях $a$ уравнение $|f(x)|=a$ имеет ровно $n$ решений. По проекту ЕГЭ-2027 параметр — это №19.

Метод: строишь график $y=|f(x)|$, горизонтальная прямая $y=a$ — это уровень $a$. Число пересечений равно числу решений. График с модулем получается из обычного отражением: часть, лежащая ниже оси $Ox$, «откидывается» вверх. Меняя $a$, находишь те значения, при которых решений ровно $n$. Аналитический разбор по знаку при параметре быстро становится громоздким, поэтому график здесь основной приём.

Частые ошибки

1. Не проверять принадлежность промежутку. Раскрытие модуля верно только для значений из своего промежутка. Корень, вышедший за границы, посторонний.
2. Пропускать промежуток при двух или трёх модулях. При $n$ нулях получается $n+1$ промежуток. Не теряй ни одного промежутка — на каждом может оказаться корень.
3. Возводить в квадрат, не проверив знак правой части. При $g(x)<0$ уравнение $|f(x)|=g(x)$ решений не имеет, а квадрат этого не заметит.
4. Терять граничные точки. В нуле подмодульного выражения оба способа раскрытия дают одно значение, поэтому точку можно отнести к любому из двух соседних промежутков. Главное, чтобы она попала хотя бы в один. В примерах выше нули включены в правый промежуток.
5. Не проверять корни после квадратирования. Если условие $g(x)\ge 0$ не учтено при отборе, подставляй каждый корень в исходное уравнение.

Что запомнить

1. Метод раскрытия по знаку универсален: $n$ модулей → $n$ нулей → $n+1$ промежуток. На каждом раскрой все модули и реши уравнение.
2. Знак раскрытия определяется знаком подмодульного на промежутке: где неотрицательно — «как есть», где отрицательно — с минусом.
3. Проверка принадлежности корня своему промежутку обязательна — иначе посторонние корни.
4. Модуль $=g(x)$: условие $g(x)\ge 0$ обязательно.
5. Квадратирование $|f|=g$ равносильно системе $g\ge 0$, $f^2=g^2$.
6. Параметр: график $y=|f(x)|$ и прямая $y=a$, число пересечений равно числу решений.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем (базовый) — три основных метода.
• Неравенства с модулем — схожая техника для неравенств.
• Метод интервалов — используется для определения знака выражения.

Где встречается на ЕГЭ

В КИМ нет отдельного задания «на модуль». Приёмы со страницы пригодятся в задачах второй части: уравнения (№14), неравенства (№16) и параметр (№19). Номера даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ), итоговые документы могут отличаться.

Проверено: 2026-10-08.