Неравенства с модулем: |x|<a, |x|>a и разбор случаев

Неравенства с модулем — частая часть задания 15. Ключ: знать два стандартных шаблона для $|f(x)| < a$ и $|f(x)| > a$, а для сложных случаев — разбор по знаку.

Главное различие между этими двумя шаблонами лучше всего понять через геометрию. Модуль — это расстояние от числа до нуля. Тогда $|f(x)| < a$ означает «расстояние меньше $a$» — это точки внутри полосы, то есть один интервал (двойное неравенство). А $|f(x)| > a$ означает «расстояние больше $a$» — это точки вне полосы, то есть два луча (совокупность). Перепутать эти два случая — самая частая ошибка в неравенствах с модулем. Запомни картинку: «меньше» — узкая полоса вокруг, «больше» — всё, кроме полосы. Разберём оба шаблона, их нестрогие версии, примеры с выражением под модулем, дробные неравенства и случай двух модулей.

Стандартные неравенства: шаблоны

Неравенство $|f(x)| < a$

При $a > 0$: $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$

Это двойное неравенство — решаешь его как систему из двух условий $f(x) > -a$ и $f(x) < a$, то есть берёшь пересечение двух условий. Геометрически: «расстояние от $f(x)$ до нуля меньше $a$» означает, что $f(x)$ зажат в полосе от $-a$ до $a$. Поэтому ответ всегда — один интервал (или его пересечение с ОДЗ, если $f$ сложная).

При $a \leq 0$: решений нет (модуль всегда $\geq 0$, а $0 \geq a$, значит $|f(x)| \geq 0 \geq a$, неравенство строгое не выполняется). Это первое, что нужно проверить: если справа стоит отрицательное число или ноль, неравенство «модуль меньше» сразу не имеет решений, и никаких преобразований делать не надо.

Неравенство $|f(x)| \leq a$

При $a \geq 0$: $|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$

При $a < 0$: решений нет. Это нестрогая версия предыдущего шаблона: всё то же самое, но границы включены (концы закрашены). Обрати внимание на разницу в граничном случае $a = 0$: для строгого $|f| < 0$ решений нет вообще, а для нестрогого $|f| \le 0$ решение — это $f(x) = 0$ (модуль равен нулю только в нуле). Поэтому при $a = 0$ нестрогое неравенство сводится к уравнению.

Неравенство $|f(x)| > a$

При $a \geq 0$: $|f(x)| > a \iff f(x) < -a \text{ или } f(x) > a$

Здесь принципиально — это совокупность (объединение), а не система. «Расстояние больше $a$» означает, что $f(x)$ лежит вне полосы $[-a; a]$ — либо левее $-a$, либо правее $a$. Поэтому два неравенства соединены союзом «или», и ответ — объединение двух лучей, а не один интервал.

При $a < 0$: решение — все действительные числа ($|f(x)| \geq 0 > a$ всегда). Это зеркальный случай к «модуль меньше отрицательного»: если справа отрицательное число, неравенство «модуль больше» выполняется при любом $x$, потому что неотрицательный модуль всегда больше отрицательного числа.

Неравенство $|f(x)| \geq a$

При $a > 0$: $|f(x)| \geq a \iff f(x) \leq -a \text{ или } f(x) \geq a$

При $a \leq 0$: решение — все действительные числа. Это нестрогая версия шаблона «модуль больше»: снова совокупность двух лучей, но с включёнными границами. В граничном случае $a = 0$ нестрогое $|f| \ge 0$ верно при любом $x$ (модуль всегда неотрицателен), поэтому решение — все действительные числа. Четыре шаблона (строгие и нестрогие версии «меньше» и «больше») покрывают все простейшие неравенства с модулем; различаются они только типом скобок на границах и поведением в граничном случае $a = 0$.

Примеры на стандартные шаблоны

Пример 1 (уровень А, модуль меньше). Реши $|2x - 4| < 6$.

Здесь $a = 6 > 0$, поэтому шаблон применим. По шаблону $|f| < a$: $-6 < 2x - 4 < 6$.

Добавляем 4: $-2 < 2x < 10$.

Делим на 2: $-1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (-1;\, 5)$.

Это эталонный пример шаблона «модуль меньше». Двойное неравенство $-6 < 2x - 4 < 6$ решается «в три части»: одинаковое действие над каждой частью (прибавили $4$, разделили на $2$). Ответ — один связный интервал, что и характерно для «модуль меньше». Концы выколоты, потому что неравенство строгое. Геометрически: значения $2x - 4$ лежат в полосе от $-6$ до $6$, что после пересчёта даёт $x$ в интервале $(-1; 5)$.

Пример 2 (уровень А, модуль больше-равно). Реши $|3x + 1| \geq 5$.

Здесь $a = 5 > 0$. По шаблону $|f| \geq a$ получаем совокупность: $3x + 1 \leq -5$ или $3x + 1 \geq 5$.

Первое: $3x \leq -6 \Rightarrow x \leq -2$.

Второе: $3x \geq 4 \Rightarrow x \geq \dfrac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty;\, {-2}] \cup \left[\dfrac{4}{3};\, +\infty\right)$.

Обрати внимание на структуру ответа — это объединение двух лучей, как и положено шаблону «модуль больше-равно». Два неравенства ($3x + 1 \le -5$ и $3x + 1 \ge 5$) дали два отдельных луча, и их объединяют союзом «или». Концы включены, потому что знак нестрогий ($\ge$). Если бы знак был строгим ($>$), концы $-2$ и $\dfrac43$ выкололись бы. Сравни с Примером 1, где «модуль меньше» дал один связный интервал — это и есть наглядное различие шаблонов «меньше» и «больше».

Неравенства с выражением под модулем

Пример 3 (уровень Б). Реши $|x^2 - 5| < 4$.

Здесь под модулем не линейное выражение, а квадратное, но шаблон тот же. По шаблону «модуль меньше»: $-4 < x^2 - 5 < 4$. Это двойное неравенство, но решать «в три части» нельзя — в середине $x^2$, нелинейное выражение. Поэтому разбиваем на два квадратных неравенства и берём их пересечение.

Левое: $x^2 > 1 \Rightarrow x < -1$ или $x > 1$.

Правое: $x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3$.

Пересечение: $(-3;\,-1) \cup (1;\,3)$.

Ответ: $x \in (-3;\,-1) \cup (1;\,3)$.

Этот пример показывает, что даже шаблон «модуль меньше» (обычно дающий один интервал) может привести к объединению двух кусков — если под модулем стоит не линейное, а квадратное выражение. Двойное неравенство $-4 < x^2 - 5 < 4$ распалось на два квадратных неравенства, и их пересечение оказалось «дыркой посередине»: отрезок $(-3; 3)$ минус кусок $[-1; 1]$. Поэтому не удивляйся, если ответ к «модуль меньше» состоит из двух частей — всё зависит от того, что под модулем. Главное — аккуратно решить каждое из двух неравенств двойного неравенства и взять их пересечение.

Пример 4 (уровень Б, дробь с модулем). Реши $\dfrac{|x - 2|}{x + 1} < 1$.

Замечание (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Знак знаменателя меняется при $x = -1$.

Случай 1: $x > -1$ (знаменатель > 0). Когда знаменатель положителен, умножение на него не меняет знак неравенства: $|x-2| < x+1$. Теперь это неравенство «модуль меньше», раскрываем по шаблону.

Шаблон: $-x-1 < x-2 < x+1$.

Левое: $-x - 1 < x - 2$. Переносим $x$ влево, числа вправо: $-2x < -1$, делим на $-2$ (знак переворачивается): $x > \dfrac{1}{2}$.

Правое: $x - 2 < x + 1$ — всегда верно.

На $x > -1$: ответ $x > \frac{1}{2}$.

Случай 2: $x < -1$ (знаменатель < 0). Умножаем со сменой знака: $|x-2| > x+1$. Правая часть $x + 1 < 0$ при $x < -1$, а $|x-2| \geq 0 > x+1$. Неравенство выполняется всегда при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty;\,-1) \cup \left(\dfrac{1}{2};\,+\infty\right)$.

Это самый важный пример страницы, потому что он показывает главное правило дробных неравенств с модулем: нельзя умножать на знаменатель неизвестного знака. Знаменатель $x + 1$ положителен при $x > -1$ и отрицателен при $x < -1$, поэтому неравенство разбивают на два случая, и в каждом умножают на знаменатель со своим знаком (при отрицательном — с разворотом неравенства). В первом случае получили условие на $x$, во втором — неравенство оказалось истинным на всём промежутке. Объединяя оба случая, собираем финальный ответ. Если бы мы умножили на $x + 1$ «вслепую», не разбирая знак, ответ был бы неверным — это классическая ошибка.

Неравенства с двумя модулями

Когда модулей два (и они не сводятся к одному шаблону), стандартные формулы не работают — нужен универсальный метод раскрытия по знаку. Идея та же, что в уравнениях с двумя модулями: каждый модуль меняет способ раскрытия в своей точке, поэтому прямую делят на промежутки, где знаки обоих подмодульных выражений постоянны.

Метод разбора по знаку:

1. Найди нули выражений под модулями.
2. Раздели ось на промежутки (при двух нулях — три промежутка).
3. На каждом раскрой оба модуля и реши неравенство.
4. Объедини ответы по каждому промежутку.

Важная тонкость: решение, найденное на каком-то промежутке, нужно обязательно пересечь с самим этим промежутком. Если получившееся условие выходит за его границы, берётся только пересечение. Это та же логика, что в уравнениях с модулем: раскрывая модуль на промежутке, мы работаем только с его значениями.

Пример 5 (уровень В, два модуля). Реши $|x + 1| - |x - 3| > 2$ методом разбора по знаку.

Нули: $x = -1$ и $x = 3$. Три промежутка: $x < -1$, $-1 \leq x < 3$, $x \geq 3$.

Промежуток 1: $x < -1$: $-(x+1) - (-(x-3)) > 2 \Rightarrow -x-1-(-x+3) > 2 \Rightarrow -4 > 2$ — ложь. Нет решений.

Промежуток 2: $-1 \leq x < 3$: $(x+1) - (-(x-3)) > 2 \Rightarrow (x+1) - (-x+3) > 2 \Rightarrow 2x - 2 > 2 \Rightarrow x > 2$.

На промежутке $[-1, 3)$: $x \in (2;\,3)$.

Промежуток 3: $x \geq 3$: $(x+1) - (x-3) > 2 \Rightarrow 4 > 2$ — всегда верно. $x \geq 3$.

Ответ: $x \in (2;\,+\infty)$.

Разберём, как сложились частичные ответы. На первом промежутке ($x < -1$) оба модуля раскрылись с минусом, и неравенство свелось к ложному $-4 > 2$ — решений нет. На втором ($-1 \le x < 3$) первый модуль раскрылся с плюсом, второй с минусом, и получилось $x > 2$, что в пересечении с промежутком даёт $(2; 3)$. На третьем ($x \ge 3$) оба модуля раскрылись с плюсом, неравенство стало тождеством $4 > 2$ — весь промежуток $[3; +\infty)$ подходит. Объединяя $(2; 3)$ и $[3; +\infty)$, получаем сплошной луч $(2; +\infty)$. Главный навык здесь — аккуратно раскрыть оба модуля с правильными знаками на каждом промежутке и не забыть пересечь частичный ответ с самим промежутком.

Геометрический смысл

$|x - a|$ — это расстояние от точки $x$ до точки $a$ на числовой оси.

• $|x - a| < r$ — все точки внутри интервала $(a-r;\,a+r)$.
• $|x - a| > r$ — все точки вне $[a-r;\,a+r]$.
• $|x - a| < |x - b|$ — точки ближе к $a$, чем к $b$ (левее середины отрезка $[a,b]$).

Этот смысл особенно помогает в задачах с параметром. Перевод на язык расстояний часто решает задачу без алгебры. Например, неравенство $|x - 5| < 3$ читается как «точки на расстоянии меньше $3$ от пятёрки» — это сразу интервал $(2; 8)$, без двойного неравенства и преобразований. А $|x + 2| \ge 4$ — это «точки на расстоянии не меньше $4$ от $-2$», то есть всё, кроме интервала $(-6; 2)$: ответ $(-\infty; -6] \cup [2; +\infty)$. Геометрический взгляд особенно ценен в неравенствах с суммой или разностью модулей, где алгебраический разбор по знаку громоздок, а картинка с расстояниями даёт ответ почти мгновенно.

Частые ошибки

1. Неверный шаблон при «больше»: $|f| > a$ — это два луча ($f < -a$ ИЛИ $f > a$), не двойное неравенство. Самая частая ошибка: написать $-a < f < a$ для «модуля больше», то есть применить шаблон от «модуля меньше». Это даёт принципиально неверный (противоположный по структуре) ответ. Держи в голове геометрию: «больше» — вне полосы, два луча.

2. Не проверять знак $a$: если $a \leq 0$, то $|f| < a$ — решений нет. Не применяй шаблон без проверки знака правой части — это первое, что нужно сделать.

3. Забыть проверить принадлежность промежутку при разборе по знаку. Решение, найденное на конкретном промежутке, действительно только в его пределах — обязательно пересекай частичный ответ с самим промежутком, иначе захватишь лишние значения.

4. Умножение на знаменатель без анализа знака — в примере 4 мы сначала определяли знак знаменателя. Знаменатель с переменной может быть как положительным, так и отрицательным, и от его знака зависит, сохранится неравенство или развернётся. Поэтому такие неравенства разбивают на случаи по знаку знаменателя.

5. Спутать систему и совокупность. «Модуль меньше» — это система (пересечение, один интервал), «модуль больше» — совокупность (объединение, два луча). Перепутаешь — получишь противоположный по структуре ответ.

Что запомнить

1. $|f| < a$ при $a > 0$ — двойное неравенство $-a < f < a$ (один интервал). При $a \le 0$ — решений нет.
2. $|f| > a$ при $a \ge 0$ — совокупность $f < -a$ или $f > a$ (два луча). При $a < 0$ — все числа.
3. Геометрия: «модуль меньше» — точки в полосе вокруг центра; «модуль больше» — точки вне полосы.
4. Под модулем выражение — применяй те же шаблоны к $f(x)$, а не только к $x$.
5. Дробь с модулем — не умножай на знаменатель неизвестного знака, разбивай на случаи.
6. Два модуля — раскрытие по знаку: найди нули, раздели на промежутки, раскрой и пересеки с промежутком.

Неравенства с модулем сводятся к двум шаблонам плюс универсальному раскрытию по знаку. Запомни геометрию «полоса / вне полосы» — и ты перестанешь путать «меньше» и «больше», на чём теряют баллы чаще всего.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем — такой же принцип раскрытия.
• Уравнения с модулем подробно — методы для уравнений с несколькими модулями.
• Метод интервалов — для определения знаков на промежутках.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 — неравенства повышенного уровня, часто с модулями.