Неравенства с модулем: |x|<a, |x|>a и разбор случаев

Неравенства с модулем — частая часть задания 15. Ключ: знать два стандартных шаблона для $|f(x)| < a$ и $|f(x)| > a$, а для сложных случаев — разбор по знаку.

Стандартные неравенства: шаблоны

Неравенство $|f(x)| < a$

При $a > 0$: $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$

Это двойное неравенство — решаешь как систему $f(x) > -a$ и $f(x) < a$.

При $a \leq 0$: решений нет (модуль всегда $\geq 0$, а $0 \geq a$, значит $|f(x)| \geq 0 \geq a$, неравенство строгое не выполняется).

Неравенство $|f(x)| \leq a$

При $a \geq 0$: $|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$

При $a < 0$: решений нет.

Неравенство $|f(x)| > a$

При $a \geq 0$: $|f(x)| > a \iff f(x) < -a \text{ или } f(x) > a$

При $a < 0$: решение — все действительные числа ($|f(x)| \geq 0 > a$ всегда).

Неравенство $|f(x)| \geq a$

При $a > 0$: $|f(x)| \geq a \iff f(x) \leq -a \text{ или } f(x) \geq a$

При $a \leq 0$: решение — все действительные числа.

Примеры на стандартные шаблоны

Пример 1 (уровень А). Реши $|2x - 4| < 6$.

По шаблону $|f| < a$: $-6 < 2x - 4 < 6$.

Добавляем 4: $-2 < 2x < 10$.

Делим на 2: $-1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (-1;\, 5)$.

Пример 2 (уровень А). Реши $|3x + 1| \geq 5$.

По шаблону $|f| \geq a$: $3x + 1 \leq -5$ или $3x + 1 \geq 5$.

Первое: $3x \leq -6 \Rightarrow x \leq -2$.

Второе: $3x \geq 4 \Rightarrow x \geq \dfrac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty;\, {-2}] \cup \left[\dfrac{4}{3};\, +\infty\right)$.

Неравенства с выражением под модулем

Пример 3 (уровень Б). Реши $|x^2 - 5| < 4$.

По шаблону: $-4 < x^2 - 5 < 4$.

Левое: $x^2 > 1 \Rightarrow x < -1$ или $x > 1$.

Правое: $x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3$.

Пересечение: $(-3;\,-1) \cup (1;\,3)$.

Ответ: $x \in (-3;\,-1) \cup (1;\,3)$.

Пример 4 (уровень Б). Реши $\dfrac{|x - 2|}{x + 1} < 1$.

Замечание: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Знак знаменателя меняется при $x = -1$.

Случай 1: $x > -1$ (знаменатель > 0). Умножаем без смены знака: $|x-2| < x+1$.

Шаблон: $-x-1 < x-2 < x+1$.

Левое: $-x - 1 < x - 2 \Rightarrow 1 > 2x \cdot(-1) \Rightarrow -2x < -1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$.

Правое: $x - 2 < x + 1$ — всегда верно.

На $x > -1$: ответ $x > \frac{1}{2}$.

Случай 2: $x < -1$ (знаменатель < 0). Умножаем со сменой знака: $|x-2| > x+1$. Правая часть $x + 1 < 0$ при $x < -1$, а $|x-2| \geq 0 > x+1$. Неравенство выполняется всегда при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty;\,-1) \cup \left(\dfrac{1}{2};\,+\infty\right)$.

Неравенства с двумя модулями

Метод разбора по знаку:

1. Найди нули выражений под модулями.
2. Раздели ось на промежутки (при двух нулях — три промежутка).
3. На каждом раскрой оба модуля и реши неравенство.
4. Объедини ответы по каждому промежутку.

Пример 5 (уровень В). Реши $|x + 1| - |x - 3| > 2$.

Нули: $x = -1$ и $x = 3$. Три промежутка: $x < -1$, $-1 \leq x < 3$, $x \geq 3$.

Промежуток 1: $x < -1$: $-(x+1) - (-(x-3)) > 2 \Rightarrow -x-1-(-x+3) > 2 \Rightarrow -4 > 2$ — ложь. Нет решений.

Промежуток 2: $-1 \leq x < 3$: $(x+1) - (-(x-3)) > 2 \Rightarrow (x+1) - (-x+3) > 2 \Rightarrow 2x - 2 > 2 \Rightarrow x > 2$.

На промежутке $[-1, 3)$: $x \in (2;\,3)$.

Промежуток 3: $x \geq 3$: $(x+1) - (x-3) > 2 \Rightarrow 4 > 2$ — всегда верно. $x \geq 3$.

Ответ: $x \in (2;\,+\infty)$.

Геометрический смысл

$|x - a|$ — это расстояние от точки $x$ до точки $a$ на числовой оси.

• $|x - a| < r$ — все точки внутри интервала $(a-r;\,a+r)$.
• $|x - a| > r$ — все точки вне $[a-r;\,a+r]$.
• $|x - a| < |x - b|$ — точки ближе к $a$, чем к $b$ (левее середины отрезка $[a,b]$).

Этот смысл особенно помогает в задачах с параметром.

Частые ошибки

1. Неверный шаблон при «больше»: $|f| > a$ — это два луча ($f < -a$ ИЛИ $f > a$), не двойное неравенство.
2. Не проверять знак $a$: если $a \leq 0$, то $|f| < a$ — решений нет. Не применяй шаблон без проверки.
3. Забыть проверить принадлежность промежутку при разборе по знаку.
4. Умножение на знаменатель без анализа знака — в примере 4 мы сначала определяли знак знаменателя.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем — такой же принцип раскрытия.
• Уравнения с модулем подробно — методы для уравнений с несколькими модулями.
• Метод интервалов — для определения знаков на промежутках.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 — неравенства повышенного уровня, часто с модулями.