Свойства корня n-й степени для ЕГЭ

Когда школьник в 9 классе впервые встречает квадратный корень, его представляют как «знак того, что число под ним нужно так выбрать, чтобы при возведении в квадрат получилось то, что снаружи». Это работает, но это узкий взгляд. На самом деле есть целое семейство функций — корень $n$-й степени для любого натурального $n$. У них общие правила, и эти правила в задании 5 и 6 ЕГЭ нужны постоянно.

Эта страница — все свойства корня $n$-й степени для ЕГЭ профильная математика. С формулами, доказательствами и примерами. Разберём определение, ключевое различие между чётными и нечётными корнями, семь рабочих формул, типовые приёмы упрощения и применение в заданиях части 1.

Главное, что отличает корень $n$-й степени от привычного квадратного, — это вопрос знака. У квадратного (и любого чётного) корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, а сам результат всегда $\ge 0$. У нечётного корня таких ограничений нет: можно извлекать корень и из отрицательных чисел. Это различие — источник большинства ошибок в заданиях 5 и 6, и именно на нём мы сделаем главный акцент.

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметический корень $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^n=a$. Записывается $b=\sqrt[n]{a}$.

Здесь $n$ — натуральное число, $n\ge 2$. Условие неотрицательности подкоренного $a\ge 0$ относится к определению арифметического корня и существенно только для чётных $n$.

Примеры:

• $\sqrt[3]{8}=2$, потому что $2^3=8$.
• $\sqrt[4]{16}=2$, потому что $2^4=16$.
• $\sqrt[5]{32}=2$, потому что $2^5=32$.

При $n=2$ запись $\sqrt[2]{a}$ обычно сокращают до $\sqrt{a}$ — двойку как показатель не пишут, она подразумевается по умолчанию. Поэтому привычный «квадратный корень» — это просто частный случай корня $n$-й степени при $n=2$, и все семь свойств этой страницы работают для него тоже.

Корень из отрицательного числа: чётное vs нечётное

Это самое важное различие, и его часто путают.

Корень нечётной степени определён для любого действительного числа, включая отрицательные:

• $\sqrt[3]{-8}=-2$, потому что $(-2{)}^3=-8$.
• $\sqrt[5]{-32}=-2$, потому что $(-2{)}^5=-32$.

Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел:

• $\sqrt{-4}$ — не существует в действительных числах.
• $\sqrt[4]{-16}$ — не существует в действительных числах.

Это связано с тем, что любое действительное число в чётной степени даёт неотрицательный результат: $a^2\ge 0$, $a^4\ge 0$. Значит обратная операция (извлечение корня) для отрицательного результата невозможна.

В ЕГЭ это различие важно для ОДЗ выражений с корнями. Если в задаче $\sqrt{f(x)}$ — то ОДЗ $f(x)\ge 0$. Если $\sqrt[3]{f(x)}$ — то ОДЗ всё $\mathbb{R}$.

Чтобы не путаться, держи в голове простое правило чётности. Чётный корень ( ​, $\sqrt[4]{}$, $\sqrt[6]{}$) — это как «квадратный»: подкоренное неотрицательно, результат неотрицателен. Нечётный корень ($\sqrt[3]{}$, $\sqrt[5]{}$) — это как «кубический»: знак результата совпадает со знаком подкоренного, ограничений на знак нет. Логика та же, что и со степенями: чётная степень «теряет» знак (превращает минус в плюс), поэтому обратная операция для отрицательного результата невозможна; нечётная степень знак сохраняет, поэтому обратная операция определена везде. Запомнив эту параллель «корень ↔ степень», ты выведешь поведение любого корня, не заучивая отдельные случаи.

7 свойств корня n-й степени

Свойство 1: корень из произведения

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

При $a,b\ge 0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — для любых $a,b$.

Пример: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

Это свойство — основа упрощения корней. Всегда проверяй, можно ли вынести квадратный множитель из-под корня. Работает оно в обе стороны: можно объединить два корня в один (для вычисления, как в $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$) или разбить один корень на множители (для выноса, как в $\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}$). Важная оговорка: для чётного корня формула требует, чтобы оба множителя были неотрицательны, иначе она ломается — об этом подробнее в разделе про ошибки.

Свойство 2: корень из частного

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

При $a\ge 0$, $b>0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — для любых $a$ и $b\ne 0$.

Пример: $\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$.

Свойство 3: степень корня

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^k=\sqrt[n]{a^k}$

При $a\ge 0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — любые $a$.

Пример: ${\left(\sqrt{3}\right)}^4=\sqrt{3^4}=\sqrt{81}=9$.

Альтернативное вычисление: ${\left(\sqrt{3}\right)}^4={\left(\sqrt{3}\right)}^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=3\cdot 3=9$.

Свойство 4: корень из корня

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$

При тех же условиях ОДЗ.

Пример: $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$ (потому что $2^6=64$).

Логика проста: показатели вложенных корней перемножаются. Корень из корня степени $m$ под корнем степени $n$ — это корень степени $n\cdot m$. Через дробные степени это видно сразу: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}={\left(a^{1/m}\right)}^{1/n}=a^{1/(mn)}=\sqrt[nm]{a}$. Это свойство удобно, когда в выражении «корень внутри корня» — вместо двух действий выполняешь одно.

Свойство 5: корень степени k от $a^n$

$\sqrt[n]{a^n}=\{\begin{array}{ll}a,& n\text{ нечётное}\\ |a|,& n\text{ чётное}\end{array}$

Это критически важное свойство! Часто путают.

Примеры:

• $\sqrt{x^2}=|x|$ (а не просто $x$). Если $x=-3$, то $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$.
• $\sqrt[3]{x^3}=x$ для любого $x$. $\sqrt[3]{(-3{)}^3}=\sqrt[3]{-27}=-3$.
• $\sqrt[4]{x^4}=|x|$.
• $\sqrt[5]{x^5}=x$.

Запоминалка: «чётный корень от чётной степени даёт модуль».

Почему так важен модуль? Потому что чётный корень по определению неотрицателен, а переменная под степенью может быть отрицательной. Возьмём $\sqrt{x^2}$ при $x=-3$: квадрат даёт $9$, корень из $9$ — это $3$, то есть $|-3|=3$, а не само $-3$. Если бы мы написали $\sqrt{x^2}=x$, то при $x=-3$ получили бы неверное $-3$ (отрицательный результат у арифметического корня невозможен). Модуль как раз и «исправляет» знак: он гарантирует, что результат неотрицателен при любом $x$. У нечётных корней такой проблемы нет — нечётная степень сохраняет знак, и $\sqrt[3]{x^3}=x$ верно для любого $x$, включая отрицательные. Это свойство — самая частая ловушка ЕГЭ: пропустишь модуль в задании 5 или 6 — и ответ неверный при отрицательных значениях переменной.

Свойство 6: переход к рациональной степени

$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$

При $a\ge 0$ для дробной степени. Это связь между корнями и степенями.

Примеры:

• $\sqrt{a}=a^{1/2}$.
• $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$.
• $\sqrt[5]{a^3}=a^{3/5}$.

После перевода в степень с дробным показателем работают все свойства степеней:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

Это, пожалуй, самое мощное свойство: оно превращает все вычисления с корнями в вычисления со степенями, где правила проще и привычнее. Например, выражение $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[6]{a}$ трудно объединить «как корни», но через степени всё очевидно: $a^{1/3}\cdot a^{1/6}=a^{1/3+1/6}=a^{1/2}=\sqrt{a}$. Поэтому опытный подход к любому сложному выражению с корнями — сначала перевести все корни в дробные степени, упростить по правилам степеней, и только в конце, если нужно, вернуться к записи через корень.

Свойство 7: сокращение показателя корня и степени

$\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$

При $a\ge 0$ для чётного $n$. Это «сокращение дроби» в рациональной степени: $a^{mk/(nk)}=a^{m/n}$.

Пример: $\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$ (сокращение на 2).

Это свойство применяется, чтобы упростить выражения с корнями высоких степеней. По сути это сокращение дроби в показателе: $a^{mk/(nk)}$ сокращается на общий множитель $k$ до $a^{m/n}$. Поэтому, увидев корень с «составным» показателем (например, шестой) и подкоренную степень с тем же множителем, всегда проверяй, нельзя ли сократить — это упрощает и запись, и дальнейшие вычисления. Осторожность нужна лишь с чётными корнями и переменными: при сокращении может потребоваться модуль, чтобы сохранить корректность для отрицательных значений.

Типовые приёмы упрощения

Приём 1: вынесение множителя из-под корня

Если под корнем число можно разложить так, что появится полный $n$-й степенной множитель, его можно вынести.

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$ $\sqrt{18x^3}=\sqrt{9x^2\cdot 2x}=3|x|\sqrt{2x}$ при $x\ge 0$.

Для последнего: $\sqrt{x^2}=|x|$, и $\sqrt{2x}$ требует $2x\ge 0$, то есть $x\ge 0$. При $x\ge 0$ модуль можно убрать: $3x\sqrt{2x}$. Этот пример показывает, как переплетаются вынос множителя и ОДЗ: само условие $\sqrt{2x}$ уже требует $x\ge 0$, и именно поэтому модуль из $\sqrt{x^2}$ снимается без последствий. Когда под корнем стоит выражение с переменной, всегда сначала выпиши ОДЗ — она часто и определяет, нужен ли модуль в ответе.

Приём 2: внесение множителя под корень

Обратная операция:

$3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$ $2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}$

При внесении неотрицательного множителя в чётный корень — ничего не меняется. При внесении отрицательного множителя в чётный корень — нельзя (нарушается знак), нужно сначала вынести знак, потом вносить модуль. Например, $-3\sqrt{2}$ нельзя записать как $\sqrt{18}$ (это положительное число), правильно $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$: множитель уходит под корень, а минус остаётся снаружи. Это та же логика, что и со свойством $\sqrt{a^2}=|a|$: чётный корень не умеет хранить отрицательный знак внутри себя.

Приём 3: освобождение знаменателя от иррациональности

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2\cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2}$

Принцип: умножить на такое выражение, чтобы под корнем в знаменателе получилась $n$-я степень. Для квадратного корня в знаменателе домножают на тот же корень — тогда $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ (полная вторая степень). Для кубического корня одного домножения мало: нужно, чтобы под корнем собралась третья степень, поэтому домножают на $\sqrt[3]{a^2}$ — тогда $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a^3}=a$. Общий ориентир: смотри, какой степени не хватает под корнем до показателя, и подбирай множитель, который её добавляет. Рационализация — обязательный финальный штрих в задании 6: ответ с корнем в знаменателе считается недоведённым.

Приём 4: разность квадратов с корнями

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ при $a,b\ge 0$.

Это используется для освобождения от иррациональности в знаменателе с двумя корнями:

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{1\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 5 (вычисления, 1 балл)

Здесь часто нужно подсчитать выражение типа $\sqrt[3]{8\cdot 27}$ или $\sqrt{0.16\cdot 100}$.

Пример. Вычислить $\sqrt[4]{16\cdot 81}$.

Решение: $\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{81}=2\cdot 3=6$ (по свойству 1). Мы разбили корень из произведения на произведение корней, и каждый по отдельности оказался «красивым»: $16=2^4$ и $81=3^4$.

Ответ: 6.

Задание 6 (преобразования, 1 балл)

Здесь часто упрощение выражения с корнями.

Пример. Упростить $\sqrt{75}-\sqrt{12}$.

Решение:

• $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
• $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
• $\sqrt{75}-\sqrt{12}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$.

Задание 12 (уравнения, 2 балла)

В уравнениях с корнями свойства используются для упрощения и для сведения к стандартному виду.

Пример. Решить $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{2x}$.

Это уравнение требует более тонкой техники (возведение в куб с использованием формулы $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и последующего анализа). На задание 12 такая задача — повышенной сложности. Чаще в части 1 встречаются уравнения попроще: например, $\sqrt[3]{x}=2$ решается возведением обеих частей в куб ($x=8$), а $\sqrt[4]{x}=3$ — возведением в четвёртую степень ($x=81$, при обязательном условии $x\ge 0$). Главный приём здесь — возвести обе части в степень, равную показателю корня, чтобы избавиться от радикала, не забывая про ОДЗ для чётных корней.

Распространённые ошибки

1. Забывать модуль в $\sqrt{x^2}$. Записывают «$\sqrt{x^2}=x$», что неверно для $x<0$. Правильно $\sqrt{x^2}=|x|$. Эта ошибка убивает балл в задании 5.

2. Применять свойство 1 к отрицательным числам в чётном корне. $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$, но «$\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$» не определено в действительных числах. Перед применением свойства 1 проверяй, что оба числа неотрицательны (для чётного $n$).

3. Путать $\sqrt[n]{a+b}$ с $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$. Это неверно: $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\ne 2+3=5$. Корень от суммы НЕ равен сумме корней, никогда.

4. Игнорировать ОДЗ при переходе к степени. $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ работает при $a\ge 0$ (для дробной степени с чётным знаменателем). Если $a<0$ и переходишь в дробную степень — нужно проверять, имеет ли смысл результат.

5. Считать $\sqrt[n]{0}$ нулём, но не помнить. $\sqrt[n]{0}=0$ для любого $n$. Простая истина, но в стрессе экзамена забывают.

6. Возводить уравнение с чётным корнем в степень и не проверять корни. После возведения могут появиться посторонние корни — для чётных корней проверка обязательна.

Связь с другими темами

• Свойства степеней — корни тесно связаны со степенями через переход $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$.
• Свойства корней — базовые свойства квадратного корня.
• Иррациональные уравнения — где эти свойства применяются.
• Иррациональные неравенства — то же самое для неравенств.

Что запомнить

7 свойств корня $n$-й степени:

1. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
3. ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^k=\sqrt[n]{a^k}$
4. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$
5. $\sqrt[n]{a^n}=a$ (нечётное $n$) или $|a|$ (чётное $n$)
6. $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$
7. $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$

Главное правило: при чётном $n$ внутри корня должно быть неотрицательное число, а при выносе $\sqrt[n]{a^n}$ при чётном $n$ — обязательно модуль. Это два места, где теряется балл в заданиях 5 и 6.