Свойства корня n-й степени для ЕГЭ

Когда школьник в 9 классе впервые встречает квадратный корень, его представляют как «знак того, что число под ним нужно так выбрать, чтобы при возведении в квадрат получилось то, что снаружи». Это работает, но это узкий взгляд. На самом деле есть целое семейство функций — корень $n$-й степени для любого натурального $n$. У них общие правила, и эти правила в задании 5 и 6 ЕГЭ нужны постоянно.

Эта страница — все свойства корня $n$-й степени для ЕГЭ профильная математика. С формулами, доказательствами и примерами. Разберём определение, ключевое различие между чётными и нечётными корнями, семь рабочих формул, типовые приёмы упрощения и применение в заданиях части 1.

Главное, что отличает корень $n$-й степени от привычного квадратного, — это вопрос знака. У квадратного (и любого чётного) корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, а сам результат всегда $\ge 0$. У нечётного корня таких ограничений нет: можно извлекать корень и из отрицательных чисел. Это различие — источник большинства ошибок в заданиях 5 и 6, и именно на нём мы сделаем главный акцент.

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметический корень $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^n = a$. Записывается $b = \sqrt[n]{a}$.

Здесь $n$ — натуральное число, $n \ge 2$. Условие неотрицательности подкоренного $a \ge 0$ относится к определению арифметического корня и существенно только для чётных $n$.

Примеры:

• $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$.
• $\sqrt[4]{16} = 2$, потому что $2^4 = 16$.
• $\sqrt[5]{32} = 2$, потому что $2^5 = 32$.

При $n = 2$ запись $\sqrt[2]{a}$ обычно сокращают до $\sqrt{a}$ — двойку как показатель не пишут, она подразумевается по умолчанию. Поэтому привычный «квадратный корень» — это просто частный случай корня $n$-й степени при $n = 2$, и все семь свойств этой страницы работают для него тоже.

Корень из отрицательного числа: чётное vs нечётное

Это самое важное различие, и его часто путают.

Корень нечётной степени определён для любого действительного числа, включая отрицательные:

• $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$.
• $\sqrt[5]{-32} = -2$, потому что $(-2)^5 = -32$.

Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел:

• $\sqrt{-4}$ — не существует в действительных числах.
• $\sqrt[4]{-16}$ — не существует в действительных числах.

Это связано с тем, что любое действительное число в чётной степени даёт неотрицательный результат: $a^2 \ge 0$, $a^4 \ge 0$. Значит обратная операция (извлечение корня) для отрицательного результата невозможна.

В ЕГЭ это различие важно для ОДЗ выражений с корнями. Если в задаче $\sqrt{f(x)}$ — то ОДЗ $f(x) \ge 0$. Если $\sqrt[3]{f(x)}$ — то ОДЗ всё $\mathbb{R}$.

Чтобы не путаться, держи в голове простое правило чётности. Чётный корень ($\sqrt{\ }$, $\sqrt[4]{\ }$, $\sqrt[6]{\ }$) — это как «квадратный»: подкоренное неотрицательно, результат неотрицателен. Нечётный корень ($\sqrt[3]{\ }$, $\sqrt[5]{\ }$) — это как «кубический»: знак результата совпадает со знаком подкоренного, ограничений на знак нет. Логика та же, что и со степенями: чётная степень «теряет» знак (превращает минус в плюс), поэтому обратная операция для отрицательного результата невозможна; нечётная степень знак сохраняет, поэтому обратная операция определена везде. Запомнив эту параллель «корень ↔ степень», ты выведешь поведение любого корня, не заучивая отдельные случаи.

7 свойств корня n-й степени

Свойство 1: корень из произведения

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

При $a, b \ge 0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — для любых $a, b$.

Пример: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Это свойство — основа упрощения корней. Всегда проверяй, можно ли вынести квадратный множитель из-под корня. Работает оно в обе стороны: можно объединить два корня в один (для вычисления, как в $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$) или разбить один корень на множители (для выноса, как в $\sqrt{50} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2}$). Важная оговорка: для чётного корня формула требует, чтобы оба множителя были неотрицательны, иначе она ломается — об этом подробнее в разделе про ошибки.

Свойство 2: корень из частного

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

При $a \ge 0$, $b > 0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — для любых $a$ и $b \neq 0$.

Пример: $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$.

Свойство 3: степень корня

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$

При $a \ge 0$ для чётного $n$. Для нечётного $n$ — любые $a$.

Пример: $\left(\sqrt{3}\right)^4 = \sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9$.

Альтернативное вычисление: $\left(\sqrt{3}\right)^4 = \left(\sqrt{3}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Свойство 4: корень из корня

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$

При тех же условиях ОДЗ.

Пример: $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$ (потому что $2^6 = 64$).

Логика проста: показатели вложенных корней перемножаются. Корень из корня степени $m$ под корнем степени $n$ — это корень степени $n \cdot m$. Через дробные степени это видно сразу: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \left(a^{1/m}\right)^{1/n} = a^{1/(mn)} = \sqrt[nm]{a}$. Это свойство удобно, когда в выражении «корень внутри корня» — вместо двух действий выполняешь одно.

Свойство 5: корень степени k от $a^n$

$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n \text{ нечётное} \\ |a|, & n \text{ чётное} \end{cases}$

Это критически важное свойство! Часто путают.

Примеры:

• $\sqrt{x^2} = |x|$ (а не просто $x$). Если $x = -3$, то $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.
• $\sqrt[3]{x^3} = x$ для любого $x$. $\sqrt[3]{(-3)^3} = \sqrt[3]{-27} = -3$.
• $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
• $\sqrt[5]{x^5} = x$.

Запоминалка: «чётный корень от чётной степени даёт модуль».

Почему так важен модуль? Потому что чётный корень по определению неотрицателен, а переменная под степенью может быть отрицательной. Возьмём $\sqrt{x^2}$ при $x = -3$: квадрат даёт $9$, корень из $9$ — это $3$, то есть $|-3| = 3$, а не само $-3$. Если бы мы написали $\sqrt{x^2} = x$, то при $x = -3$ получили бы неверное $-3$ (отрицательный результат у арифметического корня невозможен). Модуль как раз и «исправляет» знак: он гарантирует, что результат неотрицателен при любом $x$. У нечётных корней такой проблемы нет — нечётная степень сохраняет знак, и $\sqrt[3]{x^3} = x$ верно для любого $x$, включая отрицательные. Это свойство — самая частая ловушка ЕГЭ: пропустишь модуль в задании 5 или 6 — и ответ неверный при отрицательных значениях переменной.

Свойство 6: переход к рациональной степени

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

При $a \ge 0$ для дробной степени. Это связь между корнями и степенями.

Примеры:

• $\sqrt{a} = a^{1/2}$.
• $\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}$.
• $\sqrt[5]{a^3} = a^{3/5}$.

После перевода в степень с дробным показателем работают все свойства степеней:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
• $(a^m)^n = a^{mn}$.

Это, пожалуй, самое мощное свойство: оно превращает все вычисления с корнями в вычисления со степенями, где правила проще и привычнее. Например, выражение $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ трудно объединить «как корни», но через степени всё очевидно: $a^{1/3} \cdot a^{1/6} = a^{1/3 + 1/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$. Поэтому опытный подход к любому сложному выражению с корнями — сначала перевести все корни в дробные степени, упростить по правилам степеней, и только в конце, если нужно, вернуться к записи через корень.

Свойство 7: сокращение показателя корня и степени

$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

При $a \ge 0$ для чётного $n$. Это «сокращение дроби» в рациональной степени: $a^{mk/(nk)} = a^{m/n}$.

Пример: $\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}$ (сокращение на 2).

Это свойство применяется, чтобы упростить выражения с корнями высоких степеней. По сути это сокращение дроби в показателе: $a^{mk/(nk)}$ сокращается на общий множитель $k$ до $a^{m/n}$. Поэтому, увидев корень с «составным» показателем (например, шестой) и подкоренную степень с тем же множителем, всегда проверяй, нельзя ли сократить — это упрощает и запись, и дальнейшие вычисления. Осторожность нужна лишь с чётными корнями и переменными: при сокращении может потребоваться модуль, чтобы сохранить корректность для отрицательных значений.

Типовые приёмы упрощения

Приём 1: вынесение множителя из-под корня

Если под корнем число можно разложить так, что появится полный $n$-й степенной множитель, его можно вынести.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$ $\sqrt{18 x^3} = \sqrt{9 x^2 \cdot 2x} = 3|x|\sqrt{2x}$ при $x \ge 0$.

Для последнего: $\sqrt{x^2} = |x|$, и $\sqrt{2x}$ требует $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. При $x \ge 0$ модуль можно убрать: $3x\sqrt{2x}$. Этот пример показывает, как переплетаются вынос множителя и ОДЗ: само условие $\sqrt{2x}$ уже требует $x \ge 0$, и именно поэтому модуль из $\sqrt{x^2}$ снимается без последствий. Когда под корнем стоит выражение с переменной, всегда сначала выпиши ОДЗ — она часто и определяет, нужен ли модуль в ответе.

Приём 2: внесение множителя под корень

Обратная операция:

$3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$

При внесении неотрицательного множителя в чётный корень — ничего не меняется. При внесении отрицательного множителя в чётный корень — нельзя (нарушается знак), нужно сначала вынести знак, потом вносить модуль. Например, $-3\sqrt{2}$ нельзя записать как $\sqrt{18}$ (это положительное число), правильно $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$: множитель уходит под корень, а минус остаётся снаружи. Это та же логика, что и со свойством $\sqrt{a^2} = |a|$: чётный корень не умеет хранить отрицательный знак внутри себя.

Приём 3: освобождение знаменателя от иррациональности

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2}$

Принцип: умножить на такое выражение, чтобы под корнем в знаменателе получилась $n$-я степень. Для квадратного корня в знаменателе домножают на тот же корень — тогда $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ (полная вторая степень). Для кубического корня одного домножения мало: нужно, чтобы под корнем собралась третья степень, поэтому домножают на $\sqrt[3]{a^2}$ — тогда $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^3} = a$. Общий ориентир: смотри, какой степени не хватает под корнем до показателя, и подбирай множитель, который её добавляет. Рационализация — обязательный финальный штрих в задании 6: ответ с корнем в знаменателе считается недоведённым.

Приём 4: разность квадратов с корнями

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$ при $a, b \ge 0$.

Это используется для освобождения от иррациональности в знаменателе с двумя корнями:

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 5 (вычисления, 1 балл)

Здесь часто нужно подсчитать выражение типа $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$ или $\sqrt{0.16 \cdot 100}$.

Пример. Вычислить $\sqrt[4]{16 \cdot 81}$.

Решение: $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81} = 2 \cdot 3 = 6$ (по свойству 1). Мы разбили корень из произведения на произведение корней, и каждый по отдельности оказался «красивым»: $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$.

Ответ: 6.

Задание 6 (преобразования, 1 балл)

Здесь часто упрощение выражения с корнями.

Пример. Упростить $\sqrt{75} - \sqrt{12}$.

Решение:

• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
• $\sqrt{75} - \sqrt{12} = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$.

Задание 12 (уравнения, 2 балла)

В уравнениях с корнями свойства используются для упрощения и для сведения к стандартному виду.

Пример. Решить $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{2x}$.

Это уравнение требует более тонкой техники (возведение в куб с использованием формулы $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и последующего анализа). На задание 12 такая задача — повышенной сложности. Чаще в части 1 встречаются уравнения попроще: например, $\sqrt[3]{x} = 2$ решается возведением обеих частей в куб ($x = 8$), а $\sqrt[4]{x} = 3$ — возведением в четвёртую степень ($x = 81$, при обязательном условии $x \ge 0$). Главный приём здесь — возвести обе части в степень, равную показателю корня, чтобы избавиться от радикала, не забывая про ОДЗ для чётных корней.

Распространённые ошибки

1. Забывать модуль в $\sqrt{x^2}$. Записывают «$\sqrt{x^2} = x$», что неверно для $x < 0$. Правильно $\sqrt{x^2} = |x|$. Эта ошибка убивает балл в задании 5.

2. Применять свойство 1 к отрицательным числам в чётном корне. $\sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$, но «$\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$» не определено в действительных числах. Перед применением свойства 1 проверяй, что оба числа неотрицательны (для чётного $n$).

3. Путать $\sqrt[n]{a + b}$ с $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$. Это неверно: $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \neq 2 + 3 = 5$. Корень от суммы НЕ равен сумме корней, никогда.

4. Игнорировать ОДЗ при переходе к степени. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ работает при $a \ge 0$ (для дробной степени с чётным знаменателем). Если $a < 0$ и переходишь в дробную степень — нужно проверять, имеет ли смысл результат.

5. Считать $\sqrt[n]{0}$ нулём, но не помнить. $\sqrt[n]{0} = 0$ для любого $n$. Простая истина, но в стрессе экзамена забывают.

6. Возводить уравнение с чётным корнем в степень и не проверять корни. После возведения могут появиться посторонние корни — для чётных корней проверка обязательна.

Связь с другими темами

• Свойства степеней — корни тесно связаны со степенями через переход $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.
• Свойства корней — базовые свойства квадратного корня.
• Иррациональные уравнения — где эти свойства применяются.
• Иррациональные неравенства — то же самое для неравенств.

Что запомнить

7 свойств корня $n$-й степени:

1. $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
3. $\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$
4. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$
5. $\sqrt[n]{a^n} = a$ (нечётное $n$) или $|a|$ (чётное $n$)
6. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
7. $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Главное правило: при чётном $n$ внутри корня должно быть неотрицательное число, а при выносе $\sqrt[n]{a^n}$ при чётном $n$ — обязательно модуль. Это два места, где теряется балл в заданиях 5 и 6.