Иррациональные неравенства: метод эквивалентных систем

Иррациональные неравенства — одна из самых трудных тем в задании 15 ЕГЭ. Кажется, что нужно «просто возвести в квадрат», как в уравнении. Но в неравенстве это не работает: возведение может добавить посторонние решения или потерять настоящие, и проверкой это не исправить, как в уравнении.

Правильный путь — метод эквивалентных систем. Это не «алгоритм возведения в квадрат», а формальная запись всех условий, при которых неравенство выполняется. Разберём два основных типа конструкций — $\sqrt{f(x)} > g(x)$ и $\sqrt{f(x)} < g(x)$.

Почему «просто возвести в квадрат» не работает

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} > x - 2$.

Если возвести обе части в квадрат: $x > (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$, то есть $x^2 - 5x + 4 < 0$, $(x-1)(x-4) < 0$, $x \in (1; 4)$.

Но это неверный ответ. Например, $x = 0$ удовлетворяет исходному неравенству ($\sqrt{0} = 0$, $0 - 2 = -2$, и $0 > -2$ — верно), но не входит в полученный интервал $(1; 4)$.

Что пошло не так: при $x = 0$ правая часть $x - 2 = -2 < 0$, а левая $\sqrt{x} = 0 \ge 0$. Неравенство $\sqrt{x} > -2$ верно автоматически — корень всегда неотрицателен. Но возведение в квадрат потеряло этот случай.

Метод эквивалентных систем учитывает это: в случае «правая часть отрицательная» неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ верно автоматически (если $f(x) \ge 0$).

Тип 1: $\sqrt{f(x)} > g(x)$

Это неравенство равносильно объединению двух систем:

$\sqrt{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\[1em] \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > g(x)^2 \end{cases} \end{bmatrix}$

Что означает каждая система:

Система 1 — правая часть отрицательна. Тогда неравенство верно автоматически (корень $\sqrt{f(x)} \ge 0 > g(x)$), но требуется ОДЗ корня — $f(x) \ge 0$.

Система 2 — правая часть неотрицательна. Тогда обе части можно возводить в квадрат (обе неотрицательны), и неравенство $f(x) > g(x)^2$ эквивалентно исходному. ОДЗ корня $f(x) \ge 0$ автоматически следует из $f(x) > g(x)^2 \ge 0$.

Финальный ответ — объединение решений двух систем.

Пример 1: $\sqrt{x+3} > x - 1$

Метод эквивалентных систем:

Система 1: $\begin{cases} x - 1 < 0, \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 1, \\ x \ge -3 \end{cases} \Leftrightarrow x \in [-3; 1)$.

Система 2: $\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ x + 3 > (x-1)^2 \end{cases}$.

Решим $x + 3 > (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$: $x + 3 > x^2 - 2x + 1$ $0 > x^2 - 3x - 2$ $x^2 - 3x - 2 < 0$

Корни $x^2 - 3x - 2 = 0$: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Численно: $\sqrt{17} \approx 4.12$, корни примерно $x \approx -0.56$ и $x \approx 3.56$.

Парабола ветвями вверх, $< 0$ между корнями: $x \in \left( \frac{3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)$.

С условием $x \ge 1$: $x \in \left[1; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)$.

Объединение: $x \in [-3; 1) \cup \left[1; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right) = \left[-3; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)$.

Ответ: $x \in \left[-3; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)$.

Пример 2: проще, $\sqrt{x-1} > 2$

Метод: правая часть $g(x) = 2 > 0$ — система 1 не применима (там $g(x) < 0$). Используем систему 2:

$\begin{cases} 2 \ge 0, \text{ всегда верно} \\ x - 1 > 4 \end{cases}$

То есть $x > 5$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

ОДЗ $x - 1 \ge 0$ автоматически следует из $x > 5$.

Тип 2: $\sqrt{f(x)} < g(x)$

Это неравенство равносильно одной системе:

$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < g(x)^2 \end{cases}$

Объяснение трёх условий:

• $f(x) \ge 0$ — ОДЗ корня (без него корень не определён).
• $g(x) > 0$ — правая часть должна быть положительной. Если правая отрицательна, неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ невозможно: левая всегда неотрицательна.
• $f(x) < g(x)^2$ — после возведения в квадрат (обе части неотрицательны, возводить можно).

Все три условия должны выполняться одновременно.

Пример 3: $\sqrt{x+5} < x - 1$

Система:

$\begin{cases} x + 5 \ge 0, \\ x - 1 > 0, \\ x + 5 < (x-1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -5, \\ x > 1, \\ x + 5 < x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Третье условие: $x + 5 < x^2 - 2x + 1$, то есть $0 < x^2 - 3x - 4$, то есть $x^2 - 3x - 4 > 0$.

Корни: $x^2 - 3x - 4 = 0$ → $x = 4$ или $x = -1$. Парабола ветвями вверх, $> 0$ за корнями: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Пересечение трёх условий:

• $x \ge -5$
• $x > 1$
• $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$

Пересечение $x > 1$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$: $x \in (4; +\infty)$.

С условием $x \ge -5$ ничего не меняется.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

Пример 4: $\sqrt{x^2 - 4} < x$

Система:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ x > 0, \\ x^2 - 4 < x^2 \end{cases}$

• Первое: $x^2 \ge 4$, то есть $|x| \ge 2$, то есть $x \le -2$ или $x \ge 2$.
• Второе: $x > 0$.
• Третье: $-4 < 0$ — всегда верно (тавтология).

Пересечение первых двух: $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

Третье условие здесь не сужает ответ. Это бывает: если $f(x) < g(x)^2$ после раскрытия превращается в верное при всех $x$, оно автоматически выполняется.

Тип 3: нестрогие неравенства

Аналогичные системы для нестрогих неравенств получаются заменой строгих знаков на нестрогие в финальном «расчётном» условии:

$\sqrt{f(x)} \ge g(x) \Leftrightarrow$:

$\begin{bmatrix} \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\[1em] \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge g(x)^2 \end{cases} \end{bmatrix}$

$\sqrt{f(x)} \le g(x) \Leftrightarrow$:

$\begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0, \\ f(x) \le g(x)^2 \end{cases}$

Логика та же: меняется только знак в финальном расчётном неравенстве.

Пример 5: $\sqrt{x+1} \le x - 1$

Система:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0, \\ x - 1 \ge 0, \\ x + 1 \le (x-1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1, \\ x \ge 1, \\ x + 1 \le x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Третье: $0 \le x^2 - 3x$, то есть $x^2 - 3x \ge 0$, то есть $x(x-3) \ge 0$. Корни 0 и 3, парабола ветвями вверх, $\ge 0$ за корнями или в них: $x \le 0$ или $x \ge 3$.

Пересечение с $x \ge 1$: $x \ge 3$.

С $x \ge -1$ ничего не меняется.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

Тип 4: оба корня в одном неравенстве

Иногда встречается $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ или похожие конструкции.

Условия: обе части неотрицательны (это автоматически, корни $\ge 0$). Возводим в квадрат — допустимо, поскольку обе части $\ge 0$.

Эквивалентность:

$\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0, \\ f(x) > g(x) \end{cases}$

ОДЗ обоих корней должна быть учтена явно — при возведении в квадрат это уходит из вида.

Пример 6: $\sqrt{x-1} > \sqrt{3-x}$

$\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ 3 - x \ge 0, \\ x - 1 > 3 - x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1, \\ x \le 3, \\ 2x > 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 \le x \le 3, \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечение: $x \in (2; 3]$.

Ответ: $x \in (2; 3]$.

Применение в задании 15 ЕГЭ

Задание 15 — иррациональные, рациональные, показательные, логарифмические неравенства. Балл — 2. Иррациональные неравенства встречаются в 30–40% вариантов.

Алгоритм решения для иррационального неравенства:

1. Определить тип: $\sqrt{f(x)} > g(x)$, $\sqrt{f(x)} < g(x)$, нестрогое, оба корня.
2. Записать эквивалентную систему. Не «возвести в квадрат» — а именно систему с условиями.
3. Решить каждое условие методом интервалов или другим стандартным способом.
4. Найти пересечение или объединение в зависимости от типа.
5. Записать ответ в виде интервала или объединения.

Распространённые ошибки

1. Возводить в квадрат без условий. «$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)^2$» — это неверно, теряется условие $g(x) > 0$. Без него получают посторонние решения.

2. Забывать ОДЗ. Хотя $f(x) > g(x)^2 \ge 0$ автоматически даёт $f(x) > 0$ в типе 1, в нестрогих неравенствах это не всегда так. Лучше всегда явно записывать $f(x) \ge 0$.

3. Путать «или» и «и» при объединении систем. В типе $\sqrt{f(x)} > g(x)$ — две системы соединены или (объединение). Внутри каждой системы условия — и (пересечение). Перепутать = неверный ответ.

4. Неправильно расписывать $g(x)^2$. Если $g(x) = x - 3$, то $g(x)^2 = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, а не $x^2 - 9$. Простая алгебраическая ошибка часто стоит балла.

5. Считать $\sqrt{f(x)}$ равным $|f(x)|$. Это путаница: $\sqrt{a^2} = |a|$, а $\sqrt{f(x)}$ — это просто корень, и он $\ge 0$ при $f(x) \ge 0$. Не путать с модулем.

Связь с другими темами

• Иррациональные уравнения — родственная тема, но логика проще (можно проверять корни).
• Квадратные неравенства — нужны для решения внутренних неравенств в системах.
• Метод интервалов — для решения систем неравенств.
• Свойства корней — фундамент.

Что запомнить

Иррациональные неравенства в задании 15 решаются методом эквивалентных систем:

Главное правило: никогда не возводи неравенство в квадрат без проверки знаков. Это первая ошибка, которая режет балл в задании 15.