Метод интервалов: рациональные неравенства с дробями и кратными корнями

Базовый метод интервалов отлично подходит для неравенств вида $(x-1)(x-2)(x+3)>0$ — раскладываем многочлен, расставляем нули, чередуем знаки. Но в задании 15 ЕГЭ редко встречаются такие чистые случаи. Чаще — рациональное неравенство с дробью, кратными корнями, нестрогими знаками. Здесь базовый алгоритм даёт сбой, и нужны три расширения: ОДЗ, кратность корней, тип точек.

Эта страница — расширенный метод интервалов для всех типичных конструкций задания 15. Если базовый алгоритм ещё не освоен — начни со страницы Метод интервалов, здесь предполагается, что базовый шаг ты делаешь автоматически.

Расширенный алгоритм: 8 шагов

Структура алгоритма для рационального неравенства вида «дробь сравнивается с нулём» — то есть $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ или $\frac{P(x)}{Q(x)}<0$ (или с нестрогими знаками $\ge$, $\le$):

1. ОДЗ. Найти область допустимых значений: $Q(x)\ne 0$. Если в исходном неравенстве есть корни, логарифмы, дроби — учесть их ОДЗ тоже.
2. Привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless 0$. Перенести всё в одну сторону, привести к общему знаменателю. Не «крест-накрест», только перенос — иначе теряешь информацию о знаке знаменателя.
3. Разложить на множители $P(x)$ и $Q(x)$. Каждый множитель должен быть линейным или квадратным с известными корнями.
4. Найти все нули $P(x)$ и $Q(x)$ с указанием кратности.
5. Отметить нули на числовой прямой. Нули $P(x)$: закрашенные в нестрогом неравенстве, выколотые в строгом. Нули $Q(x)$: всегда выколотые.
6. Определить знак на крайнем правом интервале. Подставить большое число (например, $x=1000$) в исходное выражение, посмотреть знак.
7. Расставить знаки на остальных интервалах. При переходе через точку с нечётной кратностью знак меняется. С чётной — не меняется.
8. Выписать ответ. Объединение интервалов, где знак соответствует условию неравенства.

Главное отличие от базового алгоритма — шаги 1, 4, 5, 7. Их разберём подробнее.

Шаг 1: ОДЗ для рациональных неравенств

ОДЗ — это множество значений $x$, при которых выражение в неравенстве вообще имеет смысл. Для дробей: знаменатель не равен нулю. Для корней чётной степени: подкоренное выражение неотрицательно. Для логарифмов: аргумент положителен.

В рациональном неравенстве вида $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless 0$ единственное ограничение ОДЗ — $Q(x)\ne 0$.

Пример. Неравенство $\frac{x-2}{x+3}\ge 0$. ОДЗ: $x\ne -3$. Значит, $x=-3$ не входит в ответ ни при каких условиях, даже если он удовлетворяет неравенству формально.

Ловушка: если умножить обе части на $(x+3)$ — получишь $(x-2)(x+3)\ge 0$, и $x=-3$ становится решением, что неверно. Поэтому никогда не умножай на множитель неизвестного знака — он может быть отрицательным, и знак неравенства поменяется.

Шаг 4: кратность корней

Корень $x=a$ многочлена $P(x)$ имеет кратность $k$, если $P(x)$ содержит множитель $(x-a{)}^k$, но не содержит $(x-a{)}^{k+1}$.

Примеры:

• В $P(x)=(x-1)(x-2)$ корни $x=1$ и $x=2$ — оба кратности 1 (простые).
• В $P(x)=(x-1{)}^2(x-2)$ корень $x=1$ — кратности 2 (двойной), $x=2$ — кратности 1.
• В $P(x)=(x-1{)}^3(x-2)$ корень $x=1$ — кратности 3 (тройной), $x=2$ — кратности 1.

Важное правило для расстановки знаков: при переходе через корень нечётной кратности знак выражения меняется. При переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

Графически: в корне нечётной кратности график пересекает ось $x$. В корне чётной кратности график касается оси и возвращается на ту же сторону.

Шаг 5: тип точек на числовой прямой

Когда отмечаешь нули на числовой прямой, нужно различать четыре типа точек:

Закрашенная точка означает, что её значение входит в ответ. Выколотая — не входит.

В нестрогом рациональном неравенстве $\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0$ нули числителя дают значение всей дроби равное нулю — это допустимо, поэтому точка закрашена. Нули знаменателя дают деление на ноль — это запрещено, точка выколота.

Пример 1: рациональное неравенство с простыми корнями

Неравенство: $\frac{x-1}{x+2}\ge 0$

ОДЗ: $x\ne -2$.

Шаг разложения: уже сделан — числитель $(x-1)$, знаменатель $(x+2)$.

Нули числителя: $x=1$ (кратности 1).

Нули знаменателя: $x=-2$ (кратности 1, всегда выколотая).

На числовой прямой: точка $-2$ — выколотая, точка $1$ — закрашенная (потому что нестрогое).

Знак на крайнем правом интервале ($x\to +\infty$): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна. Знак «+».

Расстановка: при переходе через $x=1$ (нечётная кратность) знак меняется на «−». При переходе через $x=-2$ (нечётная кратность) знак меняется на «+».

Итого: «+» на $(-\infty ;-2)$, «−» на $(-2;1)$, «+» на $[1;+\infty )$.

Условие: $\ge 0$, нужны интервалы со знаком «+» или ноль.

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup [1;+\infty )$.

Обрати внимание: точка $1$ закрашена и входит в ответ, точка $-2$ выколота и не входит.

Пример 2: кратный корень в числителе

Неравенство: $(x-1{)}^2(x+3)>0$

ОДЗ: все действительные числа.

Нули: $x=1$ (кратности 2, чётная), $x=-3$ (кратности 1, нечётная).

На числовой прямой: обе точки выколотые (неравенство строгое).

Знак справа: при больших $x$ оба множителя положительны, произведение положительно. Знак «+».

Расстановка: через $x=1$ (чётная кратность) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-3$ (нечётная) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty ;-3)$, «+» на $(-3;1)$, «+» на $(1;+\infty )$.

Условие: $>0$, нужны интервалы со знаком «+».

Ответ: $x\in (-3;1)\cup (1;+\infty )$, или короче $x\in (-3;+\infty ),x\ne 1$.

Точка $x=1$ — выколота (неравенство строгое, и в ней выражение равно нулю, что не удовлетворяет «$>0$»).

Пример 3: рациональное с кратным в знаменателе

Неравенство: $\frac{x+1}{(x-2{)}^2}\le 0$

ОДЗ: $x\ne 2$.

Нули числителя: $x=-1$ (кратности 1).

Нули знаменателя: $x=2$ (кратности 2, всегда выколотая).

На числовой прямой: $-1$ закрашенная (нестрогое), $2$ выколотая.

Знак справа: при больших $x$ числитель и знаменатель оба положительны, дробь положительна. Знак «+».

Расстановка: через $x=2$ (чётная кратность в знаменателе) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-1$ (нечётная кратность) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty ;-1]$, «+» на $[-1;2)$, «+» на $(2;+\infty )$. Уточнение: знак на $(-\infty ;-1)$ это «−», в точке $x=-1$ значение дроби равно $0$.

Условие: $\le 0$, нужны интервалы со знаком «−» или ноль.

Ответ: $x\in (-\infty ;-1]$.

Точка $x=2$ выколота (знаменатель ноль) и не может войти в ответ. Точка $x=-1$ закрашена (числитель ноль, нестрогое неравенство).

Пример 4: дробь с двумя дробями (приведение к общему знаменателю)

Неравенство: $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}>0$

ОДЗ: $x\ne 1$, $x\ne -2$.

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{3}{(x-1)(x+2)}>0$

Числитель — константа $3>0$, значит знак дроби определяется знаком знаменателя.

$\frac{3}{(x-1)(x+2)}>0$ эквивалентно $(x-1)(x+2)>0$.

Метод интервалов для $(x-1)(x+2)>0$: нули $x=1$ и $x=-2$, обе нечётной кратности, обе выколоты (строгое неравенство).

Знак справа: при больших $x$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Расстановка: «+» на $(-\infty ;-2)$, «−» на $(-2;1)$, «+» на $(1;+\infty )$.

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (1;+\infty )$.

Ключевой момент: никогда не умножай неравенство на $(x-1)(x+2)$ — это выражение неизвестного знака. Только перенос в одну сторону и приведение к общему знаменателю.

Пример 5: задание 15 типа из ЕГЭ

Неравенство: $\frac{x^2-5x+6}{x^2-1}\le 0$

ОДЗ: $x^2-1\ne 0$, то есть $x\ne \pm 1$.

Разложение:

• Числитель: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, корни $x=2$ и $x=3$, кратность 1.
• Знаменатель: $x^2-1=(x-1)(x+1)$, корни $x=1$ и $x=-1$, кратность 1, всегда выколоты.

На числовой прямой: четыре точки. Закрашенные (числитель, нестрогое): $2$ и $3$. Выколотые (знаменатель): $-1$ и $1$.

Расположение: $-1,1,2,3$.

Знак справа ($x\to +\infty$): числитель и знаменатель — произведения положительных, дробь положительна.

Расстановка (все корни нечётной кратности, знак меняется при каждом переходе):

• $(3;+\infty )$: «+»
• $(2;3)$: «−»
• $(1;2)$: «+»
• $(-1;1)$: «−»
• $(-\infty ;-1)$: «+»

Условие: $\le 0$, нужны интервалы со знаком «−» (и нули числителя).

Ответ: $x\in (-1;1)\cup [2;3]$.

Точки $-1$ и $1$ выколоты, точки $2$ и $3$ закрашены.

Пример 6: c квадратом в дроби

Неравенство: $\frac{(x-1{)}^2}{x+2}\ge 0$

ОДЗ: $x\ne -2$.

Нули числителя: $x=1$ (кратности 2, чётная).

Нули знаменателя: $x=-2$ (выколотая).

На числовой прямой: $-2$ выколотая, $1$ закрашенная (нестрогое; числитель равен нулю — допустимо).

Знак справа: при больших $x$ числитель (квадрат) и знаменатель оба положительны, дробь положительна.

Расстановка: через $x=1$ (чётная) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-2$ (нечётная) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty ;-2)$, «+» на $(-2;1)$, «+» на $(1;+\infty )$.

Условие: $\ge 0$. Подходят интервалы со знаком «+» и точка $x=1$ (где числитель ноль).

Ответ: $x\in (-2;+\infty )$.

Точка $x=1$ автоматически входит в этот интервал (закрашенная, и в ней дробь равна $0$, что удовлетворяет $\ge 0$).

Пример 7: общий корень в числителе и знаменателе

Неравенство: $\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-5)}>0$

Здесь $x=3$ обнуляет и числитель, и знаменатель одновременно. Это самая частая ловушка: нельзя «сократить и забыть».

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, значит $x\ne 3$ и $x\ne 5$. Запоминаем это до сокращения — иначе потеряем выколотую точку.

Сокращение: при $x\ne 3$ дробь равна $\frac{x+1}{x-5}$. Решаем уже её неравенство $\frac{x+1}{x-5}>0$ методом интервалов.

Нули: $x=-1$ (числитель, выколота — строгое), $x=5$ (знаменатель, выколота).

Знак справа ($x\to +\infty$): оба множителя положительны, дробь положительна, знак «+». Через $x=5$ (нечётная) знак меняется на «−», через $x=-1$ (нечётная) — на «+».

Итого: «+» на $(-\infty ;-1)$, «−» на $(-1;5)$, «+» на $(5;+\infty )$.

Условие $>0$ даёт $x\in (-\infty ;-1)\cup (5;+\infty )$. Но теперь — главный шаг: исключаем $x=3$, потому что в исходном выражении он не определён. Точка $x=3$ лежит на интервале $(-1;5)$, который и так не вошёл в ответ, поэтому здесь дополнительного исключения визуально не видно — но если бы общий корень попал в «хороший» интервал, его пришлось бы выколоть отдельно.

Ответ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (5;+\infty )$.

Вывод. Сокращай дробь только после того, как выписал ОДЗ исходного выражения. Сокращённое неравенство решается легче, но «потерянная» точка общего корня остаётся выколотой навсегда.

Применение в задании 15 ЕГЭ

Задание 15 — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические неравенства. Метод интервалов работает в первых трёх, в логарифмических — после приведения к рациональному виду.

Типовая структура задачи 15 «рациональное неравенство»:

1. Привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless 0$.
2. Разложить на множители.
3. Применить расширенный метод интервалов.
4. Записать ответ в виде объединения интервалов.

Балл за задачу 15 — 2. Половина баллов снимается за: ошибка в ОДЗ (включил выколотую точку), ошибка с кратными корнями (поменял знак, где не должен), путаница с типом точек (закрасил выколотую или наоборот).

Распространённые ошибки

1. Умножать на выражение неизвестного знака. В $\frac{x-1}{x+2}\ge 0$ часто пишут «$\iff (x-1)(x+2)\ge 0$, потому что умножили на $(x+2)$». Это неверно: $(x+2)$ может быть отрицательным, и тогда знак неравенства меняется. Правильно — оставить дробь и применить метод интервалов к ней.

2. Забыть ОДЗ. Решил $(x-1)(x+2)\ge 0$ в задаче выше, получил $x\in (-\infty ;-2]\cup [1;+\infty )$. А точка $x=-2$ не входит в ОДЗ и должна быть выколота. Пропуск этого = потеря балла.

3. Путать знак при кратных корнях. Через $(x-1{)}^2$ знак не меняется, через $(x-1{)}^3$ — меняется. Ошибка с кратностью разрушает всю расстановку.

4. Считать «ноль на ноль» нулём. В дроби $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+3)}$ при $x=1$ числитель и знаменатель равны нулю, и подставлять туда нельзя — это деление ноль на ноль. Сначала сократи дробь, потом работай с упрощённым выражением, и из ответа исключи $x=1$ (поскольку исходное выражение в ней не определено).

5. Записать ответ в неверной форме. Если $x\in [1;2)$ — обязательно квадратная скобка слева (1 входит), круглая справа (2 не входит). Перепутал — потерял точность.

Связь с другими темами

• Метод интервалов — базовый алгоритм для многочленов.
• Квадратные неравенства — частный случай метода интервалов.
• Иррациональные уравнения — решение иррациональных неравенств часто сводится к рациональным.
• Свойства корней — нужны для разложения многочленов на множители.

Что запомнить

Расширенный метод интервалов добавляет к базовому три проверки:

1. ОДЗ — нули знаменателя всегда выколоты, никогда не входят в ответ.
2. Кратность корней — через чётную кратность знак НЕ меняется, через нечётную меняется.
3. Тип точки — нули числителя в нестрогом неравенстве закрашиваются, в строгом выколаются. Нули знаменателя всегда выколоты.

Эти три правила решают 90% задач 15 типа «рациональное неравенство». Оставшиеся 10% — задачи с дополнительными условиями (модули, корни внутри дроби), и для них правила те же, но добавляется ещё одна проверка ОДЗ.