Метод интервалов: рациональные неравенства с дробями и кратными корнями

Базовый метод интервалов отлично подходит для неравенств вида $(x-1)(x-2)(x+3) > 0$ — раскладываем многочлен, расставляем нули, чередуем знаки. Но в задании 15 ЕГЭ редко встречаются такие чистые случаи. Чаще — рациональное неравенство с дробью, кратными корнями, нестрогими знаками. Здесь базовый алгоритм даёт сбой, и нужны три расширения: ОДЗ, кратность корней, тип точек.

Эта страница — расширенный метод интервалов для всех типичных конструкций задания 15. Если базовый алгоритм ещё не освоен — начни со страницы Метод интервалов, здесь предполагается, что базовый шаг ты делаешь автоматически.

Расширенный алгоритм: 8 шагов

Структура алгоритма для рационального неравенства вида «дробь сравнивается с нулём» — то есть $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ или $\frac{P(x)}{Q(x)} < 0$ (или с нестрогими знаками $\ge$, $\le$):

1. ОДЗ. Найти область допустимых значений: $Q(x) \neq 0$. Если в исходном неравенстве есть корни, логарифмы, дроби — учесть их ОДЗ тоже.
2. Привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$. Перенести всё в одну сторону, привести к общему знаменателю. Не «крест-накрест», только перенос — иначе теряешь информацию о знаке знаменателя.
3. Разложить на множители $P(x)$ и $Q(x)$. Каждый множитель должен быть линейным или квадратным с известными корнями.
4. Найти все нули $P(x)$ и $Q(x)$ с указанием кратности.
5. Отметить нули на числовой прямой. Нули $P(x)$: закрашенные в нестрогом неравенстве, выколотые в строгом. Нули $Q(x)$: всегда выколотые.
6. Определить знак на крайнем правом интервале. Подставить большое число (например, $x = 1000$) в исходное выражение, посмотреть знак.
7. Расставить знаки на остальных интервалах. При переходе через точку с нечётной кратностью знак меняется. С чётной — не меняется.
8. Выписать ответ. Объединение интервалов, где знак соответствует условию неравенства.

Главное отличие от базового алгоритма — шаги 1, 4, 5, 7. Их разберём подробнее.

Шаг 1: ОДЗ для рациональных неравенств

ОДЗ — это множество значений $x$, при которых выражение в неравенстве вообще имеет смысл. Для дробей: знаменатель не равен нулю. Для корней чётной степени: подкоренное выражение неотрицательно. Для логарифмов: аргумент положителен.

В рациональном неравенстве вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$ единственное ограничение ОДЗ — $Q(x) \neq 0$.

Пример. Неравенство $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq -3$. Значит, $x = -3$ не входит в ответ ни при каких условиях, даже если он удовлетворяет неравенству формально.

Ловушка: если умножить обе части на $(x+3)$ — получишь $(x-2)(x+3) \ge 0$, и $x = -3$ становится решением, что неверно. Поэтому никогда не умножай на множитель неизвестного знака — он может быть отрицательным, и знак неравенства поменяется.

Шаг 4: кратность корней

Корень $x = a$ многочлена $P(x)$ имеет кратность $k$, если $P(x)$ содержит множитель $(x-a)^k$, но не содержит $(x-a)^{k+1}$.

Примеры:

• В $P(x) = (x-1)(x-2)$ корни $x=1$ и $x=2$ — оба кратности 1 (простые).
• В $P(x) = (x-1)^2(x-2)$ корень $x=1$ — кратности 2 (двойной), $x=2$ — кратности 1.
• В $P(x) = (x-1)^3(x-2)$ корень $x=1$ — кратности 3 (тройной), $x=2$ — кратности 1.

Важное правило для расстановки знаков: при переходе через корень нечётной кратности знак выражения меняется. При переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

Графически: в корне нечётной кратности график пересекает ось $x$. В корне чётной кратности график касается оси и возвращается на ту же сторону.

Шаг 5: тип точек на числовой прямой

Когда отмечаешь нули на числовой прямой, нужно различать четыре типа точек:

Закрашенная точка означает, что её значение входит в ответ. Выколотая — не входит.

В нестрогом рациональном неравенстве $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ нули числителя дают значение всей дроби равное нулю — это допустимо, поэтому точка закрашена. Нули знаменателя дают деление на ноль — это запрещено, точка выколота.

Пример 1: рациональное неравенство с простыми корнями

Неравенство: $\frac{x-1}{x+2} \ge 0$

ОДЗ: $x \neq -2$.

Шаг разложения: уже сделан — числитель $(x-1)$, знаменатель $(x+2)$.

Нули числителя: $x = 1$ (кратности 1).

Нули знаменателя: $x = -2$ (кратности 1, всегда выколотая).

На числовой прямой: точка $-2$ — выколотая, точка $1$ — закрашенная (потому что нестрогое).

Знак на крайнем правом интервале ($x \to +\infty$): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна. Знак «+».

Расстановка: при переходе через $x=1$ (нечётная кратность) знак меняется на «−». При переходе через $x=-2$ (нечётная кратность) знак меняется на «+».

Итого: «+» на $(-\infty; -2)$, «−» на $(-2; 1)$, «+» на $[1; +\infty)$.

Условие: $\ge 0$, нужны интервалы со знаком «+» или ноль.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1; +\infty)$.

Обрати внимание: точка $1$ закрашена и входит в ответ, точка $-2$ выколота и не входит.

Пример 2: кратный корень в числителе

Неравенство: $(x-1)^2(x+3) > 0$

ОДЗ: все действительные числа.

Нули: $x = 1$ (кратности 2, чётная), $x = -3$ (кратности 1, нечётная).

На числовой прямой: обе точки выколотые (неравенство строгое).

Знак справа: при больших $x$ оба множителя положительны, произведение положительно. Знак «+».

Расстановка: через $x=1$ (чётная кратность) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-3$ (нечётная) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty; -3)$, «+» на $(-3; 1)$, «+» на $(1; +\infty)$.

Условие: $> 0$, нужны интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (1; +\infty)$, или короче $x \in (-3; +\infty), x \neq 1$.

Точка $x=1$ — выколота (неравенство строгое, и в ней выражение равно нулю, что не удовлетворяет «$> 0$»).

Пример 3: рациональное с кратным в знаменателе

Неравенство: $\frac{x+1}{(x-2)^2} \le 0$

ОДЗ: $x \neq 2$.

Нули числителя: $x = -1$ (кратности 1).

Нули знаменателя: $x = 2$ (кратности 2, всегда выколотая).

На числовой прямой: $-1$ закрашенная (нестрогое), $2$ выколотая.

Знак справа: при больших $x$ числитель и знаменатель оба положительны, дробь положительна. Знак «+».

Расстановка: через $x=2$ (чётная кратность в знаменателе) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-1$ (нечётная кратность) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty; -1]$, «+» на $[-1; 2)$, «+» на $(2; +\infty)$. Уточнение: знак на $(-\infty; -1)$ это «−», в точке $x=-1$ значение дроби равно $0$.

Условие: $\le 0$, нужны интервалы со знаком «−» или ноль.

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

Точка $x=2$ выколота (знаменатель ноль) и не может войти в ответ. Точка $x=-1$ закрашена (числитель ноль, нестрогое неравенство).

Пример 4: дробь с двумя дробями (приведение к общему знаменателю)

Неравенство: $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} > 0$

ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -2$.

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{(x+2) - (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{(x-1)(x+2)} > 0$

Числитель — константа $3 > 0$, значит знак дроби определяется знаком знаменателя.

$\frac{3}{(x-1)(x+2)} > 0$ эквивалентно $(x-1)(x+2) > 0$.

Метод интервалов для $(x-1)(x+2) > 0$: нули $x=1$ и $x=-2$, обе нечётной кратности, обе выколоты (строгое неравенство).

Знак справа: при больших $x$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Расстановка: «+» на $(-\infty; -2)$, «−» на $(-2; 1)$, «+» на $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.

Ключевой момент: никогда не умножай неравенство на $(x-1)(x+2)$ — это выражение неизвестного знака. Только перенос в одну сторону и приведение к общему знаменателю.

Пример 5: задание 15 типа из ЕГЭ

Неравенство: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1} \le 0$

ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$.

Разложение:

• Числитель: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, корни $x=2$ и $x=3$, кратность 1.
• Знаменатель: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, корни $x=1$ и $x=-1$, кратность 1, всегда выколоты.

На числовой прямой: четыре точки. Закрашенные (числитель, нестрогое): $2$ и $3$. Выколотые (знаменатель): $-1$ и $1$.

Расположение: $-1, 1, 2, 3$.

Знак справа ($x \to +\infty$): числитель и знаменатель — произведения положительных, дробь положительна.

Расстановка (все корни нечётной кратности, знак меняется при каждом переходе):

• $(3; +\infty)$: «+»
• $(2; 3)$: «−»
• $(1; 2)$: «+»
• $(-1; 1)$: «−»
• $(-\infty; -1)$: «+»

Условие: $\le 0$, нужны интервалы со знаком «−» (и нули числителя).

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup [2; 3]$.

Точки $-1$ и $1$ выколоты, точки $2$ и $3$ закрашены.

Пример 6: c квадратом в дроби

Неравенство: $\frac{(x-1)^2}{x+2} \ge 0$

ОДЗ: $x \neq -2$.

Нули числителя: $x = 1$ (кратности 2, чётная).

Нули знаменателя: $x = -2$ (выколотая).

На числовой прямой: $-2$ выколотая, $1$ закрашенная (нестрогое; числитель равен нулю — допустимо).

Знак справа: при больших $x$ числитель (квадрат) и знаменатель оба положительны, дробь положительна.

Расстановка: через $x=1$ (чётная) знак НЕ меняется, остаётся «+». Через $x=-2$ (нечётная) меняется на «−».

Итого: «−» на $(-\infty; -2)$, «+» на $(-2; 1)$, «+» на $(1; +\infty)$.

Условие: $\ge 0$. Подходят интервалы со знаком «+» и точка $x=1$ (где числитель ноль).

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

Точка $x=1$ автоматически входит в этот интервал (закрашенная, и в ней дробь равна $0$, что удовлетворяет $\ge 0$).

Применение в задании 15 ЕГЭ

Задание 15 — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические неравенства. Метод интервалов работает в первых трёх, в логарифмических — после приведения к рациональному виду.

Типовая структура задачи 15 «рациональное неравенство»:

1. Привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$.
2. Разложить на множители.
3. Применить расширенный метод интервалов.
4. Записать ответ в виде объединения интервалов.

Балл за задачу 15 — 2. Половина баллов снимается за: ошибка в ОДЗ (включил выколотую точку), ошибка с кратными корнями (поменял знак, где не должен), путаница с типом точек (закрасил выколотую или наоборот).

Распространённые ошибки

1. Умножать на выражение неизвестного знака. В $\frac{x-1}{x+2} \ge 0$ часто пишут «$\Leftrightarrow (x-1)(x+2) \ge 0$, потому что умножили на $(x+2)$». Это неверно: $(x+2)$ может быть отрицательным, и тогда знак неравенства меняется. Правильно — оставить дробь и применить метод интервалов к ней.

2. Забыть ОДЗ. Решил $(x-1)(x+2) \ge 0$ в задаче выше, получил $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$. А точка $x=-2$ не входит в ОДЗ и должна быть выколота. Пропуск этого = потеря балла.

3. Путать знак при кратных корнях. Через $(x-1)^2$ знак не меняется, через $(x-1)^3$ — меняется. Ошибка с кратностью разрушает всю расстановку.

4. Считать «ноль на ноль» нулём. В дроби $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+3)}$ при $x=1$ числитель и знаменатель равны нулю, и подставлять туда нельзя — это деление ноль на ноль. Сначала сократи дробь, потом работай с упрощённым выражением, и из ответа исключи $x=1$ (поскольку исходное выражение в ней не определено).

5. Записать ответ в неверной форме. Если $x \in [1; 2)$ — обязательно квадратная скобка слева (1 входит), круглая справа (2 не входит). Перепутал — потерял точность.

Связь с другими темами

• Метод интервалов — базовый алгоритм для многочленов.
• Квадратные неравенства — частный случай метода интервалов.
• Иррациональные уравнения — решение иррациональных неравенств часто сводится к рациональным.
• Свойства корней — нужны для разложения многочленов на множители.

Что запомнить

Расширенный метод интервалов добавляет к базовому три проверки:

1. ОДЗ — нули знаменателя всегда выколоты, никогда не входят в ответ.
2. Кратность корней — через чётную кратность знак НЕ меняется, через нечётную меняется.
3. Тип точки — нули числителя в нестрогом неравенстве закрашиваются, в строгом выколаются. Нули знаменателя всегда выколоты.

Эти три правила решают 90% задач 15 типа «рациональное неравенство». Оставшиеся 10% — задачи с дополнительными условиями (модули, корни внутри дроби), и для них правила те же, но добавляется ещё одна проверка ОДЗ.